第13章 专题(十四) 类比拓展——热点题型（作业课件）-【黄冈金牌之路·练闯考】2023-2024学年八年级数学上册(华东师大版)

专题(十四)　类比拓展——热点题型 数学 八年级上册 华师版 练闯考 1．数学课上，李老师出示了如下的题目： “在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC，如图①，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”． 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： (1)特殊情况，探索结论 当点E为AB的中点时，如图①，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE___________DB(填“>”“<”或“＝”). ＝ (2)特例启发，解答题目 当点E为线段AB上任一点时(不含A，B)，AE与DB的大小关系是：AE____________DB(填“>”“<”或“＝”).理由如下：如图②，过点E作EF∥BC，交AC于点F.(请你完成以下解答过程) ＝ (3)拓展结论，设计新题 在等边三角形ABC中，点E在线段AB的延长线上，点D在直线BC上，且ED＝EC.若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长(请你直接写出结果). BM＋NC＝MN 解：(2)过E作EF∥BC交AC于F.∵三角形ABC是等边三角形，易证△AEF是等边三角形，∴AE＝EF＝AF.∵∠ABC＝∠ACB，∴∠D＋∠BED＝∠FCE＋∠ECD. ∵DE＝EC，∴∠D＝∠ECD，∴∠BED＝∠ECF, 易证△DEB≌△ECF，∴BD＝EF＝AE，即AE＝BD (3)理由是：如图，过A作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，则AM∥EN.∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝1.∵AM⊥BC，∴BM＝CM＝ eq \f(1,2) BC＝ eq \f(1,2) .∵DE＝CE，EN⊥BC，∴CD＝2CN.∵AB＝1，AE＝2，∴AB＝BE＝1，易证△AMB≌△ENB(AAS)，∴BN＝BM＝ eq \f(1,2) ，∴CN＝1＋ eq \f(1,2) ＝ eq \f(3,2) ，∴CD＝2CN＝3 2．在等边△ABC的两边AB，AC所在直线上分别有两点M，N，D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC.探究：当M，N分别在直线AB，AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系． (1)如图①，当点M，N在边AB，AC上，且DM＝DN时，BM，NC，MN之间的数量关系是_____________________，此时 eq \f(Q,L) ＝_____________； eq \f(2,3) (2)如图②，点M，N在边AB，AC上，且当DM≠DN时，猜想(1)中的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由； (3)如图③，当M，N分别在边AB，CA的延长线上时，探索BM，NC，MN之间的数量关系如何？并给出证明． 解：(1)如图①，BM，NC，MN之间的数量关系BM＋NC＝MN，此时 eq \f(Q,L) ＝ eq \f(2,3) ，理由：∵DM＝DN，∠MDN＝60°，∴△MDN是等边三角形．∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°.∵BD＝CD，∠BDC＝120°，∴∠DBC＝∠DCB＝30°，∴∠MBD＝∠NCD＝90°.∵DM＝DN，BD＝CD，∴Rt△BDM≌Rt△CDN(HL).延长AB到点N′，使BN′＝CN，易证△DCN≌△DBN′(SAS)，∴DN′＝DN，易证△MDN′≌△MDN(SAS)，∴MN＝MN′＝BM＋BN′＝BM＋NC，∴ eq \f(Q,L) ＝ eq \f(AM＋AN＋BM＋NC,AB＋BC＋CA) ＝ eq \f(AB＋AC,AB＋BC＋CA) ＝ eq \f(2,3) (2)猜想：结论仍然成立，证明：在NC的延长线上截取CM1＝BM，连结DM1. ∵∠MBD＝∠M1CD＝90°，BD＝CD，∴△DBM≌△DCM1(SAS)，∴DM＝DM1，M1C＝BM.∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，∴∠M1DN＝∠MDN＝60°，∴△MDN ≌ △M1DN(SAS)，∴MN＝M1N＝M1C＋NC＝BM＋NC，∴△AMN的周长为：AM＋MN＋AN＝AM＋BM＋CN＋AN＝AB＋AC，∴ eq \f(Q,L) ＝ eq \f(2,3) (3)NC－BM＝MN.证明：在CN上截取CM1＝BM，连结DM1，可证△DBM ≌ △DCM1，∴DM＝DM1，可证∠M1DN＝∠MDN＝60°，∴△MDN≌△M1DN，∴MN＝M1N，∴NC－BM＝MN $$