第15章 轴对称图形与等腰三角形 综合评价-【黄冈金牌之路·练闯考】2023-2024学年八年级数学上册单元测试(沪科版)

第15章综合评价 (时间：120分钟　　满分：150分) 　　　　　　　 　　　　 　　 　　　　 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的。 1．甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是( A ) 　　　　　　　　　 2．在平面直角坐标系中，点A(1，－3)关于x轴对称的点在( A ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．如图，△ABC与△AED关于直线l对称，若∠B＝30°，∠C＝95°，则∠DAE＝( C ) A．30° B．95° C．55° D．65° 　　　　 4．一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地，则A，C两地相距( B ) A．30海里 B．40海里 C．50海里 D．60海里 5．如图，l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB＝BC，∠C＝25°，∠1＝60°.则∠2的度数是( A ) A．70° B．65° C．60° D．55° 6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，BC＝6.下列结论正确的是( C ) A．AB＝6，∠B＝60° B．AB＝3，∠B＝30° C．AB＝12，∠B＝60° D．AB＝3，∠B＝90° 7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中不正确的是( D ) A.AD是∠BAC的平分线 B．∠ADC＝60° C．点D在AB的中垂线上 D．S△DAC∶S△ABD＝1∶3 8．如图，点B，C，E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是( D ) A．△ACE≌△BCD B．△BGC≌△AFC C．△DCG≌△ECF D．△ADB≌△CEA 　　 9．如图，等边三角形ABC的三内角的平分线交于点O，E，F分别在BC，AC上，且∠EOF＝120°，则四边形OECF的面积S0和△ABC的面积S之间的关系是( B ) A．S0＝S B．S0＝S C．S0＝S D．无法确定 10．如图，∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝…，依次作下去，最多可作出和AB相等的线段(不包括AB)的条数是( C ) A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分) 11．等腰△ABC中，AB＝AC，若∠A＝70°，则∠B＝__55°__． 12．一只电子跳蚤从点A(1，－2)开始，先以x轴为对称轴跳至点B，紧接着又以y轴为对称轴跳至点C，则点C坐标为__(－1，2)__． 13．如图，BO与CO是∠ABC与∠ACB的平分线，它们交于点O，且OE＝BE，OF＝CF，∠A＝80°，那么∠EOF＝__80°__． 　　 14．如图，三角形纸片ABC，D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F.若DG＝GE，AF＝3，BF＝2，△ADG的面积为2. (1)S△ADE＝__4__； (2)DF的长为__1__． 三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 15．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，求∠B′的度数及AB，A′C′，BC的长度． 解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称， ∴△ABC与△A′B′C′全等， ∴∠B＝∠B′＝135°，AB＝A′B′＝20 cm，AC＝A′C′＝30 cm，BC＝B′C′＝15 cm 16．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知△ABC的顶点均为网格线的交点． (1)将△ABC先向下平移7个单位长度，再向左平移6个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1； (2)画出△A1B1C1关于直线l成轴对称的△A2B2C2. 　 解：(1)如图，△A1B1C1为所作 (2)如图，△A2B2C2为所作 四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC延长线上一点，E是AB上一点，且在BD的垂直平分线EG上，DE交AC于点F，求证：点E在AF的垂直平分线上． 证明：∵EG是BD的垂直平分线，∴BE＝DE，∴∠B＝∠EDB.∵∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°，∠BDE＋∠CFD＝90°，∴∠BAC＝∠CFD.∵∠CFD＝∠AFE，∴∠BAC＝∠AFE，∴AE＝EF，∴点E在AF的垂直平分线上 18．如图，直线a∥b，△ABC是等边三角形，点A在直线a上，边BC在直线b上，把△ABC沿BC方向平移BC的一半得到△A′B′C′(如图①)；继续以上的平移得到图②，再继续以上的平移得到图③，…； (1)请问在第10个图形中等边三角形的个数是____； (2)请你推导第n个图形中等边三角形的个数． 解：(1)40 (2)如图①，记AC，A′B′的交点为O，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∵A′B′∥AB，BB′＝B′C＝BC，∴B′O＝AB，CO＝AC，∴△B′OC是等边三角形，同理阴影的三角形都是等边三角形．又观察图可得，第1个图形中大等边三角形有2个，小等边三角形有2个，第2个图形中大等边三角形有4个，小等边三角形有4个，第3个图形中大等边三角形有6个，小等边三角形有6个，…依次可得第n个图形中大等边三角形有2n个，小等边三角形有2n个．∴第n个图形中等边三角形共有2n＋2n＝4n个 五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分) 19．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D，BC的垂直平分线EF交BC于点E，交BD于点F，若BF＝6，求AC的长． 解：连接CF，∵AB＝BC，BD平分∠ABC，∴AD＝DC，BD⊥AC，∠DBC＝∠ABC＝15°.又∵BC的垂直平分线EF交BD于点F，∴CF＝BF＝6，∴∠FCB＝∠DBC＝15°，∴∠DFC＝∠FCB＋∠DBC＝30°，∴在Rt△CDF中，CD＝CF＝3，∴AC＝2CD＝6 20．如图，A，B两点分别在射线OM，ON上，点C在∠MON的内部，且AC＝BC，CD⊥OM，CE⊥ON，垂足分别为D，E，且AD＝BE. (1)求证：OC平分∠MON； (2)若AD＝3，BO＝4，求AO的长． 解：(1)证明：∵CD⊥OM，CE⊥ON，∴∠ADC＝∠CEB＝90°.在Rt△ADC和Rt△BEC中，∴Rt△ADC≌Rt△BEC(HL)，∴CD＝CE.∵CD⊥OM，CE⊥ON，∴OC平分∠MON (2)∵Rt△ADC≌Rt△BEC，AD＝3，∴BE＝AD＝3.∵BO＝4，∴OE＝OB＋BE＝4＋3＝7.∵CD⊥OM，CE⊥ON，∴∠CDO＝∠CEO＝90°.在Rt△DOC和Rt△EOC中，∴Rt△DOC≌Rt△EOC(HL)，∴OD＝OE＝7.∵AD＝3，∴OA＝OD＋AD＝7＋3＝10 六、(本题满分12分) 21．如图①，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上． (1)求证：BE＝CE； (2)如图②，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC＝45°，原题设其它条件不变．求证：AE＝BC. 解：(1)证明：∵AB＝AC，点D是BC的中点，∴AD垂直平分BC，∴BE＝CE (2)证明：∵BF⊥AC，∠BAC＝45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AF＝BF.∵AB＝AC，点D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠EAF＋∠C＝90°.∵BF⊥AC，∴∠CBF＋∠C＝90°，∴∠EAF＝∠CBF.在△AEF和△BCF中，∴△AEF≌△BCF(ASA)，∴AE＝BC 七、(本题满分12分) 22．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC. (1)若AC＝BC，∠B∶∠C＝2∶1，直接写出图中的所有等腰三角形； (2)若AB＋BD＝AC，求∠B∶∠C的比值． 解：(1)等腰三角形有3个：△ABC，△ABD，△ADC (2)如图，在AC上截取AE＝AB，连接DE.又∠BAD＝∠DAE，AD＝AD，∴△ABD≌△AED.∴∠AED＝∠B，BD＝DE.∵AB＋BD＝AC，∴AE＋DE＝AC，∴DE＝EC.∴∠EDC＝∠C.∴∠B＝∠AED＝∠EDC＋∠C＝2∠C，即∠B∶∠C＝2∶1 八、(本题满分14分) 23．在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点(不与B，C重合)，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE. (1)如图①，若△ABC是等边三角形，且AB＝AC＝2，点D在线段BC上． ①求证：∠BCE＋∠BAC＝180°； ②当四边形ADCE的周长取最小值时，求BD的长； (2)若∠BAC≠60°，当点D在射线BC上移动，如图②，则∠BCE和∠BAC之间有怎样的数量关系？并说明理由． 解：(1)①证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE.又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE，∴∠ACE＝∠ABD＝60°.∴∠BCE＋∠BAC＝180° ②解：∵△ABD≌△ACE，∴BD＝CE，四边形ADCE的周长＝AD＋DC＋CE＋AE＝AD＋DC＋BD＋AD＝BC＋2AD，∴当AD最短时，四边形ADCE的周长最小，即AD⊥BC时，周长最小．∵AB＝AC，∴BD＝CB＝1 (2)∠BCE＋∠BAC＝180°， 理由如下：如图②，记AD，CE的交点为F，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE.又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE.∴∠ADB＝∠AEC.∵∠AFE＝∠CFD，∴∠EAF＝∠ECD.∵∠BAC＝∠FAE，∠BCE＋∠ECD＝180°，∴∠BCE＋∠BAC＝180° 学科网（北京）股份有限公司 $$