精品解析：湖南省名校联盟2024-2025学年高一上学期开学考试数学试题

百年世范精准联考 2024级高一新生人学考试 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在题卡上： 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效： 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁： 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸： 6．本学科试卷共23个小题，考试时量90分钟，满分100分 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2024 2. 2017年11月29日，湖南博物院新馆正式对外开放，为公众提供“有温度有力度有速度”的参观体验，成为了湖南走向世界的“文化名片”和实至名归的“湖南文化地标”，到目前为止已累计接待国内外观众超1000万人次，数据1000万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下面四种化学仪器的示意图是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 一个盒中有10枚黑棋子和若干枚白棋子，这些棋子除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，记下颜色，再放回盒中，不断重复上述过程，一共取了200次，其中有50次取到黑棋子，由此估计盒中白棋子的枚数约为（ ） A 20 B. 30 C. 40 D. 50 6. 不等式组解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知直线，E、F分别为直线、上的点，P为直线上方一点.若，，则的度数为（ ） A. B. 60° C. 65° D. 75° 8. 如图，是等边三角形，于点，于点.若，则面积为（ ） A. B. C. D. 9. 某种品牌的汽车经过1、2季度连续两次降价，每辆售价由31万元降到了28万元，设平均每季度降低的百分率为x，根据题意列出的方程是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是内接等边三角形，点D在劣弧上运动（不与点A，B重合），连接．则下列结论不成立的是（ ） A. 点A是的中点 B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 因式分解：______． 12. 若代数式有意义，则实数x取值范围是______． 13. 某班篮球兴趣小组甲、乙、丙三名队员进行投篮测试，每轮投10次，每人投10轮投中的平均数都是76次，方差分别为，，，则甲、乙、丙三名队员中投篮最稳定的队员是______． 14. 一个零件的形状如图所示，，，分别是和．则的度数为______． 15. 如图，用一个圆心角为120°，半径为3的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为______． 16. 已知点是关于x的反比例函数图象上的一点，其中a，b满足，则k的取值范围为______． 二、解答题（本大题共7小题，共52分，其中第17、18、19、20题每小题6分，第21、22题每小题9分，第23题每小题10分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 某数学兴趣小组开展了测量学校国旗旗杆高度的实践活动，通过观察学校操场的主席台与国旗旗杆之间的相对位置，确定利用主席台的可测数据与在点A、B处测出点D的仰角度数，来求出旗杆DE的高，如图，AB的长为5米，高BC为3米，在点A处测得点D的仰角为45°，在点B处测得点D的仰角为34.3°，A、B、C、D、E在同一平面内，求旗杆DE的高.（参考数据：，，，结果保留整数） 20. 2024年4月15日是第九个全民国家安全教育日，全民国家安全教育日（英语：National Security Education Day）是为了增强全民国家安全意识，维护国家安全而设立的节日，某中学为了解学生对全民国家安全教育日的了解程度，学校采用随机抽样的方式获取了若干名学生的进行问卷调查，调查评价结果分为：“了解较少”，“基本了解”，“了解较多”，“非常了解”四类，整理后得到下列不完整的图表： 类别 A类 B类 C类 D类 评价结果 非常了解 了解较多 基本了解 了解较少 频数 8 m n 4 请根据图表中提供的信息解答下面的问题： （1）此次调查共抽取了______名学生，______，______； （2）扇形统计图中，B类所对应的扇形的圆心角是______度； （3）已知在D类的4名学生中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人参加国家安全教育培训活动，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 21. 为丰富学生课外活动内容，光明中学组建了机器人兴趣小组，要购进甲、乙两种型号机器人，甲种型号机器人的单价比乙种型号机器人的单价贵0.3万元，已知用8万元购买甲种型号机器人的数量与用5万元购买乙种型号机器人的数量相同． （1）求甲、乙两种型号机器人的单价分别是多少？ （2）因参与机器人兴趣小组学生人数增加，学校要再购买一些机器人，购买乙种型号机器人的数量是甲种型号机器人数量的2倍，总费用不超过15万元，则最多能购买甲种型号机器人多少台？ 22. 如图，在等腰直角中，，D是BC边上任意一点（不与B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接CE，DE，DE交AC于点F． （1）求证：； （2）若，，求DE的长． 23. 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为，点、在这个二次函数图象上． （1）求二次函数的表达式； （2）若直线MN与直线平行，求的最小值； （3）如图，连接BC，若点P在y轴上时，BP和BC的夹角为15°，求线段CP的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 百年世范精准联考 2024级高一新生人学考试 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在题卡上： 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效： 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁： 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸： 6．本学科试卷共23个小题，考试时量90分钟，满分100分 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2024 【答案】D 【解析】 【分析】利用相反数的意义求解即得. 【详解】的相反数是. 故选：D. 2. 2017年11月29日，湖南博物院新馆正式对外开放，为公众提供“有温度有力度有速度”的参观体验，成为了湖南走向世界的“文化名片”和实至名归的“湖南文化地标”，到目前为止已累计接待国内外观众超1000万人次，数据1000万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的概念判断. 【详解】根据科学记数法的概念，万可表示为. 故选：B. 3. 下面四种化学仪器的示意图是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由轴对称图形的定义可得答案. 【详解】由轴对称图形的定义可知ABD不是轴对称图形，选项C是轴对称图形. 故选：C. 4. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据整式的运算法则及幂的运算法则及乘法公式计算可得. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确. 故选：D 5. 一个盒中有10枚黑棋子和若干枚白棋子，这些棋子除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，记下颜色，再放回盒中，不断重复上述过程，一共取了200次，其中有50次取到黑棋子，由此估计盒中白棋子的枚数约为（ ） A. 20 B. 30 C. 40 D. 50 【答案】B 【解析】 【分析】设盒中白棋子的枚数为枚，由题意可得，计算即可. 【详解】设盒中白棋子的枚数为枚， 根据题意可得，解得， 所以盒中白棋子的枚数约为枚. 故选：B. 6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出各不等式的解集，再在数轴上取其公共部分，即可得解. 【详解】由， 解不等式，可得， 解不等式，可得， 所以不等式组的解为， 所以在数轴上表示为： 故选：B. 7. 如图，已知直线，E、F分别为直线、上的点，P为直线上方一点.若，，则的度数为（ ） A. B. 60° C. 65° D. 75° 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理结合两直线平行同位角相等可得解. 详解】设与交于点， ，，又，， ， . 故选：D. 8. 如图，是等边三角形，于点，于点.若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由等边三角形的性质可求得，，进而利用直角三角形的性质和正切函数值可求得，可求的面积. 【详解】因为是等边三角形，所以， 又因为于点，所以， 又因为于点，所以， 又，所以，解得， 所以的面积为. 故选：A 9. 某种品牌的汽车经过1、2季度连续两次降价，每辆售价由31万元降到了28万元，设平均每季度降低的百分率为x，根据题意列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题可根据：原售价×（1-降低率）=降低后的售价得出两次降价后的价格，然后即可列出方程． 【详解】因为平均每季度降低的百分率为， 所以依题意得：两次降价后的售价为. 故选：C． 10. 如图，是的内接等边三角形，点D在劣弧上运动（不与点A，B重合），连接．则下列结论不成立的是（ ） A. 点A是中点 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对A，根据圆的内接正三角形对称性判断；对B，由点在劣弧上移动，在变化可判断；对C，根据圆的内接正三角形及圆周角概念可判断；对D，构造全等三角形可判断. 【详解】对于A，由圆的内接正三角形对称性，可得点是的中点，故A正确； 对于B，因为点在劣弧上移动，所以在范围变化，故B错误； 对于C，根据圆的内接正三角形及圆周角定义可得，故C正确； 对于D，如图，在上取，因为， 所以是正三角形，所以，又， ， ， ， ， .故D正确. 故选：B. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】提公因式后再利用平方差公式即可. 【详解】, 故答案为： 12. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式和分式的意义求解. 【详解】由题意，，解得且. 故答案为：且. 13. 某班篮球兴趣小组甲、乙、丙三名队员进行投篮测试，每轮投10次，每人投10轮投中的平均数都是76次，方差分别为，，，则甲、乙、丙三名队员中投篮最稳定的队员是______． 【答案】丙 【解析】 【分析】根据方差的意义可作出判断． 【详解】因为，，，所以最小， 所以甲、乙、丙三名队员中投篮最稳定的是丙. 故答案为：丙. 14. 一个零件的形状如图所示，，，分别是和．则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，利用三角形内角和定理进行求解即可. 【详解】连接， 在中，由三角形内角和定理， 得， 由已知可知， 于是有， 因此在中，由三角形内角和定理， 得， 故答案为： 15. 如图，用一个圆心角为120°，半径为3的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为______． 【答案】1 【解析】 【分析】利用圆锥的底面周长等于扇形的弧长可列出等式，进而求解即可． 【详解】假设圆锥的底面圆的半径为， 则依题意, 解得, 故答案为：. 16. 已知点是关于x的反比例函数图象上的一点，其中a，b满足，则k的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，，进一步可得，且，利用二次函数求出值域得解. 【详解】由题，可得，， 又，，化简得，即， 则，且， . 故答案为：. 二、解答题（本大题共7小题，共52分，其中第17、18、19、20题每小题6分，第21、22题每小题9分，第23题每小题10分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】根据根式运算和特殊角三角函数值以及指数幂的运算法则运算即可. 【详解】 . 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把的值代入进行计算即可． 【详解】原式， 把代入得： 原式． 19. 某数学兴趣小组开展了测量学校国旗旗杆高度的实践活动，通过观察学校操场的主席台与国旗旗杆之间的相对位置，确定利用主席台的可测数据与在点A、B处测出点D的仰角度数，来求出旗杆DE的高，如图，AB的长为5米，高BC为3米，在点A处测得点D的仰角为45°，在点B处测得点D的仰角为34.3°，A、B、C、D、E在同一平面内，求旗杆DE的高.（参考数据：，，，结果保留整数） 【答案】18米 【解析】 【分析】利用勾股定理可求得，设米，过点B作，垂足为F，进而可得，利用正切函数值可得，结合，可求结果. 【详解】由题意得：，， 在中，米，米， （米）； 设米，在中，， （米）， 米； 过点B作，垂足为F， 由题意得：米，米， 在中，， 米， ， 解得：，米， 答：旗杆DE的高约为18米． 20. 2024年4月15日是第九个全民国家安全教育日，全民国家安全教育日（英语：National Security Education Day）是为了增强全民国家安全意识，维护国家安全而设立的节日，某中学为了解学生对全民国家安全教育日的了解程度，学校采用随机抽样的方式获取了若干名学生的进行问卷调查，调查评价结果分为：“了解较少”，“基本了解”，“了解较多”，“非常了解”四类，整理后得到下列不完整的图表： 类别 A类 B类 C类 D类 评价结果 非常了解 了解较多 基本了解 了解较少 频数 8 m n 4 请根据图表中提供的信息解答下面的问题： （1）此次调查共抽取了______名学生，______，______； （2）扇形统计图中，B类所对应的扇形的圆心角是______度； （3）已知在D类的4名学生中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人参加国家安全教育培训活动，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）40，18，10 （2）162 （3） 【解析】 【分析】（1）利用可求总人数，进而可求； （2）由（1）可得B类所对应的扇形的圆心角是，计算即可； （3）利用树状图可求得总的取法数，进而可得抽到一名男生和一名女生的取法数，进而可求概率. 【小问1详解】 此次调查共抽取的学生人数为：（名）， ， ； 小问2详解】 扇形统计图中，B类所对应的扇形的圆心角是； 【小问3详解】 画树状图如下： 共有12种等可能结果，其中恰好抽到一名男生和一名女生的结果有8种， ∴恰好抽到一名男生和一名女生的概率为． 21. 为丰富学生课外活动内容，光明中学组建了机器人兴趣小组，要购进甲、乙两种型号机器人，甲种型号机器人的单价比乙种型号机器人的单价贵0.3万元，已知用8万元购买甲种型号机器人的数量与用5万元购买乙种型号机器人的数量相同． （1）求甲、乙两种型号机器人的单价分别是多少？ （2）因参与机器人兴趣小组学生人数增加，学校要再购买一些机器人，购买乙种型号机器人的数量是甲种型号机器人数量的2倍，总费用不超过15万元，则最多能购买甲种型号机器人多少台？ 【答案】（1）甲种型号机器人每台0.8万元，乙种型号机器人每台0.5万元 （2）8台 【解析】 【分析】（1）设乙种型号机器人每台x万元，则甲种型号机器人每台万元，由题意可得，求解即可； （2）设甲种型号机器人购买m台，则乙种型号机器人购买2m台，由题意可得，求解即可. 【小问1详解】 设乙种型号机器人每台x万元，则甲种型号机器人每台万元， 依题意，得：，解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． 答：甲种型号机器人每台0.8万元，乙种型号机器人每台0.5万元． 【小问2详解】 设甲种型号机器人购买m台，则乙种型号机器人购买2m台， 依题意，得：， 解得：． 为正整数，的最大值为8． 答：最多能购买甲种型号机器人8台． 22. 如图，在等腰直角中，，D是BC边上任意一点（不与B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接CE，DE，DE交AC于点F． （1）求证：； （2）若，，求DE的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）由已知可得，，进而可得，，可证结论； （2）由已知可证，进而可得，进而可得，求得，利用勾股定理可求得. 【小问1详解】 是等腰直角三角形， ，， 又由旋转，可得， ． ， ， ，， ． 【小问2详解】 是等腰直角三角形， ，． ． ， ． ． ，． ，， ，．． 在中，根据勾股定理． 23. 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为，点、在这个二次函数图象上． （1）求二次函数的表达式； （2）若直线MN与直线平行，求的最小值； （3）如图，连接BC，若点P在y轴上时，BP和BC的夹角为15°，求线段CP的长． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用二次函数图象过点，可求，从而可求二次函数的表达式； （2）由（1）知，，，结合已知可得，解得，，计算可得，可求最小值. （3）由（1）可得点的坐标，可求得，分点P在点C上方或点P在点C下方，计算可求得的长度. 【小问1详解】 二次函数过点， ， ， 二次函数的表达式为. 【小问2详解】 由（1）知，，， MN与直线平行， 设直线MN的解析式为， 令，即，则， 解得，， ， 因为, 当时，取最小值． 【小问3详解】 由（1）可得点B的坐标为． 又当时，， 点C的坐标为， ， ． 如图， 若点P在点C上方，则， ， . 若点P在点C下方，则， ， ， 综上，线段CP的长度为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$