精品解析：新疆维吾尔自治区石河子第一中学2025届高三上学期9月月考数学试题

2025届 高三年级9月月考 数学试卷 一、单项选择题：（本大题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6 4. 使得“函数在区间上单调递减”成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 5. 一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金（ ） 附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有，其中、分别为左、右盘中物体质量，、分别为左右横梁臂长． A. 等于 B. 小于 C. 大于 D. 不确定 6. 当时，曲线与交点的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 对于实数，不等式恒成立，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在R上的函数满足，，且当时，，则函数的零点个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于实数a，b，c，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则的最小值为2 D. 若，则 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 的图象关于直线对称 D. 在上的值域为 11. 已知函数，其中是自然对数的底数，下列说法中正确的是（ ） A. 在上是增函数 B. 的图象关于点中心对称 C. 在上有两个极值点 D. 若为的一个极小值点，且恒成立，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，求的最小值__________ 13. 当时，函数取得最小值，则________． 14. 若对任意正实数x，y，不等式恒成立，则实数a的取值范围是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求函数的最大值； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 16. 通过两角和的正、余弦公式和二倍角公式，可以推导出三倍角公式．例如：． （1）根据上述过程，推导出关于的表达式； （2）求的值； （3）求的值． 17. 函数，函数的最小正周期为. （1）求函数的单调递增区间以及对称中心； （2）将函数的图象先向右平移个单位，再向下平移个单位，得到函数的图象，在函数图象上从左到右依次取点，该点列的横坐标依次为，其中，，求. 18. 已知函数，其中． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数有两个极值点，且，求证：. 19. 设函数，其中a为常数且.新定义：若满足.但.则称为的回旋点. （1）当时，求的值并判断是否为回旋点； （2）当时，求函数的解析式，并求出回旋点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届 高三年级9月月考 数学试卷 一、单项选择题：（本大题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式可求得，再结合集合的特征即可计算得出结果. 【详解】解不等式可得， 又可得只有当时，的取值分别为在集合中， 所以. 故选：C 2. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的定义可先得，再根据诱导公式计算即可. 【详解】由正弦函数的定义可知， 再利用诱导公式知. 故选：B 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】利用换元法得到，进而利用倍角公式求得，从而得解. 【详解】令，则，又， 所以， 则，得， 则. 故选：A. 4. 使得“函数在区间上单调递减”成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性列不等式组求解的范围，再求解使其成立的一个充分不必要条件. 【详解】解：令，， 因为在定义域上单调递增， 由函数在上单调递减， 则在上单调递减且恒成立， 所以，解得， 因为， 所以使成立的一个充分不必要条件为. 故选：D 5. 一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金（ ） 附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有，其中、分别为左、右盘中物体质量，、分别为左右横梁臂长． A. 等于 B. 小于 C. 大于 D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】设天平左臂长，右臂长，且，根据已知条件求出、的表达式，利用基本不等式比较与的大小关系，即可得出结论. 【详解】设天平左臂长，右臂长，且， 设天平右盘有克黄金，天平左盘有克黄金，所以， 所以，，则． 故选：C． 6. 当时，曲线与交点的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】分别画出与在上的函数图象，根据图象判断即可. 【详解】与在上的函数图象如图所示， 由图象可知，两个函数图象交点的个数为6个. 故选：D. 7. 对于实数，不等式恒成立，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造同构函数，分析单调性，转化为恒成立，即，再求解的最小值即可. 【详解】已知，由知.故排除BD. 由得，， 构造函数，是上的增函数， 则由得，即， 令， ，由得， 当，则单调递减， 当，则单调递增， ， 则，又，则. 故选：C. 8. 已知定义在R上的函数满足，，且当时，，则函数的零点个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得出奇偶性和周期性，得出当时的解析式，画出在上的图像，再画出的图，即可得函数的零点. 【详解】由知周期为2， ，为偶函数， 当时，， 即得一个周期内的图象， 的零点个数即为与的交点个数， 结合图象可知有2个交点. 故选：. 【点睛】本题主要考查的是函数零点的个数问题，利用数形结合的办法转化为判断两个函数图像交点的个数，考查指数函数的图像，对数函数的图像，是中档题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于实数a，b，c，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则的最小值为2 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质逐一进行判断，要注意不等式性质成立的条件. 对A：考查可乘性，要判断的符号； 对B：考查可乘性，显然，故B正确； 对C：根据基本不等式成立的条件判断； 对D：由已知变换出的大小. 【详解】对A：若时，则不等式不成立，所以A错； 对B：由，则，两边同乘以，所以，故B正确； 对C：因为，所以，当且仅当即时取等号，但，故取不到最小值2．故C不正确； 对D：由，所以，所以，故D正确； 故选：BD. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 的图象关于直线对称 D. 在上的值域为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据图象求出函数的解析式，结合三角函数的性质，逐次判断各选项即可得到结论． 【详解】由函数的部分图象可知：， 又因为，即结合函数的单调性可得 ,故A错误； 即所以, 故B正确； 所以． 对于选项C：当时，可得， 所以的图象关于直线对称， 故C正确； 对于选项D： 当时，， 所以，即，故D错误； 故选：BC． 11. 已知函数，其中是自然对数的底数，下列说法中正确的是（ ） A. 在上是增函数 B. 的图象关于点中心对称 C. 在上有两个极值点 D. 若为的一个极小值点，且恒成立，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】A利用导数判断在上单调性；B令，根据函数奇偶性的定义判断的奇偶性；C在上，二次求导确定单调性，结合零点存在性定理判断零点的个数，在上，根据三角函数、指数函数的性质判断的符号，进而确定极值点个数；D令，由B、C得，进而可求的范围. 【详解】由题设，， A：在上，故在是增函数，A正确； B：， 则，即是奇函数， 图象关于点中心对称，故B正确； C：若在上有极值点，令则有， 而，此时，所以极值点在上， 令，有， ∴在上，，，即，单调递减； 又，，显然存在， 在上，且，，故， ∴，则， 即，∴不存在零点； 综上，在上只有一个极值点，故C错误； D：易知为周期函数，是其一个周期， 由C知：，使得， ∵在上，即递增， 在上即递减，即为在上的极大值，也是最大值， 又由B项的结论：使得为在上的极小值，也是最小值， 则，且，， 不妨令，则， 令，则 即， 而结合C知有，∴，故，正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：C选项，令判断极值点所在的区间为，讨论、上的单调性或函数值符号，结合零点存在性定理确定零点个数. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，求的最小值__________ 【答案】24 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由， 得 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值24. 故答案为：24 13. 当时，函数取得最小值，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，再根据正弦函数的最值求出辅助角，再利用两角差的余弦公式，即可求解. 【详解】由函数，其中，且为锐角， 当时，函数取得最小值，所以，即， 所以， 令，即， 故 . 【点睛】本题主要考查了辅助角公式，以及两角差的余弦公式公式的化简、求值问题，其中解答中熟练使用辅助角公式，求得的值，以及准确使用两角差的余弦公式运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题. 14. 若对任意正实数x，y，不等式恒成立，则实数a的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】可将已知不等式化为，设，令，转为求函数的最大值即可． 【详解】对任意正实数x，y，不等式恒成立， 即对任意正实数x，y，不等式恒成立． 设，令， ，由和在上单调递减， 所以在上单调递减， 又，当时，，时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，且为最大值， 则，即实数a的取值范围是． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求函数的最大值； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）确定函数定义域，求出导函数，利用导数正负，可得函数的单调区间，从而求出函数的最大值；（1）分离参数，将问题转化为在上恒成立，令，利用导数研究在上的最大值即可得到答案. 【小问1详解】 函数的定义域为，且， 令，解得：， 令，解得： 所以的单调增区间为，单调减区间为， 则 【小问2详解】 不等式在上恒成立，即在上恒成立， 令， 则， 令，解得：， 令，解得： 所以的单调增区间为，单调减区间为， 则， 所以， 所以不等式在上恒成立，则实数的取值范围为 16. 通过两角和的正、余弦公式和二倍角公式，可以推导出三倍角公式．例如：． （1）根据上述过程，推导出关于的表达式； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）仿照已知结合同角三角函数的平方关系，化简，可得答案； （2）利用二倍角公式以及三倍角余弦公式，即可求得答案； （3）由（1）可得，再结合诱导公式化简求值，即得答案. 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 因为，所以， 即，可得， 因为，所以，可得， 整理得， 因为，所以． 【小问3详解】 由（1）得， 所以 ． 17. 函数，函数的最小正周期为. （1）求函数的单调递增区间以及对称中心； （2）将函数的图象先向右平移个单位，再向下平移个单位，得到函数的图象，在函数图象上从左到右依次取点，该点列的横坐标依次为，其中，，求. 【答案】（1）增区间为，对称中心为为. （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角变换可得，结合周期可求，再利用整体法可求单调增区间和对称中心. （2）根据图象变换可得，根据其周期性和特殊角的三角函数值可求的值. 【小问1详解】 ， 因为的最小正周期为，故，即， 所以， 令，故， 故的增区间为. 令，则， 故图象的对称中心为. 【小问2详解】 由题设有， 则的周期为，而，故， 而， ， 故 18. 已知函数，其中． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数有两个极值点，且，求证：. 【答案】（1）切线方程: （2）当时，的单调递增区间是． 当时，的单调递增区间是和，单调递减区间是． （3） 证明：在单调递增，且， ∴，不等式右侧证毕．′ ∵有两个极值点，∴． 故， ， 令 ，， ∴在单调递增． 故， 不等式左侧证毕． 综上可知：． 【解析】 【分析】（1）当时，求出，然后得到取得坐标，求出函数的导数，求出切线的斜率，然后求解切线方程； （2）求出函数的导数，通过的讨论，判断导函数的符号，然后求解函数的单调性； （3）利用函数的极值点以及函数的单调性，转化证明即可． 【小问1详解】 当时，，， ， 曲线在点处的切线方程:， 即. 【小问2详解】 ∵函数， ， ①当，即时，， ∴的单调递增区间是． ②当时，即时，令得 ． ∴的单调递增区间是和，单调递减区间是． 【小问3详解】 略 19. 设函数，其中a为常数且.新定义：若满足.但.则称为的回旋点. （1）当时，求的值并判断是否为回旋点； （2）当时，求函数的解析式，并求出回旋点. 【答案】（1），是回旋点； （2），是的回旋点. 【解析】 【分析】（1）当时，可计算出，继而求出，并可判断是回旋点； （2）根据回旋点的定义，分别讨论判断. 【小问1详解】 当时， ， ， ， 是回旋点； 【小问2详解】 中时，值域也是， 又，， 由，得， 当时，， 同理，时，， ， 当时，， 当，由得， ，故不是的回旋点， 当时，由得， 是的回旋点. 【点睛】本题考查函数新定义问题，考查学生的计算能力，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $