第一章 回顾与思考(一) 勾股定理（作业课件）-【黄冈金牌之路·练闯考】2023-2024学年八年级数学上册(北师大版)

回顾与思考(一)　勾股定理 数学 八年级上册 北师版 练闯考 C 86 7或25 C 北偏东50° B 10 3.75 知识点1：勾股定理及其验证 1．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，若AB＝5，BD＝4，CD＝2，则AC2的值为( ) A．9 B．12 C．13 D．15 2．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S1＋S4＝135，S3＝49，则S2＝________. 3．(分类讨论思想)在△ABC中，AB＝AC＝20，BC＝32，D是边BC上的一点，且AD＝15，则BD的长为____________． 4. 如图是硬纸板做成的四个两直角边长分别为a，b，斜边长为c的全等直角三角形和一个边长为c的正方形，请将它们拼成一个能验证勾股定理的图形． (1)请画出拼成的这个图形的示意图； (2)利用(1)中画出的图形验证勾股定理． 解：答案不唯一，合理即可，如： 如图所示 (2)由图形可知小正方形的面积可以表示为(a＋b)2－4· eq \f(1,2) ab＝a2＋b2＋2ab－2ab＝a2＋b2，也可以表示为c2，所以a2＋b2＝c2 知识点2：直角三角形的判定 5．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是( ) A．a＝6，b＝8，c＝10 B．(a－b)(a＋b)＝c2 C．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 D．a∶b∶c＝5∶12∶13 6．(玉林中考)如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙两轮船同时离开港口P，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1 h后两船分别位于点A，B处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西40°方向航行，则乙船沿________________方向航行． 7．如图①是某品牌的婴儿车，图②为其简化结构的示意图．根据安全标准需满足BC⊥CD，现测得AB＝CD＝6 dm，BC＝3 dm，AD＝9 dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接(即∠ABD＝90°)，通过计算说明该车是否符合安全标准． 解：在Rt△ABD中，BD2＝AD2－AB2＝92－62＝45；在△BCD中，BC2＋CD2＝32＋62＝45，所以BC2＋CD2＝BD2，所以∠BCD＝90°，所以BC⊥CD，所以该车符合安全标准 知识点3：勾股定理的应用 8．如图，已知钓鱼竿AC的长为10 m，露在水面上的鱼线BC的长为6 m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，他把鱼竿AC转动到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′的长为8 m，则BB′的长为( ) A．1 m B．2 m C．3 m D．4 m 9．如图，在大长方体盒子上有一个小长方体盒子，其中AB＝9，BC＝3，CE＝6，CG＝1，CF＝4，M为AB上靠近A的三等分点．一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，则它爬行的最短路程为________． 10．(教材P18复习题T11变式)如图，一架长2.5 m的梯子斜靠在一竖直的墙上，它的顶端A距水平地面2 m. (1)这架梯子的底端B离墙有多远？ (2)设梯子顶端到水平地面的距离为p，底端到垂直墙面的距离为q，若 eq \f(p,q) ＝a，根据经验可知：当2.7＜a＜5.6时梯子最稳定，使用时最安全．若梯子的底端B向墙脚内移0.8 m到D点，请问这时使用是否安全？ 解：(1)在Rt△AOB中，根据勾股定理，得OB2＝AB2－OA2＝2.52－22＝2.25，所以OB＝1.5 m，所以这架梯子的底端B离墙1.5 m (2)安全，理由如下：由题意，得BD＝0.8 m，所以OD＝OB－BD＝1.5－0.8＝0.7(m).在Rt△COD中，根据勾股定理，得OC2＝CD2－OD2＝2.52－0.72＝5.76，所以OC＝2.4 m，所以a＝ eq \f(p,q) ＝ eq \f(2.4,0.7) ＝ eq \f(24,7) ≈3.43，所以2.7＜a＜5.6，所以这时使用安全 11．【数学文化】印度数学家什迦逻(1141年－1225年)曾提出过如下的“荷花问题”： 平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲． 出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边． 离开原处二尺远，花贴湖面像睡莲． 能算诸君请解题，湖水如何知深浅？ 其大意是：在平静的湖面上有一朵荷花高出水面半尺，忽然一阵强风吹来把荷花垂直吹到水里，荷花恰好落在水面，且在水平方向上离开原来的位置2尺远，则湖水的深度为__________尺． 12．【新定义问题】定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的“勾股分割点”． (1)已知点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若AM＝2.5，MN＝6.5，BN＝6，则点M，N是线段AB的“勾股分割点”吗？请说明理由； (2)【分类讨论思想】已知点M，N是线段AB的“勾股分割点”，且AM为直角边，若AB＝30，AM＝5，求BN的长． 解：(1)点M，N是线段AB的“勾股分割点”，理由如下：因为AM2＋BN2＝2.52＋62＝42.25，MN2＝6.52＝42.25，所以AM2＋BN2＝MN2，所以以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，所以点M，N是线段AB的“勾股分割点” (2)设BN＝x，则MN＝AB－AM－BN＝30－5－x＝25－x.①当MN为斜边时，MN2＝AM2＋BN2，即(25－x)2＝52＋x2，解得x＝12；②当BN为斜边时，BN2＝AM2＋MN2，即x2＝52＋(25－x)2，解得x＝13.综上所述，BN的长为12或13 $$