精品解析：湖南省岳阳市汨罗市第一中学2025届高三上学期9月月考数学试题

2024年09月高三数学月考试题 一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题：，，则（ ） A. p：， B. p：， C. p：， D. p：， 3. 设是实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 2023年7月12日9时0分，由中国“蓝箭航天”自主研制的朱雀二号遥二运载火箭的发射任务取得圆满成功，该火箭由此成为全球首款成功入轨的液氧甲烷火箭，标志着我国运载火箭在新型低成本液体推进剂应用方面取得重大突破.在火箭研发的有关理论中，齐奥尔科夫斯基单级火箭的最大理想速度公式至关重要.其公式为，其中v为单级火箭的最大理想速度（单位:），q为发动机的喷射速度（单位:），，分别为火箭的初始质量和发动机熄火（推进剂用完）时的质量（单位:kg），称为火箭的初末质量比．要使火箭达到某个速度，应当提升火箭的初末质量比以及喷射速度，但由于火箭可能的结构（各类动力、连接装置等）所制约，初末质量比不可能大于10．现有某型号单级火箭的发动机能获得的最大喷射速度约为，那么它能获得的最大理想速度约为（ ）（参考数据:，） A. 4.44 B. 7.2 C. 9.2 D. 8.8 5. 已知锐角满足，则（ ） A. B. C. D. 6. 设，若，则（ ） A. B. 6 C. D. 7. 在中，点在线段上，，则（ ） A. B. C. D. 1 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分） 9. 若甲组样本数据（数据各不相同）的平均数为3，乙组样本数据的平均数为5，下列说错误的是（ ） A. 的值不确定 B. 乙组样本数据的方差为甲组样本数据方差的2倍 C. 两组样本数据的极差可能相等 D. 两组样本数据的中位数可能相等 10. 定义在R上的连续函数满足，，，，则（ ） A. B. 当x，时， C. 若，则为偶函数 D. 当时， 11. 绿水青山就是金山银山，为响应党的号召，某小区把一处荒地改造成公园进行绿化.在绿化带旁边放置一些砌成的完全相同的石墩，石墩的上部是半径为的球的一部分，下部是底面半径为的圆柱体，整个石墩的高为，如图所示（注：球体被平面所截，截得的部分叫球缺，球缺表面上的点到截面的最大距离为球缺的高.球缺的体积，其中为球的半径，为球缺的高），下列说法正确的是（ ） A. 石墩上､下两部分的高之比为 B. 石墩表面上两点间距离的最大值为 C. 每个石墩的体积为 D. 将石墩放置在一个球内，则该球半径的最小值为 12. 设数列满足，，记数列的前n项和为，则（ ） A. B. C. D. 三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 13. 已知过点作圆的切线，则切线长为___________. 14. 函数的值域为____________． 15. 从5男3女共8名学生中选出组长1人，副组长1人，普通组员3人组成5人志愿组，要求志愿组中至少有3名男生，且组长和副组长性别不同，则共有___________种不同的选法.（用数字作答） 16. 已知满足，，则____________． 四．解答题（共6小题，满分70分） 17. 函数，若“”是“”的充分不必要条件，求实数k的取值范围． 18. 已知数列满足，且. （1）求证：数列是等差数列； （2）记，数列的前n项和为. 19. 已知函数，． （1）若，，求a的取值范围； （2）设函数，，若斜率为1的直线与曲线，都相切，求b的值． 20. 如图，在四棱锥中，平面. （1）证明：平面平面. （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 21. 已知抛物线的焦点为，过作斜率为的直线与交于两点，当时，. （1）求抛物线的标准方程； （2）设线段的中垂线与轴交于点，抛物线在两点处的切线相交于点，设两点到直线的距离分别为，求的值. 22. 已知函数定义在区间内，，且当，时，恒有． （1）证明：为奇函数； （2）若数列，满足，，，，且对，，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年09月高三数学月考试题 一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合，再求两集合的交集即可 【详解】由，得或 所以或， 因为， 所以. 故选：D 2. 已知命题：，，则（ ） A. p：， B. p：， C. p：， D. p：， 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题判断即可. 【详解】根据全称量词命题的否定是存在量词命题， 所以：，的否定是：，， 故选：D 3. 设是实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性以及充分不必要条件的定义可得答案. 【详解】若，则， 若，则，即，当时，推不出， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4. 2023年7月12日9时0分，由中国“蓝箭航天”自主研制的朱雀二号遥二运载火箭的发射任务取得圆满成功，该火箭由此成为全球首款成功入轨的液氧甲烷火箭，标志着我国运载火箭在新型低成本液体推进剂应用方面取得重大突破.在火箭研发的有关理论中，齐奥尔科夫斯基单级火箭的最大理想速度公式至关重要.其公式为，其中v为单级火箭的最大理想速度（单位:），q为发动机的喷射速度（单位:），，分别为火箭的初始质量和发动机熄火（推进剂用完）时的质量（单位:kg），称为火箭的初末质量比．要使火箭达到某个速度，应当提升火箭的初末质量比以及喷射速度，但由于火箭可能的结构（各类动力、连接装置等）所制约，初末质量比不可能大于10．现有某型号单级火箭的发动机能获得的最大喷射速度约为，那么它能获得的最大理想速度约为（ ）（参考数据:，） A. 4.44 B. 7.2 C. 9.2 D. 8.8 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意明确公式中字母的含义，代入数据可得答案. 【详解】由题意得，初末质量比最大为10， 则该型号单级火箭能获得的最大理想速度 ． 故选：C． 5. 已知锐角满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同角公式和二倍角正弦公式可求出结果. 【详解】由，得. 因为，所以，， 因为为锐角，所以，， 所以. 故选：A 6. 设，若，则（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题，将指数式化成对数式，求出，，代入，根据对数运算性质可计算得答案. 【详解】由，知，且，，， 所以，． 故选：C． 7. 在中，点在线段上，，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据共线向量定理和平面向量基本定理可求出结果. 【详解】因为点在线段上，所以存在实数，使得， 所以，即， 所以， 又，所以，所以. 故选：C 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，，，构造函数和，比较a，c，再构造函数，比较b，c即可. 【详解】由题意，，， 下面先证明，设函数，则， 当时，，在内单调递增， 当时，，在内单调递减， 所以，所以当时，， 设，，令，则， 所以， 所以①， 所以，即． 再设，， 又由①知，所以在内单调递减，所以， 所以， 所以，即，所以． 综上，． 故选：B． 二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分） 9. 若甲组样本数据（数据各不相同）的平均数为3，乙组样本数据的平均数为5，下列说错误的是（ ） A. 的值不确定 B. 乙组样本数据的方差为甲组样本数据方差的2倍 C. 两组样本数据的极差可能相等 D. 两组样本数据的中位数可能相等 【答案】ABC 【解析】 【分析】由甲组平均数为，则乙组平均数为，解得值，又乙组方差为甲组方差的倍，可判断选项AB，再利用极差与中位数定义判断CD项. 【详解】对选项A，由题意可知，，故A错误； 对选项B，易知乙组样本数据的方差为甲组样本数据方差的倍，故B错误； 对选项C，不妨设， 则甲组数据的极差为， 乙组数据的极差为， 又已知甲组数据各不相同， 所以两组样本数据的极差不相等，故C错误； 对选项D，设甲组样本数据的中位数为， 则乙组样本数据的中位数为， 当时，， 所以两组样本数据的中位数可能相等，故D正确. 故选：ABC. 10. 定义在R上的连续函数满足，，，，则（ ） A. B. 当x，时， C. 若，则为偶函数 D. 当时， 【答案】BC 【解析】 【分析】举反例即可判断A，D；利用赋值法推出，从而可判断B；利用赋值法结合偶函数定义判断C. 【详解】对于A项，令，则满足题中所给条件，但此时有，A项错误； 对于B项，当x，时，取，则，所以， 所以，B项正确； 对于C项，由题意得定义域关于原点中心对称，且， 则，所以为偶函数，C项正确； 对于D项，令，则满足题中所给条件， 但当时，，故不成立，D项错误． 故选：BC 11. 绿水青山就是金山银山，为响应党的号召，某小区把一处荒地改造成公园进行绿化.在绿化带旁边放置一些砌成的完全相同的石墩，石墩的上部是半径为的球的一部分，下部是底面半径为的圆柱体，整个石墩的高为，如图所示（注：球体被平面所截，截得的部分叫球缺，球缺表面上的点到截面的最大距离为球缺的高.球缺的体积，其中为球的半径，为球缺的高），下列说法正确的是（ ） A. 石墩上､下两部分的高之比为 B. 石墩表面上两点间距离的最大值为 C. 每个石墩的体积为 D. 将石墩放置在一个球内，则该球半径的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据几何体的几何结构特征，利用圆柱和球的性质，结合圆柱和球的体积公式、圆的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】如图所示，设球缺的球心为，由已知可得半径，， 所以，可得，石墩上､下两部分的高之比为,所以A正确； 由，所以石墩表面上两点间距离的最大值为，所以B错误； 由前面的计算可知上部分球缺的高，所以石墩的体积，所以C正确； 设该球的半径为，则，解得，所以D正确. 故选：ACD. 12. 设数列满足，，记数列的前n项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，利用数列单调性定义，可判断；选项B，D，，两边取对数，，迭代可得，，取值放缩可判断；选项C，，可得，利用裂项相消法可得结果. 【详解】因为，由，所以当时，由二次函数单调性知，所以，，所以，A项正确；， 因为，所以，，所以，所以， 显然，所以． 又，所以， 所以，B项错误，D项正确； ，， ， 所以，C项正确． 故选：ACD． 三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 13. 已知过点作圆的切线，则切线长为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用圆的切线长公式，即可求解. 【详解】由圆，可得圆心，半径， 设切点为，因为，可得， 所以切线长为. 故答案为：. 14. 函数的值域为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数求出指数的取值范围，再根据指数函数的单调性求出函数的值域. 【详解】设，则且，根据反比例函数性质， 从而，所以． 故答案为：. 15. 从5男3女共8名学生中选出组长1人，副组长1人，普通组员3人组成5人志愿组，要求志愿组中至少有3名男生，且组长和副组长性别不同，则共有___________种不同的选法.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，可分为志愿组有3名男生，2名女生和志愿组有4名男生，1名女生，两类情况，结合分类计数原理，即可求解. 【详解】由题意可知，当志愿组有3名男生，2名女生时，有种方法； 当志愿组有4名男生，1名女生时，有种方法， 由分类计数原理得，共有种不同的选法. 故答案为：. 16. 已知满足，，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】由对数的运算性质，化简得到，设，得到，又由，得到，结合的单调性，得到，进而求得的值． 【详解】由，可得，即， 且，可得， 设，则，原式化为，即， 又由，可得， 令函数，显然为增函数，所以， 则，所以． 故答案为：. 四．解答题（共6小题，满分70分） 17. 函数，若“”是“”的充分不必要条件，求实数k的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的性质，求得，利用不等式的解法，分类讨论的不等式的解集，解“”是“”的充分不必要条件，分类讨论列出不等式组，即可求解. 【详解】由，可得，解得，即， 又由，得， 当时，； 当时，； 当时，． 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以当时，满足，解得； 当时，不符合题意； 当时，满足，解得． 综上可得，实数的取值范围为． 18. 已知数列满足，且. （1）求证：数列是等差数列； （2）记，数列的前n项和为. 【答案】（1）证明见解析 （2）①当n为奇数时，；②当n为偶数时，. 【解析】 【分析】（1）利用定义法证明等差数列； （2）先求出，对n分奇偶进行讨论，邻项相消求和. 【小问1详解】 ， ，即， 数列是以为公差的等差数列. 【小问2详解】 由（1）可知数列是以为公差的等差数列，且， ， ， ①当n为奇数时， ②当n为偶数时， 19. 已知函数，． （1）若，，求a的取值范围； （2）设函数，，若斜率为1的直线与曲线，都相切，求b的值． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（1）将，，转化为在时有解求解； （2）易得，求得其切线方程，再分别与联立，利用判别式求解. 【小问1详解】 解：由题意，， 得，即在时有解． 设， 则，易知． 令，则， 所以单调递增， 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增． 所以，所以． 【小问2详解】 由题意得，所以， 令，解得，， 所以直线与的两个切点坐标分别为，， 所以切线方程分别为和． 令，得， 令，解得或． 令，得， 令，无解． 经检验，直线与的两个切点坐标分别为，， 综上，或． 20. 如图，在四棱锥中，平面. （1）证明：平面平面. （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：因为平面，所以. 在中可求得. 在中，因为，所以， 所以. 又平面，所以. 因为，平面，所以平面. 又平面，所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先证明线面垂直，再应用面面垂直判定定理证明即可； （2）应用空间向量法求出二面角余弦. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面， 所以分别以的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则. 由（1）知平面， 所以为平面的一个法向量. 设平面的法向量为，可得， 令，得. 设平面与平面的夹角为， 则. 21. 已知抛物线的焦点为，过作斜率为的直线与交于两点，当时，. （1）求抛物线的标准方程； （2）设线段的中垂线与轴交于点，抛物线在两点处的切线相交于点，设两点到直线的距离分别为，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）联立直线与抛物线方程，利用弦长公式列式可求出结果； （2）设代入，利用韦达定理求出线段的中点为的坐标，得的中垂线方程，令得，由点到直线距离公式得.根据导数的几何意义求出切线和的方程，联立得，再由点到直线的距离公式求出，从而可得结果. 【小问1详解】 当时，直线的方程为， 设， 联立方程组,消去得， 所以恒成立， ，， 所以， 解得， 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，则， 设，显然，，线段的中点为， 联立方程组消去得， 恒成立， 所以， 所以， 所以，则的中垂线方程为， 令，得，所以， 所以. 由得，则， 不妨设，，则切线的斜率为，切线的斜率为， 则切线：，即， 切线，即， 联立方程组，解得， 由，， 得，得， 得，得， 因为，所以，而， 所以，所以， 则，所以， 所以点到直线的距离. 故. 【点睛】关键点点睛：利用导数的几何意义求出切线和的方程，再联立得的坐标是解题关键. 22. 已知函数定义在区间内，，且当，时，恒有． （1）证明：为奇函数； （2）若数列，满足，，，，且对，，求的取值范围． 【答案】（1） 证明：由题意知的定义域为． 令，则，故． 再令，则， 所以． 故为奇函数． （2） 【解析】 【分析】（1）利用函数的奇偶性的定义求解； （2）根据得到，进而得到是等比数列，从而得到,再利用错位相减法得到．代入恒成立求解. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由题意得， 又， 所以，即， 所以， 故是首项为，公比为2的等比数列， 所以， 所以， 所以， 两式相减得， 所以． 所以恒成立，即恒成立． 设，则，所以数列递增． 当n为奇函数时，，当时，有最大值，故； 当n为偶数时，，当时，有最小值，故． 综上，的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $