精品解析：上海市杨浦高级中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试卷

2024-2025学年上海市杨浦高级中学高三年级上学期 高三开学考数学试卷 2024.9 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1. 不等式的解集是__________. 2. 已知集合，，若，则实数的取值范围是__________. 3. 若平面向量，，，则向量，的夹角为______. 4. 在的展开式中（其中是正整数），各项的系数和为729，则项的系数为__________. 5. 已知函数是奇函数，当时，，当时，__________. 6. 已知（是虚数单位）是实系数一元二次方程的一个根，则__________. 7. 等差数列的首项，公差为，若，则__________. 8. 已知，，是不同的平面，l，m，n是不同的直线，下列命题中： （1）若，，，则； （2）若，，，则； （3）若，，，则且； （4）若，，，则， 所有真命题的序号是__________. 9. 已知是第二象限角终边上的一个点，且，将OP绕原点O顺时针旋转至，则点的坐标为__________. 10. 如图，沿东西方向相距4海里的两个小岛A，B，岛上安装了信号接收塔，舰艇P沿着某种确定的圆锥曲线轨迹航行，A，B是曲线的焦点，当P在小岛B正北方向处时，测得距小岛B3海里.当舰艇航行至小岛B西偏南的处时，测得距小岛B1.5海里.在以线段AB中点为圆心，1海里为半径的圆形海域内布满暗礁（不包含边界），舰艇P在航行的过程中，会放下巡逻船Q，巡逻船在以PB为直径的圆域内全面巡逻，舰长认为不会有触礁的风险，理由是__________. 11. 已知正数a，b，c满足，，则的最小值为___________. 12. 已知数列是有无穷项的等差数列，，公差，若满足条件：①是数列的项；②对任意的正整数，都存在正整数，使得.则满足这样的数列的个数是______种. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑， 13. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 14. 下列函数中在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 15. 在正方体中，，点是线段上靠近点的三等分点，在三角形内有一动点（包括边界），则的最小值是（ ） A. B. C. D. 16. 已知点分别是抛物线和圆上的动点，若抛物线的焦点为，则的最小值为（ ） A. 6 B. C. D. 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17. 已知等差数列的公差，前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 18. 对于函数，若其定义域内存在实数满足，则称为“准奇函数”. （1）已知函数，试问是否为“准奇函数”？说明理由； （2）若为定义在上的“准奇函数”，试求实数的取值范围. 19. 如图，在圆锥PO中，AC为圆锥底面的直径，为底面圆周上一点，点在线段BC上，，. （1）证明：平面BOP； （2）若圆锥PO的侧面积为，求二面角的余弦值. 20. 已知函数，其中为实常数. （1）若，解关于的方程； （2）讨论函数的奇偶性； （3）当时，用定义证明函数在上是严格增函数，并解不等式. 21. 中国古典园林洞门、洞窗具有增添园林意境，丰富园林文化内涵的作用，门、窗装饰图案成为园林建筑中具有文化价值以及文化内涵的装饰.如图1所示的一种椭圆洞窗，由椭圆和圆组成，， 是椭圆的两个焦点，圆以线段为直径， （1）设计如图所示的洞窗，椭圆的离心率应满足怎样的范围？ （2）经测量椭圆的长轴为4分米，焦距为2分米. （i）从射出的任意一束光线照在左侧距椭圆中心4分米的竖直墙壁上，如图2所示.建模小组的同学用长绳拉出椭圆洞窗的切线AB，B为切点，然后用量角器探究猜测是定值，请帮他们证明上述猜想. （ii）建模小组的同学想设计一个如图3的四边形装饰，满足：点是上的一个动点，P，Q关于原点对称，过和分别作圆的切线，交于R，S，求四边形装饰面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $6学科网命组卷网 2024-2025学年上海市杨浦高级中学高三年级上学期 高三开学考数学试卷 2024.9 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写 结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1.不等式2x-1>1的解集是 (-0,0)LU(1,+0) 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合绝对值的不等式的解法，准确计算，即可求解 【详解1由不等式2x-小>1，可得2x-1<-1或2x-1>1,解得x<0或x>1, (-0,0)U(L,+∞) 所以不等式的解集为 (-00,0)U(1,+o) 故答案为： 2.已知集 P=0.Q=am.若PcQ,则实数a取值随同是 【答案】 （-∞，-1) 【解析】 【分析】解出分式不等式即可得集合P,结合集合间关系即可得解 [(x+)(x-2)≤0 x+1≤0，即x-2+0 【详解】由x-2 ,解得-1≤x<2' 即P={-1≤x<2,Pc0,a<-1 第1页/共26页 6学科网命组卷网 放答案为：（0，) 3.若平面向量i=(3,0,162,ā-6=6，则向量0,6的夹角为一 3 π-arccos 【答案】 5 【解析】 【分析】根据数量积的定义可得夹角的余弦值，即可利用反三角函数的性质求解. 【话1a5,16-2,a.6a61owa.=6caa=-号. 由子a,6e0,,故位，6)=-acos 3 π-arccos 故答案为： 5 4.在x+2少的辰开式中《其中”是正整数)，各项的系数和为729，则（项的系数为 【答案】60 【解析】 【分析】根据题态，令X=1,得到3”=72”，求得”=6，结合二项辰开式，即可求解心项的系数 【详解】因为二项式任+2)”的展开式中，各项的系数和为729， 令ts1 ,可 3”=729，解得1=6. 则二项式(x+2) 的展开式中，t项的系数为C×2=60 故答案为：60 5.已知函数y=f四是奇函数，当x>0时，f(田=e+3x-2,当r<0时，f冈= 第2页/共26页 6学科网 命组卷网 【答案】 -e+3x+2 【解析】 【分析】利用奇函数的性质直接求解即可 【详解】设x<0,则-x>0, 因为少=f,) 是奇函数， 所以()=-f(x) 则f()=-f-x)=-(e*-3x-2)=-e+3x+2 故答案为：-e+3x+2 6.己知2=2+i(1是虚数单位)是实系数一元二次方程女-4r+m=0的一个根，则 Im(m.Z)= 【答案】-5 【解析】 【分析】根据题意，得到方程的另一个根为2-i,利用韦达定理，求得m=5,再由m·z=10-5i,即 可得到答案 【详解】由2=2+是实系教一元二次方程”-4r+m=0的 0的一个根， 可得方程的另一个根为2-i,则m=(2+(2-)=5 所以m(mz)=m[5(2-i]=m(10-5i)=-5 故答案为：-5 第3页/共26页 6学科网 命组卷网 3 【答案】4拼0.75 【解析】 【分析】先求出公差，再根据等比数列前n项和公式即可得解. 、1 d= 【详解】由4=a+2d=4,a=3,得9 2, d11 所以423， 3 21-, 3 故答案为： 8.己知“，B,1是不同的平面，1，叫，是不同的直线，下列合题中： 4)若a1B,nB=l,mL1.则mLB, (2)若aB.mEa ncp ·则mhn 3)若1a,n7=m,m,则LB且上7， 且 4若LB,71B.any=,则LB 所有真命题的序号是 【答案】(3)(4) 【解析】 第4页/共26页 学科网命组卷网 【分析】根据直线、平面间的位置关系判断(1)(2)，由面面垂直的性质定理与判定定理判断(3) (4). 【详解】(1)缺少条件直线m需要属于平面，(1)错误： (2)两直线还可以是异面，故(2)错误： 3)m,1La→mla,Bn?=m今mcB.mcy,所以aLP且&L7.)正：确 ④设anB=a,7nB=b,P,过P在平面“内作直线”La,在平面'内作直线m1 0,由面面 n⊥B,m⊥B 垂直的性质定理知 ,又过一点与一个平面垂直的直线有且只有一条，所以m,”重合，而 ax∩y= ,则m 11B 重合，所以 ,(4)正确. 故答案为：(3)(4) n b Q 24 2 tan 2a = 9.已知P(m,6是第二象限角x终边上的一个点，且 7,将OP绕原点O顺时针旋转4至 OP ,则点的坐标为 【答案】 （2,72) 【解析】 【分析】根据题意正切函数的二倍角公式可得 ana=-3 4,利用三角函数定义以及两角差的正弦、余弦 公式计算可得结果， P(x,y) 【详解】设 第5页/共26页 命学科网可组卷网 24 2tana tan 2a=- 4 tana= 71-tan2a可得 3(舍)或 ana=-3 , 6 tana = 由正切函数定义可得 m,解得m=-8； 3 sina= ∴.OP=10, -5,cosa=-4 5, y=10sna-=10sosa7 4 即点P的坐标为(-V2,7V2)】 故答案为： （2,72) 10.如图，沿东西方向相距4海里的两个小岛A,B,岛上安装了信号接收塔，舰艇P沿着某种确定的圆锥 P 曲线轨迹航行，A,B是曲线的焦点，当P在小岛B正北方向处时，测得距小岛B3海里当舰艇航行至小 岛B西偏南60°的B处时，测得距小岛15海里在以线段4B中点为圆心，1海里为半径的圆形海域内布 满暗礁（不包含边界），舰艇P在航行的过程中，会放下巡逻船O,巡逻船在以PB为直径的圆域内全面 巡逻，舰长认为不会有触礁的风险，理由是 P B P2 【答案】无论P在何处，以PB为直径的圆均与布满暗礁的圆外切 【解析】 第6页/共26页 命学科网命组卷网 【分析】根据题意，以AB所在的轴为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，即可得到舰艇 航行的轨迹方程是双曲线，然后求得以PB为直径的圆的半径与 oc 即可判断. 【详解】 以AB所在的轴为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系， 则4-2,0)，B2,0),由题意知M=5.BR=3,A-BP=2 h=F+15-2x4x15xos6-1Bl=2,Mg-1B明-2. 3 则可知舰艇航行的轨迹方程是双曲线，且a=l,C=2→b=V5 则方程为x2一3=1(x≥1) ,暗礁区域的圆心为O(0,0),半径为1， C+2 o 设P(x,),以PB为直径的圆域内全面巡逻，设圆心为C,则圆心(2’2 半径为r= -2+2-2+3(-42-4+12,-2-,则 2 2 2 x+4x+4+3(x6-1) 4+4+1_2+1=r+1. 4 4 2 则无论P在何处，以PB为直径的圆均与布满暗礁的圆外切： 2 11.已知正数a,b,c满足c<1,a+b=4,则ab'bc(1-c)的最小值为 第7页/共26页 6学科网6组卷网 【答案】2 【解析】 【分析】使用不等式将(1-©)放缩，使用“1”的代换及基本不等式求得日标最小值 【#1g0-d小（号-行当当e方9y。 +网品分g瑞六+品a》-8e 2 1 ,时取等号， 综上，当a=,b=3,c)时，bbc0e的险小值为 故答案为：2 2.4 【点睛】关键点点睛：本题求最小值关键是第一步用放缩法将c放掉，第二步是将αbb中的2代换为 1 a+b,将整式处理为2ab,再用“1”的代换求最小值， 12已知数列{a,}是有无穷项的等差数列，4≥0，公差d>0,若满足条件：①38是数列a,}的项，② 对任意的正整数m,n(m≠n ,都存在正整数k,使得Oa,=a.则满足这样的数列的个数是种 【答案】69 【解析】 【分析】设x是数列a,}中的任意一项，则x+d,x+2山均是数列a,}中的项，由已知0.a,=a,设 4=xx+0,a=x(x+2d,则a,-a,=d=(k-k）小d因为d≠0，所以x=k-k∈Z,即数 第8页/共26页 命学科网命组卷网 列{a}的每一项均是整数，所以数列a,}的每一项均是自然数，且d是正整数由题意，设a,=38，则 an=38+d是数列{a,}中的项，所以38-(38+0是数列a,}中的项设0。=38-(38+d,则 a.-4=38-(38+0-38=38×37+38d=(0m-k)d,mm-k-38)-d=38×37 因为m-k-38∈Z,d∈N,放4是38x37的的数，进而分类讨论求解即可 【详解】设x是数列a,}中的任意一项，则x+d,x+2d均是数列a,}中的项，由已知0a,=a,设 a,=x+d0,a。=x+2d,则由等差数列定义得，-a=d=(k-)d 因为d≠0，所以x=k-k∈乙，即数列{a,}的每一顶均是整数，所以数列a,}的每一项均是自然数， 且d是正整数， 由题意，设4：=38，则a1=38+d是数列a,}中的项，所以38-(38+是数列{a,}中的项 设4.=38-(68+d.则4-4=38-(68+d0-38=38×37+38=(m-)-d,即 (m-k-38)d=38×37 因为m-k-38∈Z,deN,故4是38×37的约数所以d=2,19,37,2×19,2×37,19x37,38×37 当4=1时，4=38-（k-1020,符k=l,238,39,故4=38,37210，类39种可能： 当d=2时，4=38-2-020.得k=218,19,20.放4=38,36,34.4,20，共20种可 能： 当d=19时，4=38-19x-)≥0，符k=12,3,故4=38,19,0，共3种可能 当d=37时，4=38-37k-0≥0，得=2，救4=38,1 ,共2种可能： 第9页/共26页 命学科网命组卷网 当d=38时，4=38-38×依-020，得k=12,故4-38,0 共2种可能： 当d=2×37时，4=38-2x37xk-1)20.得k=1,故4=38 共1种可能： 当d=19×37时，4=38-19×37×k-0≥0，得k=1,故4=38 共1种可能： 当d=38×37时.4=38-38×37×k-)≥0，得k=1,故4=38，共1种可能 综上，满足题意的数列a,}共有39+20+3+2+2+1+1+1=69（种) 经检验，这些数列均符合题意 故答案为：69 【点睛】首先根据等差数列概念和己知条件列得出{口，}的每一项均是自然数，且d是正整数，再利用同样 思路，由38是数列a,}的项得出d是38×37的约数，进而分类讨论得解 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分） 每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑， x 13.函数 f(x)=sin+cos 3 3的最小正周期是() 2π 3死 A.6π B.3π C.3 D.2 【答案】A 【解析】 【分析】化f()=V2sin+） (34,由正弦型函数的周期性即可求解. 【详解】由题意，彳 第10页/共26页 6学科网6组卷网 2T=6 1 所以f()的最小正周期3 故选：A (0,+o) 14.下列函数中在区间 上单调递减的是() A.y=COSx B.y=2州 C.y=x2 D.y=x2-1 【答案】C 【解析】 【分析】结合常见函数的图象和性质进行判断. 【详解】对于A,因为y=c0sr是周期函数，在0，+切)上不单调，放A错误 对于B,y=2在(0，+切)上是y=2,单调递增，故B错误： 对于D,y=x2- 是二次函数，图象是开口向上的抛物线，对称轴为'轴， 所以它在(0，+0)上为增函数，赦D错误， 对于C,只有y2-月 这个函数在(0，+0)上单调递减，故C正确， 故选：C 15.在正方体4BCD-ABCD中，AB=3,点E是线段AB上靠近点A的=等分点，在三角形4BD 内有一动点Pc包括边界)，则P4+P四的最小值是() A.2 B.2V2 C 3 D.3V5 【答案】C 【解析】 【分析】以D为坐标原点建立空间直角坐标系，设4关于平面4B 的对称点为1(，，利用点到面 第11页/共26页 6学科网命组卷网 的距离的向量求法和Aim可构造方程组求得（坐标，利用lP4+P阳=PA训+PE2AE可求得结果 【详解】以D为坐标原点，D1,DC,DD为，少2轴，可建立如图所示的空间直角坐标系， D C B 则4(30,3).B(3,3,0）D(0,0,0).A(3,0,0)E3,10) ∴.DB=(3,3,0）.DA=(3,0,3).A4=(0,0,3) 设A关于平面4BD的对称点为1) 则AA=(3-x-y,3-2,Af=(x-3,y,z) 设平面ABD的法向量n=(ab,c), DB.n=3a+3b=0 则DA=3a+3c=0,令a=1解得：b=-1'c=1'n=(,-l,-) 4-瓜-5_上++ :A与到平面4BD的距离《 3 又AM/m.x-3=-y=-2 x=1,y=2,z=2.A'(l2,2） PA+PE=|PA+PE2AE=V4+1+4=3(当且仅当A,P,E三点共线时取等号)， 第12页/供26页 命学科网命组卷网 即lPA+PE的最小值为3 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中距离之和的最值问题的求解，解题关键是能够求得A关于平面 的对称点A',从而利用三角形两边之和大于第三边的特点确定当三点共线时取得最小值 16已知点P,卫分别是抛物线C:少=4r和圆B:r+y-10x+21=0上的动点，若抛物线C的焦点为 F,则2P四+№F的最小值为() A.6 B.2+2V5 c 43 D.4+2V5 【答案】C 【解析】 【分行1根思2,2Pg+Qr能%2g+O前形气，号求定在M,使利70r-Q 恒成立， 2PO+OF转化为2P2+OMD,当且仅当M,P,0在一条直线上时，2刘Pg+2MD取得 最小值，即可求解。 【详解】由抛物线C:少=4红，可得焦点坐标为F0,0), 又陆圆+广-10x+21=0.可化为-驴+y-4 可得圆心坐标为 半径P=2 E(5,0) 及定台Mu.满起2Q-Q叫R立nQ,W c-+-2-少+收， 其中（伍，一5+片=4，代入两边平方可得： 第13页供26页 命学科网命组卷网 (4-0x,=16-1,解得1=4，M(4,0) 所以定点M满足2 F=IOM 恒成立， 可得2Pg+OF=2(Pg+M 如图所示，当且仅当 M,,在一条直线上时， 此时PO+QM取得最小值lPML, 即2Pe+QF=2Pg+lMD≥2lPM 设P(x月，满足广=4x 所以2PO+QF≥2PM=2Vx-42+y2 2Pg+QF≥2Vx-4)2+4x=2V(x-2)2+12≥212=4V3, 当x=2时，等号成立， 故选：C 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是将所求转化为三点共线时，线段的长的问题，结合抛物线方程即可 求解 三、解答题（本大题满分8分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤 第14页/供26页 6学科网命组卷网 17.已知等差数列a}的公差d>0,前n项和为S,且4，a,=-5,,=-16 (山)求数列a,}的通项公式： an,n=2k-1 (2)若6 (2.-2 (eN) 求数列{b,}的前2n项和T2n 【答案】(1)a,=2n-11 (2)2m2-1ln+41-4 3 【解析】 【分析】()依愿意得到关于4、d的方程组，解得4、d,即可求出通项公式： a4-2-keN, 利用分组求和法计算可得. 【小问1详解】 因为4a=-5S=-16 (a+2d)(a+5d=-5 所以 3%+8x8-1d=-16解得8=9或a=5 8a+2 d=2d=-2 a1=-9 因为d>0:所以d=2,则an=a+(n-l)d=2n-11: 【小问2详解】 =-1--'keN）。 2,n=2k2",n=2k 所以2。-[-9-5-1+3+7++(4n-13]+(22+2+2°++22） 第15页/供26页 命学科网命组卷网 m[-9+(4n-13]2-2） 2 1-22 =2m2-11m+401-4 3 18对于函数f(四)，若其定义域内存在实数x满足)=-f(),则称（为准奇函数 1)已知函数f(y)=-3 x+1,试问f（x)是否为“准奇函数”？说明理由： (②)若8（四=3产+m为定义在一1川上的准奇函数”，试求实数m的取值范围 【答案】(1)不是“准奇函数”；理由如下： 要想（四为准奇函数，存在x满足(）=-f() -x-3x-3 只需-x+1x+1有解，整理得：x2+3=0无解， :∴f(x)不是准奇函数： m[3 【解析】 -x-3__x-3 【分析】(1)-x+1x+1无解，故f(x)不是“准奇函数”： (2)参变分离， 埃元化为2加=-（+x[习有欲，求起对约通黄= t的单调性，求 出其值域，从而得到实数m的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 第16页/供26页 命学科网命组卷网 g()=3”+m为定义在-川的准奇函数， 3+m=-3-m在【-l川上有解，2m=-(（3+3）在-H川上有解， 4=6 2m=-（+》4居的上有 上单调递减， 在亿，3引上调通，日3时、y=3:城 3 1=2.=+该2 m[92m[3 &实女的胶色司[多-小 19.如图，在圆锥PO中，AC为圆锥底面的直径，B为底面圆周上一点，点D在线段BC上， AC=2AB=6 CD=2DB D A B (1)证明：AD⊥平面BOP: 第17页/供26页 学科网命组卷网 (2)若圆锥PO的侧面积为18π，求二面角O-BP-A的余弦值 【答案】(1) :P01平面 BC,BALBC,故以为坐标原点，BA为产销正方向，BC为'轴正方向。 与OF 同向的方向为2轴正方向建立空间直角坐标系 pm-aaa04a29信9小i0.-千3i 333 22x :AD.B0=-3× 5x35-=0,-那=-3x+3×35-0 2 2 2 AD⊥BO,AD⊥BPBP∩BO=B,BP,BOc 故 面BOP,ADL平面BOP 平 (2) --..D 5 5 【解析】 AD⊥BO,AD⊥BP 【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用向量法证明 然后利用线面垂直的判定定 理证明即可； (2)根据圆锥PO的侧面积求得PA及OP,求出平面ABP的法向量，利用向量法求得二面角 O-BP-A 的余弦值. 【小问1详解】 第18页/供26页 6学科网命组卷网 略 【小问2详解】 ~圆锥P0的侧面积S=3π×PA=18m,∴PA=6,∴0P=x=V62-32=3√3 由1)可知，AD=(-3,V3,0)为平面BOP的法向量， 度酒ap有方后-a小ma-a0即-怎g m.BA=3a=0 故 m-BP=3a+356+3N5c=0令得 2 2 c=-1m=(0,2,-1) osm,AD=m.AD -3×0+V3×2+0×(-1) 2V3V5 则 AD -32+(3+02×02+22+(-1 23x55 5 所以二面角O-BP-A的余弦值为5 20.已知函 f(x)=2+a 2,其中a为实常数 (1)若0=7 解关于的方程田=5 f(x) (2)讨论函数 的奇偶性： (3)当a=l时，用定义证明函数f四在[0，+o)上是严格增函数，并解不等式(2x)>f(x+) 【答案】(1)x=1或x=l0g23」 (2当a=-1时，f田为奇函数： 当a=l时，f 为偶函数， 第19页/供26页 6学科网6组卷网 当a≠1时f(x) 时， 为非奇非偶函数： 3)当a=1时，f四=2+2，任取4，与∈0o）,设名<x. ))=2+0-2”-2*-2+ 「292 -2-2+02-2-2022】 又2*-25>0,1≤25<22，所以129.25>0 1 故(x)(x)>0,即f(x)>f() 函数f四在0，切 上是严格增函数， 不学式f2小小+解案为(UL+回 【解析】 【分折】(1由f0)=7 可得Q与6，再借助指数运算解方程即可得， (2)分该函数为奇函数、偶函数与非奇非偶函数讨论并计算即可得： (3)借助严格增函数的定义即可证明，结合函数的单调性与奇偶性计算即可得不等式的解 【小问1详解】 由题意f(0)=1+a=7, ∴a=6,f()=2*+6 2, 62+会-5m5-52r6=-2Ig-3-0. 可得2*=2或2=3 第20页/共26页 6学科网命组卷网 x=1或r=lbg,3: 【小问2详解】 函数定义域R, ①当 为奇函数时，有f八)=-f) 2+是=+. 0+2+-0.a- ②当)为偶西数时， f(-x)=f(x) 2+2+ 0-a2r-0 ∴.a=1 ③当a*t1 ，函数 为非奇非偶函数： 综上所述，当a=-l 时， f(0为奇函数： 当4≈1 f(x) 时， 为偶函数， 当a≠士时， f(四为非奇非偶函数： 【小问3详解】 当a=1时，f=2+ 2,任取七，为∈[0，+∞)，设<x, ))=2+0-2-2-2"+ 22 第21页/供26页 命学科网命组卷网 -2-2+0--022】 又25-25>0,1≤25<24，所以1202>0 故(x)-f()>0,即f)>f()】 函数f在0，+o 上是严格增函数， 由(2)知，当a=1时，f)为偶函数， 则由f(2x)>f(x+),可得2>+ 即(2x2>(x+,即(3x+1(x-)>0 21.中国古典园林洞门、洞窗具有增添园林意境，丰富园林文化内涵的作用，门、窗装饰图案成为园林建 筑中具有文化价值以及文化内涵的装饰如图1所示的一种椭圆洞窗，由椭园C和圆C组成，F,F是 椭圆的两个焦点，园C以线段F5为直径， R 图1 图2 图3 (1)设计如图所示的洞窗，椭圆的离心率应满足怎样的范围？ (2)经测量椭圆的长轴为4分米，焦距为2分米. 第22页/供26页 命学科网组卷网 F FA ()从'射出的任意一束光线 照在左侧距椭圆中心4分米的竖直墙壁上，如图2所示建模小组的同 ∠AF,B 学用长绳拉出椭圆洞窗的切线AB,B为切点，然后用量角器探究猜测 是定值，请帮他们证明上述猜 想. ()建模小组的同学想设计一个如图3的四边形装饰，满足：点P是C上的一个动点，P,Q关于原点 对称，过P和2分别作圆的切线，交于凡，3，求四边形装饰 ROS 面积°的取值范围. 【答案】 (2)(i)证明：由测量数据可得2a=4,2c=2, 敲G4+片，F0,墙壁所在直线 一十 易知直线 FA 斜率存在，设M:y=(x+D）,可得44，-3) 3x2+4y2=12 设切线AB:y+3k=m(x+4:联立1y+3k=m(x+4): 则(3+4m2)）x2+8m(4m-3k)x+44m-3k)2-12=0 相切可得△=64m(4m-3-16(3+4mr)儿(4m-3y-3]=0, 则4m2(4m-3k2-(3+4m2)(4m-3k)2+3(3+4m2）=0, 则(4m-3k)2=3+4m2>0 物夜=4mC4m—34C4m—3- 4m 3+4m2 (4m-3k)2 4m-3k, 第23页/共26页 命学科网命组卷网 4m2(3k-4m)+(4m-3k)3+4m2）12am2-16m3+12m+16m2-9k-12kam2 YR= 3+4m2 3+4m2 _12m-9k_3(4m-3k)。3 3+4m2 (4m-3k)24m-3k, 4m 3 3m. 3k 3 4m-3k'4m-3k, FA=(-3,-3k),FB.EA=0, 故EB1FA,则 ∠AEB=T 2 【解析】 【分析】(1)根据 >C,即可根据椭圆中a6C 的关系以及离心率公式求解， (2)《i)联立直线与椭圆方程，根据判别式为0可得4m-3=3+4m>0,进而可得 4m 3 4m-3k'4m-3k, 利用向量的坐标运算，即可求证： PROS (ⅱ)根据法向量可得切线方程，进而根据点到直线的距离公式可得 是平行四边形，结合全等和切 PROS 线长性质可得 是菱形，即可根据三角形相似，结合函数的单调性求解即可， 【小问1详解】 由题意可知椭圆满足 b>c>0→>c→d-c2>c2→ad>2x2→e2<) 第24页/供26页 6学科网命组卷网 故e 0,2 【小问2详解】 (i)略 (i设动点P(,%）,则(，-），不妨设过P(x,)点的两条切线法向量为”=(4，)， 过(-，-%）点的两条切线法向量为%=(a,b）,均为非零向量， 故切线方程为4(x-)+6(y-%)=0和4(x+x)+b(y+%)=0 a+h-1a。+b,Wl-1 则满足 va+b2 和 VG+b好 PROS H,G 由此可知两组切线分别对应平行，四边形 是平行四边形，过圆心做一组邻边的垂线，垂足为 P,2 R,S OR=OS,OG⊥PR,OH⊥QS 由于 关于原点对称，故也关于原点对称，又 放△ROG=SOH,.数PR=PG+RG=PK+KS=PS PROS 故 故平行四边形 是菱形 R G PROS 下面研究菱形 的面积： 过O作PR的垂线GH,则GH=2,由()可知 POR= 2,故△POR~△PGO, 胶OP=北则有：你PR-P,解#R= v7,则S=2 Vd-1, 其4=+%=3+草 的取值范围是[3,4， 第25页/共26页 6学科网命组卷网 2t 2 S=- 设 t-111 d2=1 √+在[3,4上是单调函数， 故的取值范围是 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法，若题目的条件能明显体现几 何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决：(2)代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系， PROS 则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，如本题需先将四边形 的面积用表示出来，然后再 利用函数的单调性求解最值， 第26页/共26页