第一章 勾股定理 综合评价-【黄冈金牌之路·练闯考】2023-2024学年八年级数学上册单元测试(北师大版)

第一章综合评价 (时间：120分钟　　满分：120分) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、选择题(每小题3分，共30分) 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，则AB2＋AC2＋BC2的值为( B ) A．24 B．18 C．12 D．9 2．下列数据中不能作为直角三角形三边长的是( C ) A．，2， B．5，12，13 C．3，5，7 D．6，8，10 3．如图，阴影部分(长方形)的面积是( C ) A．9 cm2 B．24 cm2 C．45 cm2 D．51 cm2 　　 4．(河北中考)如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块(可重复选取)按如图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是( B ) A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，4 5．如图，甲渔船以8海里/小时的速度离开港口O向东北方向航行，与此同时乙渔船以6海里/小时的速度离开港口O向西北方向航行，则1.5小时后两渔船相距( D ) A．12海里 B．13海里 C．14海里 D．15海里 6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是边BC上的一点，且BD＝2，CD＝3，则AB2－AD2的值为( C ) A．4 B．9 C．16 D．25 　　 7．如图，淇淇在离水面高度为8 m的岸边的A处用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长AB为17 m．若淇淇收绳7 m后船到达C处，则船向岸边移动了( D ) A．6 m B．7 m C．8 m D．9 m 8．如图，这是用面积为24的四个全等的直角三角形△ABE，△BCF，△CDG和△DAH拼成的“赵爽弦图”，如果AB＝10，那么正方形EFGH的边长为( B ) A．1 B．2 C．3 D．4 　　　　 9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD平分∠BAC交BC于点D，分别以点A，C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AD于点P，则DP的长为( C ) A． B． C． D．1 10．如图，在Rt△ABC中，先以斜边AC为直角边向外作Rt△ACD(∠CAD＝90°)，再分别以AB，BC，CD，AD为直径向外作半圆，它们的面积分别记为S1，S2，S3，S4，若S1＝3，S2＝1，S3＝7，则S4的值为( B ) A．2 B．3 C．4 D．6 二、填空题(每小题3分，共24分) 11．若一个三角形的三边长a，b，c满足(a＋b)2＝c2＋2ab，则这个三角形的形状是__直角__三角形． 12．如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为__3__． 　　 13．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了__8__步路(假设2步为1 m)，却踩伤了花草． 14．如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中两个正方形的面积分别为S1＝22，S2＝14，AC＝10，则AB＝__8__． 15．如图，有一张长方形纸片ABCD，AB＝8 cm，BC＝10 cm，点E为CD上的一点，将纸片沿AE折叠，BC的对应边B′C′恰好经过点D，则线段DE的长为__5_cm__． 　　　　 16．如图，现有一楼房发生火灾，消防员决定用高3 m的消防车上的最多只能伸长到15 m的云梯救人，现在消防员在完成从12 m高处(此时云梯位于AB位置)救人后，还要从15 m高处(此时云梯位于CD位置)救人，则这时消防车要从原处再向着火楼房靠近的距离AC为__3__m. 17．如图，在△ABC中，AB＝AC＝20，BC＝32，D是BC上的一点，且AD⊥AC，则BD＝__7__． 18．如图，在直线l上依次摆放着7个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积分别为S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝__4__． 三、解答题(共66分) 19．(8分)在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c. (1)若∠C＝90°，a＝，c＝，求b的值； (2)若|a－9|＋|b－12|＋|c－15|＝0，试判断△ABC的形状． 解：(1)b2＝c2－a2＝()2－()2＝4，所以b＝2 (2)△ABC是直角三角形，理由如下：因为|a－9|＋|b－12|＋|c－15|＝0，所以a－9＝0，b－12＝0，c－15＝0，所以a＝9，b＝12，c＝15，所以a2＋b2＝92＋122＝225＝152＝c2，所以△ABC是直角三角形 20．(8分)如图，已知某山的高度AC为800 m，在山顶的A处与山下的B处各建一个索道口，且BC＝1 500 m，欢欢从山下的索道口坐缆车到山顶，已知缆车每分钟走50 m，则大约多少分钟后欢欢才能到达山顶？ 解：因为AC⊥BC，AC＝800 m ，BC＝1 500 m，所以由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝8002＋1 5002＝2 890 000，所以AB＝1 700 m，所以大约1 700÷50＝34(min)后欢欢才能到达山顶 21．(9分)一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的验证方法，如图所示，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB′C′D′的位置，连接CC′，设AB＝a，BC＝b，AC＝c，请利用此图验证勾股定理． 解： 根据题意可知∠BAC＝∠D′C′A ，所以∠D′AC′＋∠BAC＝∠D′AC′＋∠D′C′A ＝90°， 所以∠C′AC＝180° － (∠D′AC′＋∠BAC) ＝90°，所以S梯形C′D′BC ＝S Rt△AC′D′＋S Rt△AC′C＋S Rt△ABC, 所以(C′D′＋BC) ·BD′＝AD′·C′D′＋AC′·AC＋AB·BC，即(a＋b) (b＋a)＝ab＋c2＋ab，整理，得a2＋b2＝c2 22．(9分)满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数． (1)请把下列三组勾股数补充完整： ①__6__，8，10；②5，__12__，13；③8，15，__17__； (2)小敏发现，很多已经约去公因数的勾股数组中，都有一个数是偶数，如果将它写成2mn，那么另外两个数可以写成m2＋n2，m2－n2，如4＝2×2×1，5＝22＋12，3＝22－12.请你帮小敏说明这三个数2mn，m2＋n2，m2－n2是勾股数组； (3)如果21，72，75是满足上述小敏发现的规律的勾股数组，求m＋n的值． 解：(2)因为(m2－n2)2＋(2mn)2＝m4＋n4－2m2n2＋4m2n2＝m4＋n4＋2m2n2＝(m2＋n2)2，所以m2－n2，m2＋n2，2mn是勾股数组 (3)因为21，72，75约去公因数后分别为7，24，25，而24＝2×3×4，25＝42＋32，7＝42－32，所以m＝4，n＝3，所以m＋n＝7 23．(10分)在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的距离AB的长度为1尺．将它往前水平推送10尺时，即A′C＝10尺，则此时秋千的踏板离地的距离A′D就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，求绳索OA的长． 解：设绳索OA的长为x尺，则OA′＝OA＝x尺，OC＝x＋1－5＝(x－4)(尺).在Rt△OA′C中，因为A′C2＋OC2＝OA′2，所以102＋(x－4)2＝x2，解得x＝14.5，所以绳索OA的长为14.5尺 24．(10分)如图，一个牧童此时在小河南边4 km的A处牧马，而他家B正位于他的南7 km东8 km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家． (1)牧童把马牵到何处饮水才能使他完成这件事情所走的路程最短？请在图中画出马饮水的位置； (2)求出(1)中的最短路程． 解：(1)如图，作点A关于河南边的对称点A′，连接A′B交河南边于点D，则点D处即为马饮水的位置 (2)由题意知AA′＝8 km，AC＝7 km，所以A′C＝AA′＋AC＝15 km，所以A′B2＝A′C2＋BC2＝152＋82＝289，所以A′B＝17 km，所以AD＋BD＝A′D＋BD＝A′B＝17 km，所以(1)中的最短路程为17 km 25．(12分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10 cm，AC＝6 cm，动点P从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度移动，设运动的时间为t s． (1)求BC边的长； (2)当△ABP为直角三角形时，求t的值； (3)当△ABP为等腰三角形时，求t的值． 解：(1)在Rt△ABC中，BC2＝AB2－AC2＝102－62＝64，所以BC＝8 cm (2)由题意可知BP＝2t cm，CP＝|2t－8|cm，①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝8 cm，即2t＝8，解得t＝4；②当∠BAP为直角时，在Rt△ACP中，AP2＝AC2＋CP2＝62＋(2t－8)2，在Rt△BAP中，AP2＝BP2－AB2＝(2t)2－102，所以(2t)2－102＝62＋(2t－8)2，解得t＝.综上所述，当△ABP为直角三角形时，t的值为4或 (3)①当AB＝BP时，BP＝AB＝10 cm，所以2t＝10，解得t＝5；②当AB＝AP时，因为∠ACB＝90°，所以CP＝BC＝8 cm，所以BP＝BC＋CP＝16 cm，所以2t＝16，解得t＝8；③当AP＝BP时，AP＝BP＝2t cm，在Rt△ACP中，因为AP2＝AC2＋CP2，所以(2t)2＝62＋(2t－8)2，解得t＝.综上所述，当△ABP为等腰三角形时，t的值为5或8或 学科网（北京）股份有限公司 $$