第13章 专题(十) 证明三角形全等的基本思路归纳（作业课件）-【黄冈金牌之路·练闯考】2023-2024学年八年级数学上册(华东师大版)

专题(十)　证明三角形全等的基本思路归纳 数学 八年级上册 华师版 练闯考 8．如图，已知AD，AF分别是钝角三角形ABC和钝角三角形ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE.求证：BC＝BE. 类型一　已知两边对应相等 【方法指导】在已知待证的两个三角形有两组边对应相等时，此时有两种思路：①SS＋SSSS；②SS＋ASAS(此角必须是已知两组边的夹角). 1．如图，点A，D，C，B在同一条直线上，AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF.求证：AE∥FB. 证明：∵AD＝BC，∴AC＝BD.在△ACE和△BDF中，AC＝BD，AE＝BF，CE＝DF，∴△ACE≌△BDF(SSS)，∴∠A＝∠B，∴AE∥BF 2．如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE，C，D，E三点在同一直线上，连结BD. (1)求证：△BAD≌△CAE； (2)图中与∠BAC相等的角除∠DAE外还有一个角，请找出来并说明理由． 解：(1)证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD，即∠BAD＝∠CAE.在△BAD和△CAE中，AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE(SAS) (2)∠BDC与∠BAC相等，理由如下： 由(1)知，△BAD≌△CAE，∴∠ABD＝∠ACE.∵∠BOC＝∠BAC＋∠ABD＝∠BDC＋∠ACE，∴∠BDC＝∠BAC 类型二　已知两角对应相等 【方法指导】在已知待证的两个三角形有两组角对应相等时，此时只有一种思路：AA＋SASA或AAS. 3．如图，点D在△ABC的边BC上，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F.求证：AE＝DF. 证明：∵DE∥AC，DF∥AB，∴∠FAD＝∠EDA，∠DAE＝∠ADF.在△AED与△DFA中，∠DAE＝∠ADF，AD＝DA，∠EDA＝∠FAD，∴△AED≌△DFA(ASA)，∴AE＝DF 4．(两次全等型)如图，在△ABC和△DCB中，AC与BD交于点E，且∠BAC＝∠CDB，∠ACB＝∠DBC，分别延长BA与CD交于点F.求证：BF＝CF. 证明：在△ABC和△DCB中， ∠BAC＝∠CDB，∠ACB＝∠DBC，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB(AAS)，∴AC＝DB.∵∠BAC＝∠CDB，∴∠FAC＝∠FDB.在△FAC和△FDB中，∠F＝∠F，∠FAC＝∠FDB，AC＝DB，∴△FAC≌△FDB(AAS)，∴BF＝CF 思路三　已知一边一角对应相等 【方法指导】在已知待证的两个三角形有一组边及一组角对应相等时，此时要看这一边一角的位置关系．(1)若这一边一角相邻，则有两种思路：①SA＋SSAS；②SA＋AASA或AAS；(2)若这一边一角相对，则有唯一思路：③SA＋AAAS. 5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E，F在对角线AC上，且AF＝CE，∠ABF＝∠CDE.若BF，DE分别平分∠CBA和∠ADC.求证：△ABF≌△CDE. 证明：∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA.∵BF，DE分别平分∠CBA和∠ADC，∠ABF＝∠CDE，∴∠ABC＝∠ADC.∵∠BAC＝180°－∠ABC－∠BCA，∠DCA＝180°－∠ADC－∠DAC，∴∠BAC＝∠DCA.∵AF＝CE，∠ABF＝∠CDE，∴△ABF ≌ △CDE(AAS) 6．如图，点D在AB上，点E在AC上，BE，CD交于点F，连结AF，AB＝AC，∠B＝∠C. (1)求证：△BDF≌△CEF； (2)求证：AF平分∠BAC. 证明：(1)在△ABE和△ACD中，∠B＝∠C，AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，∴△ABE≌△ACD(ASA)，∴AD＝AE，∴AB－AD＝AC－AE，即BD＝CE.在△BDF和△CEF中，∠B＝∠C，∠DFB＝∠EFC，BD＝CE，∴△BDF≌△CEF(AAS) (2)∵△BDF≌△CEF，∴BF＝CF.在△ABF和△ACF中，AB＝AC，∠B＝∠C，BF＝CF，∴△ABF≌△ACF(SAS)，∴∠BAF＝∠CAF，∴AF平分∠BAC 类型四　待证的两个三角形为直角三角形 【方法指导】当待证的两个三角形为直角三角形时，此时已有一组直角相等了，同时此类题中必然有一组边相等．若这组边是直角边，则任意找到一组边对应相等(SAS或HL)或一组锐角对应相等(AAS或ASA)即可证全等；若这组边是斜边，则任意找到一组边对应相等(HL)或一组锐角对应相等(AAS)即可证全等． 7．如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BC＝BD，CE⊥BD，垂足为E.求证：△ABD≌△ECB. 证明：∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠EBC. ∵CE⊥BD，∠A＝90°，∴∠A＝∠CEB.在△ABD和△ECB中，∠A＝∠CEB，∠ADB＝∠EBC，BD＝CB，∴△ABD≌△ECB(AAS) 证明：∵AD，AF分别是钝三角形ABC和钝角三角形ABE的高，∴∠ADB＝∠AFB＝90°.∵AD＝AF，AB＝AB，∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)，∴DB＝FB.∵AC＝AE，AD＝AF，∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)，∴DC＝FE，∴DB－DC＝FB－FE，即BC＝BE $$