第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 综合评价-【黄冈金牌之路·练闯考】2023-2024学年八年级数学上册单元测试(沪科版)

第13章综合评价 (时间：120分钟　　满分：150分) 　　　　　　　 　　　　 　　 　　　　 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的。 1．在△CAB中，∠C＝80°，∠A＝35°，则∠B＝( C ) A．35° B．55° C．65° D．145° 2．下列各数中，可以用来证明命题“任何偶数都是8的整数倍”是假命题的反例是( D ) A．17 B．16 C．8 D．4 3．若在钝角三角形ABC中，∠A＝27°，则下列不可能是∠B的度数的是( C ) A．37° B．57° C．77° D．97° 4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝x，BC＝6，则腰长x的取值范围是( B ) A．0＜x＜3 B．x＞3 C．3＜x＜6 D．x＞6 　　 5．如图，下列说法中，正确的是( D ) A．图(1)，由AB，BC，DE三条线段组成的图形是三角形 B．图(2)已知∠BAD＝∠CAD，则射线AD是△ABC的角平分线 C．图(3)已知点D是BC边上的中点，则射线AD是△ABC的中线 D．图(4)已知△ABC中，AD⊥BC于点D，则线段AD是△ABC的高 6．将一副直角三角板如图所示放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边在一条直线上(有重合)，则∠1的度数为( C ) A．45° B．60° C．75° D．85° 7．如图，下列推理中，错误的是( B ) A．因为∠ADE＝∠C，所以AD∥BC B．因为∠3＝∠2，所以AD∥BC C．因为∠ADE＝∠A，所以AB∥DC D．因为∠1＝∠4，所以AD∥BC 8．三角形的一个外角等于与它相邻的内角的4倍，等于它不相邻的一个内角的2倍，则三角形各角的度数为( D ) A．45°，45°，91° B．30°，60°，90° C．25°，25°，130° D．36°，72°，72° 9．如图，在△AEC中，点D和点F分别是AC和AE上的两点，连接DF，并延长交CE的延长线于点B，若∠A＝25°，∠B＝45°，∠C＝36°，则∠DFE＝( D ) A．103° B．104° C．105° D．106° 　　 10．△ABC的三边长分别为a，b，c，且a＋2ab＝c＋2bc，则这个三角形是( B ) A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分) 11．命题“两个正数的和是正数”的逆命题是__如果两个数的和是正数，那么这两个数都是正数__，这个逆命题是__假__命题(填“真”或“假”). 12．在△ABC中，AB＝15，BC＝9，BD是AC边上的中线，若△ABD的周长为30，则△BCD的周长是__24__． 13．如图，在△ABC中，∠A＝90°，点D在AC边上，DE∥BC，若∠1＝155°，则∠B的度数为__65°__． 14．如图，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB的平分线的交点． (1)若∠A＝30°，则∠BOC的度数为 __105°__； (2)若E，D分别是OB，OC延长线上的点，∠CBE和∠BCD的平分线交于点P，∠A＝α，则∠P的度数为__45°－α__．(用含α的代数式表示) 三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 15．在下列三角形中，分别画出AB边上的高． 解：如图所示：CM为△ABC的边AB 上的高． 16．将下面命题改写成“如果……那么……”的形式． (1)钝角大于它的补角； (2)互为邻补角的两个角的和是180°； (3)相等的两个角是对顶角． 解：(1)如果一个角是钝角，那么这个角大于它的补角 (2)如果两个角互为邻补角，那么这两个角的和为180° (3)如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 17．如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，求∠ACB的度数． 解：∠ACB＝85° 18．如图，有三个论断：①∠1＝∠2；②∠B＝∠D；③∠A＝∠C.请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性． 解：条件：②∠B＝∠D，③∠A＝∠C.结论：①∠1＝∠2.证明：∵∠A＝∠C，∴AB∥CD.∴∠B＝∠BFC.∵∠B＝∠D，∴∠BFC＝∠D.∴DE∥BF.∴∠DMN＝∠2.∵∠1＝∠DMN，∴∠1＝∠2.(答案不唯一) 五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分) 19．如图，AD是∠CAB的平分线，DE∥AB，DF∥AC，EF交AD于点O.请问：DO是∠EDF的平分线吗？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由． 解：DO是∠EDF的平分线．证明：∵AD是∠CAB的平分线，∴∠EAD＝∠FAD.∵DE∥AB，DF∥AC，∴∠EDA＝∠FAD，∠FDA＝∠EAD.∴∠EDA＝∠FDA.∴DO是∠EDF的平分线 20．在数学学习中整体思想与转化思想是我们常用到的数学思想．如图①中，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数等于多少时，我们可以连接CD，利用三角形的内角和则有∠B＋∠E＝∠ECD＋∠BDC，这样∠A，∠B，∠C，∠D，∠E的和就转化到同一个△ACD中，即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°. 尝试练习： (1)求图②中∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数； (2)直接写出图③中∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝______； (3)直接写出图④中∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝______． 解：(1)如图②，连接CE，则有∠A＋∠B＝∠AEC＋∠BCE，∴∠A＋∠B＋∠DCB＋∠D＋∠DEA＝180° (2)180° (3)360° 六、(本题满分12分) 21．如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，G是AD上一点，BG，CG分别平分∠ABC，∠ACB，GH⊥BC，垂足为H，求证： (1)∠BGC＝90°＋ ∠BAC； (2)∠1＝∠2. 证明：(1)由三角形内角和定理可知：∠ABC＋∠ACB＝180°－∠BAC，∵BG，CG分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠GBC＋∠GCB＝(∠ABC＋∠ACB)＝(180°－∠BAC)＝90°－∠BAC.∴∠BGC＝180°－(∠GBC＋∠GCB)＝180°－(90°－∠BAC)＝90°＋∠BAC (2)∵GH⊥BC，∴∠GHC＝90°.又∵AD，BG，CG分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，∴∠2＝90°－∠GCH＝90°－∠ACB＝90°－(180°－∠BAC－∠ABC)＝∠BAC＋∠ABC＝∠BAD＋∠ABG.∵∠1＝∠BAD＋∠ABG，∴∠1＝∠2 七、(本题满分12分) 22．已知4条线段的总长度是48 cm，且第一条线段的长是a cm，第二条线段比第一条线段的2倍多3 cm，第三条线段的长等于第一、二两条线段的和． (1)用含a的代数式表示第四条线段的长； (2)当a＝时，这4条线段首尾相接能构成一个四边形吗？为什么？ (3)已知a为整数，如果这4条线段首尾相接能构成一个四边形，请你直接写出满足上述条件的所有a的值． 解：(1)∵第一条线段的长是a cm，第二条线段比第一条线段的2倍多3 cm，第三条线段的长等于第一、二两条线段的和，∴第二条线段的长为(2a＋3) cm，第三条线段的长为(3a＋3) cm，第四条线段的长为(42－6a) cm (2)当a＝时，这4条线段分别为，，11，26，∵＋＋11＜26，∴这4条线段首尾相接不能构成一个四边形 (3)满足条件的所有a的值：4，5，6 八、(本题满分14分) 23．已知在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°. (1)求证：∠ABC＋∠ADC＝180°； (2)如图①，若DE平分∠ADC，BF平分∠MBC，写出BF与DE的位置关系，并证明； (3)如图②，若BF，DE分别平分∠MBC，∠NDC，写出BF与DE的位置关系，并证明． 解：(1)证明：连接BD，图略．在△ABD和△BCD中，∠A＋∠ABD＋∠ADB＝180°，∠C＋∠CBD＋∠CDB＝180°，∴∠A＋∠C＋∠ABD＋∠CBD＋∠ADB＋∠CDB＝360°.∵∠ABD＋∠CBD＝∠ABC，∠ADB＋∠CDB＝∠ADC，∴∠A＋∠C＋∠ABC＋∠ADC＝360°.又∠A＝∠C＝90°，∴∠ABC＋∠ADC＝180° (2)DE⊥BF.证明：延长DE交BF于点G，图略．∵∠ABC＋∠MBC＝180°，由(1)知∠ABC＋∠ADC＝180°，∴∠MBC＝∠ADC.∵DE平分∠ADC，BF平分∠MBC，∴∠CBF＝∠CDE.在直角三角形CDE中，∠CDE＋∠CED＝90°，∵∠CED＝∠BEG，∴∠CBF＋∠BEG＝90°，∴∠BGE＝180°－90°＝90°，即DE⊥BF (3)DE∥BF.证明：连接BD，图略．易证∠MBC＋∠CDN＝180°，由DE，BF分别平分∠CDN和∠MBC，知∠FBC＋∠CDE＝90°.在Rt△CBD中，∠CBD＋∠CDB＝90°，∴∠FBC＋∠CBD＋∠CDB＋∠CDE＝180°，∴DE∥BF 学科网（北京）股份有限公司 $$