第一章 3 勾股定理的应用（作业课件）-【黄冈金牌之路·练闯考】2023-2024学年八年级数学上册(北师大版)

3　勾股定理的应用 数学 八年级上册 北师版 练闯考 B 10 C 17 7 150 B 2.6 (10－x) x2＋32＝(10－x)2 4.55 4.55 4.55 14－x AB2－BD2 AC2－CD2 152－x2＝132－(14－x)2 9 9 9 1.4 24 D 2.5 9 知识点1：立体图形中两点之间的最短距离 1．如图，圆柱的底面周长是24，高是5，一只在A点的蚂蚁想吃到B点的食物，则它需要爬行的最短路程是( ) A．9 B．13 C．14 D．25 2．小南同学报名参加了学校的攀岩选修课，攀岩墙近似一个长方体的两个侧面(如图)，则小南从点A攀爬到点B的最短路径的长为________m. 3．如图所示的是一个二级台阶，每一级台阶的长、宽、高分别为60 cm，30 cm，10 cm，A和B是该台阶上两个相对的端点．若现在A点处的一只蚂蚁想到B点去觅食，则它爬行的最短路程是多少？ 解：因为二级台阶上方的平面展开图为如图所示的长为2×(30＋10)＝80(cm)，宽为60 cm的长方形，所以蚂蚁从A点沿台阶面爬行到B点的最短路程是此长方形的对角线AB的长，因为AB2＝802＋602＝10 000，所以AB＝100 cm，所以它爬行的最短路程是100 cm 知识点2：勾股定理在生活中的应用 4．如图，从电线杆离地面12 m的A处向地面拉一条长为13 m的钢缆，则地面上的钢缆固定点B到电线杆底部C的距离为( ) A．3 m B．4 m C．5 m D．6 m 5．如图，要登上15 m高的建筑物，为了安全，需使梯子底端离建筑物8 m，则梯子的长度至少应为________m. 6．如图所示的衣架可以近似地看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC＝25 cm，底边BC的长48 cm，则衣架的高AD＝______cm. 7．如图是一个外轮廓为长方形的机器零件的平面示意图，根据图中标出的尺寸(单位：mm)，则两圆孔中心A和B之间的距离为________mm. 8．如图，有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个宽4尺的长方形门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线，求竹竿的长及门的高． 解：设门的高为x尺，则竹竿的长为(x＋1)尺．根据勾股定理，得x2＋42＝(x＋1)2，解得x＝7.5，所以x＋1＝8.5，所以竹竿的长为8.5尺，门的高为7.5尺 9．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处，发现此时绳子末端距离地面2 m，则旗杆的高度(滑轮上方的部分忽略不计)为( ) A．15 m B．17 m C．18 m D．20 m 10．如图，在一个长为2 m，宽为1 m的长方形草地ABCD上放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地的宽AD，木块从正面看是一个边长为0.4 m的等边三角形，则一只蚂蚁从点A处到点C处需要走的最短路程是________m. 11．【数学文化】《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃(读kǔn，门槛的意思)一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图①，②(图②为图①的平面示意图)，推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺(1尺＝10寸)，求门的宽AB. 解：根据题意可得OA＝OB＝AD＝BC，DE＝10寸，OE＝ eq \f(1,2) CD＝1寸，设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，则AB＝OA＋OB＝2r寸，AE＝OA－OE＝(r－1)寸．在Rt△ADE中，因为AE2＋DE2＝AD2，所以(r－1)2＋102＝r2，解得r＝50.5，所以2r＝101，所以门的宽AB为101寸 12．为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图所示的直线l上建一座图书室E，并使它到本社区两所学校A和B的距离相等．已知两所学校A，B到直线l的距离AC，BD分别3 km，2 km，C，D两点间的距离为5 km. (1)请在图中作出点E(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)； (2)请求出图书室E到点C的距离． 解：(1)如图所示的点E即为所求作 (2)设CE＝x km，则DE＝(5－x)km.因为AE＝BE，所以AC2＋CE2＝BD2＋DE2，所以32＋x2＝22＋(5－x)2，解得x＝2，所以图书室E到点C的距离为2 km 13．如图，有一辆环卫车沿笔直的公路l由点A向点B行驶，一学校C与A，B两点之间的距离分别为150 m和200 m，且AB＝250 m，环卫车周围130 m以内为受噪声影响区域． (1)学校C会受噪声影响吗？为什么？ (2)若环卫车的行驶速度为50 m/min，则学校C受到环卫车的噪声影响的时间有多长？ 解：(1)学校C会受噪声影响，理由如下：如图，过点C作CD⊥AB于点D，因为AC＝150 m，BC＝200 m，AB＝250 m，所以AC2＋BC2＝AB2，所以△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，所以SRt△ABC＝ eq \f(1,2) AC·BC＝ eq \f(1,2) AB·CD，所以CD＝ eq \f(AC·BC,AB) ＝ eq \f(150×200,250) ＝120(m)＜130(m)，所以学校C会受噪声影响 (2)在AB上取点E，F，使CE＝CF＝130 m，则DE＝DF，DE2＝CE2－CD2＝1302－1202＝2 500，所以DF＝DE＝50 m，所以EF＝DE＋DF＝100 m，所以学校C受到环卫车的噪声影响的时间为100÷50＝2(min) 类型一　单勾股列方程 【例1】(巴中中考改)《九章算术》中有一“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折高者几何？其意思为：如图，现有一根竹子高一丈，在A处折断后竹梢恰好落在地面上的B处，B处到竹根部C的距离为3尺，则竹子折断处离地面的高度AC＝________尺(注：1丈＝10尺)． 【思路点拨】设AC＝x尺，则AB＝__________尺．在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC2＋BC2＝AB2，于是可得方程______________________，解得x＝________，所以竹子折断处离地面的高度AC＝________尺． 【变式】(西宁中考)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于D，E两点，则CD的长为___________． eq \f(25,8) 类型二　双勾股列方程——共高的双直角三角形问题 【例2】如图，在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC＝14，AD⊥BC于点D，则BD＝______． 【思路点拨】设BD＝x，则CD＝__________．在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD2＝____________；在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD2＝____________，于是可得方程___________________________，解得x＝______，所以BD＝______． 【变式1】如图，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC＝8，AD是BC边上的高，则BD的长为________． 【变式2】如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝4，AC＝13，则△ABC的面积为______． 【启思】在△ABC中，AD是BC边上的高，则有AD2＝AB2－BD2＝AC2－CD2. 【方法指导】在利用勾股定理解决问题的过程中，常常会遇到在非直角三角形中求解问题的情况，这时通常可通过作垂线、补形等方法构造直角三角形来转化问题． 1．如图，小明将一张长为20 cm，宽为15 cm的长方形纸片(AE＞DE)剪去了一角，量得AB＝3 cm，CD＝4 cm，则BC的长为( ) A．5 cm　　 　B．12 cm　　　 C．16 cm　 　D．20 cm 如图，AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，若AC＝0.5，BD＝1，CD＝2，则AB＝________． 如图是某设计师打造的一款项目的示意图，其中垂直于地面的AB段和BC段均由不锈钢管材打造，两段的总长度为26 m，长方形CDEF是一木质平台的侧面示意图，测得CD＝1 m，AD＝15 m，则AB段的长度为________m. $$