第13章 专题(十五) 证明线段相等的基本思路（作业课件）-【黄冈金牌之路·练闯考】2023-2024学年八年级数学上册(华东师大版)

数学 八年级上册 华师版 练闯考 专题(十五)　证明线段相等的基本思路 思路一　利用全等三角形的性质证明线段相等 1．如图，AB＝AC，CA平分∠BCD，点E在BC上，且∠BAC＝∠EAD＝90°. 求证：CD＝BE. 证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∵CA平分∠BCD，∴∠ACD＝∠ACB，∴∠B＝∠ACD.∵∠BAC＝∠EAD＝90°，∴∠BAE＝∠CAD，∴△BAE≌△CAD(ASA)，∴BE＝CD 2．如图，△ABC和△ADE是等边三角形．求证：BD＝CE. 证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴BD＝CE 思路二　利用等腰(边)三角形的性质与判定证明线段相等 4．(河南模拟)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，在AB上取点D，使得AD＝CD，若CD∥BE.求证：AB＝BE. 证明：∵AD＝CD，∴∠A＝∠DCA. ∵CD∥BE，∴∠DCA＝∠E，∴∠A＝∠E，∴AB＝BE 5．如图，在△ABC中，∠CBA＝90°，点D是AB延长线上的一点，点E在BC上，连结DE并延长交AC于点F，EF＝FC，求证：AF＝DF. 证明：∵EF＝FC，∴∠FEC＝∠C.∵∠BED＝∠FEC，∴∠C＝∠BED.∵∠CBA＝∠CBD＝90°，∴∠D＋∠BED＝∠D＋∠C＝90°.∵∠A＋∠C＝90°，∴∠A＝∠D，∴AF＝DF 6．如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，AB＝DB，BE平分∠ABC，交AC边于点E，连结DE.若∠A＝100°，∠C＝50°，求证：ED＝DC. 证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠DBE. ∵AB＝DB，BE＝BE，∴△ABE≌△DBE(SAS)，∴∠BDE＝∠A＝100°.∵∠C＝50°，∴∠DEC＝∠BDE－∠C＝100°－50°＝50°，∴∠DEC＝∠C，∴ED＝DC 思路三　利用线段垂直平分线证明线段相等 7．如图，在四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F是CD的中点，且AE⊥BC，AF⊥CD.求证：AB＝AD. 证明：连结AC.∵点E是BC的中点，AE⊥BC，∴AB＝AC.∵点F是CD的中点，AF⊥CD，∴AD＝AC，∴AB＝AD 8．如图，点D，E分别是AB，AC的中点，CD⊥AB，垂足为点D，BE⊥AC，垂足为点E.求证：AC＝AB. 证明：连结BC.∵点D，E分别是AB，AC的中点，CD⊥AB，BE⊥AC，∴BE垂直平分AC，CD垂直平分AB，∴AB＝BC，AC＝BC，∴AC＝AB 9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°.AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点M；AC的垂直平分线交AC于点F，交BC于点N，连结AM，AN.求证：BM＝CN. 证明：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°.∵直线ME垂直平分AB，∴BM＝AM，∴∠B＝∠MAB＝30°.∵直线NF垂直平分AC，∴AN＝CN，∴∠C＝∠NAC＝30°，∴∠MAN＝120°－∠MAB－∠NAC＝120°－30°－30°＝60°，∠NMA＝2∠B＝60°，∠MNA＝2∠C＝60°，∴△AMN为等边三角形，即AM＝AN＝MN，∴BM＝CN 思路四　利用角平分线的性质证明线段相等 10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB于点E，AD＝AC，AF平分∠CAB交CE于点F，DF的延长线交AC于点G，求证：FG＝FE. 证明：∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠DAF. ∵AC＝AD，AF＝AF，∴△ACF≌△ADF(SAS)， ∴∠ACF＝∠ADF.∵CE⊥AB，∴∠ACE＋∠CAE＝90°，∴∠ADF＋∠CAE＝90°，∴DG⊥AC.∵FE⊥AB，又∵AF平分∠CAB，∴FG＝FE 11．如图，在△ABC中，BD是边AC的高，BE为∠CBD的平分线，且AD＝DE，AO为△ABC的中线，延长AO到点F.使得BF∥AC.连结EF交BC于点G，AF交BE于点H. (1)求证：BF＝CD＋DE； (2)若∠C＝45°.求证：BD＝BG. 证明：(1)∵BF∥AC，∴∠BFO＝∠CAO，∠FBO＝∠ACO.∵AO为△ABC的中线，∴BO＝CO，∴△BOF≌△COA(AAS)，∴BF＝CA＝CD＋AD.∵AD＝DE，∴BF＝CD＋DE (2)由题意得BD垂直平分AE，∴BA＝BE，∠BAC＝∠BEA.∵BF∥AC，∴∠BEA＝∠EBF＝∠BAC.∵AC＝BF，∴△BAC≌△EBF(SAS)，∴∠BFE＝∠C＝∠FBC＝45°，∴∠BGE＝90°，∵BE平分∠CBD，∴EG＝ED，易证△BEG≌△BED(H.L.)，∴BG＝BD 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，E，D，F分别在AB，BC和AC边上，且BE＝CD，BD＝CF，过点D作DG⊥EF于点G.求证：EG＝ eq \f(1,2) EF. 证明：连结DE，DF，如图所示，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，又∵BE＝CD，BD＝CF，∴△EBD≌△DCF(SAS)，∴DE＝DF.∵DG⊥EF，∴DG是等腰△DEF的中线，∴EG＝ eq \f(1,2) EF $$