第四章 专题(八) 一次函数的综合应用(选做)（作业课件）-【黄冈金牌之路·练闯考】2023-2024学年八年级数学上册(北师大版)

数学 八年级上册 北师版 练闯考 专题(八)　一次函数的综合应用(选做) 3．如图，在平面直角坐标系中，直线l交x轴于点A(－1，0)，交y轴于点B(0，3). (1)求直线l对应的函数表达式； (2)将直线l沿x轴正方向平移t个单位得到直线m，若直线m上存在点C，使得△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，求t的值． 类型一　一次函数与等腰三角形的综合 【方法指导】已知平面直角坐标系中的两点A，B ，寻找一点P，使△ABP是等腰三角形的一般步骤如下：(1)设出点P的坐标；(2)根据两点间的距离公式表示出 AB2 ，AP2 ，BP2；(3)分三种情况讨论： ① AB＝AP⇔AB2＝AP2; ②BA＝BP⇔BA2＝BP2；③PA＝PB⇔PA2＝PB2. 1．如图，直线y＝kx＋b经过点A(0，9)，并与直线y＝ eq \f(5,3) x交于点B，与x轴交于点C，其中点B的横坐标为3. (1)求点B的坐标和k，b的值； (2)若Q为直线y＝kx＋b上的一动点，当△OBQ的面积为 eq \f(27,4) ，求点Q的坐标； (3)在y轴上是否存在一点P，使△ABP是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)当x＝3时，y＝ eq \f(5,3) x＝5，所以点B(3，5).将点A(0，9)，B(3，5)的坐标分别代入y＝kx＋b，得9＝b，5＝3k＋b，解得k＝－ eq \f(4,3) ，b＝9 (2)设点Q(m，－ eq \f(4,3) m＋9)，则S△OBQ＝ eq \f(1,2) OA·|xQ－xB|＝ eq \f(1,2) ·9|m－3|＝ eq \f(27,4) ，解得m＝ eq \f(3,2) 或 eq \f(9,2) ，所以点Q的坐标为( eq \f(3,2) ，7)或( eq \f(9,2) ，3) (3)存在，理由如下，假设存在点P，设其坐标为(0，m)，因为点A(0，9)，点B(3，5)，所以AB2＝(0－3)2＋(9－5)2＝25，AP2＝(m－9)2，BP2＝9＋(m－5)2.分如下3种情况讨论：①当AB＝AP时，25＝(m－9)2，解得m＝14或4；②当AB＝BP时，25＝9＋(m－5)2，解得m＝9(舍去)或1；③当AP＝BP时，(m－9)2＝9＋(m－5)2，解得m＝ eq \f(47,8) .综上所述，存在点P(0，4)或(0，14)或(0，1)或(0， eq \f(47,8) )，使△ABP是等腰三角形 类型二　 一次函数与直角三角形的综合 【方法指导】已知平面直角坐标系中的两点A，B，寻找一点P，使△ABP是直角三角形的一般步骤如下：(1)设出点P的坐标；(2)根据两点间的距离公式表示出 AB2 ，AP2 ，BP2；(3)分三种情况讨论： ① ∠PAB＝90°⇔BP2＝AB2＋AP2; ② ∠PBA ＝90° ⇔AP2＝AB2＋BP2；③∠APB＝90°⇔AB2＝AP2＋BP2. 2．如图，直线y＝kx＋4与x轴、y轴分别交于点B，A，直线y＝－2x＋1与y轴交于点C，与直线y＝kx＋4交于点D，且S△ACD＝ eq \f(3,2) . (1)求直线AB的函数表达式； (2)设点E在直线AB上，当△ACE是直角三角形时，求点E的坐标． 解：(1)当x＝0时，y＝kx＋4＝4，y＝－2x＋1＝1，所以点A(0，4)，点C(0，1)，所以AC＝4－1＝3，所以S△ACD＝ eq \f(1,2) AC·(－xD)＝－ eq \f(3,2) xD＝ eq \f(3,2) ，所以xD＝－1，所以yD＝－2xD＋1＝3，所以点D(－1，3).将点D(－1，3)代入y＝kx＋4，得－k＋4＝3，解得k＝1，所以直线AB的函数表达式为y＝x＋4 (2)设点E(m，m＋4)，因为点A(0，4)，点C(0，1)，所以AE2＝(m－0)2＋(m＋4－4)2＝2m2，CE2＝(m－0)2＋(m＋4－1)2＝m2＋(m＋3)2.分如下两种情况讨论：①当∠ACE＝90°时，AC2＋CE2＝AE2，即32＋m2＋(m＋3)2＝2m2，解得m＝－3，所以此时点E(－3，1)；②当∠AEC＝90°时，AE2＋CE2＝AC2，即2m2＋m2＋(m＋3)2＝32，解得m＝0(舍去)或－ eq \f(3,2) ，所以此时点E(－ eq \f(3,2) ， eq \f(5,2) ).综上所述，当△ACE是直角三角形时，点E的坐标为(－3，1)或(－ eq \f(3,2) ， eq \f(5,2) ) 解：(1)设直线l的函数表达式为y＝kx＋b，分别代入A(－1，0)，B(0，3)两点，得0＝－k＋b，3＝b，解得k＝3，b＝3，所以直线l对应的函数表达式为y＝3x＋3 (2)过点C作CG⊥x轴于点G，过点B作BH⊥CG交GC的延长线于点H，则∠BHC＝∠CGA＝90°，所以∠HBC＋∠BCH＝90°.又因为△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，所以∠BCA＝90°，BC＝AC，所以∠BCH＋∠GCA＝90°，所以∠HBC＝∠GCA，所以△BCH≌△CAG(AAS)，所以BH＝CG，HC＝AG.设OG＝x，则CG＝BH＝OG＝x，HC＝AG＝OA＋OG＝1＋x，所以CG＝HG－HC＝OB－HC＝3－(1＋x)＝2－x，所以2－x＝x，解得x＝1，所以点C(1，1).易得直线m的函数表达式为y＝3(x－t)＋3，代入C点的坐标，得3(1－t)＋3＝1，解得t＝ eq \f(5,3) 4．如图，直线l1：y＝kx＋b与直线l2：y＝x交于点A(2，a)，与y轴交于点B(0，6)，与x轴交于点C. (1)求直线l1的函数表达式； (2)在平面直角坐标系中有一点P(5，m)，使得S△AOP＝S△AOC，请求出点P的坐标； (3)点M为直线l1上的一动点，过点M作y轴的平行线， 交直线l2于点N，点Q为y轴上的一动点，且△MNQ为等腰 直角三角形，请直接写出满足条件的点M的坐标． 解：(1)因为点A(2，a)在直线l2：y＝x上，所以a＝2，所以点A(2，2).因为直线l1：y＝kx＋b过点A(2，2)，B(0，6)，所以2＝2k＋b，6＝b，所以k＝－2，b＝6，所以直线l1的函数表达式为y＝－2x＋6 (2)因为S△AOP＝S△AOC，所以当以AO为底边时两三角形等高，所以过点P且与直线l2平行的直线y＝x－5＋m过点C(3，0)或过点C(3，0)关于点A(2，2)的对称点(1，4)，所以0＝3－5＋m或4＝1－5＋m，所以m＝2或m＝8，所以点P的坐标为(5，2)或(5，8) (3)设点M(t，－2t＋6)，则点N(t，t)，所以MN＝|－2t＋6－t|＝|3t－6|，①如图①，若∠MQN＝90°，MQ＝NQ，则有MN＝2|xM|＝2|t|，所以|3t－6|＝2|t|，所以t＝ eq \f(6,5) 或t＝6，所以此时点M( eq \f(6,5) ， eq \f(18,5) )或(6，－6)；②如图②和图③，若∠QMN＝90°或∠QNM＝90°，则有MN＝|xM|＝|t|，所以|3t－6|＝|t|，所以t＝ eq \f(3,2) 或t＝3，所以此时点M( eq \f(3,2) ，3)或(3，0).综上所述，点M的坐标为( eq \f(6,5) ， eq \f(18,5) )或(6，－6)或( eq \f(3,2) ，3)或(3，0) $$