2.1 认识一元二次方程课件 2024-2025学年北师大版数学九年级上册

第二章 一元二次方程 1 认识一元二次方程 初中数学北师大版九年级上册 第1课时 认识一元二次方程 1 探究新知 地毯问题 幼儿园活动教室矩形地面的长为 8 m,宽为 5 m,现准备在地面的正中间铺设一块面积为 18 m2 的地毯,四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同. 8 m 5 m 已知量: 未知量: 矩形地面的长、宽 地毯的面积 地毯的长、宽 条形区域的宽 8 m 5 m 已知量: 未知量: 矩形地面的长、宽 地毯的面积 地毯的长、宽 条形区域的宽 你能找出地毯问题中的相等关系吗? 地毯问题 地毯的长 宽 = 18m2 地毯的长+2倍条形区域的宽 = 8m 地毯的宽+2倍条形区域的宽 = 5m 幼儿园活动教室矩形地面的长为 8 m,宽为 5 m,现准备在地面的正中间铺设一块面积为 18 m2 的地毯,四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同. 8 m 5 m 你能求出这个宽度吗? 地毯问题 如果设所求的宽为 x m , 那么地毯的长为 m, 宽为 m, 根据题意,可得方程: ( 8-2x ) ( 5-2x ) (8-2x )(5-2x ) = 18 (8-2x )(5-2x ) = 18 40 - 16x -10x + 4x2 = 18 2x2 -13x +11 = 0 (去括号) (移项、合并同类项) 幼儿园活动教室矩形地面的长为 8 m,宽为 5 m,现准备在地面的正中间铺设一块面积为 18 m2 的地毯,四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同. 你能求出这个宽度吗? 地毯问题 连续整数问题 观察下面等式: 102+112+122 =132+142 你还能找到其他的五个连续整数,使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗? 如果设五个连续整数中的第一个数为 x,那么后面四个数依次可表示为:_,_,_, _。 根据题意,可得方程: x2 + (x+1)2 + (x+ 2)2 = (x+3)2 + (x+4)2 x+1 x+2 x+3 x+4 x2 + (x+1)2 + (x+ 2)2 = (x+3)2 + (x+4)2 去括号、移项、合并同类项 x2 - 8x -20 = 0 梯子滑动问题 如图,一个长为 10 m 的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 m.如果梯子的顶端下滑 1 m,那么梯子的底端滑动多少米? 10 m 8 m 几何画板.GSP 梯子滑动问题 如图,一个长为 10 m 的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 m.如果梯子的顶端下滑 1 m,那么梯子的底端滑动多少米? 7 m 1 m 10 m 6 m 解:由勾股定理可知,滑动前梯子底端距墙 m. 6 如果设梯子底端滑动 x m,那么滑动后梯子底端距墙_m. (x+6) 根据题意,可得方程: 72+(x+6)2 = 102 72+(x+6)2 = 102 去括号、移项、合并同类项 x2 +12 x -15 = 0 (8-2x )(5-2x ) = 18 2x2 -13x +11 = 0 x2 + (x+1)2 + (x+ 2)2 = (x+3)2 + (x+4)2 x2 - 8x -20 = 0 72+(x+6)2 = 102 x2 +12 x -15 = 0 由上面三个问题,我们可以得到三个方程: 议一议 上述三个方程有什么共同特点? 上面的方程都是只含有一个未知数 x 的整式方程, 并且都可以化为 ax2+bx+c=0 (a,b,c为常数,a≠0)的形式, 这样的方程叫做一元二次方程. 一元二次方程 我们把 ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0) 称为一元二次方程的一般形式. ax2 bx c 二次项 一次项 常数项 a b 二次项系数 一次项系数 达标检测 根据题意列出一元二次方程: 已知直角三角形的三边长 为连续整数,求它的三边长. 【选自教材P32 随堂练习】 解:设较短边长为 x . x2 + ( x + 1 )2 = ( x + 2 )2 . 把方程 (3x+2)2 = 4(x-3)2 化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次顶系数和常数项. 【选自教材P32 随堂练习】 解: 化为一般形式为 5x2+36x-32=0. 二次项系数为 5,一次项系数为 36,常数项为-32. 根据题意,列出一元二次方程: (1)有一面积为 54m2 的长方形,将它的一边剪短 5m, 另一边剪短 2 m,恰好变成一个正方形,这个正方形的 边长是多少? (1)解: 设这个正方形的边长为 x. (x+5)(x+2) = 54,即 x2+7x-44 = 0. 【选自教材P32 习题2.1 第1题】 (2)解: 设较小数为 x. x(x+1) + (x+1)(x+2) + x(x+2) = 242, 即 x2+2x-80=0. 根据题意,列出一元二次方程: (2)三个连续整数两两相乘,再求和,结果为 242, 这三个数分别是多少? 【选自教材P32 习题2.1 第1题】 把下列方程化为一元二次方程的形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项: 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 3x2=5x-1 (x+2)(x-1)=6 4-7x2=0 3x2-5x+1=0 3 -5 1 x2 +x-8=0 1 1 -8 -7x2 +4=0 -7 0 4 【选自教材P32 习题2.1 第2题】 从前有一天,一个笨汉拿着竹竿进屋,横拿竖拿都进不去,横着比门框宽 4 尺,竖着比门框高 2 尺,他的邻居教他沿着门的两个对角斜着拿竿,这个笨汉一试,不多不少刚好进去了.你知道竹竿有多长吗?请根据这一问题列出方程. 【选自教材P33 习题2.1 第3题】 解: 设竹竿的长为 x 尺,则门的宽度 为(x-4)尺,长为(x-2)尺, 依题意得方程: (x-4)2+ (x-2)2= x2 即:x2-12x +20 = 0 通过这节课的学习活动,你有什么收获? 课堂小结 只含有一个未知数 x 的整式方程, 并且都可以化为 ax2+bx+c=0 (a,b,c为常数,a≠0)的形式, 这样的方程叫做一元二次方程. 我们把 ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0) 称为一元二次方程的一般形式. 课堂小结 ax2 bx c 二次项 一次项 常数项 a b 二次项系数 一次项系数 第二章 一元二次方程 1 认识一元二次方程 初中数学北师大版九年级上册 第2课时 一元二次方程根的估算 21 复习导入 1. 使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的_. 一元二次方程 (x+1)2 - x = 3(x2-2) 化成一般形式是 _. 3. 近似数 2.36 ≈ _(精确到十分位). 解 2x2 – x - 7 = 0 2.4 4. 一元二次方程有哪些特点? (1)只含有一个未知数; (2)未知数的最高次项系数是 2; (3)整式方程. 5. 一元二次方程的一般形式是什么? ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0) 复习导入 探究新知 幼儿园活动教室矩形地面的长为 8 m,宽为 5 m,现准备在地面的正中间铺设一块面积为 18 m2 的地毯,四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同. 8 m 5 m (8-2x )(5-2x ) = 18 你能设法估计四周未铺地毯部分的宽度 x(m) 吗? 8 m 5 m (8-2x )(5-2x ) = 18 (1)x 有可能小于 0 吗?说说你的理由 x 不可能小于 0 ,因为宽度不能为负. x 可能大于 4 吗? x 不可能大于 4 , (8-2x)表示地毯的长, 所以有 8-2x > 0. 8 m 5 m (8-2x )(5-2x ) = 18 x 可能大于 2.5 吗? x 不可能大于 2.5 , (5-2x) 表示地毯的宽, 所以有 5-2x > 0. (2)你能确定 x 的大致范围吗? 0 < x < 2.5 (8-2x )(5-2x ) = 18 (3)填写下表: x 0.5 1 1.5 2 (8-2x)(5-2x) 28 18 10 4 (4)你知道地毯花边的宽 x(m) 是多少吗?还有其他求解方法吗?与同伴进行交流. 所求宽度为 x = 1 m. 如图,一个长为 10 m 的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 m.如果梯子的顶端下滑 1 m,那么梯子的底端滑动多少米? 72+(x+6)2 = 102 化为一般形式 x2 +12 x -15 = 0 (1)小明认为底端也滑动了 1 m,他的说法正确吗?为什么? 10 m 8 m 不正确,因为 x = 1时,方程左边不等于 0 x2 +12 x -15 = 0 (2)底端滑动的距离可能是 2 m 吗?可能是 3 m 吗?为什么? 不可能是 2 ,因为 x = 2 时,方程左边不等于 0. 不可能是 3 ,因为 x = 3 时,方程左边不等于 0. (3)你能猜出滑动距离 x(m) 的大致范围吗? (4)x 的整数部分是几?十分位是几? x2 +12 x -15 = 0 填写下表你能发现 x 的大致范围吗? x 0 0.5 1 1.5 2 x2 + 12x - 15 -15 -8.75 -2 5.25 13 通过观察发现,若想使代数式的值为 0,那么 x 的取值应在 1 和 1.5 之间。 所以 1 < x < 1.5 x2 +12 x -15 = 0 进一步计算: x 1.1 1.2 1.3 1.4 x2 + 12x - 15 -0.59 0.84 2.29 3.76 所以 1.1<x<1.2 因此 x 的整数部分是 1,十分位是 1。 达标检测 五个连续整数,前三个数的平方和等于后两个数的平方.您能求出这五个整数分别是多少吗? 【选自教材P34 随堂练习】 解: 设第一个整数为 x. x2+(x+1)2+(x+2)2 = (x+3)2+(x+4)2. 3x2+6x+5 = 2x2+14x+25. x2-8x-20=0. 根据列表求值估算,解得 x1=10,x2=-2. 所以,这五个整数分别是10,11,12,13,14 或 -2,-1,0,1,2. 一个面积为 120 m2 的矩形苗圃,它的长比宽多 2 m. 苗固的长和宽各是多少? 解: 设苗圃宽为 x m. x(x+2) = 120. x = 10 (负值已舍去). 所以,苗圃的宽为 10 m,长为 12 m. 【选自教材P35 习题2.2 第1题】 有一条长为 16 m 的绳子,你能否用它围出一个面积为 15 m2 的矩形?若能,则矩形的长、宽各是多少? 解: 设矩形的宽为 x m. x(8-x) = 15. x = 3 或5 所以,矩形的宽为 3 m,长为 5 m. 【选自教材P35 习题2.2 第2题】 一名跳水运动员进行 10 m 跳台跳水训练,在正常情况下,运动员必须在距水面 5 m 以前完成规定的翻腾动作,并且调整好入水姿势,否则就容易出现失误. 假设运动员起跳后的运动时间 t(s) 和运动员距离水面的高度 h(m) 之间满足关系: h=10+2.5t - 5t2,那么他最多有多长时间完成规定动作? 【选自教材P35 习题2.2 第3题】 解: 令 h=5,代入 h=10+2.5t-5t2, 即 5=10+2.5t-5t2, t1 ≈ 1.28,t2 ≈ -0.78 (舍去). 所以,他最多有 1.28 s 时间来完成规定动作. THANKS! 感谢聆听 请多指点 $$