（总集篇）第二单元分数混合运算·总集篇·工程问题【二十大考点】-2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）北师大版

1 / 27 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年六年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年 真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、 思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2024 年 9 月 26 日 2 / 27 2024-2025 学年六年级数学上册典型例题系列 第二单元分数混合运算·总集篇·工程问题【二十大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第二单元分数混合运算·总集篇·工程问题 专题内容 本专题主要以工程问题为主，其中包括工程问题的基本题型、 合作问题、请假问题以及其他复杂的工程问题。 总体评价 讲解建议 “总集篇”是对热点、重点以及难点内容的总结，适用于阶 段性复习，建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性 讲解部分考点考题。 考点数量 二十个考点。 【第二篇】目录导航篇 【工程问题·知识总览】 ............................................................................................................ 4 【考点一】工程问题基础题型 ........................................................................................... 4 【考点二】合作效率 .......................................................................................................... 6 【考点三】合作时间问题其一 ........................................................................................... 7 【考点四】合作时间问题其二 ........................................................................................... 8 【考点五】合作时间问题其三 ........................................................................................... 9 【考点六】合作时间问题其四 ......................................................................................... 10 【考点七】已知合作时间，求单独完成时间 .................................................................. 11 【考点八】先由一人单独完成，再由另一人单独完成 ................................................... 12 3 / 27 【考点九】先合作完成，再单独完成 ..............................................................................13 【考点十】先单独完成，再合作完成 ..............................................................................15 【考点十一】请假问题其一 ............................................................................................. 16 【考点十二】请假问题其二 ............................................................................................. 18 【考点十三】请假问题其三 ............................................................................................. 19 【考点十四】复杂的工程问题其一：量率对应问题 .......................................................21 【考点十五】复杂的工程问题其二：多人合作问题 .......................................................22 【考点十六】复杂的工程问题其三：剩余工作总量 .......................................................23 【考点十七】复杂的工程问题其四：同时工作问题 .......................................................24 【考点十八】复杂的工程问题其五：工效变化问题 .......................................................25 【考点十九】复杂的工程问题其六：水管注水问题 .......................................................26 【考点二十】复杂的工程问题其七：交替工作问题 .......................................................27 4 / 27 【第三篇】典型例题篇 【工程问题·知识总览】 1. 工程问题的意义。 工程问题指的与工程建造有关的数学问题，在小学数学中，常见的有修路、建筑、 工作等，有时也包括行路、水管注水等。 2. 工程问题的特征。 （1）工作总量： 工作总量指的是工作的多少，但在工程问题中，我们通常把工作总量看作单位“1”， 因为在已知条件中，常常不会给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一 块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，所以，在解题时，常常用单位“1”表示工 作总量。 （2）工作效率： 工作效率表示单位时间内工作量的多少，通俗来说就是工作的快慢，其中单位时 间可以是天、也可以是时、分、秒等。 3. 工程问题的解法。 解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒 数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工 作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。 4. 工程问题基本数量关系。 ①工作效率×工作时间=工作总量； ②工作效率=工作总量÷工作时间； ③工作时间=工作总量÷工作效率。 【考点一】工程问题基础题型。 【方法点拨】 工程问题的基础题型主要是根据工作总量、工作时间、工作效率三者之间基本数 量关系列出算式进行解决的。 【典型例题 1】工作效率。 5 / 27 一项工程，甲队需要 20天完成，甲队每天完成这项工程的几分之几？ 【典型例题 2】工作时间。 一项工程，甲队的工作效率是 10 1 ，甲队完成这项工程需要几天？ 【典型例题 3】工作总量。 一项工程，甲队的工作效率是 12 1 ，甲队工作 5天可以完成这项工程的几分之几？ 工作 9天可以完成这项工程的几分之几？ 【对应练习 1】 乙队完成一项工程的 3 2 需要 12天，求乙队的工作效率。 【对应练习 2】 乙队的工作效率是 15 1 ，乙队完成这项工程的 5 4 需要多少天？ 【对应练习 3】 砌一道墙，甲单独 7小时完成，这道墙已由别人砌了 4 1 ，还要多少小时能完成？ 6 / 27 【考点二】合作效率。 【方法点拨】 甲乙合作效率=甲工作效率+乙工作效率。 【典型例题】 一项工作，甲单独做 12天完成，乙单独做 20天完成。 （1）甲的工作效率是几分之几？乙的工作效率是几分之几？ （2）甲、乙合做 1天完成全工程的几分之几？ （3）甲、乙合作 3天完成完成全工程的几分之几？还剩几分之几没完成？ 【对应练习 1】 一项工程，甲队单独做 10天完成，乙队单独做 15天完成。 （1）甲队每天完成这项工程的     ，乙队每天完成这项工程的     。 （2）甲乙两队合作，每天完成这项工程的     。 （3）甲乙合作 4天后，还剩下这项工程的     没有完成。 【对应练习 2】 一项工程，甲单独做完需要 20天，乙单独做完需要 10天。问： （1）甲的工作效率是几分之几？ （2）乙的工作效率是几分之几？ 7 / 27 （3）甲、乙的工作效率和是几分之几？ 【对应练习 3】 一项工程，甲乙合作需要 12天完成，甲单独做需要 36天完成，那么： （1）甲的工作效率是多少？ （2）甲乙合作的工作效率是多少？ （3）乙的工作效率是多少？ 【考点三】合作时间问题其一。 【方法点拨】 合作时间=工作总量÷合作效率。 【典型例题】 有一批零件，小王单独加工要 8小时完成，小张单独加工要 12小时完成，两人 合作，要几小时完成？ 【对应练习 1】 一段公路，甲工程队单独修 20天完成，乙工程队单独修 30天完成。甲、乙两个 工程队合修，需要多少天才能修完这段公路？（根据题意列出算式，不用计算。） 列式： 8 / 27 【对应练习 2】 有一车快递，张叔叔单独卸货要 8小时，王师傅单独卸货要 6小时，两个人一起 卸货要多长时间？ 【对应练习 3】 修一条 30千米的公路，甲队独修 15天完成，乙队独修 10天完成，两队合修几 天修完？ 【考点四】合作时间问题其二。 【方法点拨】 合作时间=工作总量÷合作效率。 【典型例题】 一条水渠，甲队单独修 8天完成，乙队单独修 10天完成。两队合修，多少天可 以完成这条水渠的 4 5 ？ 【对应练习 1】 加工一批零件，如由李师傅单独加工，需要 8天完成，如由林师傅单独加工，需 要 12天完成。如由李师傅和林师傅两人合作，多少天能完成这批零件的 5 6 ？ 9 / 27 【对应练习 2】 临近新年，张师傅和他的徒弟小李两人接到了一批手工吉祥布偶的订单，由师傅 单独完成需要 12个小时，由徒弟单独完成需要 15个小时，若师徒二人合作，多 长时间可以完成这批订单的 1 2 ？ 【对应练习 3】 为创建全国文明城市，济南市政府准备对某工程进行改造。若请甲工程队单独做 要 10天完成，乙工程队单独做要 15天完成，现在两个工程队合修，几天能完成 全部任务的 2 3 ？ 【考点五】合作时间问题其三。 【方法点拨】 合作时间=工作总量÷合作效率。 【典型例题】 一项工程，甲队单独做 5天完成，乙队单独做 3天完成工作总量的一半，现在两 队合做几天完成？ 【对应练习 1】 一项工程，甲独做 8天可以完成，乙独做 8天只能完成这项工程的 4 5 ，如果甲、 乙合做，多少时间才能完成这项工程？ 10 / 27 【对应练习 2】 一项工程，甲独做 20天可以完成这项工作的 1 9 ，乙独做 9天可以完成这项工作 的 1 10 ，甲、乙两人合做，需要几天可以完成这项工作的一半？ 【对应练习 3】 一项工程，甲队单独做 10天完成，乙队的工作效率是甲队的 2 3 。如果甲、乙两 队合做，几天可以完成这项工程的 5 6 ？ 【考点六】合作时间问题其四。 【方法点拨】 合作时间=工作总量÷合作效率。 【典型例题】 一项工程，甲、乙合作需要 6天可以完成，乙、丙合作需 9天完成，甲、丙合作 需 15天完成。现在甲、乙、丙三人合作需要多少天完成？ 【对应练习 1】 一项工程甲乙合作，36天完成，乙丙两人合作，45天完成，甲丙两人合作，60 天完成，如果甲、乙、丙单独做，各需多少天？ 11 / 27 【对应练习 2】 一项工程，甲乙两队合作需 12天完成，乙丙两队合作需 15天完成，甲丙两队合 作需 20天完成，如果由甲乙丙三队合作需几天完成？ 【对应练习 3】 甲、乙、丙承包一项工程，共发工资 14400元。三人完成工程的情况是：甲、乙 合作 6天完成工程的 13，乙、丙合作 2天完成余下工程的 1 4 ，最后甲、乙、丙三 人又合作 5天完成工程。按各人完成的工作量来付酬金，问：每人各应得多少元？ 【考点七】已知合作时间，求单独完成时间。 【方法点拨】 甲乙合作效率=甲工作效率+乙工作效率 合作时间=工作总量÷合作效率 【典型例题】 为举办风筝节，现需制作一批风筝，甲、乙两厂同时制作 6天可以完成，如果甲 厂单独做，10天可以完成，如果乙厂单独做，几天可以完成？ 【对应练习 1】 修一条路，甲、乙两队合作修要 12天完成，甲队单独修要 20天完成。乙队单独 修要多少天完成？ 12 / 27 【对应练习 2】 甲乙两个工程队共同修建一条隧道，已知两队合作 6个月能完成，如果甲队单独 完成需要 15个月，那么乙队单独修建成这条隧道需要多少个月？ 【对应练习 3】 一项工程，甲乙两队一起做需要 10天，乙队单独做需要 15天，如果甲队单独做， 多少天可以完成这项工程？ 【考点八】先由一人单独完成，再由另一人单独完成。 【方法点拨】 甲乙合作效率=甲工作效率+乙工作效率 合作时间=工作总量÷合作效率 【典型例题 1】完成剩余工作量。 一项工程，甲 3天可以完成工程总量的 12 ，乙完成工程总量的 1 3要 3天，现由甲 先单独做 2天，剩下的由乙单独做，乙还要做几天才能完成任务？ 【典型例题 2】完成全部工作量。 一项工程，甲队单独做 15天可以完成，甲队做了 10天后，由于另有任务，剩下 的工作由乙队单独做完需要 6天完成。问：乙队单独完成这项工作需多少天？ 13 / 27 【对应练习 1】 一项工程，甲单独做需要 15天完成。若甲先单独做 5天，余下的工程由乙单独 做，8天可以完成。若甲先单独做 10天，余下的工程由乙单独做，则多少天可 以完成？ 【对应练习 2】 工程队要给幸福村修一条 3000米的路。如果甲队单独修，需要 8天修完，如果 乙队单独修，需要 10天修完。甲队修了 4天后接到新的任务，剩下的由乙队修， 还需要多少天可以修完？ 【对应练习 3】 加工一批零件，甲单独做要 12小时，乙单独做要 10小时，现在甲先做 3小时后， 乙来参加一同做，还需要多少小时才能完成？ 【考点九】先合作完成，再单独完成。 【方法点拨】 甲乙合作效率=甲工作效率+乙工作效率 合作时间=工作总量÷合作效率 【典型例题 1】完成剩余工作量。 一段路，甲单独修需要 8天完成，乙单独修需要 10天完成，甲乙两队合修 2天 后，剩下的乙单独修，还需要修几天？ 14 / 27 【对应练习 1】 修建一条隧道，甲工程队单独修建需要 12个月，乙工程队单独修建需要 10个月。 现在甲乙两队合修 3个月后，剩下的由乙工程队独修，还需要几个月完成？ 【对应练习 2】 一项工程甲队单独做 10天可以完成，乙队单独做 8天可以完成，如果两队合作 2天，剩下的甲单独做，那么甲队还需要多少天完成任务？ 【典型例题 2】完成全部工作量。 甲、乙两个工程队合作一项工程，甲队单独做需要 15天完成，甲、乙合作需要 10天完成。如果乙队单独做这项工程，需要几天完成？ 【对应练习 1】 一项工程，甲队独做 15天完成，乙队独做 12天完成。现在甲、乙合作 4天后， 剩下的工程由丙队 8 天完成。如果这项工程由丙队独做，需几天完成？ 【对应练习 2】 一项工程，甲乙两队合做 30天完成，现在甲队单独做 24天后乙队加入，两队合 做了 12天后，这时甲队调走，乙队继续做 15天才完成这项工程。甲队单独做这 项工程需要多少天？ 15 / 27 【对应练习 3】 一项工程，甲单独做要 20天完成，现在由甲单独做了 4天，以后由甲、乙两人 合作 6天就完成任务。如果这项工程由乙单独做，要做多少天才能完成？ 【考点十】先单独完成，再合作完成。 【方法点拨】 甲乙合作效率=甲工作效率+乙工作效率 合作时间=工作总量÷合作效率 【典型例题 1】 一项工程，甲队单独做 20天完成，乙队单独做 30天完成，甲队从先做了这项工 程的 1 4 后，乙队加入。两队合作完成剩下的工程，还要多少天？ 【典型例题 2】 运一批货物，甲车需要 8小时可以运完，乙车需要 12小时可以运完，甲车先运 了 3小时，然后甲、乙两车同时运，还需几小时才能运完？ 【对应练习 1】 某市政府决定对某老旧小区进行改造。改造工程由甲队单独做 15天完成，乙队 单独做 12天完成。现乙队单独做 3天后，剩下的工程由甲、乙两队合作完成。 甲、乙两队还要合作几天可以完成改造工程？ 16 / 27 【对应练习 2】 修一条路，甲单独修需 16天，乙单独修需 24天。 【对应练习 3】 一项工程，甲单独做 15天完成，乙单独做 12天完成，如果乙先做 3天后，再由 两人合作，还需要多少天完成全部工程？ 【对应练习 4】 修一条公路，甲队单独修需要 10天完成，乙队单独修需要 15天完成。现先由甲 队修 2天，余下的两队合修，修完这条路甲队一共修了多少天？ 【考点十一】请假问题其一。 【方法点拨】 合作效率=各单位量工作效率之和 工效和×合作时间=工作总量 工作总量÷工效和=合作时间 工作总量÷合作时间=工效和。 17 / 27 【典型例题】 一条公路，甲队单独修 24天完成，乙队单独修 30天完成，现在甲乙两队合修若 干天后，乙队因另有任务调离，甲队继续修了 6天才完成任务，求乙队修了几天？ 【对应练习 1】 一项工程，甲队单独做 8天完成，乙队单独完成比甲队多用 4天，现在甲乙合作 几天后，乙另有任务调走，甲又干做 3天才完成任务，求乙队工作了几天？ 【对应练习 2】 一项工程，甲、乙合作 40天可以完成。甲、乙合作 10天后，甲队另有任务抽调 到其它工地，剩下的工程由乙继续做了 45天才完成。如果这项工程由甲单独完 成，需要多少天？ 【对应练习 3】 师傅每小时加工 15个零件，徒弟每小时加工 12个零件．师徒俩合作加工 6小时 后师傅因事离开，徒弟又工作了 3小时才完成．完成这次任务一共加工了多少个 零件？ 18 / 27 【考点十二】请假问题其二。 【方法点拨】 合作效率=各单位量工作效率之和 工效和×合作时间=工作总量 工作总量÷工效和=合作时间 工作总量÷合作时间=工效和。 【典型例题】 一项工程，单独做甲队用 20天，乙队用 30天。甲乙两队合做若干天后，乙队因 事调走，甲队继续工作，从开工到完成一共用了 14天，求乙队调走了几天？ 【对应练习 1】 一项工程，甲队单独做 40天完成，乙队单独做 60天完成，甲、乙两队合作几天 后，甲队另有任务调走几天，乙继续做，那么从开工到完成任务共用了 27天， 问甲队请假多少天？ 【对应练习 2】 甲、乙两队合作一项工程，若由甲队单独做，12天可完成，若由乙队单独做则 需 20天完成．现开始由甲、乙两队合作，中途甲队因另有任务派遣，剩下的任 务由乙队单独完成．已知从开工到结束共用 10天，问：乙队单独做了几天？ 19 / 27 【对应练习 3】 —项工程，甲队独做 20天完成，乙队独做 30天完成。 （1）甲乙两队合作，完成这项工程需（ ）天。 （2）实际施工过程中，两队合作了若干天后，甲队另有任务撤离，这样前后共 工作了 18天完成任务。甲队撤离了几天？ 【对应练习 4】 一项工程甲队单独做 15天可以完成，乙队单独做 10天可以完成。现在开始两队 合作，但中间乙队因另有任务调走，从开始到完成任务，甲队工作了 9天，乙队 比甲队少工作了多少天？ 【考点十三】请假问题其三。 【方法点拨】 合作效率=各单位量工作效率之和 工效和×合作时间=工作总量 工作总量÷工效和=合作时间 工作总量÷合作时间=工效和。 【典型例题】 一件工作，甲单独做要 20天完成，乙单独做要 12天完成，这项工作先由甲做了 若干天，再由乙继续做完，从开始到完工共用了 14天，甲做了几天？ 20 / 27 【对应练习 1】 单独完成一件工程，甲需要 24天，乙需要 32天，若甲先单独做若干天后，再有 乙单独完成，则一共用了 26天完成工作。问甲做了多少天？ 【对应练习 2】 一项工程，甲独做 12天完成，乙独做 4天完成。若甲先做若干天后，由乙接着 做余下的工程，直至完成全部任务，这样前后共用了 6天，甲先做了几天？ 【对应练习 3】 修一条公路，甲队单独 10天修完，乙队单独 12天修完，丙队单独 15天修完， 现在三队合修，但中途甲队撤离到其他工地，结果一共用了 6天把这条公路修完， 修这条公路甲队工作了几天？ 21 / 27 【考点十四】复杂的工程问题其一：量率对应问题。 【方法点拨】 合作效率=各单位量工作效率之和 工效和×合作时间=工作总量 工作总量÷工效和=合作时间 工作总量÷合作时间=工效和。 【典型例题】 加工一批玩具，甲单独做需要 7天完成。乙单独做需要 8天完成，现在两人合作， 完成任务时甲比乙多做 20个。这批玩具一共多少个？ 【对应练习 1】 甲、乙两个工程队合修一条水渠，如果甲队单独修 6天完成，乙队单独修 8天完 成，已知甲队每天比乙队多修 30米，这条水渠全长多少米？ 【对应练习 2】 加工一批零件，单独加工，师傅需要 15天，徒弟需要 18天。现在由师徒二人合 作完成，完成任务时，师傅比徒弟多加工 20个。这批零件一共有多少个？ 22 / 27 【对应练习 3】 加工一批零件，甲、乙合作 24天可以完成。现在由甲先做 16天，然后由乙再做 12天，正好完成这批零件的 3 5 。已知甲每天比乙多加工 5个零件。这批零件一共 有多少个？ 【考点十五】复杂的工程问题其二：多人合作问题。 【方法点拨】 合作效率=各单位量工作效率之和 工效和×合作时间=工作总量 工作总量÷工效和=合作时间 工作总量÷合作时间=工效和。 【典型例题】 加工一批零件，甲、乙两人合作 1小时，完成了这批零件的 11 60 ，乙、丙两人接 着生产 1小时，又完成了 3 20 ，甲、丙又合做 2小时，完成了 13，剩下的任务， 甲、乙、丙三人合做，还要多少小时完成？ 【对应练习 1】 甲、乙、丙三人合作一项工程，若甲、乙合作需要 15天完成，若乙、丙合作需 要 12天完成，若甲、丙合作需要 8天完成，若按照甲、乙、丙的顺序轮流各工 作 1天，之后重复，完成这项工程需要多少天？ 23 / 27 【对应练习 2】 甲、乙、丙三人承包一项任务，发给他们的工资是 180元，三人完成这项任务的 情况是：甲、乙两人合作 6天完成了这项任务的 13；因甲有事，乙、丙合作 2天 完成了余下任务的 1 4 ；以后 3人合作 5天完成了这项任务。按完成工作量的多少 付酬，甲、乙、丙各应得多少元？ 【对应练习 3】 甲、乙、丙三人合修一段围墙，甲、乙合修 6天修好围墙的 13，乙、丙合修 2天 修好余下的剩下的 1 4 ，三人又合修了 5天才完成，共得报酬 180元。按各人所完 成的工作量的多少来合理分配，每人应得多少元？ 【考点十六】复杂的工程问题其三：剩余工作总量。 【方法点拨】 合作效率=各单位量工作效率之和 工效和×合作时间=工作总量 工作总量÷工效和=合作时间 工作总量÷合作时间=工效和。 【典型例题】 甲乙合作完成一件工作，合作 8天后，乙又独做 5天，这时还剩下这件工作的 1 6 。 已知乙单独做这件工作需要 30天，那么甲单独完成这件工作需要多少天？ 24 / 27 【对应练习】 甲乙两人合作完成一项工程要 8小时。若甲先工作 4小时，乙再工作 6小时，还 余下这项工程的 2 5 。甲、乙两人单独完成这项工程各需要几小时？ 【考点十七】复杂的工程问题其四：同时工作问题。 【方法点拨】 合作效率=各单位量工作效率之和 工效和×合作时间=工作总量 工作总量÷工效和=合作时间 工作总量÷合作时间=工效和。 【典型例题】 搬运一个仓库的货物，甲需要 10小时，乙需要 12小时，丙需要 15小时。有同 样的仓库 A和 B，甲在 A仓库，乙在 B仓库同时开始搬运，丙帮助两库搬运， 最后两个仓库货物同时搬完。问丙帮助甲、乙各多少时间？ 【对应练习】 有两个同样的仓库 A和 B，搬运一个仓库里的货物，甲需要 18小时，乙需要 12 小时，丙需要 9小时。甲、乙在 A仓库，丙在 B仓库，同时开始搬运。中途甲 又转向帮助丙搬运。最后两个仓库同时搬完。甲帮助乙、丙各多少小时？ 25 / 27 【考点十八】复杂的工程问题其五：工效变化问题。 【方法点拨】 合作效率=各单位量工作效率之和 工效和×合作时间=工作总量 工作总量÷工效和=合作时间 工作总量÷合作时间=工效和。 【典型例题】 甲、乙两人合作完成一项工作，由于配合默契，甲的工效比单独做时提高了 1 5 ， 乙的工效比单独做时提高了 1 6 ，甲、乙合作 6小时完成此项工作。已知甲单独做 需要 12小时，那么乙单独做需要多少小时？ 【对应练习】 甲乙合作完成一项工作，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时提高 ，乙的 工作效率比单独做时提高 ，甲乙合作 6小时完成了这项工作．如果甲单独做需 要 11小时，那么乙单独做需要几小时？ 26 / 27 【考点十九】复杂的工程问题其六：水管注水问题。 【方法点拨】 合作效率=各单位量工作效率之和 工效和×合作时间=工作总量 工作总量÷工效和=合作时间 工作总量÷合作时间=工效和。 【典型例题】 如果用甲、乙、丙三根水管同时在一个空水池里灌水，1小时可以灌满；如果用 甲、乙两管，1小时 20分钟可以灌满；如果用乙、丙两根水管，1小时 15分钟 可以灌满。那么，用乙管单独灌水的话，灌满这一池需要多少小时？ 【对应练习】 一个水池需要重新注满水。现有甲、乙、丙三个水管，若甲、乙两管同时打开要 用 4小时，若乙、丙两管同时打开要用 6小时。现在先打开甲、丙两个水管 1 小时，然后单独打开乙水管，9个小时后水刚好注满。如果开始就只用乙水管， 需要多少小时注满水？ 27 / 27 【考点二十】复杂的工程问题其七：交替工作问题。 【方法点拨】 合作效率=各单位量工作效率之和 工效和×合作时间=工作总量 工作总量÷工效和=合作时间 工作总量÷合作时间=工效和。 【典型例题】 一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样交替轮流 做，那么恰好用整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四 天甲做，这样交替轮流做，那么完工时间要比前一种多半天。已知乙单独做这项 工程需 17天完成，甲单独做这项工程要多少天完成？ 【对应练习】 搬运一批货物，王师傅单独搬完需要 8小时，李师傅单独搬完需要 6小时。为了 确保质量，让两人有足够的休息时间，打算先让王师傅搬 1小时，然后让李师傅 搬 1小时，再由王师傅搬 1小时……两人如此交替搬运，搬完这批货物一共需要 几小时？ 1 / 55 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年六年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年 真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、 思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2024 年 9 月 26日 2 / 55 2024-2025 学年六年级数学上册典型例题系列 第二单元分数混合运算·总集篇·工程问题【二十大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第二单元分数混合运算·总集篇·工程问题 专题内容 本专题主要以工程问题为主，其中包括工程问题的基本题型、 合作问题、请假问题以及其他复杂的工程问题。 总体评价 讲解建议 “总集篇”是对热点、重点以及难点内容的总结，适用于阶 段性复习，建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性 讲解部分考点考题。 考点数量 二十个考点。 【第二篇】目录导航篇 【工程问题·知识总览】 ............................................................................................................ 4 【考点一】工程问题基础题型 ........................................................................................... 4 【考点二】合作效率 .......................................................................................................... 6 【考点三】合作时间问题其一 ........................................................................................... 7 【考点四】合作时间问题其二 ......................................................................................... 10 【考点五】合作时间问题其三 ......................................................................................... 12 【考点六】合作时间问题其四 ......................................................................................... 15 【考点七】已知合作时间，求单独完成时间 .................................................................. 18 【考点八】先由一人单独完成，再由另一人单独完成 ................................................... 20 3 / 55 【考点九】先合作完成，再单独完成 ..............................................................................24 【考点十】先单独完成，再合作完成 ..............................................................................28 【考点十一】请假问题其一 ............................................................................................. 31 【考点十二】请假问题其二 ............................................................................................. 33 【考点十三】请假问题其三 ............................................................................................. 36 【考点十四】复杂的工程问题其一：量率对应问题 .......................................................37 【考点十五】复杂的工程问题其二：多人合作问题 .......................................................40 【考点十六】复杂的工程问题其三：剩余工作总量 .......................................................46 【考点十七】复杂的工程问题其四：同时工作问题 .......................................................48 【考点十八】复杂的工程问题其五：工效变化问题 .......................................................50 【考点十九】复杂的工程问题其六：水管注水问题 .......................................................52 【考点二十】复杂的工程问题其七：交替工作问题 .......................................................53 4 / 55 【第三篇】典型例题篇 【工程问题·知识总览】 1. 工程问题的意义。 工程问题指的与工程建造有关的数学问题，在小学数学中，常见的有修路、建筑、 工作等，有时也包括行路、水管注水等。 2. 工程问题的特征。 （1）工作总量： 工作总量指的是工作的多少，但在工程问题中，我们通常把工作总量看作单位“1”， 因为在已知条件中，常常不会给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一 块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，所以，在解题时，常常用单位“1”表示工 作总量。 （2）工作效率： 工作效率表示单位时间内工作量的多少，通俗来说就是工作的快慢，其中单位时 间可以是天、也可以是时、分、秒等。 3. 工程问题的解法。 解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒 数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工 作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。 4. 工程问题基本数量关系。 ①工作效率×工作时间=工作总量； ②工作效率=工作总量÷工作时间； ③工作时间=工作总量÷工作效率。 【考点一】工程问题基础题型。 【方法点拨】 工程问题的基础题型主要是根据工作总量、工作时间、工作效率三者之间基本数 量关系列出算式进行解决的。 【典型例题 1】工作效率。 5 / 55 一项工程，甲队需要 20天完成，甲队每天完成这项工程的几分之几？ 解析： 直接利用公式：工作效率=工作总量÷工作时间列式计算。 1÷20= 20 1 答：略。 【典型例题 2】工作时间。 一项工程，甲队的工作效率是 10 1 ，甲队完成这项工程需要几天？ 解析： 直接利用公式：工作时间=工作总量÷工作效率列式计算。 1÷ 10 1 =10（天） 答：略。 【典型例题 3】工作总量。 一项工程，甲队的工作效率是 12 1 ，甲队工作 5天可以完成这项工程的几分之几？ 工作 9天可以完成这项工程的几分之几？ 解析： ① 12 1 ×5= 12 5 ② 12 1 ×9= 12 9 = 4 3 答：略。 【对应练习 1】 乙队完成一项工程的 3 2 需要 12天，求乙队的工作效率。 解析： 3 2 ÷12= 18 1 答：略。 【对应练习 2】 乙队的工作效率是 15 1 ，乙队完成这项工程的 5 4 需要多少天？ 解析： 6 / 55 5 4 ÷ 15 1 =12（天） 答：略。 【对应练习 3】 砌一道墙，甲单独 7小时完成，这道墙已由别人砌了 4 1 ，还要多少小时能完成？ 解析： （1- 4 1 ）÷ 7 1 = 4 21 （小时） 答：略。 【考点二】合作效率。 【方法点拨】 甲乙合作效率=甲工作效率+乙工作效率。 【典型例题】 一项工作，甲单独做 12天完成，乙单独做 20天完成。 （1）甲的工作效率是几分之几？乙的工作效率是几分之几？ 解析：1÷12= 12 1 ；1÷20= 20 1 答：略。 （2）甲、乙合做 1天完成全工程的几分之几？ 解析： 12 1 + 20 1 = 15 2 答：略。 （3）甲、乙合作 3天完成完成全工程的几分之几？还剩几分之几没完成？ 解析：3× 15 2 = 5 2 ；1- 5 2 = 5 3 答：略。 【对应练习 1】 一项工程，甲队单独做 10天完成，乙队单独做 15天完成。 （1）甲队每天完成这项工程的     ，乙队每天完成这项工程的     。 解析： 10 1 ； 15 1 7 / 55 （2）甲乙两队合作，每天完成这项工程的     。 解析： 10 1 + 15 1 = 6 1 （3）甲乙合作 4天后，还剩下这项工程的     没有完成。 解析：1- 6 1 ×4= 3 1 【对应练习 2】 一项工程，甲单独做完需要 20天，乙单独做完需要 10天。问： （1）甲的工作效率是几分之几？ 解析：1÷20= 20 1 （2）乙的工作效率是几分之几？ 解析：1÷10= 10 1 （3）甲、乙的工作效率和是几分之几？ 解析： 20 1 + 10 1 = 20 3 【对应练习 3】 一项工程，甲乙合作需要 12天完成，甲单独做需要 36天完成，那么： （1）甲的工作效率是多少？ 解析： 甲的工作效率：1÷36= 36 1 （2）甲乙合作的工作效率是多少？ 解析： 合作效率：1÷12= 12 1 （3）乙的工作效率是多少？ 解析： 12 1 - 36 1 = 18 1 【考点三】合作时间问题其一。 【方法点拨】 8 / 55 合作时间=工作总量÷合作效率。 【典型例题】 有一批零件，小王单独加工要 8小时完成，小张单独加工要 12小时完成，两人 合作，要几小时完成？ 【答案】4.8小时 【分析】根据工作效率＝工作总量÷工作时间；把这批零件看作单位“1”，用 1÷8， 求出甲的工作效率；用 1÷12，求出乙的工作效率；再根据工作时间＝工作总量÷ 工作效率，用 1除以甲与乙的工作效率和，即可解答。 【详解】1÷（ 18＋ 1 12 ） ＝1÷（ 324＋ 2 24） ＝1÷ 5 24 ＝1× 245 ＝4.8（小时） 答：要 4.8小时完成。 【对应练习 1】 一段公路，甲工程队单独修 20天完成，乙工程队单独修 30天完成。甲、乙两个 工程队合修，需要多少天才能修完这段公路？（根据题意列出算式，不用计算。） 列式： 【答案】1÷（ 1 20 ＋ 1 30 ） 【分析】把修一段公路的工作总量看作单位“1”，已知甲工程队单独修 20天完成， 则甲队的工作效率是 1 20 ；已知乙工程队单独修 30天完成，则乙队的工作效率是 1 30 ；两队合作的工作效率是（ 1 20 ＋ 1 30 ）；根据“合作工时＝工作总量÷合作工效”， 即是两队合作修完这段公路需要的天数。 【详解】1÷（ 1 20 ＋ 1 30 ） ＝1÷（ 360＋ 2 60 ） ＝1÷ 1 12 9 / 55 ＝1×12 ＝12（天） 答：需要 12天才能修完这段公路。 【对应练习 2】 有一车快递，张叔叔单独卸货要 8小时，王师傅单独卸货要 6小时，两个人一起 卸货要多长时间？ 【答案】 24 7 小时 【分析】把这一车的快递总量看作单位“1”， 张叔叔单独卸货要 8小时，王师傅 单独卸货要 6小时，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，分别求出张叔叔和王 师傅的工作效率，两个人一起卸货，则工作效率就是他们的工作效率之和，再根 据工作时间＝工作总量÷工作效率，即可求出两个人一起卸货要多长时间，据此 解答。 【详解】1÷8＝ 18 1÷6＝ 1 6 1÷（ 18＋ 1 6 ） ＝1÷（ 324＋ 4 24） ＝1÷ 7 24 ＝ 24 7 （小时） 答：两个人一起卸货要 24 7 小时。 【对应练习 3】 修一条 30千米的公路，甲队独修 15天完成，乙队独修 10天完成，两队合修几 天修完？ 【答案】6天 【分析】将公路全长看作单位“1”，时间分之一可以看作效率，公路全长÷两队效 率和＝合修天数，据此列式解答。 【详解】1÷（ 1 15 ＋ 1 10 ） 10 / 55 ＝1÷ 1 6 ＝1×6 ＝6（天） 答：两队合修 6天修完。 【考点四】合作时间问题其二。 【方法点拨】 合作时间=工作总量÷合作效率。 【典型例题】 一条水渠，甲队单独修 8天完成，乙队单独修 10天完成。两队合修，多少天可 以完成这条水渠的 4 5 ？ 【答案】 32 9 天 【分析】由题意可知，把这条水渠的长度看作单位“1”，则甲队的工作效率是1 8 ， 乙队的工作效率是 1 10 ，再根据 工作总量 甲乙两队的工作效率和＝工作时间，代入数 据解答即可。 【详解】 4 5 ÷（ 1 8 ＋ 1 10 ） ＝ 4 5 ÷（ 5 4 40 40  ） ＝ 4 5 ÷ 9 40 4 40 5 9   ＝ 32 9 （天） 答：两队合修， 32 9 天可以完成这条水渠的 4 5 。 【对应练习 1】 加工一批零件，如由李师傅单独加工，需要 8天完成，如由林师傅单独加工，需 要 12天完成。如由李师傅和林师傅两人合作，多少天能完成这批零件的 5 6 ？ 【答案】4天 【分析】把这批零件的总量看作单位“1”，根据工作效率＝工作总量÷工作时间， 11 / 55 分别用 1÷8和 1÷12求得李师傅和林师傅各自的工作效率，然后根据工作时间＝ 工作总量÷工作效率和。用 5 6 除以两人的工作效率和，即可求出多少天能完成这 批零件的 5 6 。 【详解】1÷8＝ 18 1÷12＝ 1 12 5 6 ÷（ 18＋ 1 12 ） ＝ 5 6 ÷ 5 24 ＝ 5 6 × 245 ＝4（天） 答：4天能完成这批零件的 5 6 。 【对应练习 2】 临近新年，张师傅和他的徒弟小李两人接到了一批手工吉祥布偶的订单，由师傅 单独完成需要 12个小时，由徒弟单独完成需要 15个小时，若师徒二人合作，多 长时间可以完成这批订单的 1 2 ？ 【答案】 10 3 小时 【分析】首先根据工作效率＝工作量÷工作时间，把这批零件的总数看作单位“1”， 分别用 1除以两人单独加工需要的时间，求出两人的工作效率各是多少；然后根 据工作时间＝工作量÷工作效率，用这批零件的 1 2 除以两人的工作效率之和，求 出如果师徙两人一起加工，多长时间可以完成这批订单的 1 2 。 【详解】1÷12＝ 1 12 1÷15＝ 1 15 1 2 ÷（ 1 12 ＋ 1 15 ） ＝ 1 2 ÷ 3 20 12 / 55 ＝ 1 2 × 20 3 ＝ 10 3 （小时） 答： 10 3 小时可以完成这批订单的 1 2 。 【对应练习 3】 为创建全国文明城市，济南市政府准备对某工程进行改造。若请甲工程队单独做 要 10天完成，乙工程队单独做要 15天完成，现在两个工程队合修，几天能完成 全部任务的 2 3 ？ 【答案】4天 【分析】把这项工程看作单位“1”，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，用 1÷10， 求出甲工程队的工作效率；用 1÷15，求出乙工程队的工作效率；再用 2 3 除以甲 工程队的工作效率与乙工程队的工作效率和，即可解答。 【详解】 2 3 ÷[（1÷10）＋（1÷15）] ＝ 2 3 ÷[ 1 10 ＋ 1 15 ] ＝ 2 3 ÷[ 330＋ 2 30 ] ＝ 2 3 ÷ 1 6 ＝ 2 3 ×6 ＝4（天） 答：4天能完成全部任务的 2 3 。 【考点五】合作时间问题其三。 【方法点拨】 合作时间=工作总量÷合作效率。 【典型例题】 一项工程，甲队单独做 5天完成，乙队单独做 3天完成工作总量的一半，现在两 队合做几天完成？ 13 / 55 【答案】 30 11天 【分析】把这项工程的工作总量看作单位“1”，根据“工作效率＝工作总量÷工作 时间”，分别求出甲队、乙队各自的工作效率，两队的工作效率相加即是合做工 效；根据“合做工时＝工作总量÷合做工效”，求出两队合做完成的天数。 【详解】1÷5＝ 15 1 2 ÷3 ＝ 1 2 × 13 ＝ 1 6 1÷（ 15＋ 1 6 ） ＝1÷（ 6 30 ＋ 5 30） ＝1÷ 1130 ＝ 30 11（天） 答：现在两队合做 30 11天完成。 【点睛】本题考查工程问题，掌握工作效率、工作时间、工作总量之间的关系是 解题的关键。 【对应练习 1】 一项工程，甲独做 8天可以完成，乙独做 8天只能完成这项工程的 4 5 ，如果甲、 乙合做，多少时间才能完成这项工程？ 【答案】 40 9 天 【分析】通过题目可知，这项工程是单位“1”，根据公式：工作效率＝工作总量÷ 工作时间，由此即可求出甲、乙的工作效率，之后用 1除以甲、乙工作效率的和 即可求出需要的时间。 【详解】1÷8＝ 18 4 5 ÷8＝ 1 10 14 / 55 1÷（ 18＋ 1 10 ） ＝1÷ 940 ＝ 40 9 （天） 答：如果甲、乙合作 40 9 天才能完成这项工程。 【点睛】本题主要考查工程问题，熟练掌握工程问题的公式并灵活运用。 【对应练习 2】 一项工程，甲独做 20天可以完成这项工作的 1 9 ，乙独做 9天可以完成这项工作 的 1 10 ，甲、乙两人合做，需要几天可以完成这项工作的一半？ 【答案】30天 【分析】由题意可知，根据工作总量÷工作时间＝工作效率，用 1 9 除以 20即可求 出甲的工作效率；用 1 10 即可求出 9即可求出乙的工作效率；再根据工作总量÷工 作效率之和＝工作时间，用 1 2 除以甲和乙的工作效率之和即可求解。 【详解】 1 2 ÷（ 1 9 ÷20＋ 1 10 ÷9） ＝ 1 2 ÷（ 1180＋ 1 90） ＝ 1 2 ÷ 1 60 ＝30（天） 答：甲、乙两人合做，需要 30天可以完成这项工作的一半。 【点睛】本题考查分数除法，明确工作效率、工作时间和工作总量之间的关系是 解题的关键。 【对应练习 3】 一项工程，甲队单独做 10天完成，乙队的工作效率是甲队的 2 3 。如果甲、乙两 队合做，几天可以完成这项工程的 5 6 ？ 【答案】5天 【分析】把这项工程的工作总量看作单位“1”，已知甲队单独做 10天完成，则甲 15 / 55 队的工作效率是 1 10 ；乙队的工作效率是甲队的 2 3 ，根据求一个数的几分之几是多 少，用甲队的工作效率乘 2 3 ，即可求出乙队的工作效率；两队的工作效率相加， 就是两队的合作效率，根据合作时间＝合作工作量÷合作工效，即可求出完成这 项工程的 5 6 需要的天数。再将分步计算改写成综合算式即可。 【详解】1÷10＝ 1 10 乙队的工作效率： 1 10 × 2 3 ＝ 2 30 合作工作效率： 1 10 ＋ 2 30＝ 1 6 5 6 ÷ 1 6 ＝ 5 6 ×6 ＝5（天） 答：5天可以完成这项工程的 5 6 。 【考点六】合作时间问题其四。 【方法点拨】 合作时间=工作总量÷合作效率。 【典型例题】 一项工程，甲、乙合作需要 6天可以完成，乙、丙合作需 9天完成，甲、丙合作 需 15天完成。现在甲、乙、丙三人合作需要多少天完成？ 解析： 甲、乙的工作效率：1÷6＝ 1 6 乙、丙的工作效率：1÷9＝ 19 甲、丙的工作效率：1÷15＝ 1 15 1÷[（ 1 1 1 6 9 15   ）÷2] ＝1÷[（ 1 1 1 6 9 15   ）÷2] 16 / 55 ＝1÷[ 31 90 ÷2] ＝1÷ 31 180 ＝ 180 31 （天） 答：现在甲、乙、丙三人合作需要 180 31 天完成。 【对应练习 1】 一项工程甲乙合作，36天完成，乙丙两人合作，45天完成，甲丙两人合作，60 天完成，如果甲、乙、丙单独做，各需多少天？ 【答案】甲 90天；乙 60天；丙 180天 【分析】首先根据工作效率＝工作量÷工作时间，分别求出甲乙、乙丙、甲丙的 工作效率，再用它们的和除以 2，求出三人的工作效率之和；再用它分别减去甲 乙、乙丙、甲丙的工作效率求出丙、甲、乙的工作效率，再根据工作时间＝工作 量÷工作效率，求出它们各自需要的时间。 【详解】（ 1 36 ＋ 1 45＋ 1 60 ）÷2 ＝ 12 180 ÷2 ＝ 1 30 1÷（ 1 30 － 1 36 ） ＝1÷ 1180 ＝180（天） 1÷（ 1 30 － 1 45） ＝1÷ 190 ＝90（天） 1÷（ 1 30 － 1 60 ） ＝1÷ 1 60 ＝60（天） 答：甲需 90天、乙需 60天、丙需 180天。 17 / 55 【点睛】此题考查了工作量、工作效率、工作时间之间的关系，解答此题的关键 是求出三人的工作效率的和。 【对应练习 2】 一项工程，甲乙两队合作需 12天完成，乙丙两队合作需 15天完成，甲丙两队合 作需 20天完成，如果由甲乙丙三队合作需几天完成？ 【答案】10天 【分析】我们通常把工作总量“一项工程”看成单位“1”．工作效率=工作量÷工作 时间=1÷工作时间，即工作时间的倒数．设这项工程为单位“1”，则甲乙合作的工 作效率是 1 12 ，乙丙合作的工作效率为 1 15 ，甲丙合作的工作效率为 1 20 ．因此甲乙 丙三队合作的工作效率的两倍为 1 12 ＋ 1 15 ＋ 1 20 ，所以甲乙丙三队合作的工作效率 为（ 1 12 ＋ 1 15 ＋ 1 20 ）÷2＝ 1 10 ．因此三队合作完成这项工程的时间为 1÷ 1 10 ＝10（天）． 【详解】1÷[（ 1 12 ＋ 1 15 ＋ 1 20 ）÷2] ＝1÷[ 15 ÷2] ＝1÷ 1 10 ＝10（天） 答：甲乙丙三队合作需 10天完成。 【对应练习 3】 甲、乙、丙承包一项工程，共发工资 14400元。三人完成工程的情况是：甲、乙 合作 6天完成工程的 13，乙、丙合作 2天完成余下工程的 1 4 ，最后甲、乙、丙三 人又合作 5天完成工程。按各人完成的工作量来付酬金，问：每人各应得多少元？ 解析： 甲、乙合作工作效率： 1 3 ÷6＝ 1 18 乙、丙合作工作效率： 1 1 11 2 3 4 12   （－ ） 甲、乙、丙合作工作效率： 1 1 1 1[1 (1 ) ] 5 3 3 4 10       甲的工作效率： 1 1 1 10 12 60   18 / 55 乙的工作效率： 1 1 7 18 60 180 － 丙的工作效率： 1 1 2 10 18 45   甲得工资：14400× 1 60 ×（6＋5）＝2640（元） 乙得工资：14400× 7180 ×（6＋2＋5）＝7280（元） 丙得工资：14400× 245 ×（2＋5）＝4480（元） 答：甲得工资 2640元，乙得工资 7280元，丙得工资 4480元。 【考点七】已知合作时间，求单独完成时间。 【方法点拨】 甲乙合作效率=甲工作效率+乙工作效率 合作时间=工作总量÷合作效率 【典型例题】 为举办风筝节，现需制作一批风筝，甲、乙两厂同时制作 6天可以完成，如果甲 厂单独做，10天可以完成，如果乙厂单独做，几天可以完成？ 【答案】15天 【分析】以这批风筝的总量为单位“1”，合作 6天完成，则每天完成总量的 1 6 （效 率和），甲独做，10天完成，则每天完成总量的 1 10 （甲工作效率），用 1 6 － 1 10 ＝ 1 15 就得乙每天完成总量的分率（乙工作效率）。根据工作总量÷工作效率＝工作 时间，用 1÷ 1 15 即可求出乙单独做的天数。 【详解】1÷6＝ 1 6 1÷10＝ 1 10 1÷（ 1 6 － 1 10 ） ＝1÷（ 530－ 3 30 ） ＝1÷ 1 15 ＝1×15 19 / 55 ＝15（天） 答：如果乙厂单独做，15天可以完成。 【对应练习 1】 修一条路，甲、乙两队合作修要 12天完成，甲队单独修要 20天完成。乙队单独 修要多少天完成？ 【答案】30天 【分析】根据题意，把修这一条路看作单位“1”，根据 工作总量 工作时间＝工作效率， 分别求出甲乙合修的工作效率以及甲队的工作效率，用甲乙合修的工作效率减去 甲队的工作效率，就得到乙队的工作效率，最后根据 工作总量 工作效率＝工作时间， 计算即可得解。 【详解】 11 12 12   11 20 20   1 11 12 20       5 31 60 60        11 30   1 30  30 （天） 答：乙队单独修要 30天完成。 【对应练习 2】 甲乙两个工程队共同修建一条隧道，已知两队合作 6个月能完成，如果甲队单独 完成需要 15个月，那么乙队单独修建成这条隧道需要多少个月？ 【答案】10个 【分析】把这条隧道的总工作量看作单位“1”，由两队合作正好 6天完成，可以 求出两队的工作效率和为 1 6 ，甲的工作效率为 1 15 ，由此求得乙的工作效率，再进 一步利用工作总量÷工作效率＝工作时间解决问题。 【详解】1÷（ 1 1 6 15  ） 20 / 55 ＝1÷（ 5 230 30  ） ＝1÷ 1 10 ＝1×10 ＝10（个） 答：乙队单独修建成这条隧道需要 10个月。 【对应练习 3】 一项工程，甲乙两队一起做需要 10天，乙队单独做需要 15天，如果甲队单独做， 多少天可以完成这项工程？ 【答案】30天 【分析】把这项工程的工作总量看作单位“1”，则甲乙两队合作的工作效率是 1 10 ， 乙队的工作效率是 1 15 ，用甲乙两队的工作效率和减去乙队的工作效率，可以计 算出甲队的工作效率，再根据工作时间＝工作总量÷工作效率，可以计算出甲队 单独做，多少天可以完成这项工程。 【详解】1÷（ 1 10 － 1 15 ） ＝1÷ 1 30 ＝30（天） 答：30天可以完成这项工程。 【点睛】本题考查工程问题的解题方法，解题关键是要把工作总量看作单位“1”， 找出等量关系，列式计算。 【考点八】先由一人单独完成，再由另一人单独完成。 【方法点拨】 甲乙合作效率=甲工作效率+乙工作效率 合作时间=工作总量÷合作效率 【典型例题 1】完成剩余工作量。 一项工程，甲 3天可以完成工程总量的 12 ，乙完成工程总量的 1 3要 3天，现由甲 先单独做 2天，剩下的由乙单独做，乙还要做几天才能完成任务？ 21 / 55 【答案】6天 【分析】把工作总量看作单位“1”，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，用 12 ÷3 即可求出甲的工作效率，用 1 3 ÷3即可求出乙的工作效率，然后根据工作总量＝工 作时间×工作效率，用甲的工作效率乘 2天，即可求出甲完成的工作量，然后用 1减去甲完成的工作量，即可求出剩下的工作量，根据工作时间＝工作总量÷工 作效率，用剩下的工作量除以乙的工作效率，即可求出乙完成剩下任务需要的时 间。 【详解】 1 2 ÷3 ＝ 1 2 × 1 3 ＝ 1 6 1 3 ÷3 ＝ 1 3 × 1 3 ＝ 1 9 1 6 ×2＝ 13 （1－ 13）÷ 1 9 ＝ 2 3 ÷ 1 9 ＝ 2 3 ×9 ＝6（天） 答：乙还要做 6天才能完成任务。 【点睛】本题主要考查了工程问题，熟记相关公式是解题的关键。 【典型例题 2】完成全部工作量。 一项工程，甲队单独做 15天可以完成，甲队做了 10天后，由于另有任务，剩下 的工作由乙队单独做完需要 6天完成。问：乙队单独完成这项工作需多少天？ 解析： （1－ 1 15 ×10）÷6 22 / 55 ＝（1－ 23）÷6 ＝ 1 3 × 1 6 ＝ 1 18 1÷ 1 18 ＝18（天） 答：乙队单独完成这项工作需 18天。 【对应练习 1】 一项工程，甲单独做需要 15天完成。若甲先单独做 5天，余下的工程由乙单独 做，8天可以完成。若甲先单独做 10天，余下的工程由乙单独做，则多少天可 以完成？ 【答案】4天 【分析】把这项工程的工作总量看作单位“1”，则甲的工作效率是 1 15 ，用甲的工 作效率乘 5，计算出甲 5天完成的工作量，再用减法计算余下的工作量，然后用 余下的工作量除以 8天，计算出乙队的工作效率。再用工作总量减去乙队 10天 完成的工作量，计算出余下的工作量，最后用余下的工作量除以乙的工作效率， 计算出余下的工程由乙单独做，则多少天可以完成。 【详解】 11 5 8 15        ＝ 11 8 3       ＝ 2 8 3  ＝ 2 1 3 8  ＝ 1 12 1 11 10 15 12        ＝ 21 12 3       ＝ 1 12 3  ＝4（天） 答：4天可以完成。 23 / 55 【点睛】本题考查工程问题的解题方法，解题关键是利用工作总量、工作效率、 工作时间之间的关系，列式计算。 【对应练习 2】 工程队要给幸福村修一条 3000米的路。如果甲队单独修，需要 8天修完，如果 乙队单独修，需要 10天修完。甲队修了 4天后接到新的任务，剩下的由乙队修， 还需要多少天可以修完？ 【答案】5天 【分析】把整条路长看作单位“1”，用工作总量除以工作时间，求出两队的工作 效率，甲队修了 4天，求出甲队完成的工作量，再用单位“1”减去甲队完成的， 剩下的就是乙队要完成的，用乙队完成的工作量除以乙队的工作效率，求出剩下 的由乙队修，还需要多少天可以修完。 【详解】1÷8＝ 1 8 ；1÷10＝ 1 10 时间： 1 11 4 8 10        ＝（1－ 1 2）÷ 1 10 1 1 2 10   ＝ 1 2 ×10 5 （天） 答：还需要 5天可以修完。 【点睛】本题考查工程问题，解答本题的关键是掌握工程问题中的数量关系。 【对应练习 3】 加工一批零件，甲单独做要 12小时，乙单独做要 10小时，现在甲先做 3小时后， 乙来参加一同做，还需要多少小时才能完成？ 【答案】（ 11 3 12   ）÷（ 1 1 12 10 ＋ ） 【分析】由题意得，这批零件是单位“1”，根据公式：工作效率＝工作总量÷工作 时间；工作总量＝工作效率×工作时间，甲单独做的效率是 1 12，乙单独做的效率 24 / 55 是 1 10 ，用甲单独做 3小时后剩余的工作量除以两人的效率和进行解答。 【详解】（1− 1 12 ×3）÷（ 1 12＋ 1 10 ） ＝（1－ 1 4）÷ 11 60 ＝ 3 4 ÷ 11 60 ＝ 3 4 × 60 11 ＝ 45 11（小时） 答：还需要 45 11小时才能完成。 【点睛】考查分数应用题里面的工程问题，根据“工作量÷工作效率＝工作时间” 解答。 【考点九】先合作完成，再单独完成。 【方法点拨】 甲乙合作效率=甲工作效率+乙工作效率 合作时间=工作总量÷合作效率 【典型例题 1】完成剩余工作量。 一段路，甲单独修需要 8天完成，乙单独修需要 10天完成，甲乙两队合修 2天 后，剩下的乙单独修，还需要修几天？ 【答案】5.5天 【分析】由题意可知，甲队的工作效率是 1 8 ，乙队的工作效率是 1 10 ，先用（ 1 8 ＋ 1 10 ）×4，求出两个队合修 2天的工作总量；再用“1”减去两个队合修 2天的工作 总量，求出剩下的工作量；最后用剩下的工作量除以乙的工作效率即可。 【详解】1÷8＝ 1 8 1÷10＝ 1 10 （ 1 8 ＋ 1 10 ）×2 ＝ 9 40 ×2 25 / 55 ＝ 9 20 （1 9 20  ）÷ 1 10 ＝ 11 1 20 10  ＝ 11 10 20  ＝5.5（天） 答：乙队还需要做 5.5天。 【点睛】解答本题需熟练掌握工作量、工作效率和工作时间之间的关系。 【对应练习 1】 修建一条隧道，甲工程队单独修建需要 12个月，乙工程队单独修建需要 10个月。 现在甲乙两队合修 3个月后，剩下的由乙工程队独修，还需要几个月完成？ 【答案】4.5月 【分析】工作时间＝工作总量÷工作效率，将工作总量看做“1”，先求出甲乙合作 3个月之后还剩下多少工作量，用剩下的工作量除以乙的工作效率即可求解。 【详解】1÷12＝ 1 12 1÷10＝ 1 10 1－3×（ 1 12＋ 1 10 ） ＝1－3× 11 60 ＝1－ 33 60 ＝ 9 20 9 20 ÷ 1 10 ＝ 9 20 ×10 ＝4.5（月） 答：剩下的由乙工程队独修，还需要 4.5个月完成。 【点睛】此题考查工程问题，求出剩余的工作量是解题的关键。 【对应练习 2】 26 / 55 一项工程甲队单独做 10天可以完成，乙队单独做 8天可以完成，如果两队合作 2天，剩下的甲单独做，那么甲队还需要多少天完成任务？ 【答案】 11 2 天 【分析】把总工程看成单位“1”，那么甲的效率就是 1 10 ，乙的效率就是 1 8 ，合作 两天的工程量＝（甲的效率＋乙的效率）×时间，甲需要的时间＝剩余工程量÷ 甲的效率。 【详解】 1 1 2 10 8      ＋ ＝ 1 12 2 10 8    ＝ 1 1 5 4 ＋ ＝ 9 20 9 11 20 10       － ＝ 11 1 20 10  ＝ 11 10 20  ＝ 11 2 （天） 答：那么甲队还需要 11 2 天完成任务。 【点睛】考查有关工程的问题，要知道把总工程量看成单位“1”，效率＝总工程 量÷时间。 【典型例题 2】完成全部工作量。 甲、乙两个工程队合作一项工程，甲队单独做需要 15天完成，甲、乙合作需要 10天完成。如果乙队单独做这项工程，需要几天完成？ 解析： 甲队的工作效率：1÷15＝ 1 15 甲、乙的工作效率和：1÷10＝ 1 10 乙队单独做这项工程，需要的时间： 27 / 55 1÷（ 1 10 － 1 15 ） ＝1÷ 130 ＝30（天） 答：如果乙队单独做这项工程，需要 30天完成。 【对应练习 1】 一项工程，甲队独做 15天完成，乙队独做 12天完成。现在甲、乙合作 4天后， 剩下的工程由丙队 8 天完成。如果这项工程由丙队独做，需几天完成？ 解析： 丙效：[1-4×（ 12 1 15 1  ）]÷8= 20 1 时间：1÷ 20 1 =20（天） 答：略。 【对应练习 2】 一项工程，甲乙两队合做 30天完成，现在甲队单独做 24天后乙队加入，两队合 做了 12天后，这时甲队调走，乙队继续做 15天才完成这项工程。甲队单独做这 项工程需要多少天？ 解析： 1－ 130 ×（12＋15） ＝1－ 27 30 ＝ 3 30 3 30 ÷（24－15） ＝ 3 30 ÷9 ＝ 1 90 1÷ 190＝90（天） 答：甲队单独做这项工程需要 90天。 【对应练习 3】 一项工程，甲单独做要 20天完成，现在由甲单独做了 4天，以后由甲、乙两人 28 / 55 合作 6天就完成任务。如果这项工程由乙单独做，要做多少天才能完成？ 【答案】12天 【分析】将这项工程看作单位“1”，时间分之一可以看作效率，甲单独做 4天的 工作量是 4 20 ，则剩余工作量是 41 20      ，剩余工作量÷合作天数＝两队效率和，两 人效率和－甲的工作效率＝乙的工作效率，工作总量÷乙的工作效率＝乙的工作 时间，据此列式解答。 【详解】 4 11 1 6 20 20           4 1=1 6 5 20       4 1 1=1 5 6 20       2 1=1 15 20      5=1 60  60=1 5  =12（天） 答：要做 12天才能完成。 【点睛】关键是理解工作效率、工作时间、工作总量之间的关系。 【考点十】先单独完成，再合作完成。 【方法点拨】 甲乙合作效率=甲工作效率+乙工作效率 合作时间=工作总量÷合作效率 【典型例题 1】 一项工程，甲队单独做 20天完成，乙队单独做 30天完成，甲队从先做了这项工 程的 1 4 后，乙队加入。两队合作完成剩下的工程，还要多少天？ 解析： 1 1 11 4 20 30   （ ）（ ） 29 / 55 3 1 4 12   9 （天） 答：两队合作完成剩下的工程，还要 9天。 【典型例题 2】 运一批货物，甲车需要 8小时可以运完，乙车需要 12小时可以运完，甲车先运 了 3小时，然后甲、乙两车同时运，还需几小时才能运完？ 解析： 甲的工作效率：1÷8＝ 1 8 乙的工作效率：1÷12＝ 1 12 （1－3× 1 8 ）÷（ 1 8 ＋ 1 12） ＝ 5 8 ÷ 5 24 ＝3（小时） 答：还需 3小时才能运完。 【对应练习 1】 某市政府决定对某老旧小区进行改造。改造工程由甲队单独做 15天完成，乙队 单独做 12天完成。现乙队单独做 3天后，剩下的工程由甲、乙两队合作完成。 甲、乙两队还要合作几天可以完成改造工程？ 解析： 1 1 11 3 12 15 12               1 11 15 12 1 4              ＝ 0 3 4 3 2 ＝ ＝5（天） 答：甲、乙两队还要合作 5天可以完成改造工程。 【对应练习 2】 修一条路，甲单独修需 16天，乙单独修需 24天。 30 / 55 解析： 1÷16＝ 116 1÷24＝ 124 1－ 124 ×9 ＝1－ 38 ＝ 5 8 5 8 ÷（ 1 16＋ 1 24） ＝ 5 8 × 48 5 ＝6（天） 答：还要 6天才能完成。 【对应练习 3】 一项工程，甲单独做 15天完成，乙单独做 12天完成，如果乙先做 3天后，再由 两人合作，还需要多少天完成全部工程？ 解析： （1－ 1 12 ×3）÷（ 1 15 ＋ 1 12） ＝（1－ 1 4 ）÷ 960 ＝ 3 4 ÷ 960 ＝5（天） 答：还需要 5天完成全部工程。 【对应练习 4】 修一条公路，甲队单独修需要 10天完成，乙队单独修需要 15天完成。现先由甲 队修 2天，余下的两队合修，修完这条路甲队一共修了多少天？ 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2024年9月26日 2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列 第二单元分数混合运算·总集篇·工程问题【二十大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第二单元分数混合运算·总集篇·工程问题 专题内容 本专题主要以工程问题为主，其中包括工程问题的基本题型、合作问题、请假问题以及其他复杂的工程问题。 总体评价 讲解建议 “总集篇”是对热点、重点以及难点内容的总结，适用于阶段性复习，建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解部分考点考题。 考点数量 二十个考点。 【第二篇】目录导航篇 【工程问题·知识总览】 4 【考点一】工程问题基础题型 4 【考点二】合作效率 6 【考点三】合作时间问题其一 7 【考点四】合作时间问题其二 8 【考点五】合作时间问题其三 9 【考点六】合作时间问题其四 10 【考点七】已知合作时间，求单独完成时间 11 【考点八】先由一人单独完成，再由另一人单独完成 12 【考点九】先合作完成，再单独完成 13 【考点十】先单独完成，再合作完成 15 【考点十一】请假问题其一 16 【考点十二】请假问题其二 18 【考点十三】请假问题其三 19 【考点十四】复杂的工程问题其一：量率对应问题 21 【考点十五】复杂的工程问题其二：多人合作问题 22 【考点十六】复杂的工程问题其三：剩余工作总量 23 【考点十七】复杂的工程问题其四：同时工作问题 24 【考点十八】复杂的工程问题其五：工效变化问题 25 【考点十九】复杂的工程问题其六：水管注水问题 26 【考点二十】复杂的工程问题其七：交替工作问题 27 【第三篇】典型例题篇 【工程问题·知识总览】 1. 工程问题的意义。 工程问题指的与工程建造有关的数学问题，在小学数学中，常见的有修路、建筑、工作等，有时也包括行路、水管注水等。 2. 工程问题的特征。 （1）工作总量： 工作总量指的是工作的多少，但在工程问题中，我们通常把工作总量看作单位“1”，因为在已知条件中，常常不会给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，所以，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。 （2）工作效率： 工作效率表示单位时间内工作量的多少，通俗来说就是工作的快慢，其中单位时间可以是天、也可以是时、分、秒等。 3. 工程问题的解法。 解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。 4. 工程问题基本数量关系。 ①工作效率×工作时间=工作总量； ②工作效率=工作总量÷工作时间； ③工作时间=工作总量÷工作效率。 【考点一】工程问题基础题型。 【方法点拨】 工程问题的基础题型主要是根据工作总量、工作时间、工作效率三者之间基本数量关系列出算式进行解决的。 【典型例题1】工作效率。 一项工程，甲队需要20天完成，甲队每天完成这项工程的几分之几？ 【典型例题2】工作时间。 一项工程，甲队的工作效率是，甲队完成这项工程需要几天？ 【典型例题3】工作总量。 一项工程，甲队的工作效率是，甲队工作5天可以完成这项工程的几分之几？工作9天可以完成这项工程的几分之几？ 【对应练习1】 乙队完成一项工程的需要12天，求乙队的工作效率。 【对应练习2】 乙队的工作效率是，乙队完成这项工程的需要多少天？ 【对应练习3】 砌一道墙，甲单独7小时完成，这道墙已由别人砌了，还要多少小时能完成？ 【考点二】合作效率。 【方法点拨】 甲乙合作效率=甲工作效率+乙工作效率。 【典型例题】 一项工作，甲单独做12天完成，乙单独做20天完成。 （1）甲的工作效率是几分之几？乙的工作效率是几分之几？ （2）甲、乙合做1天完成全工程的几分之几？ （3）甲、乙合作3天完成完成全工程的几分之几？还剩几分之几没完成？ 【对应练习1】 一项工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做15天完成。 （1）甲队每天完成这项工程的，乙队每天完成这项工程的。 （2）甲乙两队合作，每天完成这项工程的。 （3）甲乙合作4天后，还剩下这项工程的没有完成。 【对应练习2】 一项工程，甲单独做完需要20天，乙单独做完需要10天。问： （1） 甲的工作效率是几分之几？ （2） 乙的工作效率是几分之几？ （3） 甲、乙的工作效率和是几分之几？ 【对应练习3】 一项工程，甲乙合作需要12天完成，甲单独做需要36天完成，那么： （1） 甲的工作效率是多少？ （2） 甲乙合作的工作效率是多少？ （3） 乙的工作效率是多少？ 【考点三】合作时间问题其一。 【方法点拨】 合作时间=工作总量÷合作效率。 【典型例题】 有一批零件，小王单独加工要8小时完成，小张单独加工要12小时完成，两人合作，要几小时完成？ 【对应练习1】 一段公路，甲工程队单独修20天完成，乙工程队单独修30天完成。甲、乙两个工程队合修，需要多少天才能修完这段公路？（根据题意列出算式，不用计算。） 列式： 【对应练习2】 有一车快递，张叔叔单独卸货要8小时，王师傅单独卸货要6小时，两个人一起卸货要多长时间？ 【对应练习3】 修一条30千米的公路，甲队独修15天完成，乙队独修10天完成，两队合修几天修完？ 【考点四】合作时间问题其二。 【方法点拨】 合作时间=工作总量÷合作效率。 【典型例题】 一条水渠，甲队单独修8天完成，乙队单独修10天完成。两队合修，多少天可以完成这条水渠的？ 【对应练习1】 加工一批零件，如由李师傅单独加工，需要8天完成，如由林师傅单独加工，需要12天完成。如由李师傅和林师傅两人合作，多少天能完成这批零件的？ 【对应练习2】 临近新年，张师傅和他的徒弟小李两人接到了一批手工吉祥布偶的订单，由师傅单独完成需要12个小时，由徒弟单独完成需要15个小时，若师徒二人合作，多长时间可以完成这批订单的？ 【对应练习3】 为创建全国文明城市，济南市政府准备对某工程进行改造。若请甲工程队单独做要10天完成，乙工程队单独做要15天完成，现在两个工程队合修，几天能完成全部任务的？ 【考点五】合作时间问题其三。 【方法点拨】 合作时间=工作总量÷合作效率。 【典型例题】 一项工程，甲队单独做5天完成，乙队单独做3天完成工作总量的一半，现在两队合做几天完成？ 【对应练习1】 一项工程，甲独做8天可以完成，乙独做8天只能完成这项工程的，如果甲、乙合做，多少时间才能完成这项工程？ 【对应练习2】 一项工程，甲独做20天可以完成这项工作的，乙独做9天可以完成这项工作的，甲、乙两人合做，需要几天可以完成这项工作的一半？ 【对应练习3】 一项工程，甲队单独做10天完成，乙队的工作效率是甲队的。如果甲、乙两队合做，几天可以完成这项工程的？ 【考点六】合作时间问题其四。 【方法点拨】 合作时间=工作总量÷合作效率。 【典型例题】 一项工程，甲、乙合作需要6天可以完成，乙、丙合作需9天完成，甲、丙合作需15天完成。现在甲、乙、丙三人合作需要多少天完成？ 【对应练习1】 一项工程甲乙合作，36天完成，乙丙两人合作，45天完成，甲丙两人合作，60天完成，如果甲、乙、丙单独做，各需多少天？ 【对应练习2】 一项工程，甲乙两队合作需12天完成，乙丙两队合作需15天完成，甲丙两队合作需20天完成，如果由甲乙丙三队合作需几天完成？ 【对应练习3】 甲、乙、丙承包一项工程，共发工资14400元。三人完成工程的情况是：甲、乙合作6天完成工程的，乙、丙合作2天完成余下工程的，最后甲、乙、丙三人又合作5天完成工程。按各人完成的工作量来付酬金，问：每人各应得多少元？ 【考点七】已知合作时间，求单独完成时间。 【方法点拨】 甲乙合作效率=甲工作效率+乙工作效率 合作时间=工作总量÷合作效率 【典型例题】 为举办风筝节，现需制作一批风筝，甲、乙两厂同时制作6天可以完成，如果甲厂单独做，10天可以完成，如果乙厂单独做，几天可以完成？ 【对应练习1】 修一条路，甲、乙两队合作修要12天完成，甲队单独修要20天完成。乙队单独修要多少天完成？ 【对应练习2】 甲乙两个工程队共同修建一条隧道，已知两队合作6个月能完成，如果甲队单独完成需要15个月，那么乙队单独修建成这条隧道需要多少个月？ 【对应练习3】 一项工程，甲乙两队一起做需要10天，乙队单独做需要15天，如果甲队单独做，多少天可以完成这项工程？ 【考点八】先由一人单独完成，再由另一人单独完成。 【方法点拨】 甲乙合作效率=甲工作效率+乙工作效率 合作时间=工作总量÷合作效率 【典型例题1】完成剩余工作量。 一项工程，甲3天可以完成工程总量的，乙完成工程总量的要3天，现由甲先单独做2天，剩下的由乙单独做，乙还要做几天才能完成任务？ 【典型例题2】完成全部工作量。 一项工程，甲队单独做15天可以完成，甲队做了10天后，由于另有任务，剩下的工作由乙队单独做完需要6天完成。问：乙队单独完成这项工作需多少天？ 【对应练习1】 一项工程，甲单独做需要15天完成。若甲先单独做5天，余下的工程由乙单独做，8天可以完成。若甲先单独做10天，余下的工程由乙单独做，则多少天可以完成？ 【对应练习2】 工程队要给幸福村修一条3000米的路。如果甲队单独修，需要8天修完，如果乙队单独修，需要10天修完。甲队修了4天后接到新的任务，剩下的由乙队修，还需要多少天可以修完？ 【对应练习3】 加工一批零件，甲单独做要12小时，乙单独做要10小时，现在甲先做3小时后，乙来参加一同做，还需要多少小时才能完成？ 【考点九】先合作完成，再单独完成。 【方法点拨】 甲乙合作效率=甲工作效率+乙工作效率 合作时间=工作总量÷合作效率 【典型例题1】完成剩余工作量。 一段路，甲单独修需要8天完成，乙单独修需要10天完成，甲乙两队合修2天后，剩下的乙单独修，还需要修几天？ 【对应练习1】 修建一条隧道，甲工程队单独修建需要12个月，乙工程队单独修建需要10个月。现在甲乙两队合修3个月后，剩下的由乙工程队独修，还需要几个月完成？ 【对应练习2】 一项工程甲队单独做10天可以完成，乙队单独做8天可以完成，如果两队合作2天，剩下的甲单独做，那么甲队还需要多少天完成任务？ 【典型例题2】完成全部工作量。 甲、乙两个工程队合作一项工程，甲队单独做需要15天完成，甲、乙合作需要10天完成。如果乙队单独做这项工程，需要几天完成？ 【对应练习1】 一项工程，甲队独做15天完成，乙队独做12天完成。现在甲、乙合作4天后，剩下的工程由丙队8 天完成。如果这项工程由丙队独做，需几天完成？ 【对应练习2】 一项工程，甲乙两队合做30天完成，现在甲队单独做24天后乙队加入，两队合做了12天后，这时甲队调走，乙队继续做15天才完成这项工程。甲队单独做这项工程需要多少天？ 【对应练习3】 一项工程，甲单独做要20天完成，现在由甲单独做了4天，以后由甲、乙两人合作6天就完成任务。如果这项工程由乙单独做，要做多少天才能完成？ 【考点十】先单独完成，再合作完成。 【方法点拨】 甲乙合作效率=甲工作效率+乙工作效率 合作时间=工作总量÷合作效率 【典型例题1】 一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成，甲队从先做了这项工程的后，乙队加入。两队合作完成剩下的工程，还要多少天？  【典型例题2】 运一批货物，甲车需要8小时可以运完，乙车需要12小时可以运完，甲车先运了3小时，然后甲、乙两车同时运，还需几小时才能运完？ 【对应练习1】 某市政府决定对某老旧小区进行改造。改造工程由甲队单独做15天完成，乙队单独做12天完成。现乙队单独做3天后，剩下的工程由甲、乙两队合作完成。甲、乙两队还要合作几天可以完成改造工程？ 【对应练习2】 修一条路，甲单独修需16天，乙单独修需24天。 【对应练习3】 一项工程，甲单独做15天完成，乙单独做12天完成，如果乙先做3天后，再由两人合作，还需要多少天完成全部工程？ 【对应练习4】 修一条公路，甲队单独修需要10天完成，乙队单独修需要15天完成。现先由甲队修2天，余下的两队合修，修完这条路甲队一共修了多少天？ 【考点十一】请假问题其一。 【方法点拨】 合作效率=各单位量工作效率之和 工效和×合作时间=工作总量 工作总量÷工效和=合作时间 工作总量÷合作时间=工效和。 【典型例题】 一条公路，甲队单独修24天完成，乙队单独修30天完成，现在甲乙两队合修若干天后，乙队因另有任务调离，甲队继续修了6天才完成任务，求乙队修了几天？ 【对应练习1】 一项工程，甲队单独做8天完成，乙队单独完成比甲队多用4天，现在甲乙合作几天后，乙另有任务调走，甲又干做3天才完成任务，求乙队工作了几天？ 【对应练习2】 一项工程，甲、乙合作40天可以完成。甲、乙合作10天后，甲队另有任务抽调到其它工地，剩下的工程由乙继续做了45天才完成。如果这项工程由甲单独完成，需要多少天？ 【对应练习3】 师傅每小时加工15个零件，徒弟每小时加工12个零件．师徒俩合作加工6小时后师傅因事离开，徒弟又工作了3小时才完成．完成这次任务一共加工了多少个零件？ 【考点十二】请假问题其二。 【方法点拨】 合作效率=各单位量工作效率之和 工效和×合作时间=工作总量 工作总量÷工效和=合作时间 工作总量÷合作时间=工效和。 【典型例题】 一项工程，单独做甲队用20天，乙队用30天。甲乙两队合做若干天后，乙队因事调走，甲队继续工作，从开工到完成一共用了14天，求乙队调走了几天？ 【对应练习1】 一项工程，甲队单独做40天完成，乙队单独做60天完成，甲、乙两队合作几天后，甲队另有任务调走几天，乙继续做，那么从开工到完成任务共用了27天，问甲队请假多少天？ 【对应练习2】 甲、乙两队合作一项工程，若由甲队单独做，12天可完成，若由乙队单独做则需20天完成．现开始由甲、乙两队合作，中途甲队因另有任务派遣，剩下的任务由乙队单独完成．已知从开工到结束共用10天，问：乙队单独做了几天？ 【对应练习3】 —项工程，甲队独做20天完成，乙队独做30天完成。 （1）甲乙两队合作，完成这项工程需（     ）天。 （2）实际施工过程中，两队合作了若干天后，甲队另有任务撤离，这样前后共工作了18天完成任务。甲队撤离了几天？ 【对应练习4】 一项工程甲队单独做15天可以完成，乙队单独做10天可以完成。现在开始两队合作，但中间乙队因另有任务调走，从开始到完成任务，甲队工作了9天，乙队比甲队少工作了多少天？ 【考点十三】请假问题其三。 【方法点拨】 合作效率=各单位量工作效率之和 工效和×合作时间=工作总量 工作总量÷工效和=合作时间 工作总量÷合作时间=工效和。 【典型例题】 一件工作，甲单独做要20天完成，乙单独做要12天完成，这项工作先由甲做了若干天，再由乙继续做完，从开始到完工共用了14天，甲做了几天？ 【对应练习1】 单独完成一件工程，甲需要24天，乙需要32天，若甲先单独做若干天后，再有乙单独完成，则一共用了26天完成工作。问甲做了多少天？ 【对应练习2】 一项工程，甲独做12天完成，乙独做4天完成。若甲先做若干天后，由乙接着做余下的工程，直至完成全部任务，这样前后共用了6天，甲先做了几天？ 【对应练习3】 修一条公路，甲队单独10天修完，乙队单独12天修完，丙队单独15天修完，现在三队合修，但中途甲队撤离到其他工地，结果一共用了6天把这条公路修完，修这条公路甲队工作了几天？ 【考点十四】复杂的工程问题其一：量率对应问题。 【方法点拨】 合作效率=各单位量工作效率之和 工效和×合作时间=工作总量 工作总量÷工效和=合作时间 工作总量÷合作时间=工效和。 【典型例题】 加工一批玩具，甲单独做需要7天完成。乙单独做需要8天完成，现在两人合作，完成任务时甲比乙多做20个。这批玩具一共多少个？ 【对应练习1】 甲、乙两个工程队合修一条水渠，如果甲队单独修6天完成，乙队单独修8天完成，已知甲队每天比乙队多修30米，这条水渠全长多少米？ 【对应练习2】 加工一批零件，单独加工，师傅需要15天，徒弟需要18天。现在由师徒二人合作完成，完成任务时，师傅比徒弟多加工20个。这批零件一共有多少个？ 【对应练习3】 加工一批零件，甲、乙合作24天可以完成。现在由甲先做16天，然后由乙再做12天，正好完成这批零件的。已知甲每天比乙多加工5个零件。这批零件一共有多少个？ 【考点十五】复杂的工程问题其二：多人合作问题。 【方法点拨】 合作效率=各单位量工作效率之和 工效和×合作时间=工作总量 工作总量÷工效和=合作时间 工作总量÷合作时间=工效和。 【典型例题】 加工一批零件，甲、乙两人合作1小时，完成了这批零件的，乙、丙两人接着生产1小时，又完成了，甲、丙又合做2小时，完成了，剩下的任务，甲、乙、丙三人合做，还要多少小时完成？ 【对应练习1】 甲、乙、丙三人合作一项工程，若甲、乙合作需要15天完成，若乙、丙合作需要12天完成，若甲、丙合作需要8天完成，若按照甲、乙、丙的顺序轮流各工作1天，之后重复，完成这项工程需要多少天？ 【对应练习2】 甲、乙、丙三人承包一项任务，发给他们的工资是180元，三人完成这项任务的情况是：甲、乙两人合作6天完成了这项任务的；因甲有事，乙、丙合作2天完成了余下任务的；以后3人合作5天完成了这项任务。按完成工作量的多少付酬，甲、乙、丙各应得多少元？ 【对应练习3】 甲、乙、丙三人合修一段围墙，甲、乙合修6天修好围墙的，乙、丙合修2天修好余下的剩下的，三人又合修了5天才完成，共得报酬180元。按各人所完成的工作量的多少来合理分配，每人应得多少元？ 【考点十六】复杂的工程问题其三：剩余工作总量。 【方法点拨】 合作效率=各单位量工作效率之和 工效和×合作时间=工作总量 工作总量÷工效和=合作时间 工作总量÷合作时间=工效和。 【典型例题】 甲乙合作完成一件工作，合作8天后，乙又独做5天，这时还剩下这件工作的。已知乙单独做这件工作需要30天，那么甲单独完成这件工作需要多少天？ 【对应练习】 甲乙两人合作完成一项工程要8小时。若甲先工作4小时，乙再工作6小时，还余下这项工程的。甲、乙两人单独完成这项工程各需要几小时？ 【考点十七】复杂的工程问题其四：同时工作问题。 【方法点拨】 合作效率=各单位量工作效率之和 工效和×合作时间=工作总量 工作总量÷工效和=合作时间 工作总量÷合作时间=工效和。 【典型例题】 搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时。有同样的仓库A和B，甲在A仓库，乙在B仓库同时开始搬运，丙帮助两库搬运，最后两个仓库货物同时搬完。问丙帮助甲、乙各多少时间？ 【对应练习】 有两个同样的仓库A和B，搬运一个仓库里的货物，甲需要18小时，乙需要12小时，丙需要9小时。甲、乙在A仓库，丙在B仓库，同时开始搬运。中途甲又转向帮助丙搬运。最后两个仓库同时搬完。甲帮助乙、丙各多少小时？ 【考点十八】复杂的工程问题其五：工效变化问题。 【方法点拨】 合作效率=各单位量工作效率之和 工效和×合作时间=工作总量 工作总量÷工效和=合作时间 工作总量÷合作时间=工效和。 【典型例题】 甲、乙两人合作完成一项工作，由于配合默契，甲的工效比单独做时提高了，乙的工效比单独做时提高了，甲、乙合作6小时完成此项工作。已知甲单独做需要12小时，那么乙单独做需要多少小时？ 【对应练习】 甲乙合作完成一项工作，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时提高，乙的工作效率比单独做时提高，甲乙合作6小时完成了这项工作．如果甲单独做需要11小时，那么乙单独做需要几小时？ 【考点十九】复杂的工程问题其六：水管注水问题。 【方法点拨】 合作效率=各单位量工作效率之和 工效和×合作时间=工作总量 工作总量÷工效和=合作时间 工作总量÷合作时间=工效和。 【典型例题】 如果用甲、乙、丙三根水管同时在一个空水池里灌水，1小时可以灌满；如果用甲、乙两管，1小时20分钟可以灌满；如果用乙、丙两根水管，1小时15分钟可以灌满。那么，用乙管单独灌水的话，灌满这一池需要多少小时？ 【对应练习】 一个水池需要重新注满水。现有甲、乙、丙三个水管，若甲、乙两管同时打开要用4小时，若乙、丙两管同时打开要用6小时。现在先打开甲、丙两个水管1小时，然后单独打开乙水管，9个小时后水刚好注满。如果开始就只用乙水管，需要多少小时注满水？ 【考点二十】复杂的工程问题其七：交替工作问题。 【方法点拨】 合作效率=各单位量工作效率之和 工效和×合作时间=工作总量 工作总量÷工效和=合作时间 工作总量÷合作时间=工效和。 【典型例题】 一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，这样交替轮流做，那么完工时间要比前一种多半天。已知乙单独做这项工程需17天完成，甲单独做这项工程要多少天完成？ 【对应练习】 搬运一批货物，王师傅单独搬完需要8小时，李师傅单独搬完需要6小时。为了确保质量，让两人有足够的休息时间，打算先让王师傅搬1小时，然后让李师傅搬1小时，再由王师傅搬1小时……两人如此交替搬运，搬完这批货物一共需要几小时？ 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$