（篇四）第二单元分数混合运算·应用拓展篇【十一大考点】-2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）北师大版

1 / 18 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年六年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年 真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、 思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A 卷·基础巩固卷、B 卷·素 养提高卷、C 卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2024 年 9 月 26 日 2 / 18 2024-2025 学年六年级数学上册典型例题系列 第二单元分数混合运算·应用拓展篇【十一大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第二单元分数混合运算·应用拓展篇 专题内容 本专题以分数混合运算的拓展应用为主，其中主要包括单位 “1”的变式和转化问题。 总体评价 讲解建议 建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解部分考 点考题。 考点数量 十一个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】分数乘法中的单位“1”转化问题其一 ..............................................................3 【考点二】分数乘法中的单位“1”转化问题其二 ..............................................................4 【考点三】分数乘法中的单位“1”转化问题其三 ..............................................................5 【考点四】常见的单位“1”转化问题 ..................................................................................5 【考点五】单位“1”转化问题：已知剩余数量，转化单位“1” ................................... 7 【考点六】单位“1”转化问题：已知数量差，转化单位“1” ..................................... 10 【考点七】单位“1”转化问题：已知数量和，转化单位“1” ..................................... 11 【考点八】单位“1”转化问题：任选单位“1”进行转化 ............................................. 12 【考点九】单位“1”转化问题：多个单量的统一 ............................................................14 【考点十】单位“1”转化问题：以总量统一单位“1” ................................................. 15 3 / 18 【考点十一】单位“1”转化问题：以单量统一单位“1” ............................................. 17 【第三篇】典型例题篇 【考点一】分数乘法中的单位“1”转化问题其一。 【方法点拨】 分清不同分率句中的不同单位“1”，再解决问题。 【典型例题】 一本书有 225 页，小红第一天看了 29 ，第二天看了剩下的 2 5 ，第三天应从多少页 看起？ 【对应练习 1】 李师傅准备加工 240 个零件，第一天加工了 30 个，第二天加工了余下了 27 ，还 剩下多少个零件没有加工？ 【对应练习 2】 一本科技书有 120 页，小欣第一天读了全书的 1 5 。第二天读了余下的 1 6 ，两天一 共读完了几页？ 【对应练习 3】 发展现代畜牧业，促农增收又致富，2022 年李叔叔在乡村振兴的政策帮扶下， 开了一个养殖场，养鸡 3200 只，第一周卖出 38 ，第二周卖出剩下的 2 5 ，两周一共 卖出多少只鸡？ 4 / 18 【考点二】分数乘法中的单位“1”转化问题其二。 【方法点拨】 分清不同分率句中的不同单位“1”，再解决问题。 【典型例题】 《庄子·天下》中有这样一段话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”意思是说： 一尺长的木棍，每天截取一半，永远也截取不完。照这样推算，第三天截取的长 度占最初一尺木棒长度的( )，剩下部分的长度是( )米。（一尺 ＝ 1 3 米） 【对应练习 1】 《庄子天下篇》中有一句话，“一尺之锤，日取其率，万世不漏。”意思就是：一 根一尺长的木棒，今天取它的一半，即 1 2 。明天取它一半的一半，后天再取它一 半的一半的一半……这样取下去，永运也取不完。那么第四天取的长度是 ( )。 【对应练习 2】 2022 减去它的 12 ，再减去余下的 1 3 ，再减去余下的 1 4 ……直至最后减去余下的 1 2022 ，最后的结果是( )。 【对应练习 3】 四兄弟要分一筐苹果，老大说：“这里共有 32 个苹果，老二你先拿 14 ，老三拿剩 下的 1 3 ，你们两个拿完后剩下的一半给老四，余下的归我。”老大的分法公平吗？ 请列式计算。 5 / 18 【考点三】分数乘法中的单位“1”转化问题其三。 【方法点拨】 分清不同分率句中的不同单位“1”，再解决问题。 【典型例题】 妈妈给大胖小胖哥俩买回一些巧克力，小胖拿走了其中的 1 2 还多 3 块，大胖拿走 了剩余的 1 2 还多 3 块，正好全部拿光。妈妈一共买回了多少块巧克力？ 【对应练习】 小文看一本 240 页的作文书，第一天看了 38 ，第二天看了余下的 2 5 ，第三天看的 页数是第二天所看页数的 2 5 。还剩多少页没看？ 【考点四】常见的单位“1”转化问题。 【方法点拨】 一般的单位“1”转化问题以填空、选择题型为主，我们需要找准单位“1”，再明 确求一个数比另一个数多或少几分之几，用两者的差值除以另一个数，即“作差 除比后”。 【典型例题 1】问题一。 六年级一班的男生占全班人数的 3 5，女生比男生少( )，男生比女生多 ( )。 【对应练习 1】 甲数是乙数的 4 5 ，则甲数比乙数少     ，乙数比甲数多     。 6 / 18 【对应练习 2】 六（1）班女生人数是男生人数的 4 5 ，男生比女生多 ( ) ( ) 。 【对应练习 3】 某班女生人数是男生人数的 2 3 ，女生人数占全班的    ，男生人数比女生多    。 【典型例题 2】问题二。 女生人数比男生人数多 1 7 ，女生人数是男生人数的( )。 【对应练习 1】 六（1）班男生人数比女生人数多 18 ，女生人数是男生人数的( )。 【对应练习 2】 在“一个班男生人数比女生多 15 ”中，把( )看作单位“1”，男生人数是女生 的 ( ) ( ) ，女生人数是男生人数的 ( ) ( ) ，男生人数是全班人数的 ( ) ( ) 。 【对应练习 3】 男生人数比女生人数少 1 5 ，男生人数是女生人数的( )，女生人数是男生 人数的( )，男生人数占男、女生总人数的( )。 【典型例题 3】问题三。 桃树的棵数比苹果树多 2 5 ，是把( )看作单位“1”，那么苹果树棵数比桃树 少( )。 【对应练习 1】 松树的棵数比柏树多 1 5 ，则柏树棵树比松树少( )。 【对应练习 2】 女生人数比男生人数少 1 4 ，画图：( )，则男生人数比女生人数多 ( )。 7 / 18 【对应练习 3】 哥哥走的路程比妹妹多 1 4 ，而妹妹所用的时间比哥哥多 1 9 ，那么哥哥的速度是妹 妹的( )。 【考点五】单位“1”转化问题：已知剩余数量，转化单位“1”。 【方法点拨】 题目的难点在于分率句的单位“1”有所变化，需要统一单位“1”，然后再用对应分 量÷对应分率=单位“1”。 【典型例题 1】基础型。 某水果店购进一批水果，第一天卖掉 6 5 吨，第二天卖掉了剩下的 7 12 ，还剩下 2 吨，这批水果一共多少吨？ 【对应练习 1】 一段公路需要施工，第一天完成了总量的 1 5 ，第二天完成了剩下部分的 1 4 ，这时 还剩下 220 米未施工，需要施工的这段公路有多少米？（建议你先画画线段图， 再解决这个问题） 【对应练习 2】 一段路，第一周修了全长的 1 5 ，第二周修了余下的 1 4 ，这时还剩下 300 米没有修， 这段路全长多少米？ 8 / 18 【对应练习 3】 阳阳家买钛镁合金门。第一次付了全款的 1 5 ，第二次付了余下的 1 2 ，这时还剩下 800 元没有付。请问门的价格是多少？ 【典型例题 2】进阶型。 一本文艺书，小明第一天看了全书的 1 2 ，第二天看了余下的 1 3 ，第三天看了再余 下的 1 5 ，还剩下 80 页。这本书共有多少页？ 【对应练习 1】 风采大赛之后，老师拿了一箱奖品发给获奖的同学们。将其中的 1 3 发给一等奖的 同学，剩下的 1 3 发给二等奖的同学，一、二等奖发完后剩下 1 4 的发给三等奖的同 学，这时箱子里还剩下 15 份奖品，问箱子里原来有多少份奖品？ 【对应练习 2】 《九章算术》中有一道题：“今有人持米出三关，外关三而取一，中关五而取一， 内关七而取一，余米五斗。问持米几何？”题意：有人背米过关卡，经过外关时， 用全部米的 1 3 纳税，过中关时用所余米的 1 5 纳税，经过内关时再用余米的 1 7 纳税， 最后还剩下 5 斗米。这个人原来背多少斗米出关？ 9 / 18 【对应练习 3】 一只猴子摘了一堆桃子，第一天吃了这堆桃子的七分之一，第二天吃了余下桃子 的六分之一，第三天吃了余下桃子的五分之一，第四天吃了余下桃子的四分之一， 第五天吃了余下桃子的三分之一，第六天吃了余下桃子的二分之一，这时还剩下 12 个桃子，那么这堆桃子共有多少个? 【典型例题 2】拓展型。 小华读一本故事书，第一天读了全书的 ，第二天读了余下页数的 还多 8 页， 这时还有 52 页没有读．这本故事书有多少页？ 【对应练习 1】 一批水泥，第一天用去了 1 2 多 1 吨，第二天用去了余下 1 3 少 2 吨，还剩下 16 吨， 原来这批水泥有多少吨？ 【对应练习 2】 修一段路，第一天修了 300 米，第二天修了余下的一半少 200 米，第三天修了余 下的 3 4 多 100 米，这时还余下 500 米没有修。这段路全长多少米？ 10 / 18 【对应练习 3】 有一根铁丝，第一次用去它的一半多 1 米，第二次用去余下的 13 少 1 米，这时还 剩下 15 米。求这根铁丝原来长多少米？ 【考点六】单位“1”转化问题：已知数量差，转化单位“1”。 【方法点拨】 题目的难点在于分率句的单位“1”有所变化，需要统一单位“1”，然后再用对应分 量÷对应分率=单位“1”。 【典型例题】 耀华印刷公司某打字员打一份稿件，第一天打了这份稿件的 1 3 ，第二天打了余下 稿件的 2 3 ，这时已打好的比余下的多 4500 字，求第一、二天各打了多少字？ 【对应练习 1】 一工人加工一批零件，第一天完成任务的 1 5 ，第二天完成剩下部分的 1 3 ，第二天 比第一天多完成 20 个，问这批零件共有多少个？ 【对应练习 2】 修一条路，第一天修了全长的 1 4 ，第二天修了剩下的 1 4 ，第一天比第二天多修 200 米。这条路长多少米？ 11 / 18 【对应练习 3】 小明假期做作业，第一天完成了全部的 1 3 ，第二天完成了剩余部分的 1 3 ，第一天 比第二天多做了 1 页，小明还有多少页作业没做？ 【考点七】单位“1”转化问题：已知数量和，转化单位“1”。 【方法点拨】 题目的难点在于分率句的单位“1”有所变化，需要统一单位“1”，然后再用对应分 量÷对应分率=单位“1”。 【典型例题】 甲乙两人生产一批零件，甲生产了这批零件的 1 3 后，乙生产了剩下零件的 4 5 ，这 时，甲乙两人一共生产了 26 个零件。这批零件原来共有多少个？ 【对应练习 1】 看一本书，第一天看了全书的 10 1 ，第二天看了余下的 10 1 ，两天一共看了 38 页， 这本书一共有多少页？ 【对应练习 2】 一块布第一次用去 4 3 ，第二次用去余下的 4 3 ，两次共用去 6 米，这块布原有多少 米长？ 12 / 18 【对应练习 3】 甲、乙、丙三人要做一批服装，甲先做了这批服装的 2 5 ，接着乙做了余下服装的 4 9 ，剩下的工作由丙完成，已知甲、乙共做服装 1500 件，甲比乙多做服装多少 件？ 【考点八】单位“1”转化问题：任选单位“1”进行转化。 【方法点拨】 题目的难点在于分率句存在两个单位“1”可以任选其一设为单位“1”，再统一单位 “1”，然后再用对应分量÷对应分率=单位“1”。 【典型例题 1】问题一。 甲的 3 4 和乙的 2 5 相等（甲、乙都不为 0），甲是乙的( )，乙是甲的( )。 【对应练习 1】 甲数的 1 4 等于乙数的 1 5 ，甲数是乙数的( )，乙数是甲数的( )。 【对应练习 2】 甲数的 4 5 等于乙数的 2 3 ，甲数比乙数少( )。 【对应练习 3】 果园里梨树棵树的 2 3 等于杏树的 3 4 ，杏树棵树是梨树的几分之几？梨树棵树比杏 树多几分之几？ 【典型例题 2】问题二。 靖安拼团新进了沙田柚和黄金蜜柚共 140 斤，沙田柚重量的 38 等于黄金蜜柚重量 的 1 2 ，两种柚子各多少斤？ 13 / 18 【对应练习 1】 六年级两个班共有 98 人，六（1）班人数的 13 等于六（2）班人数的 1 4 。六（1） 班、六（2）班各有多少人？ 【对应练习 2】 六年级学生有 320 人，已知六年级学生的人数的 38 等于五年级学生的人数的 2 5 ， 五年级有学生多少人？ 【对应练习 3】 美术社团共有学生 58 人，已知女生人数的 4 7 等于男生人数的 8 15 。美术社团男、 女生各有多少人？ 【典型例题 3】问题三。 大数比小数多 45，大数的 5 1 等于小数的一半，求两数各是多少？ 【对应练习 1】 图书馆有两个图书室，第一图书室图书本数的 1 4 等于第二图书室图书本数的 2 5 ， 第一图书室的图书比第二图书室多 2700 本。两图书室各有图书多少本？ 14 / 18 【对应练习 2】 有甲乙丙三个学校，甲校人数的 1 2 等于乙校人数的 1 3 ，等于丙校人数的 3 7 ，已知 丙校比甲校多 120 人，求三校共有多少人？ 【对应练习 3】 有甲、乙两桶油，甲桶油比乙桶油多 3.2 千克，从甲、乙两桶油中各取 2 千克， 甲桶油剩下的 1 8 等于乙桶油剩下的 1 6 ，求乙桶原来有多少千克的油？ 【考点九】单位“1”转化问题：多个单量的统一。 【方法点拨】 该类题型属于单位“1”转化问题的一种，需要统一把各已知量占总量的分率求出， 即转化为以总量为单位“1”的分率句，然后再用对应分量÷对应分率=单位“1”。 【典型例题】 希希、望望、贝贝三人合资开了一家公司，希希出资的金额是望望、贝贝两人出 资之和的 1 2 ，望望出资的金额是希希、贝贝两人出资之和的 1 3 ，若贝贝出资的金 额比望望出资的金额多 4 万元，则他们三人出资的金额一共是多少钱？ 【对应练习 1】 甲、乙、丙、丁合修一条路，甲修的是其他三队的 1 3 ，乙修的是其他三队的 1 4 ， 丙修的是其他三队的 1 5 ，丁修了 68米，这条路全长多少米？ 15 / 18 【对应练习 2】 甲、乙、丙、丁做小红花，甲做的朵数是其他三人做的总数的 3 17 ，乙做的朵数 是其他三人做的总数的 1 4 ，丙做的朵数是其他三人做的总数的 9 11 ，丁做了 40 朵， 甲做了多少朵？ 【对应练习 3】 甲、乙、丙、丁四人合买一部数码相机，甲出的钱是其余三人出钱总数的 1 2 ，乙 出的钱是另外三人出钱总数的 1 3 ，丙出的钱是其余三人出钱总数的 1 4 ，丁出 169 元。这部数码相机的价格是多少元？ 【考点十】单位“1”转化问题：以总量统一单位“1”。 【方法点拨】 该类题型属于单位“1”转化问题的一种，需要根据数量条件，统一把各已知量占 总量的分率求出，即转化为以总量为单位“1”的分率句，然后再用对应分量÷对应 分率=单位“1”。 【典型例题】 1. 橘子的千克数是苹果的 3 2 ，香蕉的千克数是橘子的 2 1 ，香蕉和苹果共 220 千 克，橘子有多少千克？ 16 / 18 2. 一盆金鱼，红鱼是总数的 4 1 ， 黑鱼是红鱼的 5 3 ，其余的是 24 条花鱼，红鱼 有多少条？ 3. 甲存款是乙存款 10 9 ，乙存款是丙存款的 5 4 ，甲比丙少存 70 元，求三人各存 款多少元？ 【对应练习 1】 甲数是乙数的 3 2 ，乙数是丙数的 4 3 ，甲、乙、丙的和是 216，甲、乙、丙各是多 少？ 【对应练习 2】 甲校人数是乙校人数的 5 4 ，乙校人数是丙校人数的 7 5 ，甲校比丙校少 450 人，求 三校各有多少人？ 【对应练习 3】 甲、乙、丙三人共有 92 本图书。已知甲的图书是乙的 4 5 ，又知丙的图书相当于 乙的 1 2 ，求丙有多少本图书？ 17 / 18 【考点十一】单位“1”转化问题：以单量统一单位“1”。 【方法点拨】 该类题型属于单位“1”转化问题的一种，题目的关键找到不变量，以不变量作为 单位“1”统一，然后再用分量÷分率=单位“1”。 【典型例题 1】问题一。 今年希望小学六年级毕业生人数占全校总人数的 1 5 ，毕业生走后，又招进新生 220 人，这时全校总人数是原来总人数的 8 9 ，原来学校共有多少人？ 【对应练习 1】 幸福里小学上学期六年级女生人数是男生的 5 6 ，下学期转来 3 名女生，这时女生 人数是男生人数的 6 7 。阳光小学下学期六年级男生比女生多多少人？ 【对应练习 2】 某校六年级有甲、乙两个班，甲班人数是乙班的 5 7 ．如果从乙班调 3 人到甲班， 甲班人数是乙班人数的 4 5 。甲、乙两班原来各有多少人？ 【对应练习 3】 有甲乙两个粮库，原来甲粮库存粮的质量是乙粮库的 7 5 ，如果从乙粮库运 12 吨 到甲粮库，那么甲粮库存粮的质量就是乙粮库的 5 4 ，甲、乙粮库原来各存粮多少 吨？ 18 / 18 【典型例题 2】问题二。 某校派出 100 名学生参加竞赛，其中女生占 1 5 ，后来有几名女生因故退出，这样 参赛女生占参赛人数的 3 19 ，正式参赛的女生有多少名？ 【对应练习 1】 东风小学有学生 480 人，其中女生占 7 12 ，后来又转来几名女生，这时女生占总 人数的 3 5 ，转来几名女生？ 【对应练习 2】 果园里有苹果树、梨树共 800 棵，其中苹果树占 5 3 ，后来又载了一些苹果树，这 样，苹果树占总棵树的 25 17 ，后来又载了多少棵苹果树？ 1 / 49 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年六年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年 真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、 思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A 卷·基础巩固卷、B 卷·素 养提高卷、C 卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2024 年 9 月 26 日 2 / 49 2024-2025 学年六年级数学上册典型例题系列 第二单元分数混合运算·应用拓展篇【十一大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第二单元分数混合运算·应用拓展篇 专题内容 本专题以分数混合运算的拓展应用为主，其中主要包括单位 “1”的变式和转化问题。 总体评价 讲解建议 建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解部分考 点考题。 考点数量 十一个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】分数乘法中的单位“1”转化问题其一 ..............................................................3 【考点二】分数乘法中的单位“1”转化问题其二 ..............................................................5 【考点三】分数乘法中的单位“1”转化问题其三 ..............................................................8 【考点四】常见的单位“1”转化问题 ................................................................................10 【考点五】单位“1”转化问题：已知剩余数量，转化单位“1” ................................. 17 【考点六】单位“1”转化问题：已知数量差，转化单位“1” ..................................... 27 【考点七】单位“1”转化问题：已知数量和，转化单位“1” ..................................... 30 【考点八】单位“1”转化问题：任选单位“1”进行转化 ............................................. 33 【考点九】单位“1”转化问题：多个单量的统一 ............................................................41 【考点十】单位“1”转化问题：以总量统一单位“1” ................................................. 43 3 / 49 【考点十一】单位“1”转化问题：以单量统一单位“1” ............................................. 46 【第三篇】典型例题篇 【考点一】分数乘法中的单位“1”转化问题其一。 【方法点拨】 分清不同分率句中的不同单位“1”，再解决问题。 【典型例题】 一本书有 225 页，小红第一天看了 29 ，第二天看了剩下的 2 5 ，第三天应从多少页 看起？ 解析： 225× 29 ＝50（页） （225－50）× 2 5 ＝175× 2 5 ＝70（页） 50＋70＋1＝121（页） 答：第三天应从 121 页看起。 【对应练习 1】 李师傅准备加工 240 个零件，第一天加工了 30 个，第二天加工了余下了 27 ，还 剩下多少个零件没有加工？ 【答案】150 个 【分析】由题意可知，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，用零件的 总个数减去第一天加工的个数，再乘 2 7 即可求出第二天加工的零件个数，最后用 零件的总个数分别减去第一天和第二天加工的个数即可求解。 【详解】（240－30）× 27 ＝210× 27 ＝60（个） 4 / 49 240－30－60 ＝210－60 ＝150（个） 答：还剩下 150 个零件没有加工。 【点睛】本题考查求一个数的几分之几是多少，明确用乘法是解题的关键。 【对应练习 2】 一本科技书有 120 页，小欣第一天读了全书的 1 5 。第二天读了余下的 1 6 ，两天一 共读完了几页？ 【答案】40 页 【分析】依据分数乘法的意义，求一个数的几分之几是多少用分数乘法，用 120× 1 5 求出第一天看的页数，用总页数减去第一天看的页数就是余下的页数，再用余下 的页数乘 1 6 即可求出第二天看的页数，将两天看的页数相加即可求解。 【详解】120× 1 5 ＝24（页） （120－24）× 1 6 ＋24 ＝96× 1 6 ＋24 ＝16＋24 ＝40（页） 答：两天一共看了 40 页。 【点睛】此题考查分数乘法的应用，明确第二天所看的是余下的 1 6 是解题的关键。 【对应练习 3】 发展现代畜牧业，促农增收又致富，2022 年李叔叔在乡村振兴的政策帮扶下， 开了一个养殖场，养鸡 3200 只，第一周卖出 38 ，第二周卖出剩下的 2 5 ，两周一共 卖出多少只鸡？ 【答案】2000 只 【分析】根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，用 3200 乘 38 即可求出 第一周卖出的只数，进而求出还剩下的只数，同理，再求出第二周卖出的只数， 5 / 49 然后根据第一周卖出的只数加上第二周卖出的只数即可求解。 【详解】3200× 38 ＝1200（只） （3200－1200）× 2 5 ＝2000× 2 5 ＝800（只） 1200＋800＝2000（只） 答：两周一共卖出 2000 只鸡。 【点睛】本题考查求一个数的几分之几是多少，明确用乘法是解题的关键。 【考点二】分数乘法中的单位“1”转化问题其二。 【方法点拨】 分清不同分率句中的不同单位“1”，再解决问题。 【典型例题】 《庄子·天下》中有这样一段话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”意思是说： 一尺长的木棍，每天截取一半，永远也截取不完。照这样推算，第三天截取的长 度占最初一尺木棒长度的( )，剩下部分的长度是( )米。（一尺 ＝ 1 3 米） 【答案】 1 8 1 24 【分析】把整根木棒长度看作单位“1”，已知第一天取走整根木棒的一半，剩下 整根木棒的 1 2 ，第二天取走第一天剩下的一半，第二天剩下的占第一天剩下的 1 2 ， 根据分数乘法的意义，用 1 2 × 1 2 即可求出第二天剩下的长度占整根木棒的几分之 几；第三天取走第二天剩下的一半，第三天剩下的占第二天剩下的 1 2 ，根据分数 乘法的意义，用 1 2 × 1 2 × 1 2 即可求出第三天截取的长度是整根木棒的几分之几；用 1 2 × 1 2 × 1 2 也可求出第三天剩下的长度占整根木棒的几分之几，最后用 1 3 × （ 1 2 × 1 2 × 1 2 ）即可求出第三天剩下的长度。 6 / 49 【详解】 1 2 × 1 2 × 1 2 ＝ 1 8 1 3 × 1 8 ＝ 1 24 （米） 第三天截取的长度占最初一尺木棒长度的 1 8 ，剩下部分的长度是 1 24 米。 【点睛】此题的关键是明确每一天取的长度都是前一天剩下的一半，然后再进一 步解答。 【对应练习 1】 《庄子天下篇》中有一句话，“一尺之锤，日取其率，万世不漏。”意思就是：一 根一尺长的木棒，今天取它的一半，即 1 2 。明天取它一半的一半，后天再取它一 半的一半的一半……这样取下去，永运也取不完。那么第四天取的长度是 ( )。 【答案】 1 16 尺 【分析】因为每天取前一天取过的一半，所以第 n 天取的长度＝这根木棒的长度 ×（几个 12 相乘）。 【详解】第 1 天取的长度：1× 12 ＝ 1 2 （尺） 第 2 天取的长度： 12 × 1 2 ＝ 1 4 （尺） 第 3 天取的长度： 1 4 × 12 ＝ 1 8 （尺） 第 4 天取的长度： 1 8 × 12 ＝ 1 16 （尺） 【点睛】从古文中明确数学信息和数学问题，逐天进行计算是解决本题的关键。 【对应练习 2】 2022 减去它的 12 ，再减去余下的 1 3 ，再减去余下的 1 4 ……直至最后减去余下的 1 2022 ，最后的结果是( )。 【答案】1 【分析】2022 减去它的 12 ，则还剩下它的 1－ 1 2 ，再减去余下的 1 3 ，即减了它的 （1－ 12 ）× 1 3 ＝ 1 6 ，此时还剩下全部的 1－ 12 － 1 6 ＝ 1 3 ，又减去余下的 1 4 ，则减了 7 / 49 它的 1 3 × 1 4 ＝ 1 12 ，则时还剩下全部的 1－ 1 2 － 1 6 － 1 12 ＝ 1 4 ，……，由此可以发现， 2022 减去它的 12 还剩下它的 1 2 ，再减去余下的 1 3 还剩下它的 1 3 ，又减去余下的 1 4 还 剩下它的 1 4 ，……则最后减去余下的 1 2022 还剩下 1 2022 。 【详解】由分析可知，减去余下的几分之几，就还剩它的几分之几， 即 2022 减去它的 12 ，再减去余下的 1 3 ，再减去余下的 1 4 ……直至最后减去余下的 1 2022 ，还剩下余下的 1 2022 。 2022× 1 2022 ＝1 【点睛】本题主要考查分数乘法的应用，要注意求一个数的几分之几是多少，用 这个数×几分之几。 【对应练习 3】 四兄弟要分一筐苹果，老大说：“这里共有 32 个苹果，老二你先拿 14 ，老三拿剩 下的 1 3 ，你们两个拿完后剩下的一半给老四，余下的归我。”老大的分法公平吗？ 请列式计算。 【答案】公平；见详解 【分析】先把 32 个苹果看作单位“1”，老二拿 14 ，根据求一个数的几分之几是多 少，用苹果的总数乘 1 4 ，即可求出老二拿的苹果个数； 老三拿剩下的 1 3 ，把剩下的看作单位“1”，用苹果的总数减去老二拿的个数，即 是剩下的个数，根据分数乘法的意义，用剩下苹果的个数乘 1 3 ，求出老三拿的苹 果个数； 老二、老三两个拿完后剩下的一半给老四，用苹果的总数分别减去老二、老三拿 的苹果个数，再乘 1 2 ，即是老四拿的苹果个数； 最后用苹果的总数分别减去老二、老三、老四拿的苹果个数，即是老大拿的苹果 的个数。 【详解】老二拿了：32× 14 ＝8（个） 老三拿了： 8 / 49 （32－8）× 13 ＝24× 13 ＝8（个） 老四拿了： （32－8－8）× 1 2 ＝16× 1 2 ＝8（个） 老大：32－8－6－8＝8（个） 四个人分到的苹果个数都是 8 个。 答：老大的分法公平。 【点睛】本题考查分数乘法的应用，找出单位“1”，区分单位“1”的不同，单位“1” 已知，根据分数乘法的意义解答。 【考点三】分数乘法中的单位“1”转化问题其三。 【方法点拨】 分清不同分率句中的不同单位“1”，再解决问题。 【典型例题】 妈妈给大胖小胖哥俩买回一些巧克力，小胖拿走了其中的 1 2 还多 3 块，大胖拿走 了剩余的 1 2 还多 3 块，正好全部拿光。妈妈一共买回了多少块巧克力？ 【答案】18 块 【分析】把一些巧克力看作单位“1”，设有 x 块巧克力，小胖拿走了其中的 1 2 还 多 3 块，小胖拿走了（ 1 2 x＋3）块，这时剩下 x－（ 1 2 x＋3）块，大胖拿走了剩 余的 1 2 也多 3 块，大胖拿了[x－（ 1 2 x＋3）]× 1 2 ＋3 块，正好全部拿完，两个人 拿的相加就是 x．据此解答。 【详解】解：设有 x 块巧克力。 [x－（ 1 2 x＋3）]× 1 2 ＋3＋ 1 2 x＋3＝x 9 / 49 [ 1 2 x－3]× 1 2 ＋ 1 2 x＋6＝x 1 2 x－3＋x＋12＝2x x－6＋2x＋24＝4x 3x＋18＝4x x＝18 答：妈妈一共买回了 18 块巧克力。 【点睛】本题比较难，是复杂的含有两个未知的问题，要认真分析题意，找出数 量之间的关系，正确列式计算。 【对应练习】 小文看一本 240 页的作文书，第一天看了 38 ，第二天看了余下的 2 5 ，第三天看的 页数是第二天所看页数的 2 5 。还剩多少页没看？ 【答案】66 页 【分析】第一天看了 3 8 ，是以全书页数为单位“1”，求出第一天看书页数，再求 出余下的页数；第二天看了余下的 2 5 ，是以第一天看完余下的页数为单位“1”， 求出第二天看的页数；第三天看的页数是第二天所看页数的 2 5 ，是以第二天所看 页数为单位“1”，最后再求出三天看完之后余下的页数即可。 【详解】第一天：240× 38 ＝90（页） 第二天：（240－90）× 2 5 ＝150× 2 5 ＝60（页） 第三天：60× 2 5 ＝24（页） 剩余：240－（90＋60＋24） ＝240－174 ＝66（页） 答：还剩 66 页没看。 【点睛】本题考查分数乘法，解答本题的关键是找到每个分数以谁为单位“1”。 10 / 49 【考点四】常见的单位“1”转化问题。 【方法点拨】 一般的单位“1”转化问题以填空、选择题型为主，我们需要找准单位“1”，再明 确求一个数比另一个数多或少几分之几，用两者的差值除以另一个数，即“作差 除比后”。 【典型例题 1】问题一。 六年级一班的男生占全班人数的 3 5，女生比男生少( )，男生比女生多 ( )。 【答案】 1 3 1 2 【分析】把全班人数看作单位“1”，男生占全班人数的 35，女生占全班人数的 2 5 ， 女生比男生少几分之几＝（男生占全班人数的分率－女生占全班人数的分率）÷ 男生占全班人数的分率，男生比女生多几分之几＝（男生占全班人数的分率－女 生占全班人数的分率）÷女生占全班人数的分率。 【详解】1－ 35＝ 2 5 3 2 3 5 5 5       ＝ 1 3 ÷ 5 5 ＝ 1 5 5 3  ＝ 1 3 3 2 2 5 5 5       ＝ 1 2 5 5  ＝ 1 5 5 2  ＝ 1 2 所以，女生比男生少 1 3 ，男生比女生多 1 2 。 【点睛】本题考查求一个数比另一个数多或少几分之几的问题，重点是掌握求这 11 / 49 类问题的计算公式。 【对应练习 1】 甲数是乙数的 4 5 ，则甲数比乙数少     ，乙数比甲数多     。 【答案】 1 5 ； 1 4 【分析】甲数是乙数的 4 5 ，是将乙数看作单位“1”，甲数比乙数少几分之几，先 用减法求出甲数比乙数少的部分，再除以乙数即可； 乙数比甲数多几分之几是求乙数比甲数多的数占甲数的几分之几，用乙数减去甲 数的差，除以甲数即可。 【详解】由分析可得： （1－ 4 5 ）÷1 ＝ 1 5 ÷1 ＝ 1 5 （1－ 4 5 ）÷ 4 5 ＝ 1 5 ÷ 4 5 ＝ 1 5 × 5 4 ＝ 1 4 综上所述：甲数是乙数的 4 5 ，则甲数比乙数少 1 5 ，乙数比甲数多 1 4 。 【点睛】本题考查了分数除法的应用，解题的关键是找准单位“1”，求一个数比 另外一个数多或少多少，用两个数的差除以另外一个数即可。 【对应练习 2】 六（1）班女生人数是男生人数的 4 5 ，男生比女生多 ( ) ( ) 。 【答案】 1 4 【分析】把男生人数看作单位“1”，女生人数是男生人数的 4 5 ，求男生比女生多 几分之几，先用减法求出多的部分，再除以女生人数即可。 12 / 49 【详解】（1－ 4 5 ）÷ 4 5 ＝ 1 5 ÷ 4 5 ＝ 1 5 × 5 4 ＝ 1 4 男生比女生多 1 4 。 【点睛】明确求一个数比另一个数多或少几分之几，用两数的差值除以另一个数。 【对应练习 3】 某班女生人数是男生人数的 2 3 ，女生人数占全班的    ，男生人数比女生多    。 【答案】 2 5 ； 1 2 【分析】将男生人数看作单位“1”，全班人数是男生人数的（1＋ 2 3 ），女生对应 分率÷全班对应分率＝女生人数占全班的几分之几；男女生对应分率差÷女生对应 分率＝男生人数比女生多几分之几，据此列式计算。 【详解】 2 3 ÷（1＋ 2 3 ） ＝ 2 3 ÷ 5 3 ＝ 2 3 × 3 5 ＝ 2 5 （1－ 2 3 ）÷ 2 3 ＝ 1 3 ÷ 2 3 ＝ 1 3 × 3 2 ＝ 1 2 某班女生人数是男生人数的 2 3 ，女生人数占全班的 2 5 ，男生人数比女生多 1 2 。 13 / 49 【典型例题 2】问题二。 女生人数比男生人数多 1 7 ，女生人数是男生人数的( )。 【答案】 8 7 【分析】把男生的人数看作单位“1”，则女生的人数为 1×（1＋ 1 7 ），然后用女生 人数除以男生人数即可。 【详解】假设男生人数为 1 1×（1＋ 1 7 ） ＝1× 8 7 ＝ 8 7 8 7 ÷1＝ 8 7 则女生人数是男生人数的 8 7 。 【点睛】本题考查求一个数是另一个数的几分之几，明确用除法是解题的关键。 【对应练习 1】 六（1）班男生人数比女生人数多 18 ，女生人数是男生人数的( )。 【答案】 8 9 【分析】将女生人数看作单位“1”，男生比女生多 18 ，那么男生人数是女生人数 的（1＋ 18 ）。将女生人数单位“1”除以男生的分率，求出女生人数是男生人数的 几分之几。 【详解】1÷（1＋ 18 ） ＝1÷ 9 8 ＝1× 8 9 ＝ 8 9 六（1）班男生人数比女生人数多 18 ，女生人数是男生人数的 8 9 。 【对应练习 2】 14 / 49 在“一个班男生人数比女生多 15 ”中，把( )看作单位“1”，男生人数是女生 的 ( ) ( ) ，女生人数是男生人数的 ( ) ( ) ，男生人数是全班人数的 ( ) ( ) 。 【答案】女生人数； 6 5 ； 5 6 ； 6 11 【分析】根据判断单位“1”的方法，一般是把分率“的”字前面的量看作单位“1”， 或把“是、占、比”后面的量看作单位“1”。即：在“一个班男生人数比女生多 15 ” 中，把女生人数看作单位“1”，那么男生人数是女生的（1＋ 15 ＝ 6 5 ），女生人数 是男生人数的 1÷ 65 ＝ 5 6 ，全班人数是女生的（1＋1＋ 15 ＝ 11 5 ），男生人数是全班 人数的（ 6 5 ÷ 11 5 ＝ 6 11 ）。 【详解】根据分析，把女生人数看作单位“1”，可得： 1＋ 15 ＝ 6 5 1÷ 65 ＝ 5 6 6 5 ÷（1＋1＋ 1 5 ） ＝ 6 5 ÷ 11 5 ＝ 6 11 所以，在“一个班男生人数比女生多 15 ”中，把女生人数看作单位“1”，男生人数是 女生的 6 5 ，女生人数是男生人数的 5 6 ，男生人数是全班人数的 6 11 。 【对应练习 3】 男生人数比女生人数少 1 5 ，男生人数是女生人数的( )，女生人数是男生 人数的( )，男生人数占男、女生总人数的( )。 【答案】 4 5 5 4 4 9 【分析】把女生人数看作单位“1”， 男生人数比女生人数少 15 ，即男生人数是女 生人数的 1− 15 ＝ 4 5 ；求女生人数是男生人数的，用女生人数÷男生人数即可；再 求出男女生总人数和，再用男生人数÷总人数即可，据此解答。 15 / 49 【详解】1− 15 ＝ 4 5 1÷ 4 5 ＝ 5 4 4 5 ÷（1＋ 4 5 ） ＝ 4 5 ÷ 9 5 4 9  男生人数是女生人数的（ 4 5 ），女生人数是男生人数的（ 5 4 ），男生人数占男、 女生总人数的（ 4 9 ） 【典型例题 3】问题三。 桃树的棵数比苹果树多 2 5 ，是把( )看作单位“1”，那么苹果树棵数比桃树 少( )。 【答案】 苹果树棵数 2 7 【分析】一般“比”字之后为单位“1”或者说平均分的是谁谁就是单位“1”；若苹果 树的棵数为 1，则桃树的棵数是 1×（1＋ 2 5 ），先求出苹果树棵数比桃树少多少， 再除以桃树的棵数即可。 【详解】桃树的棵数比苹果树多 2 5 ，是把苹果树棵数看作单位“1”。 1×（1＋ 2 5 ） ＝1× 7 5 ＝ 7 5 （ 7 5 －1）÷ 7 5 ＝ 2 5 ÷ 7 5 ＝ 2 5 × 5 7 ＝ 2 7 那么苹果树棵数比桃树少 2 7 。 16 / 49 【点睛】本题考查求一个数比另一个数少几分之几，明确用除法是解题的关键。 【对应练习 1】 松树的棵数比柏树多 1 5 ，则柏树棵树比松树少( )。 【答案】 1 6 【分析】柏树的棵数为单位“1”，松树的棵数为 1＋ 1 5 ＝ 6 5 ，再用柏树与松树的棵 数差除以松树的棵数即可。 【详解】 1 5 ÷（1＋ 1 5 ） ＝ 1 5 ÷ 6 5 ＝ 1 6 【点睛】明确前后两个信息对应的单位“1”不同是解答本题的关键。 【对应练习 2】 女生人数比男生人数少 1 4 ，画图：( )，则男生人数比女生人数多 ( )。 【答案】 1 3 【分析】把男生人数看作单位“1”，把它平均分成 4 份，每份是它的 1 4 ，女生比 男生少 1 4 ，少这样的 1 份，即女生人数相当于这样的 3 份。求男生人数比女生人 数多几分之几，把男生人数看作单位“1”，则女生人数就是 1(1 ) 4  ，用男生比女生 多的人数除以女生人数。 【详解】把男生人数看作单位“1”，把它平均分成 4 份，每份是它的 1 4 ，女生比 男生少 1 4 ，少这样的 1 份，即女生人数相当于这样的 3 份（画图如下）。 17 / 49 则男生比女生多： 1 1[1 (1 )] (1 ) 4 4     3 1[1 ] (1 ) 4 4     1 3 4 4   1 3  【点睛】求一个数比另一个数多或少几分之几，用这两数之差除以另一个数。画 线段图分析题，是常用的方法。 【对应练习 3】 哥哥走的路程比妹妹多 1 4 ，而妹妹所用的时间比哥哥多 1 9 ，那么哥哥的速度是妹 妹的( )。 【答案】 25 18 【分析】把妹妹走的路程看作和“1”，则哥哥走的路程就是“（1＋ 1 4 ）” ，把哥 哥用的时间看作 “1”，则妹妹用的时间就是“（1 ＋ 19 ）”，根据“速度＝路程÷时 间”，分别求出哥哥的速度、妹妹的速度，再用哥哥的速度除以妹妹的速度。 【详解】 1 1[(1 ) 1] [1 (1 )] 4 9      5 101 1 4 9               ＝ 5 9 4 10  ＝ 5 10 4 9  25 18  【点睛】求一个数是另一个数的几分之几，用这个数除以另一个数。关键是根据 路程、速度、时间三者之间的关系，求出哥哥、妹妹的速度。 【考点五】单位“1”转化问题：已知剩余数量，转化单位“1”。 【方法点拨】 题目的难点在于分率句的单位“1”有所变化，需要统一单位“1”，然后再用对应分 18 / 49 量÷对应分率=单位“1”。 【典型例题 1】基础型。 某水果店购进一批水果，第一天卖掉 6 5 吨，第二天卖掉了剩下的 7 12 ，还剩下 2 吨，这批水果一共多少吨？ 【答案】6 吨 【分析】方法 1：把这批水果的总吨数设为未知数，等量关系式：这批水果的总 吨数－第一天卖出的吨数－第二天卖出的吨数＝剩下的水果吨数； 方法 2：把第一天卖完之后剩下的水果吨数看作单位“1”，第二天卖掉第一天剩 下的 7 12 ，那么第二天卖完之后剩下的吨数占第一天剩下的（1－ 7 12 ），第二天卖 完之后剩下 2 吨，根据量÷对应的分率＝单位“1”求出第一天卖完之后剩下的水果 吨数，最后加上第一天卖出的水果吨数求出这批水果的总吨数，据此解答。 【详解】方法 1：解：设这批水果一共 x 吨。 x－ 6 5 －（x－ 6 5 ）× 7 12 ＝2 x－ 6 5 － 7 12 x＋ 6 5 × 7 12 ＝2 x－ 7 12 x－ 6 5 ＋ 6 5 × 7 12 ＝2 5 12 x－ 6 5 ＋ 7 10 ＝2 5 12 x－（ 6 5 － 7 10 ）＝2 5 12 x－ 12 ＝2 5 12 x＝2＋ 12 5 12 x＝ 5 2 x＝ 5 2 ÷ 5 12 x＝ 5 2 × 12 5 x＝6 答：这批水果一共 6 吨。 方法 2：2÷（1－ 7 12 ）＋ 6 5 19 / 49 ＝2÷ 5 12 ＋ 6 5 ＝2×12 5 ＋ 6 5 ＝ 24 5 ＋ 6 5 ＝6（吨） 答：这批水果一共 6 吨。 【点睛】分析题意找出题目中隐含的等量关系或者确定题目中的单位“1”并找出 量和对应的分率是解答题目的关键。 【对应练习 1】 一段公路需要施工，第一天完成了总量的 1 5 ，第二天完成了剩下部分的 1 4 ，这时 还剩下 220 米未施工，需要施工的这段公路有多少米？（建议你先画画线段图， 再解决这个问题） 【答案】 1100 3 米 【分析】把这段公路的总长看作单位“1”，第一天完成了总长的 1 5 ，则还剩下总 长的（1－ 1 5 ）；第二天完成了剩下部分的 1 4 ，根据分数乘法的意义可知，第二 天完成了总长的（1－ 1 5 ）× 1 4 ；用“1”减去这两天完成的分率，就是剩下的 220 米占总长的分率，单位“1”未知，用除法计算，即可求出这段公路的总长。 【详解】如图： （1－ 1 5 ）× 1 4 ＝ 4 5 × 1 4 ＝ 1 5 20 / 49 220÷（1－ 1 5 － 1 5 ） ＝220÷ 3 5 ＝220× 53 ＝ 1100 3 （米） 答：需要施工的这段公路有 1100 3 米。 【点睛】本题考查分数乘除法的应用，找出单位“1”，单位“1”已知，根据分数乘 法的意义列式计算；单位“1”未知，根据分数除法的意义列式计算。 【对应练习 2】 一段路，第一周修了全长的 1 5 ，第二周修了余下的 1 4 ，这时还剩下 300 米没有修， 这段路全长多少米？ 【答案】500 米 【分析】这段路的全长＝还剩下没修的米数÷[1－第一天修了全长的几分之几－ 第二天修了全长的几分之几]，第二天修了全长的几分之几＝（1－第一天修了全 长的几分之几）×第二天修了余下的几分之几，代入数值计算即可。 【详解】300÷[1－ 1 5 －（1－ 1 5 ）× 1 4 ] ＝300÷[1－ 1 5 － 4 5 × 1 4 ] ＝300÷[1－ 1 5 － 1 5 ] ＝300÷ 3 5 ＝500（米） 答：这段路全长 500 米。 【点睛】找到单位“1”，根据分数除法的意义进行解答即可。 【对应练习 3】 阳阳家买钛镁合金门。第一次付了全款的 1 5 ，第二次付了余下的 1 2 ，这时还剩下 800 元没有付。请问门的价格是多少？ 【答案】2000 元 21 / 49 【分析】首先把第一次付款后剩下的钱数看作单位“1”，第二次付了余下的 12 ， 这时还剩下 800 元没有付，由此可知，800 元占第一次付款后剩下的钱数的 1(1 ) 2  ， 根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法求出可以求出第一次付款 后剩下的钱数，又知第一次付了全款的 1 5 ，再把门的全款看作单位“1”，第一次 付款后剩下的钱数占全款的 1(1 ) 5  ，再根据已知一个数的几分之几是多少，求这 个数，用除法解答。 【详解】 1 1800 1 1 2 5               1 4800 2 5    5800 2 4    2000 （元） 答：门的价格是 2000 元。 【点睛】此题所以稍复杂的分数除法应用题，关键是确定单位“1”，根据已知一 个数的几分之几是多少，求这个数，用除法解答。 【典型例题 2】进阶型。 一本文艺书，小明第一天看了全书的 1 2 ，第二天看了余下的 1 3 ，第三天看了再余 下的 1 5 ，还剩下 80 页。这本书共有多少页？ 【答案】300 页 【分析】把全书看成“1”，那么第一天看后剩下（1 一 1 2 ）。再把第一天看后余下 的部分看成“1”，求出第二天看后余下的部分是全书的 1 11 1 2 3              。最后把第 二天看后余下的部分看成“1”，就可以求出第三天看后余下的部分占全书的 1 1 11 1 1 2 3 5                      ，正好是 80 页，再根据分数除法的意义解答即可。 【详解】 1 1 11 1 1 2 3 5                      1 2 4 2 3 5    4 15  ； 22 / 49 480 300 15   （页）； 答：这本书共有 300 页。 【点睛】解答本题的关键是明确每天看的页数所占的分率中单位“1”不同，据此 求出余下的部分占全书的分率，再根据分数除法的意义解答即可。 【对应练习 1】 风采大赛之后，老师拿了一箱奖品发给获奖的同学们。将其中的 1 3 发给一等奖的 同学，剩下的 1 3 发给二等奖的同学，一、二等奖发完后剩下 1 4 的发给三等奖的同 学，这时箱子里还剩下 15 份奖品，问箱子里原来有多少份奖品？ 【答案】45 份 【分析】先把一、二等奖发完后剩下奖品的份数看作单位“1”，那么箱子里还剩 下 15 份奖品占它的 1(1 ) 4  ，单位“1”未知，用除法计算，求出一、二等奖发完后 剩下奖品的份数； 再把一等奖发完后剩下奖品的份数看作单位“1”，那么一、二等奖发完后剩下奖 品的份数占它的 (1 ) 1 3  ，单位“1”未知，用除法计算，求出一等奖发完后剩下奖品 的份数； 最后把箱子里原来有奖品的总数看作单位“1”，那么一等奖发完后剩下奖品的份 数占它的 (1 ) 1 3  ，单位“1”未知，用除法计算，求出箱子里原来有奖品的总数。 【详解】一、二等奖发完后剩下： 115 (1 ) 4   315 4   415 3   20 （份） 一等奖发完后剩下： 120 (1 ) 3   220 3   23 / 49 320 2   30 （份） 原来的奖品总数： 130 (1 ) 3   230 3   330 2   45 （份） 答：箱子里原来有 45 份奖品。 【点睛】本题考查复杂的分数除法的应用，找出单位“1”，单位“1”未知，根据分 数除法的意义列式计算；注意三个单位“1”的不同，采用倒推法解答。 【对应练习 2】 《九章算术》中有一道题：“今有人持米出三关，外关三而取一，中关五而取一， 内关七而取一，余米五斗。问持米几何？”题意：有人背米过关卡，经过外关时， 用全部米的 1 3 纳税，过中关时用所余米的 1 5 纳税，经过内关时再用余米的 1 7 纳税， 最后还剩下 5 斗米。这个人原来背多少斗米出关？ 【答案】 1510 16 斗 【分析】将过内关时剩余米的斗数看作单位“1”，最后剩的米的斗数是过内关时 剩余米的（1－ 1 7 ），最后剩的米的斗数÷对应分率＝过内关时剩余米的斗数；再 将过中关时剩余米的斗数看作单位“1”，过内关时剩余米的斗数是过中关时剩余 米的（1－ 15 ），过中关时剩余米的斗数÷对应分率＝过中关时剩余米的斗数；最 后将背的米的总斗数看作单位“1”，过中关时剩余米的斗数是背的米的总斗数的 （1－ 13 ），过中关时剩余米的斗数÷对应分率＝背的米的总斗数，据此列式解答。 【详解】 1 1 15 1 1 1 7 5 3                       ＝ 3 6 4 7 25 5    ＝ 7 5 3 6 4 2 5   24 / 49 ＝ 35 5 3 6 4 2   ＝ 175 3 24 2  ＝ 1510 16 （斗） 答：这个人原来背 1510 16 斗米出关。 【点睛】关键是确定单位“1”，理解分数除法的意义，根据部分数量÷对应分率＝ 整体数量，列式解答。 【对应练习 3】 一只猴子摘了一堆桃子，第一天吃了这堆桃子的七分之一，第二天吃了余下桃子 的六分之一，第三天吃了余下桃子的五分之一，第四天吃了余下桃子的四分之一， 第五天吃了余下桃子的三分之一，第六天吃了余下桃子的二分之一，这时还剩下 12 个桃子，那么这堆桃子共有多少个? 解析：此题可用两种方法： 方法一：逆推法 第六天：12×2=24（个） 第五天：24× 2 3 =36（个） 第四天：36× 3 4 =48（个） 第三天：48× 4 5 =60（个） 第二天：60× 5 6 =72（个） 第一天：72× 6 7 =84（个） 答：略。 方法二：量率对应 第一天吃了： 7 1 第二天吃了：（1- 7 1 ）× 6 1 = 7 1 第三天吃了：（1- 7 1 - 7 1 ）× 5 1 = 7 1 第四天吃了：（1- 7 1 - 7 1 - 7 1 ）× 4 1 = 7 1 25 / 49 第五天吃了：（1- 7 1 - 7 1 - 7 1 - 7 1 ）× 3 1 = 7 1 第六天吃了：（1- 7 1 - 7 1 - 7 1 - 7 1 - 7 1 ）× 2 1 = 7 1 还剩：1- 7 1 - 7 1 - 7 1 - 7 1 - 7 1 - 7 1 = 7 1 一共有：12÷ 7 1 =84（个） 答：略。 【典型例题 2】拓展型。 小华读一本故事书，第一天读了全书的 ，第二天读了余下页数的 还多 8 页， 这时还有 52 页没有读．这本故事书有多少页？ 【答案】120 页 【详解】（52+8）÷（1﹣ ）÷（1﹣ ） ＝60÷ ÷ ＝120（页） 答：这本故事书有 120 页。 【对应练习 1】 一批水泥，第一天用去了 1 2 多 1 吨，第二天用去了余下 1 3 少 2 吨，还剩下 16 吨， 原来这批水泥有多少吨？ 【答案】44 吨 【分析】如果第二天用去的正好是余下的 1 3 ，则还剩下 16－2＝14（吨），那么 第一天用后剩下 14÷（1－ 13 ）＝21（吨）。同理，如果第一天用去的也正好是 1 2 ， 那么（21＋1）÷（1－ 12 ）＝44（吨）。据此解题。 【详解】（16－2）÷（1－ 13 ） ＝14÷ 23 ＝21（吨） （21＋1）÷（1－ 12 ） 26 / 49 ＝22÷ 12 ＝44（吨） 答：原来这批水泥有 44 吨。 【点睛】本题考查了分数除法的应用，能根据题意正确列式是解题的关键。 【对应练习 2】 修一段路，第一天修了 300 米，第二天修了余下的一半少 200 米，第三天修了余 下的 3 4 多 100 米，这时还余下 500 米没有修。这段路全长多少米？ 【答案】4700 米 【分析】先把第二天修完后余下的长度看作单位“1”，则（500＋100）米占它的 （1－ 3 4 ），单位“1”未知，用除法求出第二天修完后余下的长度； 再把第一天修完后余下的长度看作单位“1”，则第二天修完后余下长度减去 200 米的长度占它的（1－ 12 ），单位“1”未知，用除法求出第一天修完后余下的长度； 最后用第一天修的长度加上第一天修完后余下的长度，即是这段路的全长。 【详解】第二天修完后余下的长度： （500＋100）÷（1－ 3 4 ） ＝600÷ 1 4 ＝600×4 ＝2400（米） 第一天修完后余下的长度： （2400－200）÷（1－ 12 ） ＝2200÷ 12 ＝2200×2 ＝4400（米） 全长：4400＋300＝4700（米） 答：这段路全长 4700 米。 【点睛】本题考查分数除法的应用，利用“倒推法”解题，找出单位“1”，区分单 位“1”的不同，单位“1”未知，根据分数除法的意义解答。 27 / 49 【对应练习 3】 有一根铁丝，第一次用去它的一半多 1 米，第二次用去余下的 13 少 1 米，这时还 剩下 15 米。求这根铁丝原来长多少米？ 【答案】44 米 【分析】如图 ，先将第 一次用后余下长度看作单位“1”，剩下的 15 米减去 1 米刚好是第一次用后余下长 度的（1－ 13 ），根据部分数量÷对应分率＝整体数量，求出第一次用后余下长度； 再将铁丝原来长度看作单位“1”，第一次用后余下长度加上 1 米，刚好是铁丝原 来长度的（1－ 12 ），再根据部分数量÷对应分率＝整体数量，即可求出铁丝原来 长度。 【详解】（15－1）÷（1－ 13 ） ＝14÷ 23 ＝14× 3 2 ＝21（米） （21＋1）÷（1－ 12 ） ＝22÷ 12 ＝22×2 ＝44（米） 答：这根铁丝原来长 44 米。 【点睛】关键是确定单位“1”，理解分数除法的意义。 【考点六】单位“1”转化问题：已知数量差，转化单位“1”。 【方法点拨】 题目的难点在于分率句的单位“1”有所变化，需要统一单位“1”，然后再用对应分 28 / 49 量÷对应分率=单位“1”。 【典型例题】 耀华印刷公司某打字员打一份稿件，第一天打了这份稿件的 1 3 ，第二天打了余下 稿件的 2 3 ，这时已打好的比余下的多 4500 字，求第一、二天各打了多少字？ 【答案】第一天 2700 字；第二天 3600 字 【详解】 1 3 ＋（1－ 1 3 ）× 2 3 ＝ 1 3 ＋ 2 3 × 2 3 ＝ 1 3 ＋ 4 9 ＝ 7 9 4500÷[ 79 －（1－ 7 9 ）] ＝4500÷[ 79 － 2 9 ] ＝4500÷ 59 ＝8100（字） 8100× 13 ＝2700（字） （8100－2700）× 2 3 ＝5400× 2 3 ＝3600（字） 答：第一天打了 2700 字，第二天打了 3600 字。 【对应练习 1】 一工人加工一批零件，第一天完成任务的 1 5 ，第二天完成剩下部分的 1 3 ，第二天 比第一天多完成 20 个，问这批零件共有多少个？ 【答案】300 个 【分析】将总任务看作单位“1”，将题目中的分率全部转化为相对总任务的分率， 第一天完成任务的 1 5 ，还剩下 1－ 1 5 ＝ 4 5 ，那么第二天完成总任务的 1 4= 5 3 15 4  ，第 29 / 49 二天比第一天多完成 4 1 1 15 5 15   ，即 20 所对应的分率为 1 15 ，求总量，用除法。 【详解】 1 1 120 1 5 3 5 4 1 120 5 3 5 4 120 15 5 120 15                          ＝300（个） 答：这批零件共有 300 个。 【点睛】本题考查分数应用，明确单位“1”，找对数量与对应分率是解题关键。 【对应练习 2】 修一条路，第一天修了全长的 1 4 ，第二天修了剩下的 1 4 ，第一天比第二天多修 200 米。这条路长多少米？ 【答案】3200 米 【分析】把一条路总长看作单位“1”，第一天完成 14 ，第二天完成 1 1 31 4 4 16       ＝ ， 多出的 200 米对应 1 3 4 16      。根据分数除法的意义，用 200 除以 1 34 16  的差可以求 出单位“1”，也就是路的总长度。 【详解】 1 11 4 4       ＝ 3 1 4 4  ＝ 3 16 1 3200 4 16       ＝ 1200 16  ＝200×16 ＝3200（米） 答：这条路长 3200 米。 【对应练习 3】 30 / 49 小明假期做作业，第一天完成了全部的 1 3 ，第二天完成了剩余部分的 1 3 ，第一天 比第二天多做了 1 页，小明还有多少页作业没做？ 【答案】4 页 【分析】把全部作业作为单位“1”，第一天完成 13 ，第二天完成 2 1 2 3 3 9   ，多出的 1 页对应 1 23 9  ，用 1 除以 1 23 9  的差可以求出单位“1”，再求有多少作业没做。 【详解】第二天： 1 11 3 3  （ ） ＝ 2 1 3 3  ＝ 2 9 总页数： 1 21 3 9  （ ） ＝ 11 9  ＝1×9 ＝9（页） 剩下的页数： 9×（1－ 1 23 9  ） ＝ 2 29 3 9       ＝ 49 9  ＝4（页） 答：小明还剩 4 页作业没做。 【考点七】单位“1”转化问题：已知数量和，转化单位“1”。 【方法点拨】 题目的难点在于分率句的单位“1”有所变化，需要统一单位“1”，然后再用对应分 量÷对应分率=单位“1”。 【典型例题】 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2024年9月26日 2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列 第二单元分数混合运算·应用拓展篇【十一大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第二单元分数混合运算·应用拓展篇 专题内容 本专题以分数混合运算的拓展应用为主，其中主要包括单位“1”的变式和转化问题。 总体评价 讲解建议 建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解部分考点考题。 考点数量 十一个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】分数乘法中的单位“1”转化问题其一 3 【考点二】分数乘法中的单位“1”转化问题其二 4 【考点三】分数乘法中的单位“1”转化问题其三 5 【考点四】常见的单位“1”转化问题 5 【考点五】单位“1”转化问题：已知剩余数量，转化单位“1” 7 【考点六】单位“1”转化问题：已知数量差，转化单位“1” 10 【考点七】单位“1”转化问题：已知数量和，转化单位“1” 11 【考点八】单位“1”转化问题：任选单位“1”进行转化 12 【考点九】单位“1”转化问题：多个单量的统一 14 【考点十】单位“1”转化问题：以总量统一单位“1” 15 【考点十一】单位“1”转化问题：以单量统一单位“1” 17 【第三篇】典型例题篇 【考点一】分数乘法中的单位“1”转化问题其一。 【方法点拨】 分清不同分率句中的不同单位“1”，再解决问题。 【典型例题】 一本书有225页，小红第一天看了，第二天看了剩下的，第三天应从多少页看起？ 【对应练习1】 李师傅准备加工240个零件，第一天加工了30个，第二天加工了余下了，还剩下多少个零件没有加工？ 【对应练习2】 一本科技书有120页，小欣第一天读了全书的。第二天读了余下的，两天一共读完了几页？ 【对应练习3】 发展现代畜牧业，促农增收又致富，2022年李叔叔在乡村振兴的政策帮扶下，开了一个养殖场，养鸡3200只，第一周卖出，第二周卖出剩下的，两周一共卖出多少只鸡？ 【考点二】分数乘法中的单位“1”转化问题其二。 【方法点拨】 分清不同分率句中的不同单位“1”，再解决问题。 【典型例题】 《庄子·天下》中有这样一段话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”意思是说：一尺长的木棍，每天截取一半，永远也截取不完。照这样推算，第三天截取的长度占最初一尺木棒长度的( )，剩下部分的长度是( )米。（一尺＝米） 【对应练习1】 《庄子天下篇》中有一句话，“一尺之锤，日取其率，万世不漏。”意思就是：一根一尺长的木棒，今天取它的一半，即。明天取它一半的一半，后天再取它一半的一半的一半……这样取下去，永运也取不完。那么第四天取的长度是( )。 【对应练习2】 2022减去它的，再减去余下的，再减去余下的……直至最后减去余下的，最后的结果是( )。 【对应练习3】 四兄弟要分一筐苹果，老大说：“这里共有32个苹果，老二你先拿，老三拿剩下的，你们两个拿完后剩下的一半给老四，余下的归我。”老大的分法公平吗？请列式计算。 【考点三】分数乘法中的单位“1”转化问题其三。 【方法点拨】 分清不同分率句中的不同单位“1”，再解决问题。 【典型例题】 妈妈给大胖小胖哥俩买回一些巧克力，小胖拿走了其中的还多3块，大胖拿走了剩余的还多3块，正好全部拿光。妈妈一共买回了多少块巧克力？ 【对应练习】 小文看一本240页的作文书，第一天看了，第二天看了余下的，第三天看的页数是第二天所看页数的。还剩多少页没看？ 【考点四】常见的单位“1”转化问题。 【方法点拨】 一般的单位“1”转化问题以填空、选择题型为主，我们需要找准单位“1”，再明确求一个数比另一个数多或少几分之几，用两者的差值除以另一个数，即“作差除比后”。 【典型例题1】问题一。 六年级一班的男生占全班人数的，女生比男生少( )，男生比女生多( )。 【对应练习1】 甲数是乙数的，则甲数比乙数少，乙数比甲数多。 【对应练习2】 六（1）班女生人数是男生人数的，男生比女生多。 【对应练习3】 某班女生人数是男生人数的，女生人数占全班的，男生人数比女生多。 【典型例题2】问题二。 女生人数比男生人数多，女生人数是男生人数的( )。 【对应练习1】 六（1）班男生人数比女生人数多，女生人数是男生人数的( )。 【对应练习2】 在“一个班男生人数比女生多”中，把( )看作单位“1”，男生人数是女生的，女生人数是男生人数的，男生人数是全班人数的。 【对应练习3】 男生人数比女生人数少，男生人数是女生人数的( )，女生人数是男生人数的( )，男生人数占男、女生总人数的( )。 【典型例题3】问题三。 桃树的棵数比苹果树多，是把( )看作单位“1”，那么苹果树棵数比桃树少( )。 【对应练习1】 松树的棵数比柏树多，则柏树棵树比松树少( )。 【对应练习2】 女生人数比男生人数少，画图：( )，则男生人数比女生人数多( )。 【对应练习3】 哥哥走的路程比妹妹多，而妹妹所用的时间比哥哥多，那么哥哥的速度是妹妹的( )。 【考点五】单位“1”转化问题：已知剩余数量，转化单位“1”。 【方法点拨】 题目的难点在于分率句的单位“1”有所变化，需要统一单位“1”，然后再用对应分量÷对应分率=单位“1”。 【典型例题1】基础型。 某水果店购进一批水果，第一天卖掉吨，第二天卖掉了剩下的，还剩下2吨，这批水果一共多少吨？ 【对应练习1】 一段公路需要施工，第一天完成了总量的，第二天完成了剩下部分的，这时还剩下220米未施工，需要施工的这段公路有多少米？（建议你先画画线段图，再解决这个问题） 【对应练习2】 一段路，第一周修了全长的，第二周修了余下的，这时还剩下300米没有修，这段路全长多少米？ 【对应练习3】 阳阳家买钛镁合金门。第一次付了全款的，第二次付了余下的，这时还剩下800元没有付。请问门的价格是多少？ 【典型例题2】进阶型。 一本文艺书，小明第一天看了全书的，第二天看了余下的，第三天看了再余下的，还剩下80页。这本书共有多少页？ 【对应练习1】 风采大赛之后，老师拿了一箱奖品发给获奖的同学们。将其中的发给一等奖的同学，剩下的发给二等奖的同学，一、二等奖发完后剩下的发给三等奖的同学，这时箱子里还剩下15份奖品，问箱子里原来有多少份奖品？ 【对应练习2】 《九章算术》中有一道题：“今有人持米出三关，外关三而取一，中关五而取一，内关七而取一，余米五斗。问持米几何？”题意：有人背米过关卡，经过外关时，用全部米的纳税，过中关时用所余米的纳税，经过内关时再用余米的纳税，最后还剩下5斗米。这个人原来背多少斗米出关？ 【对应练习3】 一只猴子摘了一堆桃子，第一天吃了这堆桃子的七分之一，第二天吃了余下桃子的六分之一，第三天吃了余下桃子的五分之一，第四天吃了余下桃子的四分之一，第五天吃了余下桃子的三分之一，第六天吃了余下桃子的二分之一，这时还剩下 12 个桃子，那么这堆桃子共有多少个? 【典型例题2】拓展型。 小华读一本故事书，第一天读了全书的，第二天读了余下页数的还多8页，这时还有52页没有读．这本故事书有多少页？ 【对应练习1】 一批水泥，第一天用去了多1吨，第二天用去了余下少2吨，还剩下16吨，原来这批水泥有多少吨？ 【对应练习2】 修一段路，第一天修了300米，第二天修了余下的一半少200米，第三天修了余下的多100米，这时还余下500米没有修。这段路全长多少米？ 【对应练习3】 有一根铁丝，第一次用去它的一半多1米，第二次用去余下的少1米，这时还剩下15米。求这根铁丝原来长多少米？ 【考点六】单位“1”转化问题：已知数量差，转化单位“1”。 【方法点拨】 题目的难点在于分率句的单位“1”有所变化，需要统一单位“1”，然后再用对应分量÷对应分率=单位“1”。 【典型例题】 耀华印刷公司某打字员打一份稿件，第一天打了这份稿件的，第二天打了余下稿件的，这时已打好的比余下的多4500字，求第一、二天各打了多少字？ 【对应练习1】 一工人加工一批零件，第一天完成任务的，第二天完成剩下部分的，第二天比第一天多完成20个，问这批零件共有多少个？ 【对应练习2】 修一条路，第一天修了全长的，第二天修了剩下的，第一天比第二天多修200米。这条路长多少米？ 【对应练习3】 小明假期做作业，第一天完成了全部的，第二天完成了剩余部分的，第一天比第二天多做了1页，小明还有多少页作业没做？ 【考点七】单位“1”转化问题：已知数量和，转化单位“1”。 【方法点拨】 题目的难点在于分率句的单位“1”有所变化，需要统一单位“1”，然后再用对应分量÷对应分率=单位“1”。 【典型例题】 甲乙两人生产一批零件，甲生产了这批零件的后，乙生产了剩下零件的，这时，甲乙两人一共生产了26个零件。这批零件原来共有多少个？ 【对应练习1】 看一本书，第一天看了全书的，第二天看了余下的，两天一共看了38页，这本书一共有多少页？ 【对应练习2】 一块布第一次用去，第二次用去余下的，两次共用去6米，这块布原有多少米长？ 【对应练习3】 甲、乙、丙三人要做一批服装，甲先做了这批服装的，接着乙做了余下服装的，剩下的工作由丙完成，已知甲、乙共做服装1500件，甲比乙多做服装多少件？ 【考点八】单位“1”转化问题：任选单位“1”进行转化。 【方法点拨】 题目的难点在于分率句存在两个单位“1”可以任选其一设为单位“1”，再统一单位“1”，然后再用对应分量÷对应分率=单位“1”。 【典型例题1】问题一。 甲的和乙的相等（甲、乙都不为0），甲是乙的( )，乙是甲的( )。 【对应练习1】 甲数的等于乙数的，甲数是乙数的( )，乙数是甲数的( )。 【对应练习2】 甲数的等于乙数的，甲数比乙数少( )。 【对应练习3】 果园里梨树棵树的等于杏树的，杏树棵树是梨树的几分之几？梨树棵树比杏树多几分之几？ 【典型例题2】问题二。 靖安拼团新进了沙田柚和黄金蜜柚共140斤，沙田柚重量的等于黄金蜜柚重量的，两种柚子各多少斤？ 【对应练习1】 六年级两个班共有98人，六（1）班人数的等于六（2）班人数的。六（1）班、六（2）班各有多少人？ 【对应练习2】 六年级学生有320人，已知六年级学生的人数的等于五年级学生的人数的，五年级有学生多少人？ 【对应练习3】 美术社团共有学生58人，已知女生人数的等于男生人数的。美术社团男、女生各有多少人？ 【典型例题3】问题三。 大数比小数多45，大数的等于小数的一半，求两数各是多少？ 【对应练习1】 图书馆有两个图书室，第一图书室图书本数的等于第二图书室图书本数的，第一图书室的图书比第二图书室多2700本。两图书室各有图书多少本？ 【对应练习2】 有甲乙丙三个学校，甲校人数的等于乙校人数的，等于丙校人数的，已知丙校比甲校多120人，求三校共有多少人？ 【对应练习3】 有甲、乙两桶油，甲桶油比乙桶油多3.2千克，从甲、乙两桶油中各取2千克，甲桶油剩下的等于乙桶油剩下的，求乙桶原来有多少千克的油？ 【考点九】单位“1”转化问题：多个单量的统一。 【方法点拨】 该类题型属于单位“1”转化问题的一种，需要统一把各已知量占总量的分率求出，即转化为以总量为单位“1”的分率句，然后再用对应分量÷对应分率=单位“1”。 【典型例题】 希希、望望、贝贝三人合资开了一家公司，希希出资的金额是望望、贝贝两人出资之和的，望望出资的金额是希希、贝贝两人出资之和的，若贝贝出资的金额比望望出资的金额多4万元，则他们三人出资的金额一共是多少钱？ 【对应练习1】 甲、乙、丙、丁合修一条路，甲修的是其他三队的，乙修的是其他三队的，丙修的是其他三队的，丁修了米，这条路全长多少米？ 【对应练习2】 甲、乙、丙、丁做小红花，甲做的朵数是其他三人做的总数的，乙做的朵数是其他三人做的总数的，丙做的朵数是其他三人做的总数的，丁做了40朵，甲做了多少朵？ 【对应练习3】 甲、乙、丙、丁四人合买一部数码相机，甲出的钱是其余三人出钱总数的，乙出的钱是另外三人出钱总数的，丙出的钱是其余三人出钱总数的，丁出169元。这部数码相机的价格是多少元？ 【考点十】单位“1”转化问题：以总量统一单位“1”。 【方法点拨】 该类题型属于单位“1”转化问题的一种，需要根据数量条件，统一把各已知量占总量的分率求出，即转化为以总量为单位“1”的分率句，然后再用对应分量÷对应分率=单位“1”。 【典型例题】 1. 橘子的千克数是苹果的 ，香蕉的千克数是橘子的，香蕉和苹果共220千克，橘子有多少千克？ 2. 一盆金鱼，红鱼是总数的， 黑鱼是红鱼的，其余的是24条花鱼，红鱼有多少条？ 3. 甲存款是乙存款，乙存款是丙存款的，甲比丙少存70元，求三人各存款多少元？ 【对应练习1】 甲数是乙数的，乙数是丙数的，甲、乙、丙的和是216，甲、乙、丙各是多少？ 【对应练习2】 甲校人数是乙校人数的，乙校人数是丙校人数的，甲校比丙校少450人，求三校各有多少人？ 【对应练习3】 甲、乙、丙三人共有92本图书。已知甲的图书是乙的，又知丙的图书相当于乙的，求丙有多少本图书？ 【考点十一】单位“1”转化问题：以单量统一单位“1”。 【方法点拨】 该类题型属于单位“1”转化问题的一种，题目的关键找到不变量，以不变量作为单位“1”统一，然后再用分量÷分率=单位“1”。 【典型例题1】问题一。 今年希望小学六年级毕业生人数占全校总人数的，毕业生走后，又招进新生220人，这时全校总人数是原来总人数的，原来学校共有多少人？ 【对应练习1】 幸福里小学上学期六年级女生人数是男生的，下学期转来3名女生，这时女生人数是男生人数的。阳光小学下学期六年级男生比女生多多少人？ 【对应练习2】 某校六年级有甲、乙两个班，甲班人数是乙班的．如果从乙班调3人到甲班，甲班人数是乙班人数的。甲、乙两班原来各有多少人？ 【对应练习3】 有甲乙两个粮库，原来甲粮库存粮的质量是乙粮库的，如果从乙粮库运12吨到甲粮库，那么甲粮库存粮的质量就是乙粮库的，甲、乙粮库原来各存粮多少吨？ 【典型例题2】问题二。 某校派出100名学生参加竞赛，其中女生占，后来有几名女生因故退出，这样参赛女生占参赛人数的，正式参赛的女生有多少名？ 【对应练习1】 东风小学有学生480人，其中女生占，后来又转来几名女生，这时女生占总人数的，转来几名女生？ 【对应练习2】 果园里有苹果树、梨树共800棵，其中苹果树占，后来又载了一些苹果树，这样，苹果树占总棵树的，后来又载了多少棵苹果树？ 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2024年9月26日 2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列 第二单元分数混合运算·应用拓展篇【十一大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第二单元分数混合运算·应用拓展篇 专题内容 本专题以分数混合运算的拓展应用为主，其中主要包括单位“1”的变式和转化问题。 总体评价 讲解建议 建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解部分考点考题。 考点数量 十一个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】分数乘法中的单位“1”转化问题其一 3 【考点二】分数乘法中的单位“1”转化问题其二 5 【考点三】分数乘法中的单位“1”转化问题其三 8 【考点四】常见的单位“1”转化问题 10 【考点五】单位“1”转化问题：已知剩余数量，转化单位“1” 17 【考点六】单位“1”转化问题：已知数量差，转化单位“1” 27 【考点七】单位“1”转化问题：已知数量和，转化单位“1” 30 【考点八】单位“1”转化问题：任选单位“1”进行转化 33 【考点九】单位“1”转化问题：多个单量的统一 41 【考点十】单位“1”转化问题：以总量统一单位“1” 43 【考点十一】单位“1”转化问题：以单量统一单位“1” 46 【第三篇】典型例题篇 【考点一】分数乘法中的单位“1”转化问题其一。 【方法点拨】 分清不同分率句中的不同单位“1”，再解决问题。 【典型例题】 一本书有225页，小红第一天看了，第二天看了剩下的，第三天应从多少页看起？ 解析： 225×＝50（页） （225－50）× ＝175× ＝70（页） 50＋70＋1＝121（页） 答：第三天应从121页看起。 【对应练习1】 李师傅准备加工240个零件，第一天加工了30个，第二天加工了余下了，还剩下多少个零件没有加工？ 【答案】150个 【分析】由题意可知，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，用零件的总个数减去第一天加工的个数，再乘即可求出第二天加工的零件个数，最后用零件的总个数分别减去第一天和第二天加工的个数即可求解。 【详解】（240－30）× ＝210× ＝60（个） 240－30－60 ＝210－60 ＝150（个） 答：还剩下150个零件没有加工。 【点睛】本题考查求一个数的几分之几是多少，明确用乘法是解题的关键。 【对应练习2】 一本科技书有120页，小欣第一天读了全书的。第二天读了余下的，两天一共读完了几页？ 【答案】40页 【分析】依据分数乘法的意义，求一个数的几分之几是多少用分数乘法，用120×求出第一天看的页数，用总页数减去第一天看的页数就是余下的页数，再用余下的页数乘即可求出第二天看的页数，将两天看的页数相加即可求解。 【详解】120×＝24（页） （120－24）×＋24 ＝96×＋24 ＝16＋24 ＝40（页） 答：两天一共看了40页。 【点睛】此题考查分数乘法的应用，明确第二天所看的是余下的是解题的关键。 【对应练习3】 发展现代畜牧业，促农增收又致富，2022年李叔叔在乡村振兴的政策帮扶下，开了一个养殖场，养鸡3200只，第一周卖出，第二周卖出剩下的，两周一共卖出多少只鸡？ 【答案】2000只 【分析】根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，用3200乘即可求出第一周卖出的只数，进而求出还剩下的只数，同理，再求出第二周卖出的只数，然后根据第一周卖出的只数加上第二周卖出的只数即可求解。 【详解】3200×＝1200（只） （3200－1200）× ＝2000× ＝800（只） 1200＋800＝2000（只） 答：两周一共卖出2000只鸡。 【点睛】本题考查求一个数的几分之几是多少，明确用乘法是解题的关键。 【考点二】分数乘法中的单位“1”转化问题其二。 【方法点拨】 分清不同分率句中的不同单位“1”，再解决问题。 【典型例题】 《庄子·天下》中有这样一段话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”意思是说：一尺长的木棍，每天截取一半，永远也截取不完。照这样推算，第三天截取的长度占最初一尺木棒长度的( )，剩下部分的长度是( )米。（一尺＝米） 【答案】 【分析】把整根木棒长度看作单位“1”，已知第一天取走整根木棒的一半，剩下整根木棒的，第二天取走第一天剩下的一半，第二天剩下的占第一天剩下的，根据分数乘法的意义，用×即可求出第二天剩下的长度占整根木棒的几分之几；第三天取走第二天剩下的一半，第三天剩下的占第二天剩下的，根据分数乘法的意义，用××即可求出第三天截取的长度是整根木棒的几分之几；用××也可求出第三天剩下的长度占整根木棒的几分之几，最后用×（××）即可求出第三天剩下的长度。 【详解】××＝ ×＝（米） 第三天截取的长度占最初一尺木棒长度的，剩下部分的长度是米。 【点睛】此题的关键是明确每一天取的长度都是前一天剩下的一半，然后再进一步解答。 【对应练习1】 《庄子天下篇》中有一句话，“一尺之锤，日取其率，万世不漏。”意思就是：一根一尺长的木棒，今天取它的一半，即。明天取它一半的一半，后天再取它一半的一半的一半……这样取下去，永运也取不完。那么第四天取的长度是( )。 【答案】尺 【分析】因为每天取前一天取过的一半，所以第n天取的长度＝这根木棒的长度×（几个相乘）。 【详解】第1天取的长度：1×＝（尺） 第2天取的长度：×＝（尺） 第3天取的长度：×＝（尺） 第4天取的长度：×＝（尺） 【点睛】从古文中明确数学信息和数学问题，逐天进行计算是解决本题的关键。 【对应练习2】 2022减去它的，再减去余下的，再减去余下的……直至最后减去余下的，最后的结果是( )。 【答案】1 【分析】2022减去它的，则还剩下它的1－，再减去余下的，即减了它的（1－）×＝，此时还剩下全部的1－－＝，又减去余下的，则减了它的×＝，则时还剩下全部的1－－－＝，……，由此可以发现，2022减去它的还剩下它的，再减去余下的还剩下它的，又减去余下的还剩下它的，……则最后减去余下的还剩下。 【详解】由分析可知，减去余下的几分之几，就还剩它的几分之几， 即2022减去它的，再减去余下的，再减去余下的……直至最后减去余下的，还剩下余下的。 2022×＝1 【点睛】本题主要考查分数乘法的应用，要注意求一个数的几分之几是多少，用这个数×几分之几。 【对应练习3】 四兄弟要分一筐苹果，老大说：“这里共有32个苹果，老二你先拿，老三拿剩下的，你们两个拿完后剩下的一半给老四，余下的归我。”老大的分法公平吗？请列式计算。 【答案】公平；见详解 【分析】先把32个苹果看作单位“1”，老二拿，根据求一个数的几分之几是多少，用苹果的总数乘，即可求出老二拿的苹果个数； 老三拿剩下的，把剩下的看作单位“1”，用苹果的总数减去老二拿的个数，即是剩下的个数，根据分数乘法的意义，用剩下苹果的个数乘，求出老三拿的苹果个数； 老二、老三两个拿完后剩下的一半给老四，用苹果的总数分别减去老二、老三拿的苹果个数，再乘，即是老四拿的苹果个数； 最后用苹果的总数分别减去老二、老三、老四拿的苹果个数，即是老大拿的苹果的个数。 【详解】老二拿了：32×＝8（个） 老三拿了： （32－8）× ＝24× ＝8（个） 老四拿了： （32－8－8）× ＝16× ＝8（个） 老大：32－8－6－8＝8（个） 四个人分到的苹果个数都是8个。 答：老大的分法公平。 【点睛】本题考查分数乘法的应用，找出单位“1”，区分单位“1”的不同，单位“1”已知，根据分数乘法的意义解答。 【考点三】分数乘法中的单位“1”转化问题其三。 【方法点拨】 分清不同分率句中的不同单位“1”，再解决问题。 【典型例题】 妈妈给大胖小胖哥俩买回一些巧克力，小胖拿走了其中的还多3块，大胖拿走了剩余的还多3块，正好全部拿光。妈妈一共买回了多少块巧克力？ 【答案】18块 【分析】把一些巧克力看作单位“1”，设有x块巧克力，小胖拿走了其中的还多3块，小胖拿走了（x＋3）块，这时剩下x－（x＋3）块，大胖拿走了剩余的也多3块，大胖拿了[x－（x＋3）]×＋3块，正好全部拿完，两个人拿的相加就是x．据此解答。 【详解】解：设有x块巧克力。 [x－（x＋3）]×＋3＋x＋3＝x [x－3]×＋x＋6＝x x－3＋x＋12＝2x x－6＋2x＋24＝4x 3x＋18＝4x x＝18 答：妈妈一共买回了18块巧克力。 【点睛】本题比较难，是复杂的含有两个未知的问题，要认真分析题意，找出数量之间的关系，正确列式计算。 【对应练习】 小文看一本240页的作文书，第一天看了，第二天看了余下的，第三天看的页数是第二天所看页数的。还剩多少页没看？ 【答案】66页 【分析】第一天看了，是以全书页数为单位“1”，求出第一天看书页数，再求出余下的页数；第二天看了余下的，是以第一天看完余下的页数为单位“1”，求出第二天看的页数；第三天看的页数是第二天所看页数的，是以第二天所看页数为单位“1”，最后再求出三天看完之后余下的页数即可。 【详解】第一天：240×＝90（页） 第二天：（240－90）× ＝150× ＝60（页） 第三天：60×＝24（页） 剩余：240－（90＋60＋24） ＝240－174 ＝66（页） 答：还剩66页没看。 【点睛】本题考查分数乘法，解答本题的关键是找到每个分数以谁为单位“1”。 【考点四】常见的单位“1”转化问题。 【方法点拨】 一般的单位“1”转化问题以填空、选择题型为主，我们需要找准单位“1”，再明确求一个数比另一个数多或少几分之几，用两者的差值除以另一个数，即“作差除比后”。 【典型例题1】问题一。 六年级一班的男生占全班人数的，女生比男生少( )，男生比女生多( )。 【答案】 【分析】把全班人数看作单位“1”，男生占全班人数的，女生占全班人数的，女生比男生少几分之几＝（男生占全班人数的分率－女生占全班人数的分率）÷男生占全班人数的分率，男生比女生多几分之几＝（男生占全班人数的分率－女生占全班人数的分率）÷女生占全班人数的分率。 【详解】1－＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 所以，女生比男生少，男生比女生多。 【点睛】本题考查求一个数比另一个数多或少几分之几的问题，重点是掌握求这类问题的计算公式。 【对应练习1】 甲数是乙数的，则甲数比乙数少，乙数比甲数多。 【答案】； 【分析】甲数是乙数的，是将乙数看作单位“1”，甲数比乙数少几分之几，先用减法求出甲数比乙数少的部分，再除以乙数即可； 乙数比甲数多几分之几是求乙数比甲数多的数占甲数的几分之几，用乙数减去甲数的差，除以甲数即可。 【详解】由分析可得： （1－）÷1 ＝÷1 ＝ （1－）÷ ＝÷ ＝× ＝ 综上所述：甲数是乙数的，则甲数比乙数少，乙数比甲数多。 【点睛】本题考查了分数除法的应用，解题的关键是找准单位“1”，求一个数比另外一个数多或少多少，用两个数的差除以另外一个数即可。 【对应练习2】 六（1）班女生人数是男生人数的，男生比女生多。 【答案】 【分析】把男生人数看作单位“1”，女生人数是男生人数的，求男生比女生多几分之几，先用减法求出多的部分，再除以女生人数即可。 【详解】（1－）÷ ＝÷ ＝× ＝ 男生比女生多。 【点睛】明确求一个数比另一个数多或少几分之几，用两数的差值除以另一个数。 【对应练习3】 某班女生人数是男生人数的，女生人数占全班的，男生人数比女生多。 【答案】； 【分析】将男生人数看作单位“1”，全班人数是男生人数的（1＋），女生对应分率÷全班对应分率＝女生人数占全班的几分之几；男女生对应分率差÷女生对应分率＝男生人数比女生多几分之几，据此列式计算。 【详解】÷（1＋） ＝÷ ＝× ＝ （1－）÷ ＝÷ ＝× ＝ 某班女生人数是男生人数的，女生人数占全班的，男生人数比女生多。 【典型例题2】问题二。 女生人数比男生人数多，女生人数是男生人数的( )。 【答案】 【分析】把男生的人数看作单位“1”，则女生的人数为1×（1＋），然后用女生人数除以男生人数即可。 【详解】假设男生人数为1 1×（1＋） ＝1× ＝ ÷1＝ 则女生人数是男生人数的。 【点睛】本题考查求一个数是另一个数的几分之几，明确用除法是解题的关键。 【对应练习1】 六（1）班男生人数比女生人数多，女生人数是男生人数的( )。 【答案】 【分析】将女生人数看作单位“1”，男生比女生多，那么男生人数是女生人数的（1＋）。将女生人数单位“1”除以男生的分率，求出女生人数是男生人数的几分之几。 【详解】1÷（1＋） ＝1÷ ＝1× ＝ 六（1）班男生人数比女生人数多，女生人数是男生人数的。 【对应练习2】 在“一个班男生人数比女生多”中，把( )看作单位“1”，男生人数是女生的，女生人数是男生人数的，男生人数是全班人数的。 【答案】女生人数；；； 【分析】根据判断单位“1”的方法，一般是把分率“的”字前面的量看作单位“1”，或把“是、占、比”后面的量看作单位“1”。即：在“一个班男生人数比女生多”中，把女生人数看作单位“1”，那么男生人数是女生的（1＋＝），女生人数是男生人数的1÷＝，全班人数是女生的（1＋1＋＝），男生人数是全班人数的（÷＝）。 【详解】根据分析，把女生人数看作单位“1”，可得： 1＋＝ 1÷＝ ÷（1＋1＋） ＝÷ ＝ 所以，在“一个班男生人数比女生多”中，把女生人数看作单位“1”，男生人数是女生的，女生人数是男生人数的，男生人数是全班人数的。 【对应练习3】 男生人数比女生人数少，男生人数是女生人数的( )，女生人数是男生人数的( )，男生人数占男、女生总人数的( )。 【答案】 【分析】把女生人数看作单位“1”， 男生人数比女生人数少，即男生人数是女生人数的1−＝；求女生人数是男生人数的，用女生人数÷男生人数即可；再求出男女生总人数和，再用男生人数÷总人数即可，据此解答。 【详解】1−＝ 1÷＝ ÷（1＋） ＝÷ 男生人数是女生人数的（），女生人数是男生人数的（），男生人数占男、女生总人数的（） 【典型例题3】问题三。 桃树的棵数比苹果树多，是把( )看作单位“1”，那么苹果树棵数比桃树少( )。 【答案】 苹果树棵数 【分析】一般“比”字之后为单位“1”或者说平均分的是谁谁就是单位“1”；若苹果树的棵数为1，则桃树的棵数是1×（1＋），先求出苹果树棵数比桃树少多少，再除以桃树的棵数即可。 【详解】桃树的棵数比苹果树多，是把苹果树棵数看作单位“1”。 1×（1＋） ＝1× ＝ （－1）÷ ＝÷ ＝× ＝ 那么苹果树棵数比桃树少。 【点睛】本题考查求一个数比另一个数少几分之几，明确用除法是解题的关键。 【对应练习1】 松树的棵数比柏树多，则柏树棵树比松树少( )。 【答案】 【分析】柏树的棵数为单位“1”，松树的棵数为1＋＝，再用柏树与松树的棵数差除以松树的棵数即可。 【详解】÷（1＋） ＝÷ ＝ 【点睛】明确前后两个信息对应的单位“1”不同是解答本题的关键。 【对应练习2】 女生人数比男生人数少，画图：( )，则男生人数比女生人数多( )。 【答案】 【分析】把男生人数看作单位“1”，把它平均分成4份，每份是它的，女生比男生少，少这样的1份，即女生人数相当于这样的3份。求男生人数比女生人数多几分之几，把男生人数看作单位“1”，则女生人数就是，用男生比女生多的人数除以女生人数。 【详解】把男生人数看作单位“1”，把它平均分成4份，每份是它的，女生比男生少，少这样的1份，即女生人数相当于这样的3份（画图如下）。 则男生比女生多： 【点睛】求一个数比另一个数多或少几分之几，用这两数之差除以另一个数。画线段图分析题，是常用的方法。 【对应练习3】 哥哥走的路程比妹妹多，而妹妹所用的时间比哥哥多，那么哥哥的速度是妹妹的( )。 【答案】 【分析】把妹妹走的路程看作和“1”，则哥哥走的路程就是“（1＋）” ，把哥哥用的时间看作 “1”，则妹妹用的时间就是“（1 ＋）”，根据“速度＝路程÷时间”，分别求出哥哥的速度、妹妹的速度，再用哥哥的速度除以妹妹的速度。 【详解】 ＝ ＝ 【点睛】求一个数是另一个数的几分之几，用这个数除以另一个数。关键是根据路程、速度、时间三者之间的关系，求出哥哥、妹妹的速度。 【考点五】单位“1”转化问题：已知剩余数量，转化单位“1”。 【方法点拨】 题目的难点在于分率句的单位“1”有所变化，需要统一单位“1”，然后再用对应分量÷对应分率=单位“1”。 【典型例题1】基础型。 某水果店购进一批水果，第一天卖掉吨，第二天卖掉了剩下的，还剩下2吨，这批水果一共多少吨？ 【答案】6吨 【分析】方法1：把这批水果的总吨数设为未知数，等量关系式：这批水果的总吨数－第一天卖出的吨数－第二天卖出的吨数＝剩下的水果吨数； 方法2：把第一天卖完之后剩下的水果吨数看作单位“1”，第二天卖掉第一天剩下的，那么第二天卖完之后剩下的吨数占第一天剩下的（1－），第二天卖完之后剩下2吨，根据量÷对应的分率＝单位“1”求出第一天卖完之后剩下的水果吨数，最后加上第一天卖出的水果吨数求出这批水果的总吨数，据此解答。 【详解】方法1：解：设这批水果一共x吨。 x－－（x－）×＝2 x－－x＋×＝2 x－x－＋×＝2 x－＋＝2 x－（－）＝2 x－＝2 x＝2＋ x＝ x＝÷ x＝× x＝6 答：这批水果一共6吨。 方法2：2÷（1－）＋ ＝2÷＋ ＝2×＋ ＝＋ ＝6（吨） 答：这批水果一共6吨。 【点睛】分析题意找出题目中隐含的等量关系或者确定题目中的单位“1”并找出量和对应的分率是解答题目的关键。 【对应练习1】 一段公路需要施工，第一天完成了总量的，第二天完成了剩下部分的，这时还剩下220米未施工，需要施工的这段公路有多少米？（建议你先画画线段图，再解决这个问题） 【答案】米 【分析】把这段公路的总长看作单位“1”，第一天完成了总长的，则还剩下总长的（1－）；第二天完成了剩下部分的，根据分数乘法的意义可知，第二天完成了总长的（1－）×；用“1”减去这两天完成的分率，就是剩下的220米占总长的分率，单位“1”未知，用除法计算，即可求出这段公路的总长。 【详解】如图： （1－）× ＝× ＝ 220÷（1－－） ＝220÷ ＝220× ＝（米） 答：需要施工的这段公路有米。 【点睛】本题考查分数乘除法的应用，找出单位“1”，单位“1”已知，根据分数乘法的意义列式计算；单位“1”未知，根据分数除法的意义列式计算。 【对应练习2】 一段路，第一周修了全长的，第二周修了余下的，这时还剩下300米没有修，这段路全长多少米？ 【答案】500米 【分析】这段路的全长＝还剩下没修的米数÷[1－第一天修了全长的几分之几－第二天修了全长的几分之几]，第二天修了全长的几分之几＝（1－第一天修了全长的几分之几）×第二天修了余下的几分之几，代入数值计算即可。 【详解】300÷[1－－（1－）×] ＝300÷[1－－×] ＝300÷[1－－] ＝300÷ ＝500（米） 答：这段路全长500米。 【点睛】找到单位“1”，根据分数除法的意义进行解答即可。 【对应练习3】 阳阳家买钛镁合金门。第一次付了全款的，第二次付了余下的，这时还剩下800元没有付。请问门的价格是多少？ 【答案】2000元 【分析】首先把第一次付款后剩下的钱数看作单位“1”，第二次付了余下的，这时还剩下800元没有付，由此可知，800元占第一次付款后剩下的钱数的，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法求出可以求出第一次付款后剩下的钱数，又知第一次付了全款的，再把门的全款看作单位“1”，第一次付款后剩下的钱数占全款的，再根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法解答。 【详解】 （元） 答：门的价格是2000元。 【点睛】此题所以稍复杂的分数除法应用题，关键是确定单位“1”，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法解答。 【典型例题2】进阶型。 一本文艺书，小明第一天看了全书的，第二天看了余下的，第三天看了再余下的，还剩下80页。这本书共有多少页？ 【答案】300页 【分析】把全书看成“1”，那么第一天看后剩下（1一）。再把第一天看后余下的部分看成“1”，求出第二天看后余下的部分是全书的。最后把第二天看后余下的部分看成“1”，就可以求出第三天看后余下的部分占全书的，正好是80页，再根据分数除法的意义解答即可。 【详解】 ； （页）； 答：这本书共有300页。 【点睛】解答本题的关键是明确每天看的页数所占的分率中单位“1”不同，据此求出余下的部分占全书的分率，再根据分数除法的意义解答即可。 【对应练习1】 风采大赛之后，老师拿了一箱奖品发给获奖的同学们。将其中的发给一等奖的同学，剩下的发给二等奖的同学，一、二等奖发完后剩下的发给三等奖的同学，这时箱子里还剩下15份奖品，问箱子里原来有多少份奖品？ 【答案】45份 【分析】先把一、二等奖发完后剩下奖品的份数看作单位“1”，那么箱子里还剩下15份奖品占它的，单位“1”未知，用除法计算，求出一、二等奖发完后剩下奖品的份数； 再把一等奖发完后剩下奖品的份数看作单位“1”，那么一、二等奖发完后剩下奖品的份数占它的，单位“1”未知，用除法计算，求出一等奖发完后剩下奖品的份数； 最后把箱子里原来有奖品的总数看作单位“1”，那么一等奖发完后剩下奖品的份数占它的，单位“1”未知，用除法计算，求出箱子里原来有奖品的总数。 【详解】一、二等奖发完后剩下： （份） 一等奖发完后剩下： （份） 原来的奖品总数： （份） 答：箱子里原来有45份奖品。 【点睛】本题考查复杂的分数除法的应用，找出单位“1”，单位“1”未知，根据分数除法的意义列式计算；注意三个单位“1”的不同，采用倒推法解答。 【对应练习2】 《九章算术》中有一道题：“今有人持米出三关，外关三而取一，中关五而取一，内关七而取一，余米五斗。问持米几何？”题意：有人背米过关卡，经过外关时，用全部米的纳税，过中关时用所余米的纳税，经过内关时再用余米的纳税，最后还剩下5斗米。这个人原来背多少斗米出关？ 【答案】斗 【分析】将过内关时剩余米的斗数看作单位“1”，最后剩的米的斗数是过内关时剩余米的（1－），最后剩的米的斗数÷对应分率＝过内关时剩余米的斗数；再将过中关时剩余米的斗数看作单位“1”，过内关时剩余米的斗数是过中关时剩余米的（1－），过中关时剩余米的斗数÷对应分率＝过中关时剩余米的斗数；最后将背的米的总斗数看作单位“1”，过中关时剩余米的斗数是背的米的总斗数的（1－），过中关时剩余米的斗数÷对应分率＝背的米的总斗数，据此列式解答。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝（斗） 答：这个人原来背斗米出关。 【点睛】关键是确定单位“1”，理解分数除法的意义，根据部分数量÷对应分率＝整体数量，列式解答。 【对应练习3】 一只猴子摘了一堆桃子，第一天吃了这堆桃子的七分之一，第二天吃了余下桃子的六分之一，第三天吃了余下桃子的五分之一，第四天吃了余下桃子的四分之一，第五天吃了余下桃子的三分之一，第六天吃了余下桃子的二分之一，这时还剩下 12 个桃子，那么这堆桃子共有多少个? 解析：此题可用两种方法： 方法一：逆推法 第六天：12×2=24（个） 第五天：24×=36（个） 第四天：36×=48（个） 第三天：48×=60（个） 第二天：60×=72（个） 第一天：72×=84（个） 答：略。 方法二：量率对应 第一天吃了： 第二天吃了：（1-）×= 第三天吃了：（1--）×= 第四天吃了：（1---）×= 第五天吃了：（1----）×= 第六天吃了：（1-----）×= 还剩：1------= 一共有：12÷=84（个） 答：略。 【典型例题2】拓展型。 小华读一本故事书，第一天读了全书的，第二天读了余下页数的还多8页，这时还有52页没有读．这本故事书有多少页？ 【答案】120页 【详解】（52+8）÷（1﹣）÷（1﹣） ＝60÷÷ ＝120（页） 答：这本故事书有120页。 【对应练习1】 一批水泥，第一天用去了多1吨，第二天用去了余下少2吨，还剩下16吨，原来这批水泥有多少吨？ 【答案】44吨 【分析】如果第二天用去的正好是余下的，则还剩下16－2＝14（吨），那么第一天用后剩下14÷（1－）＝21（吨）。同理，如果第一天用去的也正好是，那么（21＋1）÷（1－）＝44（吨）。据此解题。 【详解】（16－2）÷（1－） ＝14÷ ＝21（吨） （21＋1）÷（1－） ＝22÷ ＝44（吨） 答：原来这批水泥有44吨。 【点睛】本题考查了分数除法的应用，能根据题意正确列式是解题的关键。 【对应练习2】 修一段路，第一天修了300米，第二天修了余下的一半少200米，第三天修了余下的多100米，这时还余下500米没有修。这段路全长多少米？ 【答案】4700米 【分析】先把第二天修完后余下的长度看作单位“1”，则（500＋100）米占它的（1－），单位“1”未知，用除法求出第二天修完后余下的长度； 再把第一天修完后余下的长度看作单位“1”，则第二天修完后余下长度减去200米的长度占它的（1－），单位“1”未知，用除法求出第一天修完后余下的长度； 最后用第一天修的长度加上第一天修完后余下的长度，即是这段路的全长。 【详解】第二天修完后余下的长度： （500＋100）÷（1－） ＝600÷ ＝600×4 ＝2400（米） 第一天修完后余下的长度： （2400－200）÷（1－） ＝2200÷ ＝2200×2 ＝4400（米） 全长：4400＋300＝4700（米） 答：这段路全长4700米。 【点睛】本题考查分数除法的应用，利用“倒推法”解题，找出单位“1”，区分单位“1”的不同，单位“1”未知，根据分数除法的意义解答。 【对应练习3】 有一根铁丝，第一次用去它的一半多1米，第二次用去余下的少1米，这时还剩下15米。求这根铁丝原来长多少米？ 【答案】44米 【分析】如图，先将第一次用后余下长度看作单位“1”，剩下的15米减去1米刚好是第一次用后余下长度的（1－），根据部分数量÷对应分率＝整体数量，求出第一次用后余下长度；再将铁丝原来长度看作单位“1”，第一次用后余下长度加上1米，刚好是铁丝原来长度的（1－），再根据部分数量÷对应分率＝整体数量，即可求出铁丝原来长度。 【详解】（15－1）÷（1－） ＝14÷ ＝14× ＝21（米） （21＋1）÷（1－） ＝22÷ ＝22×2 ＝44（米） 答：这根铁丝原来长44米。 【点睛】关键是确定单位“1”，理解分数除法的意义。 【考点六】单位“1”转化问题：已知数量差，转化单位“1”。 【方法点拨】 题目的难点在于分率句的单位“1”有所变化，需要统一单位“1”，然后再用对应分量÷对应分率=单位“1”。 【典型例题】 耀华印刷公司某打字员打一份稿件，第一天打了这份稿件的，第二天打了余下稿件的，这时已打好的比余下的多4500字，求第一、二天各打了多少字？ 【答案】第一天2700字；第二天3600字 【详解】＋（1－）× ＝＋× ＝＋ ＝ 4500÷[－（1－）] ＝4500÷[－] ＝4500÷ ＝8100（字） 8100×＝2700（字） （8100－2700）× ＝5400× ＝3600（字） 答：第一天打了2700字，第二天打了3600字。 【对应练习1】 一工人加工一批零件，第一天完成任务的，第二天完成剩下部分的，第二天比第一天多完成20个，问这批零件共有多少个？ 【答案】300个 【分析】将总任务看作单位“1”，将题目中的分率全部转化为相对总任务的分率，第一天完成任务的，还剩下1－＝，那么第二天完成总任务的，第二天比第一天多完成，即20所对应的分率为，求总量，用除法。 【详解】 ＝300（个） 答：这批零件共有300个。 【点睛】本题考查分数应用，明确单位“1”，找对数量与对应分率是解题关键。 【对应练习2】 修一条路，第一天修了全长的，第二天修了剩下的，第一天比第二天多修200米。这条路长多少米？ 【答案】3200米 【分析】把一条路总长看作单位“1”，第一天完成，第二天完成，多出的200米对应。根据分数除法的意义，用200除以的差可以求出单位“1”，也就是路的总长度。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝200×16 ＝3200（米） 答：这条路长3200米。 【对应练习3】 小明假期做作业，第一天完成了全部的，第二天完成了剩余部分的，第一天比第二天多做了1页，小明还有多少页作业没做？ 【答案】4页 【分析】把全部作业作为单位“1”，第一天完成，第二天完成，多出的1页对应，用1除以的差可以求出单位“1”，再求有多少作业没做。 【详解】第二天： ＝ ＝ 总页数： ＝ ＝1×9 ＝9（页） 剩下的页数： 9×（1－） ＝ ＝ ＝4（页） 答：小明还剩4页作业没做。 【考点七】单位“1”转化问题：已知数量和，转化单位“1”。 【方法点拨】 题目的难点在于分率句的单位“1”有所变化，需要统一单位“1”，然后再用对应分量÷对应分率=单位“1”。 【典型例题】 甲乙两人生产一批零件，甲生产了这批零件的后，乙生产了剩下零件的，这时，甲乙两人一共生产了26个零件。这批零件原来共有多少个？ 解析： （1－）× ＝× ＝ 26÷（＋） ＝26÷ ＝30（个） 答：这批零件原来共有30个。 【对应练习1】 看一本书，第一天看了全书的，第二天看了余下的，两天一共看了38页，这本书一共有多少页？ 解析： 第一天看了： 第二天看了：（1-）×= 这本书一共：38÷（+）=200（页） 答：略。 【对应练习2】 一块布第一次用去，第二次用去余下的，两次共用去6米，这块布原有多少米长？ 解析： 第一次用去： 第二次用去：（1-）×= 这块布原有：6÷（+）=（米） 答：略。 【对应练习3】 甲、乙、丙三人要做一批服装，甲先做了这批服装的，接着乙做了余下服装的，剩下的工作由丙完成，已知甲、乙共做服装1500件，甲比乙多做服装多少件？ 【答案】300件 【分析】把这批服装看作单位“1”，已知甲先做了这批服装的，则余下的服装占这批服装的（1－），又已知乙做了余下服装的，把余下的服装看作单位“1”，根据分数乘法的意义，则乙做的占这批服装的（1－）×，所以甲和乙做的共占这批服装的＋（1－）×，又已知甲、乙共做服装1500件，则根据分数除法的意义，用1500÷[＋（1－）×]即可求出这批服装的总量，然后根据分数乘法的意义，用这批服装的总量乘即可求出甲做的数量，再用1500减去甲做的数量即可求出乙做的数量，最后用甲做的数量减去乙做的数量，即可求出甲比乙多做服装多少件。 【详解】1500÷[＋（1－）×] ＝1500÷[＋×] ＝1500÷[＋] ＝1500÷ ＝2250（件） 2250×＝900（件） 1500－900＝600（件） 900－600＝300（件） 答：甲比乙多做服装300件。 【点睛】本题考查了分数乘除法的混合运算，关键是判断每个分率对应的单位“1”，以及具体数量对应的分率。 【考点八】单位“1”转化问题：任选单位“1”进行转化。 【方法点拨】 题目的难点在于分率句存在两个单位“1”可以任选其一设为单位“1”，再统一单位“1”，然后再用对应分量÷对应分率=单位“1”。 【典型例题1】问题一。 甲的和乙的相等（甲、乙都不为0），甲是乙的( )，乙是甲的( )。 【答案】 【分析】甲的和乙的相等，即甲×＝乙×，设甲×＝乙×＝1，分别求出甲和乙，再用甲除以乙，求出甲是乙的几分之几；用乙除以甲，求出乙是甲的几分之几，据此解答。 【详解】设甲×＝乙×＝1 甲×＝1 甲＝1÷ 甲＝1× 甲＝ 乙×＝1 乙＝1÷ 乙＝1× 乙＝ ÷ ＝× ＝ ÷ ＝× ＝ 甲的和乙的相等（甲、乙都不为0），甲是乙的，乙是甲的。 【对应练习1】 甲数的等于乙数的，甲数是乙数的( )，乙数是甲数的( )。 【答案】 【分析】求一个数的几分之几是多少用乘法，假设甲数的等于乙数的等于1，根据积÷因数＝另一个因数，分别求出甲数和乙数，甲数÷乙数＝甲数是乙数的几分之几；乙数÷甲数＝乙数是甲数的几分之几，据此分析。 【详解】假设甲数＝乙数＝1 甲数＝1÷＝4 乙数＝1÷＝5 4÷5＝ 5÷4＝ 甲数的等于乙数的，甲数是乙数的，乙数是甲数的。 【点睛】关键是理解乘法各部分之间的关系，掌握分数除法的计算方法。 【对应练习2】 甲数的等于乙数的，甲数比乙数少( )。 【答案】 【分析】设甲数是1，先把甲数看成单位“1”，用乘法求出它的；再把乙数看成单位“1”，它的对应的数量是甲数的，由此用除法求出乙数；求出甲乙两数的差，用差除以乙数就是甲数比乙数少几分之几。 【详解】设甲数是1，则乙数是：1×÷＝×＝ （－1）÷ ＝× ＝ 【点睛】解答此题的关键是分清两个单位“1”的区别，找清各自以谁为标准，再把数据设出，根据基本的数量关系求解。 【对应练习3】 果园里梨树棵树的等于杏树的，杏树棵树是梨树的几分之几？梨树棵树比杏树多几分之几？ 【答案】； 【分析】由题意可知：梨树棵数×＝梨树棵数×，据此求出梨树和杏树的比，然后根据求一个数是另一个数的几分之几，用除法解答。求出杏树棵树是梨树的几分之几；求出梨树的棵数比杏树多的，再根据求一个数比另一个数多几分之几进行解答。 【详解】因为梨树棵数×＝梨树棵数× 所以梨树∶杏树 ＝∶ ＝÷ ＝× ＝ 梨树∶杏树＝9∶8 （9－8）÷8 ＝1÷8 ＝ 答：杏树棵树是梨树的，梨树棵树比杏树多。 【点睛】此题考查的目的是理分数除法的意义，掌握分数除法的计算法则及应用。 【典型例题2】问题二。 靖安拼团新进了沙田柚和黄金蜜柚共140斤，沙田柚重量的等于黄金蜜柚重量的，两种柚子各多少斤？ 【答案】沙田柚：80斤；黄金蜜柚：60斤 【分析】由题意可知：沙田柚的重量×＝黄金蜜柚的重量×，根据等式的性质2，在等式的两边同时除以，则有沙田柚重量×÷＝黄金蜜柚重量×÷，即沙田柚重量××2＝黄金蜜柚重量，也就是黄金蜜柚重量是沙田柚重量的。把沙田柚的重量看作单位“1”，140斤所对应的分率是（1＋）。已知一个数的几分之几是多少，求这个数的问题的解法：已知量÷已知量占单位“1”的几分之几＝单位“1”的量。据此用140÷（1＋）可求出沙田柚的重量，再用140减去沙田柚的重量，可求出黄金蜜柚的重量。 【详解】140÷（1＋÷） ＝140÷（1＋×2） ＝140÷（1＋） ＝140÷（1＋） ＝140÷ ＝140× ＝80（斤） 140－80＝60（斤） 答：沙田柚有80斤，黄金蜜柚有60斤。 【对应练习1】 六年级两个班共有98人，六（1）班人数的等于六（2）班人数的。六（1）班、六（2）班各有多少人？ 【答案】六（1）班42人；六（2）班56人 【分析】根据六（1）班的人数的等于六（2）班的人数的，可得：六（1）班的人数×＝六（2）班的人数×，即六（1）班的人数＝六（2）班的人数×÷＝六（2）班的人数××3＝六（2）班的人数×，由此可知六（1）班的人数是六（2）班的人数的，把六（2）班的人数看作单位“1”， 那么六年级两个班人数是六（2）班的人数的（1＋），两个班共有98人，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，即可求出六（2）班的人数，再用98减去六（2）班的人数，可求得六（1）班的人数，据此解答。 【详解】＝＝ 六（2）班的人数： 98÷（1＋） ＝98÷ ＝98× ＝56（人） 六（1）班的人数： 98－56＝42（人） 答：六（1）班有42人，六（2）班有56人。 【对应练习2】 六年级学生有320人，已知六年级学生的人数的等于五年级学生的人数的，五年级有学生多少人？ 【答案】300人 【分析】根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，即用320乘即可得到五年级学生的人数的，再根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算即可求出五年级有学生多少人。 【详解】320×＝120（人） 120÷＝120×＝300（人） 答：五年级有学生300人。 【点睛】本题考查求一个数的几分之几是多少，明确用乘法是解题的关键。 【对应练习3】 美术社团共有学生58人，已知女生人数的等于男生人数的。美术社团男、女生各有多少人？ 【答案】男生30人；女生 28人 【分析】已知女生人数的等于男生人数的，那么女生人数是男生人数的÷＝。 把男生人数看作单位“1”，则美术社团的总人数58人是男生人数的（1＋），根据已知一个数的几分之几是多少，用除法计算，即可求出男生人数；再用美术社团的总人数减去男生人数，即是女生人数。 【详解】女生人数是男生人数的： ÷ ＝× ＝ 男生人数： 58÷（1＋） ＝58÷ ＝58× ＝30（人） 女生人数：58－30＝28（人） 答：美术社团男生有30人，女生有28人。 【点睛】本题考查分数除法的应用，也可以先求出男生人数是女生人数的几分之几，把女生人数看作单位“1”，分析出总人数是女生人数的几分之几，根据分数除法的意义求出女生人数，进而求出男生人数。 【典型例题3】问题三。 大数比小数多45，大数的等于小数的一半，求两数各是多少？ 解析：把大数看作5份，小数看作2份。 每一份：45÷（5-2）=15 大数：15×5=75 小数：15×2=30 答：略。 【对应练习1】 图书馆有两个图书室，第一图书室图书本数的等于第二图书室图书本数的，第一图书室的图书比第二图书室多2700本。两图书室各有图书多少本？ 【答案】 第一图书室7200本，第二图书室4500本。 【分析】由题可知，第二图书室的图书本数＝第一图书室的图书本数×÷，把第一图书室的图书本数看作单位“1”据此计算。 【详解】第一图书室：2700÷（1－÷） ＝2700÷（1－） ＝2700÷ ＝7200（本） 第二图书室：7200－2700＝4500（本） 答：第一图书室有图书7200本，第二图书室有4500本。 【对应练习2】 有甲乙丙三个学校，甲校人数的等于乙校人数的，等于丙校人数的，已知丙校比甲校多120人，求三校共有多少人？ 【答案】2640人 【分析】把甲校人数看作单位“1”，则乙校人数是甲校的÷＝，丙校人数是甲校的÷＝，则丙校比甲校多－1＝，已知丙校比甲校多120人，那么甲校有学生120÷＝720（人），然后再分别求出乙校和丙校的人数，解决问题。 【详解】甲校人数：120÷（÷－1） ＝120÷（－1） ＝120÷ ＝720（人）； 乙校人数：720×（÷） ＝720× ＝1080（人）； 丙校人数：720＋120＝840（人）； 三校共有学生：720＋840＋1080＝2640（人） 答：三校共有2640人。 【对应练习3】 有甲、乙两桶油，甲桶油比乙桶油多3.2千克，从甲、乙两桶油中各取2千克，甲桶油剩下的等于乙桶油剩下的，求乙桶原来有多少千克的油？ 【答案】11.6千克 【分析】设乙桶有油x千克，则甲桶就有x＋3.2千克，从两桶中各取出2千克后，乙桶就剩余x－2千克，甲桶就剩余x＋3.2－2千克，根据甲桶油剩下的等于乙桶油剩下的可列方程，依据等式的性质即可求解。 【详解】解：设乙桶原来有x千克的油，则甲桶有千克的油，根据题意可列方程： 答：乙桶原来有11.6千克的油。 【点睛】此题考查的是分数混合运算的应用，明确数量关系是解题关键。 【考点九】单位“1”转化问题：多个单量的统一。 【方法点拨】 该类题型属于单位“1”转化问题的一种，需要统一把各已知量占总量的分率求出，即转化为以总量为单位“1”的分率句，然后再用对应分量÷对应分率=单位“1”。 【典型例题】 希希、望望、贝贝三人合资开了一家公司，希希出资的金额是望望、贝贝两人出资之和的，望望出资的金额是希希、贝贝两人出资之和的，若贝贝出资的金额比望望出资的金额多4万元，则他们三人出资的金额一共是多少钱？ 【答案】24万元 【分析】根据分数的意义，可知希希出资的金额占三人出资的总金额的，望望出资的金额占三人出资的总金额的，贝贝出资的金额占三人出资的总金额的，则贝贝出资的金额比望望出资的金额多的部分占三人出资的总金额的，根据分数除法的意义，用即可求出三人出资的总金额。 【详解】 （万元） 答：他们三人出资的数额一共是24万元。 【点睛】本题考查了分数除法的灵活应用，明确分数的意义以及找到对应的单位“1”是解答本题的关键。 【对应练习1】 甲、乙、丙、丁合修一条路，甲修的是其他三队的，乙修的是其他三队的，丙修的是其他三队的，丁修了米，这条路全长多少米？ 【答案】米 【分析】甲修的是其他三队的，所以甲修了全部的÷（1＋）＝；乙修的是其他三队的，所以乙修了全部的；丙修的是其他三队的，所以丙修了全部的；丁修了1－－－＝，为68米，据此可求得全长多少米。 【详解】甲修了全部的÷（1＋）＝ 乙修了全部的； 丙修了全部的； 丁修了全部的：1－－－＝； 全长：68÷＝（米） 答：这条路全长米。 【点睛】此题是考查分数除法的意义及应用，关键，也就是难点是求丁修了全长的几分之几。 【对应练习2】 甲、乙、丙、丁做小红花，甲做的朵数是其他三人做的总数的，乙做的朵数是其他三人做的总数的，丙做的朵数是其他三人做的总数的，丁做了40朵，甲做了多少朵？ 【答案】30朵 【分析】把甲、乙、丙、丁做的小红花总数量看作单位“1”，甲做的小红花数量占总数量的，乙做的小红花数量占总数量的，丙做的小红花数量占总数量的，用减法求出丁做的小红花数量占总数量的分率，丁做了40朵，根据“量÷对应的分率”求出四人做的小红花总数量，最后用分数乘法求出甲做的小红花数量，据此解答。 【详解】40÷（1－－－）× ＝40÷（1－－－）× ＝40÷× ＝200× ＝30（朵） 答：甲做了30朵。 【点睛】本题主要考查分数乘除法的应用，表示出丁做的小红花数量占总数量的分率是解答题目的关键。 【对应练习3】 甲、乙、丙、丁四人合买一部数码相机，甲出的钱是其余三人出钱总数的，乙出的钱是另外三人出钱总数的，丙出的钱是其余三人出钱总数的，丁出169元。这部数码相机的价格是多少元？ 【答案】780元 【分析】甲出的钱是其余三人出钱总数的，可知甲占数码相机价格的，乙出的钱是另外三人出钱总数的，可知乙占数码相机价格的，丙出的钱是其余三人出钱总数的，丙占数码相机价格的，丁占数码相机价格1－－－，用丁出的钱数÷对应分率＝数码相机价格。 【详解】169÷（1－－－） ＝169÷ ＝780（元） 答：这部数码相机的价格是780元。 【点睛】本题考查了分数四则复合应用题，关键是通过题干描述将单位“1”转化为数码相机价格，确定对应分率。 【考点十】单位“1”转化问题：以总量统一单位“1”。 【方法点拨】 该类题型属于单位“1”转化问题的一种，需要根据数量条件，统一把各已知量占总量的分率求出，即转化为以总量为单位“1”的分率句，然后再用对应分量÷对应分率=单位“1”。 【典型例题】 1. 橘子的千克数是苹果的 ，香蕉的千克数是橘子的，香蕉和苹果共220千克，橘子有多少千克？ 解析： 方法一：求橘子的数量，把橘子看做单位“1”。 ①橘子是苹果的，则苹果是橘子的 ②香蕉是橘子的 ③苹果和香蕉一共占橘子的+=2 橘子的数量是：220÷2=110（千克） 答：略。 方法二：把苹果看作单位“1”，则橘子是，香蕉是×= 每一份（即苹果）：220÷（1+）=165（千克） 橘子：165×=110（千克） 答：略。 方法三：把橘子看作2份，苹果看作3份，则香蕉是1份。 每一份：220÷（1+3）=55（千克） 橘子：55×2=110（千克） 答：略。 2. 一盆金鱼，红鱼是总数的， 黑鱼是红鱼的，其余的是24条花鱼，红鱼有多少条？ 解析： 红鱼是总数的，则黑鱼是总数的×=，剩下的花鱼是总数的1--= 总数是：24÷=40（条） 红鱼：40×=10（条） 答：略。 3. 甲存款是乙存款，乙存款是丙存款的，甲比丙少存70元，求三人各存款多少元？ 解析： 把甲看作9份，乙看作10份，则丙是12.5份 每一份：70÷（12.5-9）=20（元） 甲：9×20=180（元） 乙：10×20=200（元） 丙：12.5×20=250（元） 答：略。 【对应练习1】 甲数是乙数的，乙数是丙数的，甲、乙、丙的和是216，甲、乙、丙各是多少？ 解析：把甲数看作2份，乙数看作3份，则丙数是4份。 每一份：216÷（2+3+4）=24 甲数：24×2=48 乙数：24×3=72 丙数：24×4=96 答：略。 【对应练习2】 甲校人数是乙校人数的，乙校人数是丙校人数的，甲校比丙校少450人，求三校各有多少人？ 解析： 把甲校人数看作4份，乙校人数看作5份，则丙校人数是7份。 每一份：450÷（7-4）=150（人） 甲校：150×4=600（人） 乙校：150×5=750（人） 丙校：150×7=1050（人） 答：略。 【对应练习3】 甲、乙、丙三人共有92本图书。已知甲的图书是乙的，又知丙的图书相当于乙的，求丙有多少本图书？ 【答案】20本 【分析】由题意可知，设乙的图书有x本，则甲的图书有x本，丙的图书有x本，再根据等量关系：甲的图书＋乙的图书＋丙的图书＝92，据此列方程解答即可。 【详解】解：设乙的图书有x本，则甲的图书有x本，丙的图书有x本。 x＋x＋x＝92 x＋x＝92 x＝92 x÷＝92÷ x＝92× x＝40 40×＝20（本） 答：丙有20本图书。 【点睛】本题考查用方程解决实际问题，明确等量关系是解题的关键。 【考点十一】单位“1”转化问题：以单量统一单位“1”。 【方法点拨】 该类题型属于单位“1”转化问题的一种，题目的关键找到不变量，以不变量作为单位“1”统一，然后再用分量÷分率=单位“1”。 【典型例题1】问题一。 今年希望小学六年级毕业生人数占全校总人数的，毕业生走后，又招进新生220人，这时全校总人数是原来总人数的，原来学校共有多少人？ 解析： ＝220÷[] ＝220÷ ＝2475（人） 答：原来学校共有2475人。 【对应练习1】 幸福里小学上学期六年级女生人数是男生的，下学期转来3名女生，这时女生人数是男生人数的。阳光小学下学期六年级男生比女生多多少人？ 解析： ＝3÷ ＝126（人） 126 ＝ ＝18（人） 答：阳光小学下学期六年级男生比女生多18人。 【对应练习2】 某校六年级有甲、乙两个班，甲班人数是乙班的．如果从乙班调3人到甲班，甲班人数是乙班人数的。甲、乙两班原来各有多少人？ 解析： 3÷(-)=108(人) 乙班：108÷(l+)=63(人) 甲班：63×=45(人) 【对应练习3】 有甲乙两个粮库，原来甲粮库存粮的质量是乙粮库的，如果从乙粮库运12吨到甲粮库，那么甲粮库存粮的质量就是乙粮库的，甲、乙粮库原来各存粮多少吨？ 解析： 原来乙占全部的，现在乙占全部的 全部存粮：12÷（-）=432（吨） 原来甲存粮：432×=180（吨） 原来乙存粮：432-180=252（吨） 答：略。 【典型例题2】问题二。 某校派出100名学生参加竞赛，其中女生占，后来有几名女生因故退出，这样参赛女生占参赛人数的，正式参赛的女生有多少名？ 解析： 100×（1－） ＝100× ＝80（名） 80÷（1－） ＝80 ＝95（名） 95－80＝15（名） 答：正式参赛的女生有15名。 【对应练习1】 东风小学有学生480人，其中女生占，后来又转来几名女生，这时女生占总人数的，转来几名女生？ 解析： 480×（1－） ＝480× ＝200（人） 200÷（1－） ＝200÷ ＝500（人） 500－480＝20（名） 答：转来20名女生。 【对应练习2】 果园里有苹果树、梨树共800棵，其中苹果树占，后来又载了一些苹果树，这样，苹果树占总棵树的，后来又载了多少棵苹果树？ 解析： 梨树有800×（1-）=480（棵） 现在的种棵树：480÷（1-）=1000（棵） 又栽了：1000-800=200（棵） 答：略。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$