精品解析：湖北省十堰市六校教学合作体2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题

十堰市六校教学合作体2024—2025学年高二九月月考 数学 考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 给出下列命题： ①若空间向量，满足，则与的夹角为钝角； ②空间任意两个单位向量必相等； ③对于非零向量，若，则； ④若为空间一个基底，则构成空间的另一个基底． 其中说法正确的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 袋内装有大小、形状完全相同的3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，设事件A=“第一次摸到白球”，事件B=“第二次摸到白球”，事件C=“第一次摸到黑球”，则下列说法中正确的是（ ） A. A与B互斥事件 B. A与B不是相互独立事件 C. B与C是对立事件 D. A与C是相互独立事件 3. “”是“直线和直线互相垂直”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 在空间四边形中，若分别是的中点，是上的点，且，记，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 在空间直角坐标系中，已知点，则点到直线的距离为（ ） A. B. 2 C. D. 3 6. 已知动点在所在平面内运动，若对于空间中不在平面上的任意一点，都有，则实数的值为（ ） A. 0 B. 2 C. D. 7. 已知正方体中，是的中点，则直线与平面所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 8. 直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每题6分，共18分；全部选对得6分，多选对多得分，选错得0分） 9. 已知空间向量，，则下列选项中正确的是（ ） A 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 10. 下列描述正确的是（ ） A. 若事件，相互独立，，，则 B. 若三个事件，，两两独立，则满足 C. 若，，则事件，相互独立与，互斥一定不能同时成立 D. 必然事件和不可能事件与任意事件相互独立 11. 下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过点 B. 经过点，且在轴上截距相等的直线方程为 C. 已知，点在轴上，则的最小值是5 D. 若直线过点，且与轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，则面积的最小值为12 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，，，夹角为，则__________． 13. 已知甲、乙、丙三人投篮的命中率分别为0.7，0.5，0.4，若甲、乙、丙各投篮一次（三人投篮互不影响），则至多有一人命中的概率为______. 14. 已知点，，直线是过点且与线段AB相交且斜率存在，则的斜率的取值范围是____________ 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. （1）已知，，求边的垂直平分线的方程. （2）求过点且在两坐标轴上的截距是互为相反数的直线的方程. 16. 在试验“袋中有白球3个（编号为1，2，3）、黑球2个（编号为1，2），这5个球除颜色外完全相同，从中不放回地依次摸取2个，每次摸1个，观察摸出球情况”中，摸到白球的结果分别记为，，，摸到黑球的结果分别记为，．求： （1）取到的两个球都是白球的概率； （2）取到的两个球颜色相同的概率； （3）取到的两个球至少有一个是白球的概率． 17. 如图，四边形是正方形，平面，，，分别为的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的大小； （3）求点到平面的距离． 18. 在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：，，，…，，得到如下频率分布直方图. （1）求出直方图中m的值； （2）利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数（中位数精确到0.01）； （3）现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品.利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，并从中再随机抽取2个作进一步的质量分析，试求这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 十堰市六校教学合作体2024—2025学年高二九月月考 数学 考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 给出下列命题： ①若空间向量，满足，则与的夹角为钝角； ②空间任意两个单位向量必相等； ③对于非零向量，若，则； ④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底． 其中说法正确的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量基本概念及数量积的定义及运算，对各个命题逐一分析判断即可得出结果. 【详解】对于①，当与的夹角为，满足，所以①错误； 对于②，因为向量既有大小又有方向，两向量相等要满足方向相同，长度相等，任意两个单位向量，只能确定长度相等，所以②错误； 对于③，由，得到，所以或与垂直，所以③错误； 对于④，因为为空间向量的一个基底，所以不共面，故也不共面，所以构成空间的另一个基底，所以④正确. 故选：B. 2. 袋内装有大小、形状完全相同的3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，设事件A=“第一次摸到白球”，事件B=“第二次摸到白球”，事件C=“第一次摸到黑球”，则下列说法中正确的是（ ） A. A与B是互斥事件 B. A与B不是相互独立事件 C. B与C是对立事件 D. A与C是相互独立事件 【答案】B 【解析】 【分析】根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的定义判断即可. 【详解】根据题意可知，事件和事件可以同时发生，不是互斥事件，故A错； 不放回摸球，第一次摸球对第二次摸球有影响，所以事件和事件不相互独立，故B正确； 事件的对立事件为“第二次摸到黑球”，故C错； 事件与事件为对立事件，故D错. 故选：B. 3. “”是“直线和直线互相垂直”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先求出两条直线垂直的充要条件，再根据所得条件和已知条件的关系可得两者的条件关系. 【详解】直线和直线的充要条件为即， 可以推出，但推不出， 故“”是“直线和直线互相垂直”的必要而不充分条件， 故选：B. 4. 在空间四边形中，若分别是的中点，是上的点，且，记，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理将用表示，从而可求出的值，进而可求得答案. 【详解】连接，因为，分别是的中点， 所以 ， 故． 故选：A 5. 在空间直角坐标系中，已知点，则点到直线的距离为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据点到直线距离的向量坐标公式计算即可求解. 【详解】根据题意，， 则， 设向量是直线的单位方向向量，， ， 则点C到直线AB的距离为. 故选：A. 6. 已知动点在所在平面内运动，若对于空间中不在平面上的任意一点，都有，则实数的值为（ ） A. 0 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三点共面得到系数之和为，从而解出值. 【详解】因为，动点在所在平面内运动，所以，解得． 故选：B． 7. 已知正方体中，是的中点，则直线与平面所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量的方法求线面角. 【详解】 如图，以为原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 则，，，， ，，， 设平面的法向量为，则 ∴可取. 设直线与平面所成角的，则， 于是直线与平面所成角的余弦值为. 故选：A. 8. 直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线的斜率和纵截距的正负进行判断． 【详解】对B，斜率为正，在轴上的截距也为正，故不可能有斜率为负的情况.故B错. 当时， 和斜率均为正，且截距均为正.仅D选项满足. 故选：D 二、多选题（本题共3小题，每题6分，共18分；全部选对得6分，多选对多得分，选错得0分） 9. 已知空间向量，，则下列选项中正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用空间向量平行的性质即可判断；对于B，利用空间向量垂直的坐标表示即可判断；对于C，根据空间向量坐标运算计算出，利用模长公式计算，从而得以判断；对于D，利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可判断. 【详解】对A，，存在实数，使得，则，即， 解得，，故A正确； 对B，，，即，解得，故B错误； 对C，当时，，， ，故C正确； 对D，当时，，， ，故D正确. 故选：ACD. 10. 下列描述正确的是（ ） A. 若事件，相互独立，，，则 B. 若三个事件，，两两独立，则满足 C. 若，，则事件，相互独立与，互斥一定不能同时成立 D. 必然事件和不可能事件与任意事件相互独立 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据独立事件的概念及乘法公式直接可判断. 【详解】A选项：由，，则，，又事件，相互独立，则，A选项正确； B选项：若三个事件，，两两独立，由独立事件的乘法公式，，，无法确定，B选项错误； C选项：，，若事件，相互独立则，若事件，互斥，则，C选项正确； D选项：设任意事件发生的概率为，必然事件事件发生的概率为，不可能事件发生的概率为，则，，D选项正确； 故选：ACD. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过点 B. 经过点，且在轴上截距相等的直线方程为 C. 已知，点在轴上，则的最小值是5 D. 若直线过点，且与轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，则面积的最小值为12 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于，将直线化简，列出方程，求得定点；对于B，设出直线方程根据截距相等列出方程，求解即可；对于C，找对称点进行转化；对于D，设出直线方程，把三角形的面积表示出来，求最值即可. 【详解】对于，整理，得， 令，解得所以直线恒过点，故正确. 对于，可知所求直线的斜率存在且不为0，设为，则它的方程为. 令，得，即该直线在轴上的截距为； 令，得，即该直线在轴上的截距为. 因为该直线在轴上的截距相等，所以，解得， 所以所求直线的方程为或，B错误. 对于C，点关于轴对称点为，连接交轴于点，点是轴上任意一点，连接， 于是， 当且仅当点与重合时，等号成立， 因此，C正确. 对于D，直线与轴的正半轴分别交于两点，可知直线的斜率为负数， 设直线， 令，得，令，得，可知， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以面积的最小值为12，D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，，，夹角为，则__________． 【答案】 【解析】 分析】利用空间向量数量积，结合空间向量夹角公式列式求解作答. 【详解】由，，得，， 由，夹角为，得，解得， 所以. 故答案为： 13. 已知甲、乙、丙三人投篮的命中率分别为0.7，0.5，0.4，若甲、乙、丙各投篮一次（三人投篮互不影响），则至多有一人命中的概率为______. 【答案】0.45## 【解析】 【分析】利用独立事件的乘法公式、对立事件的概率公式以及互斥事件的概率加法公式求解即可. 【详解】甲、乙、丙各投篮一次（三人投篮互不影响）， 则没有人命中的概率为， 恰有一人命中的概率为， 所以至多有一人命中的概率为. 故答案为：0.45 14. 已知点，，直线是过点且与线段AB相交且斜率存在，则的斜率的取值范围是____________ 【答案】 【解析】 【分析】利用斜率计算公式可得，，根据直线过点且与线段相交，数形结合即可求出直线的斜率的取值范围． 【详解】因为，，， 所以，． 直线过点且与线段相交，如下图所示： 或， 直线的斜率的取值范围是：． 故答案为：． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. （1）已知，，求边的垂直平分线的方程. （2）求过点且在两坐标轴上的截距是互为相反数的直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】 （1）先求得中点坐标,根据垂直的斜率关系可求得直线的斜率,进而利用点斜式求得直线方程,化简为一般式即可. （2）讨论截距是否为0:当截距为0时,可设正比例函数,代入点求解;当截距不为0时,设截距式,代入点坐标即可求得参数,进而得直线方程. 【详解】（1）因为, 则中点坐标为 根据垂直直线的斜率关系可得 所以由点斜式可得 化简得 （2）当截距为0时,设直线方程为 代入可得 则 此时 当截距不为0时,设直线方程为 代入可得 解得,即 化简可得 综上可知,直线方程或 【点睛】本题考查了点斜式方程的用法,截距相同时,注意讨论截距是否为0,属于基础题. 16. 在试验“袋中有白球3个（编号为1，2，3）、黑球2个（编号为1，2），这5个球除颜色外完全相同，从中不放回地依次摸取2个，每次摸1个，观察摸出球的情况”中，摸到白球的结果分别记为，，，摸到黑球的结果分别记为，．求： （1）取到的两个球都是白球的概率； （2）取到的两个球颜色相同的概率； （3）取到的两个球至少有一个是白球的概率． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）（2）（3）根据题意列出试验的样本空间，利用古典概率模型概率计算公式进行计算即可. 【小问1详解】 由前面的分析可知试验的样本空间， 共有20个样本点，且每个样本点出现的可能性相同，可用古典概型来计算概率． 设事件A表示“取到的两个球都是白球”，则， 共含有6个样本点，所以，即取到的两个球都是白球的概率为； 【小问2详解】 设事件B表示“取到的两个球颜色相同”，则， 共含有8个样本点，所以，即取到的两个球颜色相同的概率为； 【小问3详解】 设事件C表示“取到的两个球至少有一个是白球”， 则， 共含有18个样本点，所以，即取到的两个球至少有一个是白球的概率为. 17. 如图，四边形是正方形，平面，，，分别为的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的大小； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判断定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系利用空间向量来求解即可； （3）在（2）建立的坐标系下利用向量法求解即可. 小问1详解】 由题意分别为的中点， 所以是的中位线， 即， 又平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 由于四边形是正方形，平面， 所以两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 如图所示： 又，分别为的中点， 则， 所以； 设平面的一个法向量， 则， 解得，令，得； 即， 设平面的一个法向量为， 则， 解得，令， 即； 设平面与平面夹角的大小为， 所以， 又，所以； 即平面与平面夹角的大小为； 【小问3详解】 由（2）平面的一个法向量为； 又， 所以点到与平面的距离距为： . 18. 在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：，，，…，，得到如下频率分布直方图. （1）求出直方图中m的值； （2）利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数（中位数精确到0.01）； （3）现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品.利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，并从中再随机抽取2个作进一步的质量分析，试求这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率. 【答案】（1） （2）平均数为71，中位数为73.33 （3） 【解析】 【分析】（1）根据小矩形面积之和为1，列出方程求解，即可得出答案； （2）根据平均数公式计算即可得出平均数；根据已知得出质量指标值位于、之间的频率，然后列出方程，求解即可得出答案； （3）先根据已知得出一等、二等品口罩的个数，求出抽样比，得出各品级口罩应抽取的数目.进而列举得出所有可能的样本点以及事件“这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品”包含的样本点个数，根据古典概型公式，即可得出答案. 【小问1详解】 由， 得. 【小问2详解】 平均数为. 设中位数为， 质量指标值位于之间的频率为0.4，位于之间的频率为0.7， 所以，， 且， 解得. 故可以估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为71，中位数为73.33. 【小问3详解】 由频率分布直方图可知，质量指标小于70的频率为0.4，大于70的频率为0.6， 所以100个口罩中一等品、二等品各有60个、40个. 又抽样比为， 由分层抽样可知，所抽取的5个口罩中一等品有个、二等品有个. 记这3个一等品为，2个二等品为， 则从5个口罩中抽取2个，所以可能的样本点的有：，，，，，，，，，，共10个等可能的样本点， 其中恰有1个口罩为一等品包含的样本点有：，，，，，，共6种. 根据古典概型可知，这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $