精品解析：福建省福州市金山中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

2023-2024学年福建省福州市金山中学高一（下）期中数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，，则在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 在△ABC中,A＝60°,AB＝1,AC＝2,则△ABC的面积＝ A. B. C. D. 3. 已知向量，，则（ ） A. B. 5 C. D. 4. 如图所示，一个水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图是边长为2的正方形，则原四边形的面积是（ ） A. B. C. 16 D. 8 5. 已知正方体的棱长为，分别是的中点，则过这三点的截面面积是（ ） A. B. C. D. 6. 已知不共线的向量、，若向量与共线，则实数k的值为（ ） A. 1 B. C. D. 7. 如图，在中，，，若，则的值为 A. B. C. D. 8. 桂林日月塔又称金塔银塔､情侣塔，日塔别名叫金塔，月塔别名叫银塔，所以也有金银塔之称.如图1，这是金银塔中的金塔，某数学兴趣小组成员为测量该塔的高度，在塔底的同一水平面上的两点处进行测量，如图2.已知在处测得塔顶的仰角为60°，在处测得塔顶的仰角为45°，米，，则该塔的高度（ ） A. 米 B. 米 C. 50米 D. 米 二、多选题：本题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知复数的虚部不为零，同时满足，则（ ） A. B. 为纯虚数 C. 在复平面内对应的点在实轴上 D. 的最大值为 10. 已知、、是任意的非零向量，则下列结论正确的是（ ） A. 非零向量、，满足且与同向，则 B. C. 若，则不与垂直 D. 11. 在中，内角，，所对的边分别为，，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若是锐角三角形，恒成立 C. 若，，，则符合条件的有两个 D. 若，，则是等边三角形 12. 某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面ABCD中，，且，下列说法正确的是（ ） A. 该圆台轴截面面积为 B. 该圆台的体积为 C. 该圆台的表面积为 D. 沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 若是实系数方程的一个根，则___________. 14. 如图，为了测量两点间的距离，选取同一平面上的，两点，测出四边形各边的长度（单位：km）：，，，，且四点共圆，则的长为_________ . 15. 已知一个正四棱锥的底面边长为2，高为，则该正四棱锥的表面积为__________． 16. 已知梯形中，，，，，点P，Q在线段BC上移动，且，则的最小值为______． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 已知圆柱高为4，母线与侧面展开图的对角线成角，求该圆柱的体积. 18. 若复数，复数． （1）若，求实数的值； （2）若，求． 19. 已知向量，. （1）若，求与夹角的正弦值； （2）若，求向量的坐标. 20. 已知三角形ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且． （1）求角B； （2）若b＝2，求的取值范围． 21. 已知在圆锥SO中，底面的直径，的面积为48． （1）求圆锥SO的表面积； （2）一球刚好放进该圆锥体中，求这个球的半径以及此时圆锥体剩余空间． 22. 如图，在中，已知，，，边上的中点为，边上的中点为，，相交于点. （1）求； （2）求与夹角的余弦值； （3）过点作直线交边，于点，，求该直线将分成的上下两部分图形的面积之比的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年福建省福州市金山中学高一（下）期中数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，，则在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】由复数，，则， 则复数在复平面内对应的点为，位于第二象限. 故选：B. 2. 在△ABC中,A＝60°,AB＝1,AC＝2,则△ABC的面积＝ A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意利用面积公式求解△ABC的面积即可. 【详解】. 本题选择B选项. 【点睛】本题主要考查三角形面积公式及其应用，属于基础题. 3. 已知向量，，则（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先计算的坐标，然后计算其模长即可 【详解】因为， 所以，得. 故选：C 4. 如图所示，一个水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图是边长为2的正方形，则原四边形的面积是（ ） A. B. C. 16 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜二测画法规则求出，判断的形状，确定，由此求出原四边形的面积. 【详解】在正方形中可得， 由斜二测画法可知，， 且，， 所以四边形为平行四边形， 所以． 故选：B. 5. 已知正方体的棱长为，分别是的中点，则过这三点的截面面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用正方体的性质，得到截面为正六边形，且边长为，进而求得截面的面积，得到答案. 【详解】如图所示，分别取的中点，连接， 在正方体中，可得， 所以经过点的截面为正六边形， 又因为正方体的棱长为， 在直角中，可得， 所以截面正六边形的面积为. 故选：D. 6. 已知不共线的向量、，若向量与共线，则实数k的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合向量的共线定理，得到，列出方程组，即可求解. 【详解】由题意知，向量为不共线的向量， 若向量与共线，则存在实数使得， 则满足，解得. 故选：B. 7. 如图，在中，，，若，则的值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据向量线性运算，可利用和表示出，从而可根据对应关系求得结果. 【详解】由题意得： 又，可知： 本题正确选项： 【点睛】本题考查向量的线性运算问题，涉及到向量的数乘运算、加法运算、减法运算，属于常规题型. 8. 桂林日月塔又称金塔银塔､情侣塔，日塔别名叫金塔，月塔别名叫银塔，所以也有金银塔之称.如图1，这是金银塔中的金塔，某数学兴趣小组成员为测量该塔的高度，在塔底的同一水平面上的两点处进行测量，如图2.已知在处测得塔顶的仰角为60°，在处测得塔顶的仰角为45°，米，，则该塔的高度（ ） A. 米 B. 米 C. 50米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】利用仰角的定义及锐角三角函数，结合余弦定理即可求解. 【详解】由题意可知，,, 设米，则 在中，米， 在中，米. 由余弦定理可得，即，解得. 因为米，所以米. 故选：B. 二、多选题：本题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知复数的虚部不为零，同时满足，则（ ） A. B. 为纯虚数 C. 在复平面内对应的点在实轴上 D. 的最大值为 【答案】AB 【解析】 【分析】设，根据复数代数形式的乘法运算推导出，即可判断A、B、C，根据复数模的几何意义判断D. 【详解】设，则， 因为，所以，即， 所以，故A正确； ， 因为，则，所以为纯虚数，故B正确； 在复平面内对应的点为，因为， 所以在复平面内对应的点不在实轴上，故C错误； 因为， 所以， 因为，，所以点在以为圆心，半径的圆上（除点，外）， 又表示点与的距离， 因为圆心到点的距离， 所以， 即的最大值为，故D错误. 故选：AB 10. 已知、、是任意的非零向量，则下列结论正确的是（ ） A. 非零向量、，满足且与同向，则 B. C. 若，则不与垂直 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据向量的概念，可判定A错误；根据向量的数量积的定义，以及，可判定B正确；根据向量的运算律，得到，可判定C错误；根据向量的运算法则，可判定D正确. 【详解】对于A中，根据向量的概念，向量不能比较大小，所以A错误； 对于B中，由向量的数量积的定义，可得， 因为，可得，所以，所以B正确； 对于C中，由，可得，所以，所以C错误； 对于D中，由， 又， 因为，所以，所以D正确. 故选：BD. 11. 在中，内角，，所对的边分别为，，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若是锐角三角形，恒成立 C. 若，，，则符合条件的有两个 D. 若，，则是等边三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】由正弦定理可以判断A；借助诱导公式及正弦函数的单调性可以判断B；作出示意图判断C；根据余弦定理可以判断D. 【详解】对A，由正弦定理可知，正确； 对B，因为三角形为锐角三角形，所以，则，B错误； 对C，如示意图，点A在射线上，，易得，则，即符合条件的三角形有2个，正确； 对D，由余弦定理可知，，而，即该三角形为正三角形，正确. 故选：ACD. 12. 某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面ABCD中，，且，下列说法正确的是（ ） A. 该圆台轴截面面积为 B. 该圆台的体积为 C. 该圆台的表面积为 D. 沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出圆台的高，由梯形的面积公式可判断选项A；由台体的体积公式可判断选项B；由台体的表面积公式可判断选项C；将圆台补成圆锥，侧面展开，取的中点为，连接，可判断选项D. 【详解】对于，由，且， 可得，高， 则圆台轴截面的面积为，故A正确； 对于B，圆台的体积为，故B正确； 对于C，圆台的侧面积为，又，， 所以，故C错误； 对于，由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为，底面半径为，侧面展开图的圆心角． 设的中点为，连接，可得， 则，又点到的距离， 所以沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为，故正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 若是实系数方程的一个根，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】由实系数方程复数根的性质及根系关系求出a、b，即可得结果. 【详解】由题意，方程的另一个根为， 所以，即，又， 所以. 故答案为： 14. 如图，为了测量两点间的距离，选取同一平面上的，两点，测出四边形各边的长度（单位：km）：，，，，且四点共圆，则的长为_________ . 【答案】7 【解析】 【分析】根据四点共圆可得，再利用余弦定理可得，即可求得答案. 【详解】∵四点共圆，圆内接四边形的对角和为 ﹒ ∴ ， ∴由余弦定理可得 ， ， ∵，即 ， ∴ ,解得, 故答案为：7 15. 已知一个正四棱锥的底面边长为2，高为，则该正四棱锥的表面积为__________． 【答案】12 【解析】 【分析】计算出正四棱锥的侧棱长以及侧面三角形的高，进而可计算出该正四棱锥的表面积. 【详解】如下图所示，在正四棱锥中，底面的边长为， 设点在底面的射影点为点，则四棱锥的高， 则为的中点，且，， 取的中点，连接，则，且， ， 故正四棱锥的表面积为. 故答案为：12. 16. 已知梯形中，，，，，点P，Q在线段BC上移动，且，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】以为原点，建立平面直角坐标系，根据题意得到 ，设，求得，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】如图所示，以为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系， 因为且，可得 ， 由两点在上运动，且，不妨设， 可得， 所以， 当时，取得最小值. 故答案为：. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 已知圆柱高为4，母线与侧面展开图的对角线成角，求该圆柱的体积. 【答案】 【解析】 【分析】利用母线与侧面展开图的对角线成角，求出圆柱的底面半径，再根据圆柱的体积公式可求出结果. 【详解】设圆柱的底面半径为，则侧面展开图是一个长为，宽为的矩形， 依题意，即， 所以该圆柱的体积为：. 18. 若复数，复数． （1）若，求实数的值； （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用复数的加法化简复数，根据复数的概念可得出关于实数的等式，即可求得实数的值； （2）当时，利用复数的除法可求得复数. 【小问1详解】 解：由已知，则，解得. 【小问2详解】 解：当时，. 19. 已知向量，. （1）若，求与夹角的正弦值； （2）若，求向量的坐标. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）首先求出，再根据数量积的运算律求出，设与夹角为，利用夹角公式求出，即可求出； （2）设，根据向量模的坐标表示及得到方程组，解得即可. 【小问1详解】 因为，，所以， 又，所以，即，所以， 设与夹角为，则，又， 所以，即与夹角的正弦值为； 【小问2详解】 设，因为，则， 又，所以，解得或， 所以或. 20. 已知三角形ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且． （1）求角B； （2）若b＝2，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理把已知等式边化角，再由，得，则角B可求； （2）由余弦定理及重要不等式得，利用两边之和大于第三边可得，即可得的范围． 【小问1详解】 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴； 【小问2详解】 由， 可得：, 又， ∴即，当且仅当时取等， 又， ∴的取值范围为． 21. 已知在圆锥SO中，底面的直径，的面积为48． （1）求圆锥SO的表面积； （2）一球刚好放进该圆锥体中，求这个球的半径以及此时圆锥体剩余空间． 【答案】（1） （2）；. 【解析】 【分析】（1）设圆锥的母线长为，底面的直径为，由的面积为，求得，结合圆锥的表面积，即可求解； （2）作出圆锥的轴截面，设球心为，根据，求得，利用体积公式求得球和圆锥的体积，即可求解. 【小问1详解】 解：设圆锥的母线长为，底面的直径为，所以， 因为的面积为，所以，解得， 由勾股定理，可得母线， 由圆锥的表面积公式有：； 【小问2详解】 解：如图所示，作出圆锥的轴截面，球与圆锥侧面相切，设球心为， 则于，（其中为球的半径）， 则，可得，即，解得， 所以球的体积，圆锥的体积 故圆锥体剩余的空间体积为． 22. 如图，在中，已知，，，边上的中点为，边上的中点为，，相交于点. （1）求； （2）求与夹角的余弦值； （3）过点作直线交边，于点，，求该直线将分成的上下两部分图形的面积之比的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求解即可. （2）建立平面直角坐标系，利用向量夹角的坐标求法处理即可. （3）设出线段的比例关系，用向量共线的条件合理转化，消去变量求范围即可. 【小问1详解】 在中，且，， 由余弦定理得，解得，(负根舍去)， 故. 【小问2详解】 以为原点，建立平面直角坐标系，易知，， 设，由两点间距离公式得，， 解得，，(负根舍去) 故，由中点坐标公式得，， 故，，设与的夹角为， 故， 【小问3详解】 易知由于边上的中点为，边上的中点为， 而是两条中线的交点，故是的重心，所以， 设，，， 由于在直线上，所以，即， 而，所以，， 故得，， 所以，， 故得， 所以上下两部分的面积之比为， 因为，所以上下两部分的面积之比的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题平面向量与解三角形，解题关键是将已知向量合理转化，然后表示出的关系，将面积比表示为一元函数，得到所要求的范围即可． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $