2. 6 应用一元二次方程 课件 2024-2025学年北师大版九年级数学上册

第二章 一元二次方程 6 应用一元二次方程 初中数学北师大版九年级上册 第1课时 利用一元二次方程解决几何问题 1 情境导入 你还记得本章开始时梯子下滑的问题吗？ 如图，一个长为 10 m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 m.如果梯子的顶端下滑 1 m，那么梯子的底端滑动多少米？ （1）在这个问题中，梯子顶端下滑 1 米时，梯子底端滑动的距离大于 1 米，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢？ x x 设梯子顶端下滑x米，底端滑动x米 (8-x)2+(6+x)2 =102 x2-2x = 0 x1= 0（舍），x2 = 2. （2）如果梯子长度是 13 m，梯子顶端与地面的垂直距离为 12 m，那么梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多少？ 设梯子顶端下滑x米，底端滑动x米 (12-x)2+(5+x)2 =132 x2-7x = 0 x1= 0（舍），x2 = 7. 几何画板 探究新知 例1 如图：某海军基地位于 A 处，在其正南方向 200 海里处有一重要目标 B，在 B 的正东方向200 海里处有一重要目标C，小岛 D 位于 AC 的中点，岛上有一补给码头。小岛 F 位于 BC 中点。一艘军舰从 A 出发，经 B 到 C 匀速巡航，一艘补给船同时从 D 出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰。 已知军舰的速度是补给船的 2 倍，军舰在由 B 到 C 的途中与补给船相遇，那么相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到0.1海里） 几何画板 （1）要求 DE 的长，需要如何设未知数？ （2）怎样建立含 DE 未知数的等量关系？从已知条件中能找到吗？ （3）利用勾股定理建立等量关系，如何构造直角三角形？ （4）选定Rt△DEF 后，三条边长都是已知的吗？DE，DF，EF 分别是多少？ 解： 连接 DF. ∵AD = CD，BF = CF， ∴DF 是△ABC 的中位线. ∴DF∥AB，且 DF = AB. ∵AB⊥BC，DF = 100 n mile，BF = 100 n mile. 设相遇时补给船航行了 x n mile，那么 DE = x nmile，AB + BE = 2x n mile， EF = AB + BF-（AB + BE）=（300-2x）n mile. 在Rt△DEF 中，根据勾股定理可得方程 x2 = 1002 + (300-2x)2， 整理，得 3x2-1200x + 100 000 = 0. 解这个方程，得 所以，相遇时补给船大约航行了 118.4 n mile. 随堂练习 【选自教材P53 随堂练习】 《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙行各几何。”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为 7，乙的速度为 3。乙一直向东走，甲先向南走了 10 步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇。那么相遇时，甲、乙各走了多远？ 解：设所行时间为 t，则有 (3t)2 +102 = (7t-10)2， 解得 t1 = 0（舍去），t2 = . ∴甲走了 ×7 = （步），乙走了 ×3 = （步）. 达标检测 【选自教材P53 习题2.9】 有这样一道阿拉伯古算题：有两笔钱，一多一少，其和等于 20，积等于 96，多的一笔钱被许诺赏给赛义德，那么赛义德得到多少钱？ 解: 设较多的钱为 x． 由题意,可得 x(20－x)＝96，解得 x1＝12，x2＝8 (舍去)． 所以，赛义德得到的钱数为12. 如图：在 Rt△ACB 中，∠C = 90°，点 P、Q 同时由A、B 两点出发分别沿 AC、BC 方向向点 C 匀速移动，它们的速度都是 1 m/s，几秒后△PCQ 的面积为Rt△ACB 面积的一半？ 解: 设经过 t s， △PCQ 面积为 Rt△ACB 面积的一半． (8－t)(6－t)＝ ×6×8× ， 解得 t1＝2，t2＝12 (舍去)． 所以，经过 2 s，△PCQ 面积为 Rt△ACB 面积的一半． 【选自教材P53 习题2.9】 如图，一条水渠的断面为梯形，已知断面的面积为 0.78 m2，上口比渠底宽 0.6，渠深比渠底少 0.4 m，求渠深. 【选自教材P53 习题2.9】 解:设渠深为 x m，则渠底为 (x＋0.4) m． S ＝ ·[(x＋0.4＋0.6＋x＋0.4)]·x ＝ 0.78， 解得 x1＝－1.3(舍去)，x2＝0.6． 所以，渠深 0.6 m． 解: 设 t s 后 P ，Q 两点相距 15 cm． 由题意有 t2＋(21－t)2＝152， 解得 t1＝9，t2＝12． 所以，运动 9 s 或12 s 时,P ,Q 两点相距 15 cm． 如图，在Rt△ACB 中，∠C = 90°，AC = 30 cm，BC = 21 cm.动点 P 从点 C 出发，沿 CA 方向运动；动点 Q 同时从点 B 出发，沿 BC 方向运动. 如果动点 P，Q 的运动速度均为 1 cm/s，那么运动几秒时，它们相距 15 cm？. 【选自教材P54 习题2.9】 第二章 一元二次方程 6 应用一元二次方程 初中数学北师大版九年级上册 第2课时 利用一元二次方程解决经济问题 13 知识回顾 请同学们回忆并回答与利润相关的知识 利润 =（ ）- 进价 售价 售价 = 标价×折扣 9 折要乘以 90% 或 0.9 或 ，那么 x 折呢？ 探究新知 例2 新华商场销售某种冰箱，每台进货价为 2500 元。市场调研表明：当销售价为 2900 元时，平均每天能售出 8 台；而当销售价每降低 50 元时，平均每天就能多售出 4 台。商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到 5000 元，每台冰箱的降价应为多少元？ 分析基本数量关系 售价 - 进价 = 利润 每台利润 × 每天的销售量 = 每天的总利润 例2 新华商场销售某种冰箱，每台进货价为 2500 元。市场调研表明：当销售价为 2900 元时，平均每天能售出 8 台；而当销售价每降低 50 元时，平均每天就能多售出 4 台。商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到 5000 元，每台冰箱的降价应为多少元？ 进价 售价 销售量 每台利润 总利润 降价前 降价后 2500 2900 8 400 400×8 2500 未知 未知 未知 5000 设每台冰箱降价 x 元 售价每降低 50 元 多售出 4 台 售价每降低 100 元 多售出 4× 台 售价每降低 x 元 多售出 4× 台 例2 新华商场销售某种冰箱，每台进货价为 2500 元。市场调研表明：当销售价为 2900 元时，平均每天能售出 8 台；而当销售价每降低 50 元时，平均每天就能多售出 4 台。商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到 5000 元，每台冰箱的降价应为多少元？ 进价 售价 销售量 每台利润 总利润 降价前 降价后 2500 2900 8 400 400×8 2500 未知 未知 未知 5000 设每台冰箱降价 x 元 售价每降低 50 元 多售出 4 台 售价每降低 100 元 多售出 4× 台 售价每降低 x 元 多售出 4× 台 2900-x 8+4× 400-x 例2 新华商场销售某种冰箱，每台进货价为 2500 元。市场调研表明：当销售价为 2900 元时，平均每天能售出 8 台；而当销售价每降低 50 元时，平均每天就能多售出 4 台。商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到 5000 元，每台冰箱的降价应为多少元？ 解：设每台冰箱降价 x 元，根据题意，得 8+4× ( 2900-x -2500)( ) = 5000 解这个方程，得 x1 = x2 = 150. 2900-150 = 2750 所以，每台冰箱应定价为 2750 元. 某商场将进货价为 30 元的台灯以 40 元售出，平均每月能售出 600 个。调查发现：售价在 40 元至 60 元范围内，这种台灯的售价每上涨 1 元，其销售量就将减少 10 个.为了实现平均每月 10 000 元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应购进台灯多少个？ 解：设这种台灯售价上涨 x 元，根据题意，得 (40+x-30)(600-10x) = 10 000 解这个方程，得 x1 = 10. x2 = 40（舍）. 售价为：40+x = 40+10 = 50（元） 应购置台灯：600-10x = 600-10×10 = 500（个） 利用方程解决实际问题得关键和步骤是什么？ 关键：寻找等量关系 步骤：其一是整体地、系统地审清问题； 其二是把握问题中的“相等关系”； 其三是正确求解方程并检验解的合理性。 随堂练习 【选自教材P55 随堂练习】 某批发市场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出 500 张，每张赢利 0.3 元. 为了尽快减少库存，摊主决定采取适当的降价措施.调查发现，如果这种贺年卡的售价每降价 0.05 元，那么平均每天可多售出 200 张. 摊主要想平均每天赢利 180 元，每张贺年卡应降价多少元？ 解:设每张贺卡应降价 x 元． (0.3－x) ( ×200＋500) ＝180， 解得 x1＝0.1，x2＝ ． 又∵摊主想尽快减少库存． ∴减得越多,卖得越多． 在盈利相同的情况下选择降价 0.1 元更合适． 达标检测 【选自教材P55 习题2.10】 某种服装，平均每天可销售 20 件，每件赢利 44 元. 在每件降价幅度不超过 10 元的情况下，若每件降价 1 元，则每天可多售 5 件.如果每天要赢利 1600 元，每件应降价多少元？ 解: 设每件应降价 x 元． (5x＋20)(44－x)＝1600，解得: x1＝4，x2＝36 (舍去) 所以，每件应降价 4 元． 一个农业合作社以 64000 元的成本收获了某种农产品 80t，目前可以以 1200 元/t 的价格售出．如果储藏起来，每星期会损失 2t，且每星期需支付各种费用 1600 元，但同时每星期每吨的价格将上涨 200 元. 那么，储藏多少个星期出售这批农产品可获利 122000 元？ 【选自教材P55 习题2.10】 解: 设储藏 x 个星期出售这批农产品可获利 122 000 元． (1200＋200x)(80－2x)－1600x ＝ 122000 ＋64000， 解得 x1＝x2＝15． 所以，储藏 15 个星期出售这批农产品可获利 122000元． 【选自教材P55 习题2.10】 我国2019年并网太阳能发电装机容量约为2亿kW，经过两年努力，我国2021年并网太阳能发电装机容量约为3亿kW，求我国这两年并网太阳能发电装机容量的年均增长率(结果精确到 1%）. 解: 设我国这两年并网太阳能发电装机容量的年均增长率为 x． 2(1＋x)2 ＝ 3，解得 x1＝ (舍去), x2＝ ≈ 22.5％． 所以，我国这两年并网太阳能发电装机容量的年均增长率为 22.5％. 【选自教材P55 习题2.10】 某公司今年 10 月的营业额为 2500 万元，按计划第四季度的总营业额要达到 9100 万元，求该公司 11，12 两个月营业额的月均增长率. 解:设该公司 11，12 两个月营业额的月均增长率为 x． 2500＋2500(1＋x)＋2500(1＋x)2＝9100, 解得 x1＝0.2＝20％，x2＝－3.2(舍去)． 故该公司 11,12 两个月营业额的月均增长率为 20％． THANKS! 感谢聆听 请多指点 $$