精品解析：浙江省温州市平阳县万全综合高级中学2023-2024学年高一下学期期末普高单考数学试题

万全综合高中2023学年第二学期期末考测试卷 高一（单考）数学 考试时间：90分钟 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（每题4分） 1. 已知，：“”，：“”，则是的（ ） A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 直线的倾斜角为（ ） A. 60° B. 90° C. 120° D. 150° 3. 已知直线l的倾斜角为，且过点，则它在y轴上的截距为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 4. 与向量平行的单位向量为（ ） A B. C. 或 D. 或 5. 直线与交点坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆的面积为，则（ ） A. B. C. D. 7. 直线l：与圆C：的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 都有可能 8. 手机支付已经成为人们常用的付费方式.某大型超市为调查顾客付款方式的情况，随机抽取了100名顾客进行调查，统计结果整理如下： 顾客年龄（岁） 20岁以下 70岁及以上 手机支付人数 3 12 14 9 5 2 0 其他支付方式人数 0 0 2 13 27 12 1 从该超市顾客中随机抽取1人，估计该顾客年龄在内且未使用手机支付的概率为（ ） A B. C. D. 9. 双曲线的左右焦点分别是与是双曲线左支上的一点，且，则（ ） A. 1 B. 13 C. 1或13 D. 3 10. 若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（每题4分） 11. 已知三角形三顶点，则边上的高所在的直线方程为____________. 12. 已知一个正方体的外接球的体积为，则正方体的体积为__________. 13. 已知向量，，，若，则______. 14. 已知双曲线方程是，则该双曲线的渐近线方程为______. 15. 已知直线与直线平行，则与之间的距离为______ 16. 如图所示，已知正三棱柱的所有棱长均为1，则四棱锥的体积为______． 三、解答题（本大题4小题，共36分） 17. 已知圆圆心在直线上且圆与轴相切于点. （1）求圆的方程； （2）已知直线与圆相交于两点，求的面积. 18. 如图，圆锥的底面直径和高均是，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的表面积和体积． 19. 已知椭圆C：（）的离心率为，且经过点． （1）求椭圆C的方程： （2）求椭圆C上的点到直线l：的距离的最大值． 20. 已知双曲线的其中一个焦点为，一条渐近线方程为 （1）求双曲线的标准方程； （2）已知倾斜角为的直线与双曲线交于两点，且线段的中点的纵坐标为4，求直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 万全综合高中2023学年第二学期期末考测试卷 高一（单考）数学 考试时间：90分钟 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（每题4分） 1. 已知，：“”，：“”，则是的（ ） A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】首先解一元二次方程，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，即，解得或， 所以：“或”， 故由推不出，即充分性不成立， 由推得出，即必要性成立， 所以是的必要但不充分条件. 故选：B 2. 直线的倾斜角为（ ） A. 60° B. 90° C. 120° D. 150° 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知直线与轴垂直，结合倾斜角的概念即可得解. 【详解】由题意直线为与轴垂直的直线，故它的倾斜角为90°. 故选：B. 3. 已知直线l的倾斜角为，且过点，则它在y轴上的截距为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由倾斜角求出斜率，再用点斜式写出直线方程，最后求出截距即可. 【详解】由题意可知直线的斜率， 所以直线方程为，即， 所以它在y轴上的截距为， 故选：A. 4. 与向量平行的单位向量为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】与向量平行的单位向量为，计算得到答案. 【详解】与向量平行的单位向量为， 即或. 故选：C. 5. 直线与的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】联立方程组可解得答案. 详解】联立方程组，解得， 所以两直线的交点坐标为. 故选：B. 6. 已知圆的面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意确定圆的半径，结合圆的面积公式建立方程，解之即可求解. 【详解】因为圆，即， 所以，解得. 故选：B. 7. 直线l：与圆C：的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 都有可能 【答案】A 【解析】 【分析】利用圆心到直线的距离与半径比较大小可得答案. 【详解】圆C的圆心坐标为，半径为2，直线l的方程为， 圆心到直线l的距离为， 所以直线l与圆C的位置关系是相交. 故选：A. 8. 手机支付已经成为人们常用的付费方式.某大型超市为调查顾客付款方式的情况，随机抽取了100名顾客进行调查，统计结果整理如下： 顾客年龄（岁） 20岁以下 70岁及以上 手机支付人数 3 12 14 9 5 2 0 其他支付方式人数 0 0 2 13 27 12 1 从该超市顾客中随机抽取1人，估计该顾客年龄在内且未使用手机支付的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，算出100名顾客中，顾客年龄在且未使用手机支付的的人数，结合古典概型的概率公式，进而可以得到未使用手机支付的概率. 【详解】在随机抽取的100名顾客中，顾客年龄在内且未使用手机支付的共有（人），所以从该超市随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在内且未使用手机支付的概率为. 故选：B. 9. 双曲线的左右焦点分别是与是双曲线左支上的一点，且，则（ ） A. 1 B. 13 C. 1或13 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的定义即可求解. 【详解】是双曲线左支上的一点， 所以，解得：， 由双曲线定义可知，，所以13. 故选：B. 10. 若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆方程可用表示出离心率，由此可求得结果. 【详解】椭圆焦点在轴上，，， 离心率，解得：. 故选：C. 第II卷（非选择题） 二、填空题（每题4分） 11. 已知三角形三顶点，则边上的高所在的直线方程为____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用垂直求出高所在直线的斜率，再由点斜式得直线方程并化简． 【详解】边所在直线的斜率为， 边上的高所在的直线的斜率为2. 边上的高所在的直线方程为，即. 故答案为：. 12. 已知一个正方体的外接球的体积为，则正方体的体积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据球的体积公式求半径，然后根据正方体的体对角线即为外接球的直径可得正方体的棱长，即可求得正方体体积. 【详解】记正方体棱长为a，外接球半径为R， 则，解得， 因为正方体的体对角线即为外接球的直径， 所以，解得， 所以，正方体的体积为. 故答案为： 13. 已知向量，，，若，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】先求出的坐标，再根据向量平行的坐标运算求得答案. 【详解】由题意，，因为，所以. 故答案为：2. 14. 已知双曲线的方程是，则该双曲线的渐近线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】先化方程为标准方程，利用渐近线求法直接计算即可. 【详解】由，令，即双曲线的渐近线方程为. 故答案为：. 15. 已知直线与直线平行，则与之间的距离为______ 【答案】## 【解析】 【分析】利用两直线平行的条件及两直线平行间的距离公式即可求解. 【详解】由. 所以直线： 所以与之间的距离： 故答案为： 16. 如图所示，已知正三棱柱的所有棱长均为1，则四棱锥的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用割补法结合柱体、锥体的体积公式运算求解. 【详解】由题意可得：正三棱柱的体积， 三棱锥的体积， 所以四棱锥体积. 故答案为：. 三、解答题（本大题4小题，共36分） 17. 已知圆的圆心在直线上且圆与轴相切于点. （1）求圆的方程； （2）已知直线与圆相交于两点，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设圆心坐标为，由题意，解方程组得圆心，进一步求得半径即可； （2）求出圆心到直线的距离，结合圆的弦长公式求得即可得解. 【小问1详解】 设圆心坐标为， 由于圆的圆心在直线上且圆与轴相切于点， 可得，解得，即圆心坐标为， 由于圆与轴相切于点，则半径 所以圆的方程为. 【小问2详解】 依题意，圆心到直线的距离， 因为直线与圆相交于两点， 所以弦长， 所以 18. 如图，圆锥的底面直径和高均是，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的表面积和体积． 【答案】剩下部分体积为，表面积为. 【解析】 【分析】求得圆柱的底面半径和高，由此求得剩下几何体的表面积和体积. 【详解】由于是的中点，所以圆柱的高，且圆柱的底面半径为. 圆锥的体积为， 圆柱的体积为， 所以剩下几何体的体积为. 剩下部分的表面积等于圆锥的面积加上圆柱的侧面积， 即. 19. 已知椭圆C：（）的离心率为，且经过点． （1）求椭圆C的方程： （2）求椭圆C上的点到直线l：的距离的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由椭圆的离心率可得，的关系，设椭圆的方程，将点的坐标代入椭圆的方程，可得参数的值，即可得，的值，求出椭圆的方程； （2）设与平行的直线的方程，与椭圆的方程联立，由判别式为0，可得参数的值，进而求出两条直线的距离，即求出椭圆上的点到直线的最大距离． 【小问1详解】 由椭圆的离心率为，可得， 可得，设椭圆的方程为：，， 又因为椭圆经过点，所以， 解得， 所以椭圆的方程为：； 【小问2详解】 设与直线平行的直线的方程为， 联立，整理可得：， ，可得，则， 所以直线到直线的距离． 所以椭圆上的点到直线的距离的最大值为． 20. 已知双曲线的其中一个焦点为，一条渐近线方程为 （1）求双曲线的标准方程； （2）已知倾斜角为的直线与双曲线交于两点，且线段的中点的纵坐标为4，求直线的方程. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）由题意，联立方程求出，即可得到双曲线方程； （2）利用点差法求出中点坐标，点斜式求出直线方程即可. 详解】（1）由焦点可知， 又一条渐近线方程为 所以， 由可得 ,解得，， 故双曲线的标准方程为 （2）设，AB中点的坐标为 则①，②， ②①得：， 即，又， 所以， 所以直线的方程为，即 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$