（篇三）第二单元分数混合运算·应用提高篇【十七大考点】-2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）北师大版

1 / 22 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年六年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年 真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、 思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2024 年 9 月 26 日 2 / 22 2024-2025 学年六年级数学上册典型例题系列 第二单元分数混合运算·应用提高篇【十七大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第二单元分数混合运算·应用提高篇 专题内容 本专题以分数混合运算的实际应用为主，其中包括分数乘法 和分数除法的典型问题。 总体评价 讲解建议 建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解部分考 点考题。 考点数量 十七个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】分数乘法混合型问题 ............................................................................................ 4 【考点二】分数乘法中的分率变化问题其一 ........................................................................ 5 【考点三】分数乘法中的分率变化问题其二 ........................................................................ 6 【考点四】分数除法混合型问题其一 .................................................................................... 7 【考点五】分数除法混合型问题其二 .................................................................................... 8 【考点六】分数除法混合型问题其三：计算盈利或亏损 .................................................... 9 【考点七】量率对应问题其一：已知分量差与分率差 ......................................................10 【考点八】量率对应问题其二：已知分量和与各自分率 ..................................................11 【考点九】量率对应问题其三：已知分率和与各自分量 ..................................................12 【考点十】量率对应问题其四：已知分量差与各自分率 ..................................................13 3 / 22 【考点十一】量率对应问题其五：已知分率差与各自分量 ..............................................14 【考点十二】量率对应问题其六：已知分量差与其中一个分率 ......................................15 【考点十三】量率对应问题其七：已知分量和与分率关系 ..............................................16 【考点十四】量率对应问题其八：已知分量差与分率关系 ..............................................18 【考点十五】量率对应问题其九：已知分量和与分率差 ..................................................19 【考点十六】量率对应问题其十：已知剩余分量 .............................................................. 20 【考点十七】量率对应问题其十一：已知剩余分率 .......................................................... 21 4 / 22 【第三篇】典型例题篇 【考点一】分数乘法混合型问题。 【方法点拨】 1.单位“1”×（1+分率）=一个数。 2.单位“1”×（1-分率）=一个数。 【典型例题】 一台电视机原价是 2400元，先提价 1 10 后再降价 1 10 销售，现在的售价比原价高还 是比原价低？ 【对应练习 1】 一台原价为 3000元的冰箱，在国庆节期间降价 1 10 ，国庆节后又提价 1 10 。这台冰 箱的现价为多少元？ 【对应练习 2】 某品牌电脑正式上市之后，掀起了一股“国产化”电脑热潮。某门店“五一”促销， 降价 1 10 销售，节后又涨价 1 10 。这种电脑现在的价格是多少元？ 5 / 22 【对应练习 3】 李老师发高烧到 39℃，吃完药后体温下降了 1 13 ，停药 1天后，体温又上升了 1 18 ， 现在李老师还发烧吗？（一般体温超过 37.5℃算发烧） 【考点二】分数乘法中的分率变化问题其一。 【方法点拨】 根据问题所求的分量，可以先求出分率，再求分量。 【典型例题】 2016年植树节，学校领回了 600棵树苗，分给了六年级全部树苗的 2 5 ，余下树 苗分给了五年级，五年级分得了多少棵树苗？ 【对应练习 1】 在 2022年北京冬奥会期间，某商场进了 880个“冰墩墩”吉祥物玩偶，卖完这批 玩偶用了 3天。第一天卖了这批玩偶的 1 4 ，其余的在第二天和第三天卖完，该商 场第二天和第三天共卖了多少个“冰墩墩”吉祥物玩偶？ 【对应练习 2】 明明读一本 100页的数学书，第一天读了这本书的 1 5 ，第二天读了这本的 2 5 ，明 明还剩多少页没有读？ 6 / 22 【对应练习 3】 一本故事书共 100页，第一天看了它的 1 4 ，第二天看了它的 2 5 ，还有多少页没看？ 【考点三】分数乘法中的分率变化问题其二。 【方法点拨】 根据问题所求的分量，可以先求出分率，再求分量。 【典型例题】 一堆西瓜共 2100千克，第一天运走了全部的 1 4 ，第二天运走了全部的 1 3，两天 共运走了多少千克？ 【对应练习 1】 一本书有 108页，张成第一天看了全书的 29 ，第二天看了全书的 1 3，两天一共看 了多少页？ 【对应练习 2】 修一条长 480米的水渠，第一天修了全长的 5 12 ，第二天修了全长的 1 8 ，两天一共 修了多少米？ 7 / 22 【对应练习 3】 一本 200页的书，第一天看了全书的 1 8 ，第二天看了全书的 1 4 ，第三天从第几页 看起？ 【考点四】分数除法混合型问题其一。 【方法点拨】 分数除法混合型问题，需要我们掌握熟练掌握多种基本问题的解题方法，灵活应 用。 【典型例题】 某水果店运来 600千克梨。运来的苹果的质量相当于梨的 5 6 ，苹果的质量又比橘 子的质量多 2 3 。水果店运来的橘子有多少千克？ 【对应练习 1】 阳阳妈妈的体重是 55千克，她的体重比阳阳爸爸的体重轻 1 12 。阳阳的体重正好 是妈妈的 3 5。爸爸和阳阳的体重各是多少千克？ 【对应练习 2】 超市运来一批水果，其中苹果 60箱，梨的箱数是苹果的 3 4 ，同时又比橘子多 1 2 。 商店运来橘子多少箱？ 8 / 22 【对应练习 3】 爱家超市果蔬区运进 300千克水果，运来苹果的质量是水果总质量的 2 5 ，苹果比 砂糖橘少 1 3，爱家超市果蔬区运进多少千克砂糖橘？ 【考点五】分数除法混合型问题其二。 【方法点拨】 分数除法混合型问题，需要我们掌握熟练掌握多种基本问题的解题方法，灵活应 用。 【典型例题】 六年级三个班的学生共同植树，一班植树 80棵，比二班少植 1 9 ，三班植树的棵 数比二班多 1 10 ，三班植树多少棵？ 【对应练习 1】 在“勿忘国耻圆梦中华”征文活动中，六（1）班选送了 24篇，六（2）班选送的 篇数比六（1）班多 14，比六（3）班少 1 6 。六（3）班选送了多少篇？ 【对应练习 2】 李明、小强和小亮三位同学跳绳。李明跳了 120个，小强说：“李明跳的个数比 我少 1 4 ”。小亮说“小强跳的个数比我多 1 7 ，”小亮跳了多少个？ 9 / 22 【对应练习 3】 学校图书馆里有科技书 165本，科技书比文学书少 27，故事书比文学书多 2 11，故 事书有多少本？ 【考点六】分数除法混合型问题其三：计算盈利或亏损。 【方法点拨】 分数除法混合型问题，需要我们掌握熟练掌握多种基本问题的解题方法，灵活应 用。 【典型例题】 服装店老板刚以相同的价格卖出了 2件上衣，其中一件上衣赚了 1 10 ，另一件上 衣赔了 1 10 ，你认为老板赚了还是赔了？请写出你的思考过程。 【对应练习 1】 某服装店出售甲、乙两品牌服装。甲品牌每件卖 240元，可赚 15；乙品牌每件卖 270元，亏 1 10 。这两个品牌的服装各售出 1件，总体是盈利还是亏损？盈（亏） 多少元？ 10 / 22 【对应练习 2】 李阿姨上午卖出 2套时装，每套都是 480元，李阿姨说：“第一套时装比原价提 高了 1 8售出，第二套时装比原价降低了 1 5售出。赚的钱和赔的钱正好互相抵消， 白忙了一上午！”你认为李阿姨说的话对吗？请用通过计算说明赚了还是赔了？ 赚了（或赔了）多少钱？ 【对应练习 3】 超市今天卖出两件衣服，售价都是 180元，但其中一件赚了 15，另一件亏了 1 5。 超市今天卖出的这两件衣服，总体是赚了还是亏了？赚（亏）了多少钱？ 【考点七】量率对应问题其一：已知分量差与分率差。 【方法点拨】 该类题型属于量率对应问题的一种，已知分量差和分率差，直接使用量率对应求 出单位“1”。 【典型例题】 五一期间，某品牌的一双运动鞋降价 1 7 后，现价比原价少 97元，这双运动鞋原 价多少元？ 【对应练习 1】 端午期间，水果店卖出一批水果，卖出的苹果比梨多 2 7，刚好多卖出了 12 箱， 那么梨有多少箱？ 11 / 22 【对应练习 2】 今年小明的年龄比大海大 6 1 ，大海比小明小 2岁，小明今年几岁？ 【对应练习 3】 五年级男生比女生人数多 4 1 ，女生比男生少 8人，五年级有男生多少人？ 【考点八】量率对应问题其二：已知分量和与各自分率。 【方法点拨】 该类题型属于量率对应问题的一种，已知分量和时，需要求出对应的分率和。 【典型例题】 一辆汽车从甲地开往乙地，第 1小时行了全程的 1 4 ，第 2小时行了全程的 13，这 时共行了 140千米。甲乙两地相距多少千米？（列方程解答） 【对应练习 1】 某修路队修一条公路，第一天修了全长的 3 10，第二天修了全长的 9 20，两天共修 了 240米。这条路全长多少米？ 12 / 22 【对应练习 2】 小明看一本书，第一天看了全书的 2 7，第二天看了全书的 2 5 ，两天一共看了 72 页。这本书共有多少页？ 【对应练习 3】 修路队修一条路，第一周修了全长的 1 5，第二周修了全长的 3 10，两周一共修了 220米，这条公路全长多少米？ 【考点九】量率对应问题其三：已知分率和与各自分量。 【方法点拨】 已知分率和时，需要求出对应的分量和，再根据量率对应求出单位“1”。 【典型例题 1】分率和。 修路队修一段公路，第一天修了 50米，第二天修了 70米，两天正好修了全长的 3 7 ，这段路共多少米？ 【对应练习 1】 爸爸给明明一些钱，明明买外套花了 80元，买裤子花了 50元。买这两样衣物花 的钱是爸爸给明明钱的 2 3，爸爸给明明多少钱？ 13 / 22 【对应练习 2】 一批书，第一天卖出 180本，第二天卖出 270本，这时卖出的书是总数的 13。这 批书一共有多少本？ 【对应练习 3】 一条公路，修路队第一天修了 20米，第二天修了 24米，两天共修了这条公路的 4 9 ，这条公路全长多少米？ 【考点十】量率对应问题其四：已知分量差与各自分率。 【方法点拨】 该类题型属于量率对应问题的一种，解决该类型题的关键是先求出两个量的分率 差，再根据量率对应求出单位“1”。 【典型例题】 新学期开学时，小明把他积蓄的 1 5 用来买文具， 1 4 用来买课外读物，他发现买课 外读物的钱比买文具多花了 20元，小明有积蓄多少钱？ 【对应练习 1】 李老师打一篇稿件，第一天打了这篇稿件的 1 4 ，第二天打了这篇稿件的 2 5 ，第二 天比第一天多打了 9页。这篇稿件一共有多少页？ 14 / 22 【对应练习 2】 小红读一本故事书，第一天读了 1 4 ，第二天读了 1 2 ，第二天比第一天多读了 17 页，这本故事书共有多少页？ 【对应练习 3】 修一条路，第一天修了全长的 1 3，第二天修了全长的 1 4，第一天比第二天多修 200 米。这条路长多少米？ 【考点十一】量率对应问题其五：已知分率差与各自分量。 【方法点拨】 该类题型属于量率对应问题的一种，解决该类型题的关键是先求出两个量的分量 差，再根据量率对应求出单位“1”。 【典型例题】 修路队修一条路，第一天修了 36米，第二天修了 44米，第二天比第一天多修的 相当于这条路全长的 1 26，这条路全长多少米？ 【对应练习 1】 小红看一本故事书。第一天看了 45页，第二天看了 85页，第二天看的页数比第 一天多看这本书的 5 1 。这本书一共有多少页？ 15 / 22 【对应练习 2】 有一袋米，第一周吃了 20千克，第二周吃了 12千克，第一周比第二周多吃这袋 米的 10 1 。这袋大米原有多少千克？ 【对应练习 3】 水果店运一批水果。第一次运了 20千克，第二次运了 40千克，第二次比第一次 多运这批水果的 1 4 。这批水果共有多少千克？ 【考点十二】量率对应问题其六：已知分量差与其中一个分率。 【方法点拨】 该类题型属于量率对应问题的一种，解决该类型题的关键在于求出对应分量的分 率差，再根据量率对应求出单位“1”。 【典型例题】 一批水果，卖出这批水果的 2 5 ，这时剩下的比卖出的多 150千克。这批水果还剩 多少千克？ 【对应练习 1】 公园里大猴的只数是小猴的 4 9 ，小猴比大猴多 15只。求小猴有多少只？ 16 / 22 【对应练习 2】 师徒两人合做一批零件，徒弟做了总数的 7 2 ，比师傅少做 21个，这批零件有多 少个？ 【对应练习 3】 小英看一本书，第一天看了全书的 3 1 ，第二天比第一天少 13页，这时还有一半 没有看，这本书有多少页？ 【考点十三】量率对应问题其七：已知分量和与分率关系。 【方法点拨】 该类题型属于量率对应问题的一种，已知两个量的分量和及两个量之间的分率关 系，关键在于通过设单位“1”，表示出两个量的分率和，再使用量率对应求出单 位“1”。 【典型例题 1】基础型。 小明买了一个笔记本和一支钢笔，共花了 24元，其中笔记本的价格正好是钢笔 价格的 3 5 ，一个笔记本和一支钢笔的价格各是多少元？ 【对应练习 1】 菲菲家的鱼缸中有红、黑两种颜色的金鱼共 32条。其中红金鱼的条数是黑金鱼 的 3 5 。鱼缸中黑金鱼有多少条？ 17 / 22 【对应练习 2】 学校开展“5＋2”课后服务，参加艺术和体育两类社团的人数共 540人，其中参加 艺术社团的人数是体育社团的 4 5 。参加这两类社团的人数各多少人？（温馨提示： 先画线段图分析，再列式解答） 【对应练习 3】 某校在今年的红十字捐款活动中，师生共捐款 48000元，教师的捐款是学生捐款 的 3 5 ，教师和学生各捐款多少元？ 【典型例题 2】拓展型。 今年植树节六年级共植树 280棵，男生植树棵数比女生的 4 5 多 10棵，六年级女 生共植树多少棵？ 【对应练习 1】 班级图书角有科技书和故事书共 110本，已知科技书比故事书的 23 多 5本。两种 书各有多少本？（列方程解答） 【对应练习 2】 实验小学今年春季共种杨树、柳树 240棵，其中杨树的棵数比柳树棵数的 58少 20 棵，柳树种了多少棵？ 18 / 22 【对应练习 3】 为打造“书香班级”，六（1）班图书角购进历史类和文学类新书共 360本，其中 历史类的图书比文学类的 10 13 多 15本，两类图书各多少本？（用两种方法解答） 【考点十四】量率对应问题其八：已知分量差与分率关系。 【方法点拨】 该类题型属于量率对应问题的一种，已知两个量的分量差及两个量之间的分率关 系，关键在于通过设单位“1”，表示出两个量的分率差，再使用量率对应求出单 位“1”。 【典型例题】 鲜蜜果园的橘子树比枇杷树多 120棵，已知枇杷树的棵数是橘子树的 2 5 。鲜蜜果 园的枇杷树有多少棵？ 【对应练习 1】 仓库里篮球的个数是足球的 3 5 ，足球比篮球多 12个，足球和篮球各有多少个？ 【对应练习 2】 某小学女教师人数比男教师多 14人，男教师人数是女教师的 3 5 ，这所小学男、 女教师各有多少人？（先画线段图，然后写出等量关系，再列方程解答。） 线段图： 等量关系： 19 / 22 【对应练习 3】 学校购置体育器材，买进的篮球比足球多 8个，已知买来的足球个数是篮球的 3 5 ， 学校买来篮球和足球各多少个？ 【考点十五】量率对应问题其九：已知分量和与分率差。 【方法点拨】 该类题型属于量率对应问题的一种，解决该类型题关键在于通过设单位“1”表示 出另一个分率，再求出分率和，最后根据量率对应求出单位“1”。 【典型例题】 国庆期间，我校共有 660名学生观看了阅兵仪式直播，其中观看阅兵仪式直播的 男生人数比女生人数多 1 5 ，观看阅兵仪式直播的女生有多少人？ 【对应练习 1】 在新型冠状病毒防控期间，李叔叔和王叔叔都主动参与到抗击疫情的捐款活动当 中。两人共捐款 540元，已知李叔叔捐的钱比王叔叔多 1 4 。王叔叔捐款多少元？ 【对应练习 2】 实验小学六年级有学生 450人，女生人数比男生人数多 1 7 。实验小学六年级有男 生、女生各有多少人？（列方程解） 20 / 22 【对应练习 3】 某工程队用两天时间修筑一条公路，两天一共修了 210千米。第一天比第二天少 修 4 1 。第二天修了多少米？ 【考点十六】量率对应问题其十：已知剩余分量。 【方法点拨】 该类题型属于量率对应问题的一种，解决该类型题的关键在于求出剩余分率，再 根据量率对应求出单位“1”。 【典型例题 1】基础型。 工地有一批水泥，第一天运走 2 5，第二天运走 3 20，还剩下 25吨，这批水泥有多 少吨？ 【对应练习 1】 信达工程队要修一条公路，第一季度修了全长的 1 3，第二季度修了全长的 2 5 ，这 时还剩下 28千米没修，这条公路全长多少千米？ 【对应练习 2】 果园里有一批苹果，上午运走全部的 1 3，下午运走全部的 3 8，还剩下 140千克没 运。这批苹果共有多少千克？ 21 / 22 【对应练习 3】 小丽看一本故事书，第一天看了 11页，第二天看了 1 9 ，还剩下 45页没看。这本 书一共有多少页？ 【典型例题 2】拓展型。 读一本书，第一天读了这本书的 50 1 还多 1页，第二天读了这本书的 25 1 还少 2页， 最后还剩 283页没有读，这本书共有多少页？ 【对应练习】 小明看一本书，第一次看的比全书的 1 15 少 7页，第二次看了比全书的 1 20 多 5页， 还剩下 267页没看。这本书一共有多少页？ 【考点十七】量率对应问题其十一：已知剩余分率。 【方法点拨】 该类题型属于量率对应问题的一种，解决该类型题的关键在于求出剩余分量，再 根据量率对应求出单位“1”。 【典型例题】 修路队修一段公路，第一天修了 320米，第二天修了 400米，还剩下这段路的 59。 这段公路全长多少米？ 22 / 22 【对应练习 1】 赵师傅安装电话，一捆电话线第一次用去了 16米，第二次用去了 12米，还剩下 这捆电话线的 3 5。这捆电话线原来长多少米？ 【对应练习 2】 修路队修一条路，第一周修了 2.5千米，第二周修了 2千米，还剩下 49 没有修， 这条路长多少千米？ 【对应练习 3】 有一批煤，上午运走 210吨，下午运走 330吨，还剩下总数的 49 ，这批煤共有多 少吨？ 1 / 47 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年六年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年 真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、 思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2024 年 9 月 26 日 2 / 47 2024-2025 学年六年级数学上册典型例题系列 第二单元分数混合运算·应用提高篇【十七大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第二单元分数混合运算·应用提高篇 专题内容 本专题以分数混合运算的实际应用为主，其中包括分数乘法 和分数除法的典型问题。 总体评价 讲解建议 建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解部分考 点考题。 考点数量 十七个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】分数乘法混合型问题 ............................................................................................ 4 【考点二】分数乘法中的分率变化问题其一 ........................................................................ 6 【考点三】分数乘法中的分率变化问题其二 ........................................................................ 8 【考点四】分数除法混合型问题其一 .................................................................................. 10 【考点五】分数除法混合型问题其二 .................................................................................. 13 【考点六】分数除法混合型问题其三：计算盈利或亏损 ..................................................16 【考点七】量率对应问题其一：已知分量差与分率差 ......................................................20 【考点八】量率对应问题其二：已知分量和与各自分率 ..................................................21 【考点九】量率对应问题其三：已知分率和与各自分量 ..................................................23 【考点十】量率对应问题其四：已知分量差与各自分率 ..................................................25 3 / 47 【考点十一】量率对应问题其五：已知分率差与各自分量 ..............................................27 【考点十二】量率对应问题其六：已知分量差与其中一个分率 ......................................29 【考点十三】量率对应问题其七：已知分量和与分率关系 ..............................................31 【考点十四】量率对应问题其八：已知分量差与分率关系 ..............................................37 【考点十五】量率对应问题其九：已知分量和与分率差 ..................................................40 【考点十六】量率对应问题其十：已知剩余分量 .............................................................. 42 【考点十七】量率对应问题其十一：已知剩余分率 .......................................................... 45 4 / 47 【第三篇】典型例题篇 【考点一】分数乘法混合型问题。 【方法点拨】 1.单位“1”×（1+分率）=一个数。 2.单位“1”×（1-分率）=一个数。 【典型例题】 一台电视机原价是 2400元，先提价 1 10 后再降价 1 10 销售，现在的售价比原价高还 是比原价低？ 【答案】低 【分析】根据题意，把原价看作单位“1”，则提价后的价格＝原价×（1＋ 1 10 ）， 然后把提价后的价格看作单位“1”，降价后的价格＝提价后的价格×（1－ 1 10 ）， 把数代入计算出降价后的价格，再与原价比较即可得出结论。 【详解】2400×（1＋ 1 10 ） ＝2400× 11 10 ＝2640（元） 2640×（1－ 1 10 ） ＝2640× 9 10 ＝2376（元） 2400＞2376，现在售价比原价低。 答：现在的售价比原价低。 【对应练习 1】 一台原价为 3000元的冰箱，在国庆节期间降价 1 10 ，国庆节后又提价 1 10 。这台冰 箱的现价为多少元？ 【答案】2970元 【分析】先把这台冰箱的原来价格看作单位“1”，在国庆节期间降价 1 10 ，降价后 5 / 47 的价格是原来价格的（1－ 1 10 ），用这台冰箱的原来价格×（1－ 1 10 ），求出降价 后冰箱的价格；再把降价后冰箱的价格看作单位“1”，国庆节之后又提价 1 10 ，提 价后的价格是降价后价格的（1＋ 1 10 ），再用降价后冰箱的价格（1＋ 1 10 ），即 可求出这台冰箱现在的价格。 【详解】 1 13000 1 1 10 10               ＝ 113000 10 0 9 1   ＝ 112700 10  ＝2970（元） 答：这台冰箱的现价为 2970元。 【对应练习 2】 某品牌电脑正式上市之后，掀起了一股“国产化”电脑热潮。某门店“五一”促销， 降价 1 10 销售，节后又涨价 1 10 。这种电脑现在的价格是多少元？ 【答案】4950元 【分析】把某品牌电脑的原价看作单位“1”，先降价 1 10 ，则降价后的价格是原价 的（1－ 1 10 ），单位“1”已知，用原价乘（1－ 1 10 ），求出降价后的价格； 又涨价 1 10 ，是把降价后的价格看作单位“1”，涨价后的价格是降价后价格的（1 ＋ 1 10 ）；单位“1”已知，用降价后价格乘（1＋ 1 10 ），求出现价。 【详解】 5000×（1－ 1 10 ）×（1＋ 1 10 ） ＝5000× 9 10 × 11 10 6 / 47 ＝4500× 11 10 ＝4950（元） 答：这种电脑现在的价格是 4950元。 【对应练习 3】 李老师发高烧到 39℃，吃完药后体温下降了 1 13 ，停药 1天后，体温又上升了 1 18 ， 现在李老师还发烧吗？（一般体温超过 37.5℃算发烧） 【答案】发烧 【分析】把高烧的体温看作单位“1”，下降后的体温是高烧的体温的（1－ 1 13 ）， 用高烧的体温 39乘（1－ 1 13 ），求出下降后的体温；再把下降后的体温看作单 位“1”，又上升的体温是下降后体温的（1＋ 1 18 ），用下降后的体温×（1＋ 1 18 ）， 求出又上升的体温，再和 37.5℃比较，即可解答。 【详解】39×（1－ 1 13 ）×（1＋ 1 18 ） ＝39×12 13 ×19 18 ＝36×19 18 ＝38（℃） 38℃＞37.5℃，李老师还发烧。 答：李老师还发烧。 【考点二】分数乘法中的分率变化问题其一。 【方法点拨】 根据问题所求的分量，可以先求出分率，再求分量。 【典型例题】 2016年植树节，学校领回了 600棵树苗，分给了六年级全部树苗的 2 5 ，余下树 苗分给了五年级，五年级分得了多少棵树苗？ 【答案】360棵 【分析】把全部树苗的数量看作单位“1”，分给了六年级全部树苗的 2 5 ，则分给 7 / 47 五年级全部树苗的（1－ 2 5 ），再根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算 即可。 【详解】600×（1－ 2 5 ） ＝600× 3 5 ＝360（棵） 答：五年级分得了 360棵树苗。 【点睛】本题考查求一个数的几分之几是多少，明确用乘法是解题的关键。 【对应练习 1】 在 2022年北京冬奥会期间，某商场进了 880个“冰墩墩”吉祥物玩偶，卖完这批 玩偶用了 3天。第一天卖了这批玩偶的 1 4 ，其余的在第二天和第三天卖完，该商 场第二天和第三天共卖了多少个“冰墩墩”吉祥物玩偶？ 【答案】660个 【分析】把这批吉祥物玩偶的总数量看作单位“1”，已知第一天卖了这批玩偶的 1 4 ， 其余的在第二天和第三天卖完，则第二天和第三天共卖了这批玩偶的 11 4      ；根 据分数乘法的意义，用 1880 1 4       即可求出第二天和第三天共卖了多少个“冰墩 墩”吉祥物玩偶。 【详解】 1880 1 4       ＝ 3880 4  ＝660（个） 答：商场第二天和第三天共卖了 660个“冰墩墩”吉祥物玩偶。 【点睛】本题主要考查了分数乘法的应用，明确求一个数的几分之几是多少，用 乘法计算。 【对应练习 2】 明明读一本 100页的数学书，第一天读了这本书的 1 5 ，第二天读了这本的 2 5 ，明 明还剩多少页没有读？ 【答案】40页 8 / 47 【分析】将这本数学书看作单位“1”，利用减法求出剩下的占这本书的几分之几。 将书的总页数 100页乘剩下的分率，求出具体还剩下多少页没有读。 【详解】100×（1－ 1 5 － 2 5 ） ＝100× 2 5 ＝40（页） 答：明明还剩 40页没有读。 【点睛】本题考查了分数乘法应用题，求一个数的几分之几是多少，用这个数乘 分率。 【对应练习 3】 一本故事书共 100页，第一天看了它的 1 4 ，第二天看了它的 2 5 ，还有多少页没看？ 【答案】35页 【分析】把这本故事书的总页数看作单位“1”，第一天看了它的 1 4 ，第二天看了 它的 2 5 ，则还剩下它的（1－ 1 4 － 2 5 ）。根据分数乘法的意义，用这本书的页数 乘（1－ 1 4 － 2 5 ）就是还没看的页数。 【详解】100×（1－ 1 4 － 2 5 ） ＝100×（1－ 520 － 8 20） ＝100× 7 20 ＝35（页） 答：还有 35页没看。 【点睛】此题主要考查了分数乘法的应用。求一个数的几分之几是多少，用这个 数乘分率。 【考点三】分数乘法中的分率变化问题其二。 【方法点拨】 根据问题所求的分量，可以先求出分率，再求分量。 【典型例题】 9 / 47 一堆西瓜共 2100千克，第一天运走了全部的 1 4 ，第二天运走了全部的 1 3，两天 共运走了多少千克？ 【答案】1225千克 【分析】求一个数的几分之几是多少，用乘法，用这堆西瓜的总重量乘 1 4 ，求出 第一天运走了多少千克，用这堆西瓜的总重量乘 1 3，求出第二天运走了多少千克， 把两天运走的重量加起来即可得解。 【详解】2100× 1 4 ＋2100× 13 ＝525＋700 ＝1225（千克） 答：两天共运走 1225千克。 【点睛】此题的解题关键是掌握求一个数的几分之几是多少的计算方法。 【对应练习 1】 一本书有 108页，张成第一天看了全书的 29 ，第二天看了全书的 1 3，两天一共看 了多少页？ 【答案】60页 【分析】将这本书总页数看作单位“1”，求两天共看多少页，就是求单位“1”的 （ 2 1 9 3 ＋ ）是多少，应用分数乘法解答。 【详解】108×（ 2 19 3 ＋ ） ＝108× 29 ＋108× 1 3 ＝24＋36 ＝60（页） 答：两天一共看了 60页。 【点睛】求一个数的几分之几是多少，用这个数乘分数进行计算。 【对应练习 2】 修一条长 480米的水渠，第一天修了全长的 5 12 ，第二天修了全长的 1 8 ，两天一共 修了多少米？ 10 / 47 【答案】260米 【分析】由题意可知，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，据此分别 求出第一天和第二天修的长度，再相加即可。 【详解】480× 5 12 ＋480× 1 8 ＝200＋60 ＝260（米） 答：两天一共修了 260米。 【点睛】本题考查求一个数的几分之几是多少，明确用乘法是解题的关键。 【对应练习 3】 一本 200页的书，第一天看了全书的 1 8 ，第二天看了全书的 1 4 ，第三天从第几页 看起？ 【答案】 1 1200 200 1 8 4     【分析】求一个数的几分之几是多少的问题的解法：一个数（单位“1”的量）× 几分之几＝比较量。据此先用 200× 1 8 求出第一天看的页数，再用 200× 1 4 求出第 二天看的页数，最后用两天看的页数和＋1即可求出第三天从第几页看起。 【详解】 1 1200 200 1 8 4     ＝25＋50＋1 ＝76（页） 答：第三天从第 76页看起。 【点睛】确定单位“1”的量是解决分数问题的关键。单位“1”已知，用乘法解答； 单位“1”未知，用除法解答。 【考点四】分数除法混合型问题其一。 【方法点拨】 分数除法混合型问题，需要我们掌握熟练掌握多种基本问题的解题方法，灵活应 用。 【典型例题】 11 / 47 某水果店运来 600千克梨。运来的苹果的质量相当于梨的 5 6 ，苹果的质量又比橘 子的质量多 2 3 。水果店运来的橘子有多少千克？ 【答案】300千克 【分析】将梨的质量看作单位“1”，梨的质量×苹果的对应分率＝苹果质量；再将 橘子质量看作单位“1”，苹果质量是橘子的（1＋ 2 3 ），苹果质量÷对应分率＝橘 子质量，据此列式解答。 【详解】600× 5 6 ÷（1＋ 2 3 ） ＝500÷ 53 ＝500× 35 ＝300（千克） 答：水果店运来的橘子有 300千克。 【对应练习 1】 阳阳妈妈的体重是 55千克，她的体重比阳阳爸爸的体重轻 1 12 。阳阳的体重正好 是妈妈的 3 5。爸爸和阳阳的体重各是多少千克？ 【答案】爸爸：60千克；阳阳：33千克 【分析】把阳阳爸爸的体重看作单位“1”，阳阳妈妈的体重是阳阳爸爸体重的（1 － 1 12 ），对应的是妈妈的体重 55千克，求单位“1”，用妈妈的体重÷（1－ 1 12 ）， 即可求出阳阳爸爸的体重； 把阳阳妈妈的体重看作单位“1”，阳阳的体重是妈妈的 35，用妈妈的体重× 3 5，即 可求出阳阳的体重。 【详解】55÷（1－ 1 12 ） ＝55÷ 11 12 ＝55×12 11 ＝60（千克） 12 / 47 55× 35＝33（千克） 答：爸爸的体重是 60千克，阳阳的体重是 33千克。 【对应练习 2】 超市运来一批水果，其中苹果 60箱，梨的箱数是苹果的 3 4 ，同时又比橘子多 1 2 。 商店运来橘子多少箱？ 【答案】30箱 【分析】已知苹果 60箱，梨的箱数是苹果的 3 4 ，把苹果的箱数看作单位“1”，单 位“1”已知，用苹果的箱数乘 3 4 ，即可求出梨的箱数； 又已知梨的箱数比橘子多 1 2，把橘子的箱数看作单位“1”，则梨的箱数是橘子的 （1＋ 1 2），单位“1”未知，用梨的箱数除以（1＋ 1 2），求出橘子的箱数。 【详解】60× 3 4 ＝45（箱） 45÷（1＋ 1 2） ＝45÷ 3 2 ＝45× 2 3 ＝30（箱） 答：商店运来橘子 30箱。 【对应练习 3】 爱家超市果蔬区运进 300千克水果，运来苹果的质量是水果总质量的 2 5 ，苹果比 砂糖橘少 1 3，爱家超市果蔬区运进多少千克砂糖橘？ 【答案】180千克 【分析】先把水果的总质量看作单位“1”，苹果的质量是水果总质量的 2 5 ，单位“1” 已知，用水果的总质量乘 2 5 ，求出苹果的质量； 再把砂糖橘的质量看作单位“1”，苹果比砂糖橘少 13，则苹果的质量是砂糖橘的 （1－ 13），单位“1”未知，用苹果的质量除以（1－ 1 3），即可求出砂糖橘的质量。 13 / 47 【详解】苹果： 300× 2 5 ＝120（千克） 砂糖橘： 120÷（1－ 13） ＝120÷ 2 3 ＝120× 3 2 ＝180（千克） 答：爱家超市果蔬区运进 180千克砂糖橘。 【考点五】分数除法混合型问题其二。 【方法点拨】 分数除法混合型问题，需要我们掌握熟练掌握多种基本问题的解题方法，灵活应 用。 【典型例题】 六年级三个班的学生共同植树，一班植树 80棵，比二班少植 1 9 ，三班植树的棵 数比二班多 1 10 ，三班植树多少棵？ 【答案】99棵 【分析】把二班植树的棵数看作单位“1”，一班植树的棵数是二班的（1－ 1 9 ）， 是 80棵，所以二班植树[80÷（1－ 1 9 ）]棵，由“三班植树的棵数比二班多 1 10 ”可知， 三班植树的棵数是二班的（1＋ 1 10 ），用二班的棵数乘（1＋ 1 10 ），即可求出三 班植树的棵数。 【详解】80÷（1－ 1 9 ）×（1＋ 1 10 ） ＝80÷ 8 9 × 11 10 ＝90× 11 10 ＝99（棵） 答：三班植树 99棵。 14 / 47 【点睛】找出一班、二班和三班植树棵数的关系，求出二班植树的棵数，是解答 此题的关键。 【对应练习 1】 在“勿忘国耻圆梦中华”征文活动中，六（1）班选送了 24篇，六（2）班选送的 篇数比六（1）班多 14，比六（3）班少 1 6 。六（3）班选送了多少篇？ 【答案】36篇 【分析】已知六（2）班选送的篇数比六（1）班多 14，先把六（1）班选送的篇 数看作单位“1”，则六（2）班选送的篇数是六（1）班的（1＋ 14）；单位“1”已知， 用六（1）班选送的篇数乘（1＋ 14），求出六（2）班选送的篇数； 又已知六（2）班选送的篇数比六（3）班少 1 6 ，再把六（3）班选送的篇数看作 单位“1”，则六（2）班选送的篇数是六（3）班的（1－ 1 6 ）；单位“1”未知，用 六（2）班选送的篇数除以（1－ 1 6 ），求出六（3）班选送的篇数。 【详解】六（2）班： 24×（1＋ 14 ） ＝24× 5 4 ＝30（篇） 六（3）班： 30÷（1－ 1 6 ） ＝30÷ 5 6 ＝30× 65 ＝36（篇） 答：六（3）班选送了 36篇。 【点睛】本题考查分数乘除法的应用，明确求比一个数多或少几分之几的数是多 少，用乘法计算；已知比一个数多或少几分之几是多少，求这个数，用除法计算。 【对应练习 2】 15 / 47 李明、小强和小亮三位同学跳绳。李明跳了 120个，小强说：“李明跳的个数比 我少 1 4 ”。小亮说“小强跳的个数比我多 1 7 ，”小亮跳了多少个？ 【答案】140个 【分析】要计算小亮的跳绳个数需要先求出小强的跳绳个数，把小强的跳绳个数 看作单位“1”，李明的跳绳个数占小强的（1－ 14），根据“量÷对应的分率”求出 小强的跳绳个数，再把小亮的跳绳个数看作单位“1”，小强的跳绳个数占小亮的 （1＋ 1 7 ），小亮的跳绳个数＝小强的跳绳个数÷（1＋ 1 7 ），据此解答。 【详解】小强：120÷（1－ 14） ＝120÷ 3 4 ＝160（个） 小亮：160÷（1＋ 1 7 ） ＝160÷ 8 7 ＝140（个） 答：小亮跳了 140个。 【点睛】本题主要考查分数除法的应用，找出量和对应的分率是解答题目的关键。 【对应练习 3】 学校图书馆里有科技书 165本，科技书比文学书少 27，故事书比文学书多 2 11，故 事书有多少本？ 【答案】273本 【分析】根据“科技书比文学书少 27 ”可知：文学书的本数是单位“1”，单位“1”未 知用除法解答。已知比一个数少几分之几的数是多少，求这个数的解题方法：已 知量÷（1－比单位“1”少的分率）＝单位“1”的量，即科技书的本数÷（1－ 27）＝ 文学书的本数。 根据“故事书比文学书多 2 11”可知：文学书的本数是单位“1”，单位“1”已知用乘法 解答。求比一个数多几分之几的数是多少的解题方法：单位“1”的量×（1＋比单 16 / 47 位“1”多的分率）＝这个数量，即文学书的本数×（1＋ 2 11）＝故事书的本数。 【详解】165÷（1－ 27）× 2(1 ) 11  ＝165 57  ×13 11 ＝165× 7 5 × 13 11 ＝231×13 11 ＝273（本） 答：故事书有 273本。 【点睛】确定单位“1”的量是解决分数问题的关键。单位“1”已知，用乘法解答； 单位“1”未知，用除法解答。 【考点六】分数除法混合型问题其三：计算盈利或亏损。 【方法点拨】 分数除法混合型问题，需要我们掌握熟练掌握多种基本问题的解题方法，灵活应 用。 【典型例题】 服装店老板刚以相同的价格卖出了 2件上衣，其中一件上衣赚了 1 10 ，另一件上 衣赔了 1 10 ，你认为老板赚了还是赔了？请写出你的思考过程。 【答案】赔了；思考过程见详解 【分析】假设 2件上衣的售价都是 99元，则一件上衣赚了 1 10 ，相当于进价的（1 ＋ 1 10 ）是 99元，另一件上衣赔了 1 10 ，相当于进价的（1－ 1 10 ）是 99元，已知一 个数的几分之几是多少，求这个数用除法解答，据此分别用除法求出 2件上衣的 进价，再和卖价比较即可解答。 【详解】假设 2件上衣的售价都是 99元。 99÷（1＋ 1 10 ） ＝99÷ 11 10 17 / 47 ＝99×10 11 ＝90（元） 99÷（1－ 1 10 ） ＝99÷ 9 10 ＝99× 109 ＝110（元） 赚了：99－90＝9（元） 赔了：110－99＝11（元） 9＜11 答：赔了。 【对应练习 1】 某服装店出售甲、乙两品牌服装。甲品牌每件卖 240元，可赚 15；乙品牌每件卖 270元，亏 1 10 。这两个品牌的服装各售出 1件，总体是盈利还是亏损？盈（亏） 多少元？ 【答案】盈利；10元 【分析】甲品牌每件卖 240元，可赚 15，是将甲品牌的进价看作单位“1”，则卖 价所占的分率为（1＋ 15），根据分数除法的意义，已知卖价的具体数值和其对 应的分率，求单位“1”用除法，即用 240÷（1＋ 15）可求出甲品牌的进价，再用卖 价减去进价，求出甲品牌赚了多少钱； 乙品牌每件卖 270元，亏 1 10 ，是将乙品牌的进价看作单位“1”，则卖价所占的分 率为（1－ 1 10 ），根据分数除法的意义，已知卖价的具体数值和其对应的分率， 求单位“1”用除法，即用 270÷（1－ 1 10 ）可求出乙品牌的进价，再用进价减去售 价，求出乙品牌亏了多少钱； 用甲品牌赚的钱和乙品牌亏的钱进行比较，即可得出究竟是盈利还是亏损，并且 盈（亏）多少元。 18 / 47 【详解】由分析可得； 240÷（1＋ 15） ＝240÷ 65 ＝240× 5 6 ＝200（元） 240－200＝40（元） 270÷（1－ 1 10 ）－270 ＝270÷ 9 10 －270 ＝270× 109 －270 ＝300－270 ＝30（元） 甲品牌赚 40元，乙品牌亏 30元，40＞30，所以是盈利； 40－30＝10（元） 答：总体是盈利，盈 10元。 【对应练习 2】 李阿姨上午卖出 2套时装，每套都是 480元，李阿姨说：“第一套时装比原价提 高了 1 8售出，第二套时装比原价降低了 1 5售出。赚的钱和赔的钱正好互相抵消， 白忙了一上午！”你认为李阿姨说的话对吗？请用通过计算说明赚了还是赔了？ 赚了（或赔了）多少钱？ 【答案】不对；赚了；66.7元 【分析】分别将两件时装的原价看作单位“1”，先用 480除以（1＋ 18），求出第 一件时装的原价；再用 480除以（1－ 15），求出第二件时装的原价；然后用两 件时装的原价和与 480元的 2倍比较大小，确定赚了还是赔了，然后求差，即可 确定赚或赔的钱数。 【详解】480÷（1＋ 18） 19 / 47 ＝480÷ 9 8 ＝480× 8 9 ≈426.7（元） 480÷（1－ 15） ＝480÷ 4 5 ＝480× 5 4 ＝600（元） 426.7＋600－480×2 ＝426.7＋600－960 ＝1026.7－960 ＝66.7（元） 答：李阿姨赚了 66.7元。 【对应练习 3】 超市今天卖出两件衣服，售价都是 180元，但其中一件赚了 15，另一件亏了 1 5。 超市今天卖出的这两件衣服，总体是赚了还是亏了？赚（亏）了多少钱？ 【答案】亏了；15元 【分析】根据题意，售价都是 180元的两件衣服，第一件赚了 15，即售价比进价 高 1 5，把第一件衣服的进价看作单位“1”，则售价是进价的（1＋ 1 5），单位“1” 未知，用售价除以（1＋ 15），求出第一件衣服的进价； 第二件亏了 1 5，即售价比进价低 1 5，把第二件衣服的进价看作单位“1”，则售价是 进价的（1－ 15），单位“1”未知，用售价除以（1－ 1 5），求出第二件衣服的进价； 然后分别用加法求出两件衣服的总进价与总售价，再比较，如果总售价大于总进 价，则赚了；如果总售价小于总进价，则亏了； 最后用减法求出两件衣服的总售价与总进价的差值，即可求出总体赚了或亏了多 少钱。 【详解】第一件衣服的进价： 20 / 47 180÷（1＋ 15） ＝180÷ 65 ＝180× 5 6 ＝150（元） 第二件衣服的进价： 180÷（1－ 15） ＝180÷ 4 5 ＝180× 5 4 ＝225（元） 两件衣服的总进价：150＋225＝375（元） 两件衣服的总售价：180×2＝360（元） 360＜375 亏了：375－360＝15（元） 答：超市今天卖出的这两件衣服，总体是亏了，亏了 15元。 【点睛】理解“赚了 15 ”和“亏了 1 5 ”的意思，找出单位“1”，单位“1”未知，根据分 数除法的意义分别求出两件衣服的进价是解题的关键。 【考点七】量率对应问题其一：已知分量差与分率差。 【方法点拨】 该类题型属于量率对应问题的一种，已知分量差和分率差，直接使用量率对应求 出单位“1”。 【典型例题】 五一期间，某品牌的一双运动鞋降价 1 7 后，现价比原价少 97元，这双运动鞋原 价多少元？ 解析： 97÷ 1 7＝97×7＝679（元） 答：这双运动鞋原价 679元。 21 / 47 【对应练习 1】 端午期间，水果店卖出一批水果，卖出的苹果比梨多 2 7，刚好多卖出了 12 箱， 那么梨有多少箱？ 解析： 12÷ 27＝42（箱） 答：梨有 42箱。 【对应练习 2】 今年小明的年龄比大海大 6 1 ，大海比小明小 2岁，小明今年几岁？ 解析：大海：2÷ 6 1 =12（岁） 小明：12+2=14（岁） 答：略。 【对应练习 3】 五年级男生比女生人数多 4 1 ，女生比男生少 8人，五年级有男生多少人？ 解析：女生：8÷ 4 1 =32（人） 男生：32+8=40（人） 答：略。 【考点八】量率对应问题其二：已知分量和与各自分率。 【方法点拨】 该类题型属于量率对应问题的一种，已知分量和时，需要求出对应的分率和。 【典型例题】 一辆汽车从甲地开往乙地，第 1小时行了全程的 1 4 ，第 2小时行了全程的 13，这 时共行了 140千米。甲乙两地相距多少千米？（列方程解答） 【答案】240千米 【分析】假设甲乙两地相距 x千米，第 1小时行了全程的 1 4 ，第 2小时行了全程 的 1 3，求一个数的几分之几是多少，用乘法，所以用 x× 1 4 和 x× 13分别表示出第 1 小时和第 2小时行驶的路程，把这 2小时行驶的路程加起来等于 140千米，据此 22 / 47 列出方程，解方程即可得解。 【详解】解：设甲乙两地相距 x千米。 1 4 x＋ 13 x＝140 3 12 x＋ 4 12 x＝140 7 12 x＝140 x＝140÷ 7 12 x＝140×12 7 x＝240 答：甲乙两地相距 240千米。 【点睛】此题的解题关键是弄清题意，把甲乙两地的距离设为未知数 x，找出题 中数量间的相等关系，列出包含 x的等式，解方程得到最终的结果。 【对应练习 1】 某修路队修一条公路，第一天修了全长的 3 10，第二天修了全长的 9 20，两天共修 了 240米。这条路全长多少米？ 【答案】320米 【分析】由题意可知，先求出两天共修全长的 3 10＋ 9 20，正好对应修了 240米， 根据分数除法的意义，用除法解答即可。 【详解】240÷（ 310＋ 9 20） ＝240÷ 3 4 ＝320（米） 答：这条路全长 320米。 【点睛】本题考查分数除法，明确部分的量÷所对应的分率＝单位“1”的量是解题 的关键。 【对应练习 2】 小明看一本书，第一天看了全书的 2 7，第二天看了全书的 2 5 ，两天一共看了 72 页。这本书共有多少页？ 23 / 47 【答案】105页 【分析】把全书的总页数看作单位“1”，用 27＋ 2 5 即可求出两天一共看了全书的几 分之几；根据分数除法的意义，用 72÷（ 27＋ 2 5 ）即可求出总页数。 【详解】72÷（ 27＋ 2 5 ） ＝72÷ 2 43 5 ＝72× 35 24 ＝105（页） 答：这本书共有 105页。 【点睛】本题考查了分数除法的计算和应用，明确已知一个数的几分之几是多少， 求这个数用除法计算。 【对应练习 3】 修路队修一条路，第一周修了全长的 1 5，第二周修了全长的 3 10，两周一共修了 220米，这条公路全长多少米？ 【答案】440米 【分析】把这条路的全长看作单位“1”，则两周共修了全长的（ 15＋ 3 10）对应的 数量是 220米，根据分数除法的意义，用除法即可求出全长。 【详解】220÷（ 15＋ 3 10） ＝220÷ 1 2 ＝440（米） 答：这条公路全长 440米。 【点睛】此题考查了分数除法的应用，明确已知一个数的几分之几是多少，求这 个数用除法。 【考点九】量率对应问题其三：已知分率和与各自分量。 【方法点拨】 已知分率和时，需要求出对应的分量和，再根据量率对应求出单位“1”。 【典型例题 1】分率和。 24 / 47 修路队修一段公路，第一天修了 50米，第二天修了 70米，两天正好修了全长的 3 7 ，这段路共多少米？ 【答案】280米 【分析】把这段公路的全长看作单位“1”，已知两天一共修了（50＋70）米，正 好修了全长的 3 7 ，单位“1”未知，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数， 用两天一共修的长度除以 3 7 ，即可求出这段公路的全长。 【详解】（50＋70）÷ 3 7 ＝120÷ 3 7 ＝120× 7 3 ＝280（米） 答：这段路共 280米。 【点睛】本题考查分数除法的应用，找出单位“1”，单位“1”未知，根据分数除法 的意义解答。 【对应练习 1】 爸爸给明明一些钱，明明买外套花了 80元，买裤子花了 50元。买这两样衣物花 的钱是爸爸给明明钱的 2 3，爸爸给明明多少钱？ 解析：   280 50 3   ＝ 2130 3  ＝195（元） 答：爸爸给了明明 195元。 【对应练习 2】 一批书，第一天卖出 180本，第二天卖出 270本，这时卖出的书是总数的 13。这 批书一共有多少本？ 解析： 25 / 47 （180＋270）÷ 13 ＝450÷ 13 ＝1350（本） 答：这批书共有 1350本。 【对应练习 3】 一条公路，修路队第一天修了 20米，第二天修了 24米，两天共修了这条公路的 4 9 ，这条公路全长多少米？ 【答案】99米 【分析】把这条公路的总长度看作单位“1”，把第一天和第二天修的具体长度加 起来，等于（20＋24）米，对应着两天修的长度占总长度的 49 ，根据量÷对应的 分率＝单位“1”，代入数据，即可求出这条公路的全长是多少米。 【详解】（20＋24）÷ 49 ＝44÷ 49 ＝99（米） 答：这条公路全长 99米。 【点睛】本题考查分数除法的应用，找出量和对应的分率是解答题目的关键。 【考点十】量率对应问题其四：已知分量差与各自分率。 【方法点拨】 该类题型属于量率对应问题的一种，解决该类型题的关键是先求出两个量的分率 差，再根据量率对应求出单位“1”。 【典型例题】 新学期开学时，小明把他积蓄的 1 5 用来买文具， 1 4 用来买课外读物，他发现买课 外读物的钱比买文具多花了 20元，小明有积蓄多少钱？ 【答案】400元 【分析】把小明的积蓄看作单位“1”，买课外读物用的钱数比买文具用的钱数多 占积蓄的（ 1 4 － 1 5 ），且买课外读物比买文具多花 20元，根据量÷对应的分率＝ 26 / 47 单位“1”求出小明的积蓄，据此解答。 【详解】20÷（ 1 4 － 1 5 ） ＝20÷ 1 20 ＝20×20 ＝400（元） 答：小明有积蓄 400元。 【点睛】本题主要考查分数除法的应用，找出量和对应的分率是解答题目的关键。 【对应练习 1】 李老师打一篇稿件，第一天打了这篇稿件的 1 4 ，第二天打了这篇稿件的 2 5 ，第二 天比第一天多打了 9页。这篇稿件一共有多少页？ 【答案】60页 【分析】将这篇稿件总页数看作单位“1”，第二天比第一天多打了这篇稿件的（ 2 5 － 1 4 ），且第二天比第一天多打了 9页，第二天比第一天多打的页数÷对应分率 ＝总页数，据此列式解答。 【详解】9÷（ 2 5－ 1 4 ） ＝9÷ 3 20 ＝60（页） 答：这篇稿件一共有 60页。 【点睛】关键是确定单位“1”，部分数量÷对应分率＝整体数量。 【对应练习 2】 小红读一本故事书，第一天读了 1 4 ，第二天读了 1 2 ，第二天比第一天多读了 17 页，这本故事书共有多少页？ 【答案】68页 【分析】把这本故事书的总页数看作单位“1”，第二天比第一天多读 17页占总页 数的（ 1 2 － 1 4 ），单位“1”未知，用第二天比第一天多读的页数除以（ 12 － 1 4 ）， 即可求出这本故事书的总页数。 27 / 47 【详解】17÷（ 12 － 1 4 ） ＝17÷（ 2 4－ 1 4 ） ＝17÷ 1 4 ＝17×4 ＝68（页） 答：这本故事书共有 68页。 【点睛】找准单位“1”，单位“1”未知，用具体的量除以它对应的分率，求出单位 “1”的量。 【对应练习 3】 修一条路，第一天修了全长的 1 3，第二天修了全长的 1 4，第一天比第二天多修 200 米。这条路长多少米？ 【答案】2400米 【分析】把路的长度看作单位“1”，先求出第一天比第二天多修路长度占总长度 的分率，也就是 200米占总长度的分率，依据已知一个数的几分之几是多少，求 这个数，用除法，以此解答。 【详解】200÷（ 13－ 1 4 ） ＝200÷ 1 12 ＝2400（米） 答：这条路长 2400米。 【点睛】此题主要考查了分数除法的实际应用，其中需要掌握已知一个数的几分 之几是多少，求这个数，用除法。 【考点十一】量率对应问题其五：已知分率差与各自分量。 【方法点拨】 该类题型属于量率对应问题的一种，解决该类型题的关键是先求出两个量的分量 差，再根据量率对应求出单位“1”。 【典型例题】 修路队修一条路，第一天修了 36米，第二天修了 44米，第二天比第一天多修的 28 / 47 相当于这条路全长的 1 26，这条路全长多少米？ 【答案】208米 【分析】由“第二天比第一天多修的相当于这条路全长的 1 26 ”可知，这条路的全 长是单位“1”，求这条路的全长。已知一个数的几分之几是多少，求这个数的问 题的解法：已知量÷已知量占单位“1”的几分之几＝单位“1”的量。先用 44－36求 出第二天比第一天多修 8米；8米所对应的分率是 1 26 ，用 8÷ 1 26可求出这条路的 全长。 【详解】（44－36）÷ 1 26 ＝8÷ 1 26 ＝8×26 ＝208（米） 答：这条路全长 208米。 【点睛】确定单位“1”的量是解决分数问题的关键。单位“1”未知，可以列方程解 答或者用除法解答。用除法解答时要注意量率对应。 【对应练习 1】 小红看一本故事书。第一天看了 45页，第二天看了 85页，第二天看的页数比第 一天多看这本书的 5 1 。这本书一共有多少页？ 解析：（85-45）÷ 5 1 =200（页） 答：略。 【对应练习 2】 有一袋米，第一周吃了 20千克，第二周吃了 12千克，第一周比第二周多吃这袋 米的 10 1 。这袋大米原有多少千克？ 解析：（20-12）÷ 10 1 =80（千克） 答：略。 【对应练习 3】 水果店运一批水果。第一次运了 20千克，第二次运了 40千克，第二次比第一次 29 / 47 多运这批水果的 1 4 。这批水果共有多少千克？ 解析：（40-20）÷ 4 1 =80（千克） 答：略。 【考点十二】量率对应问题其六：已知分量差与其中一个分率。 【方法点拨】 该类题型属于量率对应问题的一种，解决该类型题的关键在于求出对应分量的分 率差，再根据量率对应求出单位“1”。 【典型例题】 一批水果，卖出这批水果的 2 5 ，这时剩下的比卖出的多 150千克。这批水果还剩 多少千克？ 【答案】450千克 【分析】把这批水果的总数看作单位“1”，卖出这批水果的 2 5 ，剩下这批水果的 （1 2 5  ），由此可以 150千克相当于这批水果的（1 2 25 5   ），根据已知一个数 的几分之几是多少，求这个数，用除法求出这批水果的总数，然后根据求一个数 的几分之几是多少，用乘法求出剩下多少千克。 【详解】150÷（1 2 25 5   ）×（1 2 5  ） ＝ 1150 5  × 3 5 ＝150×5× 3 5 ＝750× 3 5 ＝450（千克） 答：这批水果还剩 450千克。 【点睛】此题属于基本的分数乘除法应用题，只要找清单位“1”，利用基本数量 关系解决问题。 【对应练习 1】 公园里大猴的只数是小猴的 4 9 ，小猴比大猴多 15只。求小猴有多少只？ 30 / 47 解析： 小猴： 415 1 9       515 9 ＝ ＝27（只） 大猴：27 15 12  （只） 答：小猴有 27只，大猴有 12只。 【对应练习 2】 师徒两人合做一批零件，徒弟做了总数的 7 2 ，比师傅少做 21个，这批零件有多 少个？ 解析： 徒弟做了 7 2 ，则师傅做了 1- 7 2 = 7 5 ，徒弟比师傅少 7 5 - 7 2 = 7 3 师傅：21÷ 7 3 =49（个） 徒弟：49-21=28（个） 一共：49+28=77（个） 答：略。 【对应练习 3】 小英看一本书，第一天看了全书的 3 1 ，第二天比第一天少 13页，这时还有一半 没有看，这本书有多少页？ 解析： 第二天： 2 1 - 3 1 = 6 1 第二天比第一天少： 3 1 - 6 1 = 6 1 第一天：13÷ 6 1 =78（页） 第二天：78-13=65（页） 一共：（78+65）×2=286（页） 答：略。 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2024年9月26日 2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列 第二单元分数混合运算·应用提高篇【十七大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第二单元分数混合运算·应用提高篇 专题内容 本专题以分数混合运算的实际应用为主，其中包括分数乘法和分数除法的典型问题。 总体评价 讲解建议 建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解部分考点考题。 考点数量 十七个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】分数乘法混合型问题 4 【考点二】分数乘法中的分率变化问题其一 5 【考点三】分数乘法中的分率变化问题其二 6 【考点四】分数除法混合型问题其一 7 【考点五】分数除法混合型问题其二 8 【考点六】分数除法混合型问题其三：计算盈利或亏损 9 【考点七】量率对应问题其一：已知分量差与分率差 10 【考点八】量率对应问题其二：已知分量和与各自分率 11 【考点九】量率对应问题其三：已知分率和与各自分量 12 【考点十】量率对应问题其四：已知分量差与各自分率 13 【考点十一】量率对应问题其五：已知分率差与各自分量 14 【考点十二】量率对应问题其六：已知分量差与其中一个分率 15 【考点十三】量率对应问题其七：已知分量和与分率关系 16 【考点十四】量率对应问题其八：已知分量差与分率关系 18 【考点十五】量率对应问题其九：已知分量和与分率差 19 【考点十六】量率对应问题其十：已知剩余分量 20 【考点十七】量率对应问题其十一：已知剩余分率 21 【第三篇】典型例题篇 【考点一】分数乘法混合型问题。 【方法点拨】 1.单位“1”×（1+分率）=一个数。 2.单位“1”×（1-分率）=一个数。 【典型例题】 一台电视机原价是2400元，先提价后再降价销售，现在的售价比原价高还是比原价低？ 【对应练习1】 一台原价为3000元的冰箱，在国庆节期间降价，国庆节后又提价。这台冰箱的现价为多少元？ 【对应练习2】 某品牌电脑正式上市之后，掀起了一股“国产化”电脑热潮。某门店“五一”促销，降价销售，节后又涨价。这种电脑现在的价格是多少元？ 【对应练习3】 李老师发高烧到39℃，吃完药后体温下降了，停药1天后，体温又上升了，现在李老师还发烧吗？（一般体温超过37.5℃算发烧） 【考点二】分数乘法中的分率变化问题其一。 【方法点拨】 根据问题所求的分量，可以先求出分率，再求分量。 【典型例题】 2016年植树节，学校领回了600棵树苗，分给了六年级全部树苗的，余下树苗分给了五年级，五年级分得了多少棵树苗？ 【对应练习1】 在2022年北京冬奥会期间，某商场进了880个“冰墩墩”吉祥物玩偶，卖完这批玩偶用了3天。第一天卖了这批玩偶的，其余的在第二天和第三天卖完，该商场第二天和第三天共卖了多少个“冰墩墩”吉祥物玩偶？ 【对应练习2】 明明读一本100页的数学书，第一天读了这本书的，第二天读了这本的，明明还剩多少页没有读？ 【对应练习3】 一本故事书共100页，第一天看了它的，第二天看了它的，还有多少页没看？ 【考点三】分数乘法中的分率变化问题其二。 【方法点拨】 根据问题所求的分量，可以先求出分率，再求分量。 【典型例题】 一堆西瓜共2100千克，第一天运走了全部的，第二天运走了全部的，两天共运走了多少千克？ 【对应练习1】 一本书有108页，张成第一天看了全书的，第二天看了全书的，两天一共看了多少页？ 【对应练习2】 修一条长480米的水渠，第一天修了全长的，第二天修了全长的，两天一共修了多少米？ 【对应练习3】 一本200页的书，第一天看了全书的，第二天看了全书的，第三天从第几页看起？ 【考点四】分数除法混合型问题其一。 【方法点拨】 分数除法混合型问题，需要我们掌握熟练掌握多种基本问题的解题方法，灵活应用。 【典型例题】 某水果店运来600千克梨。运来的苹果的质量相当于梨的，苹果的质量又比橘子的质量多。水果店运来的橘子有多少千克？ 【对应练习1】 阳阳妈妈的体重是55千克，她的体重比阳阳爸爸的体重轻。阳阳的体重正好是妈妈的。爸爸和阳阳的体重各是多少千克？ 【对应练习2】 超市运来一批水果，其中苹果60箱，梨的箱数是苹果的，同时又比橘子多。商店运来橘子多少箱？ 【对应练习3】 爱家超市果蔬区运进300千克水果，运来苹果的质量是水果总质量的，苹果比砂糖橘少，爱家超市果蔬区运进多少千克砂糖橘？ 【考点五】分数除法混合型问题其二。 【方法点拨】 分数除法混合型问题，需要我们掌握熟练掌握多种基本问题的解题方法，灵活应用。 【典型例题】 六年级三个班的学生共同植树，一班植树80棵，比二班少植，三班植树的棵数比二班多，三班植树多少棵？ 【对应练习1】 在“勿忘国耻圆梦中华”征文活动中，六（1）班选送了24篇，六（2）班选送的篇数比六（1）班多，比六（3）班少。六（3）班选送了多少篇？ 【对应练习2】 李明、小强和小亮三位同学跳绳。李明跳了120个，小强说：“李明跳的个数比我少”。小亮说“小强跳的个数比我多，”小亮跳了多少个？ 【对应练习3】 学校图书馆里有科技书165本，科技书比文学书少，故事书比文学书多，故事书有多少本？ 【考点六】分数除法混合型问题其三：计算盈利或亏损。 【方法点拨】 分数除法混合型问题，需要我们掌握熟练掌握多种基本问题的解题方法，灵活应用。 【典型例题】 服装店老板刚以相同的价格卖出了2件上衣，其中一件上衣赚了，另一件上衣赔了，你认为老板赚了还是赔了？请写出你的思考过程。 【对应练习1】 某服装店出售甲、乙两品牌服装。甲品牌每件卖240元，可赚；乙品牌每件卖270元，亏。这两个品牌的服装各售出1件，总体是盈利还是亏损？盈（亏）多少元？ 【对应练习2】 李阿姨上午卖出2套时装，每套都是480元，李阿姨说：“第一套时装比原价提高了售出，第二套时装比原价降低了售出。赚的钱和赔的钱正好互相抵消，白忙了一上午！”你认为李阿姨说的话对吗？请用通过计算说明赚了还是赔了？赚了（或赔了）多少钱？ 【对应练习3】 超市今天卖出两件衣服，售价都是180元，但其中一件赚了，另一件亏了。超市今天卖出的这两件衣服，总体是赚了还是亏了？赚（亏）了多少钱？ 【考点七】量率对应问题其一：已知分量差与分率差。 【方法点拨】 该类题型属于量率对应问题的一种，已知分量差和分率差，直接使用量率对应求出单位“1”。 【典型例题】 五一期间，某品牌的一双运动鞋降价后，现价比原价少97元，这双运动鞋原价多少元？ 【对应练习1】 端午期间，水果店卖出一批水果，卖出的苹果比梨多，刚好多卖出了12箱，那么梨有多少箱？ 【对应练习2】 今年小明的年龄比大海大，大海比小明小2岁，小明今年几岁？ 【对应练习3】 五年级男生比女生人数多，女生比男生少8人，五年级有男生多少人？ 【考点八】量率对应问题其二：已知分量和与各自分率。 【方法点拨】 该类题型属于量率对应问题的一种，已知分量和时，需要求出对应的分率和。 【典型例题】 一辆汽车从甲地开往乙地，第1小时行了全程的，第2小时行了全程的，这时共行了140千米。甲乙两地相距多少千米？（列方程解答） 【对应练习1】 某修路队修一条公路，第一天修了全长的，第二天修了全长的，两天共修了240米。这条路全长多少米？ 【对应练习2】 小明看一本书，第一天看了全书的，第二天看了全书的，两天一共看了72页。这本书共有多少页？ 【对应练习3】 修路队修一条路，第一周修了全长的，第二周修了全长的，两周一共修了220米，这条公路全长多少米？ 【考点九】量率对应问题其三：已知分率和与各自分量。 【方法点拨】 已知分率和时，需要求出对应的分量和，再根据量率对应求出单位“1”。 【典型例题1】分率和。 修路队修一段公路，第一天修了50米，第二天修了70米，两天正好修了全长的，这段路共多少米？ 【对应练习1】 爸爸给明明一些钱，明明买外套花了80元，买裤子花了50元。买这两样衣物花的钱是爸爸给明明钱的，爸爸给明明多少钱？ 【对应练习2】 一批书，第一天卖出180本，第二天卖出270本，这时卖出的书是总数的。这批书一共有多少本？ 【对应练习3】 一条公路，修路队第一天修了20米，第二天修了24米，两天共修了这条公路的，这条公路全长多少米？ 【考点十】量率对应问题其四：已知分量差与各自分率。 【方法点拨】 该类题型属于量率对应问题的一种，解决该类型题的关键是先求出两个量的分率差，再根据量率对应求出单位“1”。 【典型例题】 新学期开学时，小明把他积蓄的用来买文具，用来买课外读物，他发现买课外读物的钱比买文具多花了20元，小明有积蓄多少钱？ 【对应练习1】 李老师打一篇稿件，第一天打了这篇稿件的，第二天打了这篇稿件的，第二天比第一天多打了9页。这篇稿件一共有多少页？ 【对应练习2】 小红读一本故事书，第一天读了，第二天读了，第二天比第一天多读了17页，这本故事书共有多少页？ 【对应练习3】 修一条路，第一天修了全长的，第二天修了全长的，第一天比第二天多修200米。这条路长多少米？ 【考点十一】量率对应问题其五：已知分率差与各自分量。 【方法点拨】 该类题型属于量率对应问题的一种，解决该类型题的关键是先求出两个量的分量差，再根据量率对应求出单位“1”。 【典型例题】 修路队修一条路，第一天修了36米，第二天修了44米，第二天比第一天多修的相当于这条路全长的，这条路全长多少米？ 【对应练习1】 小红看一本故事书。第一天看了45页，第二天看了85页，第二天看的页数比第一天多看这本书的。这本书一共有多少页？ 【对应练习2】 有一袋米，第一周吃了20千克，第二周吃了12千克，第一周比第二周多吃这袋米的。这袋大米原有多少千克？ 【对应练习3】 水果店运一批水果。第一次运了20千克，第二次运了40千克，第二次比第一次多运这批水果的。这批水果共有多少千克？ 【考点十二】量率对应问题其六：已知分量差与其中一个分率。 【方法点拨】 该类题型属于量率对应问题的一种，解决该类型题的关键在于求出对应分量的分率差，再根据量率对应求出单位“1”。 【典型例题】 一批水果，卖出这批水果的，这时剩下的比卖出的多150千克。这批水果还剩多少千克？ 【对应练习1】 公园里大猴的只数是小猴的，小猴比大猴多15只。求小猴有多少只？ 【对应练习2】 师徒两人合做一批零件，徒弟做了总数的，比师傅少做21个，这批零件有多少个？ 【对应练习3】 小英看一本书，第一天看了全书的，第二天比第一天少13页，这时还有一半没有看，这本书有多少页？ 【考点十三】量率对应问题其七：已知分量和与分率关系。 【方法点拨】 该类题型属于量率对应问题的一种，已知两个量的分量和及两个量之间的分率关系，关键在于通过设单位“1”，表示出两个量的分率和，再使用量率对应求出单位“1”。 【典型例题1】基础型。 小明买了一个笔记本和一支钢笔，共花了24元，其中笔记本的价格正好是钢笔价格的，一个笔记本和一支钢笔的价格各是多少元？ 【对应练习1】 菲菲家的鱼缸中有红、黑两种颜色的金鱼共32条。其中红金鱼的条数是黑金鱼的。鱼缸中黑金鱼有多少条？ 【对应练习2】 学校开展“5＋2”课后服务，参加艺术和体育两类社团的人数共540人，其中参加艺术社团的人数是体育社团的。参加这两类社团的人数各多少人？（温馨提示：先画线段图分析，再列式解答） 【对应练习3】 某校在今年的红十字捐款活动中，师生共捐款48000元，教师的捐款是学生捐款的，教师和学生各捐款多少元？ 【典型例题2】拓展型。 今年植树节六年级共植树280棵，男生植树棵数比女生的多10棵，六年级女生共植树多少棵？ 【对应练习1】 班级图书角有科技书和故事书共110本，已知科技书比故事书的多5本。两种书各有多少本？（列方程解答） 【对应练习2】 实验小学今年春季共种杨树、柳树240棵，其中杨树的棵数比柳树棵数的少20棵，柳树种了多少棵？ 【对应练习3】 为打造“书香班级”，六（1）班图书角购进历史类和文学类新书共360本，其中历史类的图书比文学类的多15本，两类图书各多少本？（用两种方法解答） 【考点十四】量率对应问题其八：已知分量差与分率关系。 【方法点拨】 该类题型属于量率对应问题的一种，已知两个量的分量差及两个量之间的分率关系，关键在于通过设单位“1”，表示出两个量的分率差，再使用量率对应求出单位“1”。 【典型例题】 鲜蜜果园的橘子树比枇杷树多120棵，已知枇杷树的棵数是橘子树的。鲜蜜果园的枇杷树有多少棵？ 【对应练习1】 仓库里篮球的个数是足球的，足球比篮球多12个，足球和篮球各有多少个？ 【对应练习2】 某小学女教师人数比男教师多14人，男教师人数是女教师的，这所小学男、女教师各有多少人？（先画线段图，然后写出等量关系，再列方程解答。） 线段图： 等量关系： 【对应练习3】 学校购置体育器材，买进的篮球比足球多8个，已知买来的足球个数是篮球的，学校买来篮球和足球各多少个？ 【考点十五】量率对应问题其九：已知分量和与分率差。 【方法点拨】 该类题型属于量率对应问题的一种，解决该类型题关键在于通过设单位“1”表示出另一个分率，再求出分率和，最后根据量率对应求出单位“1”。 【典型例题】 国庆期间，我校共有660名学生观看了阅兵仪式直播，其中观看阅兵仪式直播的男生人数比女生人数多，观看阅兵仪式直播的女生有多少人？ 【对应练习1】 在新型冠状病毒防控期间，李叔叔和王叔叔都主动参与到抗击疫情的捐款活动当中。两人共捐款540元，已知李叔叔捐的钱比王叔叔多。王叔叔捐款多少元？ 【对应练习2】 实验小学六年级有学生450人，女生人数比男生人数多。实验小学六年级有男生、女生各有多少人？（列方程解） 【对应练习3】 某工程队用两天时间修筑一条公路，两天一共修了210千米。第一天比第二天少 修。第二天修了多少米？ 【考点十六】量率对应问题其十：已知剩余分量。 【方法点拨】 该类题型属于量率对应问题的一种，解决该类型题的关键在于求出剩余分率，再根据量率对应求出单位“1”。 【典型例题1】基础型。 工地有一批水泥，第一天运走，第二天运走，还剩下25吨，这批水泥有多少吨？ 【对应练习1】 信达工程队要修一条公路，第一季度修了全长的，第二季度修了全长的，这时还剩下28千米没修，这条公路全长多少千米？ 【对应练习2】 果园里有一批苹果，上午运走全部的，下午运走全部的，还剩下140千克没运。这批苹果共有多少千克？ 【对应练习3】 小丽看一本故事书，第一天看了11页，第二天看了，还剩下45页没看。这本书一共有多少页？ 【典型例题2】拓展型。 读一本书，第一天读了这本书的还多1页，第二天读了这本书的还少2页，最后还剩283页没有读，这本书共有多少页？ 【对应练习】 小明看一本书，第一次看的比全书的少7页，第二次看了比全书的多5页，还剩下267页没看。这本书一共有多少页？ 【考点十七】量率对应问题其十一：已知剩余分率。 【方法点拨】 该类题型属于量率对应问题的一种，解决该类型题的关键在于求出剩余分量，再根据量率对应求出单位“1”。 【典型例题】 修路队修一段公路，第一天修了320米，第二天修了400米，还剩下这段路的。这段公路全长多少米？ 【对应练习1】 赵师傅安装电话，一捆电话线第一次用去了16米，第二次用去了12米，还剩下这捆电话线的。这捆电话线原来长多少米？ 【对应练习2】 修路队修一条路，第一周修了2.5千米，第二周修了2千米，还剩下没有修，这条路长多少千米？ 【对应练习3】 有一批煤，上午运走210吨，下午运走330吨，还剩下总数的，这批煤共有多少吨？ 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2024年9月26日 2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列 第二单元分数混合运算·应用提高篇【十七大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第二单元分数混合运算·应用提高篇 专题内容 本专题以分数混合运算的实际应用为主，其中包括分数乘法和分数除法的典型问题。 总体评价 讲解建议 建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解部分考点考题。 考点数量 十七个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】分数乘法混合型问题 4 【考点二】分数乘法中的分率变化问题其一 6 【考点三】分数乘法中的分率变化问题其二 8 【考点四】分数除法混合型问题其一 10 【考点五】分数除法混合型问题其二 13 【考点六】分数除法混合型问题其三：计算盈利或亏损 16 【考点七】量率对应问题其一：已知分量差与分率差 20 【考点八】量率对应问题其二：已知分量和与各自分率 21 【考点九】量率对应问题其三：已知分率和与各自分量 23 【考点十】量率对应问题其四：已知分量差与各自分率 25 【考点十一】量率对应问题其五：已知分率差与各自分量 27 【考点十二】量率对应问题其六：已知分量差与其中一个分率 29 【考点十三】量率对应问题其七：已知分量和与分率关系 31 【考点十四】量率对应问题其八：已知分量差与分率关系 37 【考点十五】量率对应问题其九：已知分量和与分率差 40 【考点十六】量率对应问题其十：已知剩余分量 42 【考点十七】量率对应问题其十一：已知剩余分率 45 【第三篇】典型例题篇 【考点一】分数乘法混合型问题。 【方法点拨】 1.单位“1”×（1+分率）=一个数。 2.单位“1”×（1-分率）=一个数。 【典型例题】 一台电视机原价是2400元，先提价后再降价销售，现在的售价比原价高还是比原价低？ 【答案】低 【分析】根据题意，把原价看作单位“1”，则提价后的价格＝原价×（1＋），然后把提价后的价格看作单位“1”，降价后的价格＝提价后的价格×（1－），把数代入计算出降价后的价格，再与原价比较即可得出结论。 【详解】2400×（1＋） ＝2400× ＝2640（元） 2640×（1－） ＝2640× ＝2376（元） 2400＞2376，现在售价比原价低。 答：现在的售价比原价低。 【对应练习1】 一台原价为3000元的冰箱，在国庆节期间降价，国庆节后又提价。这台冰箱的现价为多少元？ 【答案】2970元 【分析】先把这台冰箱的原来价格看作单位“1”，在国庆节期间降价，降价后的价格是原来价格的（1－），用这台冰箱的原来价格×（1－），求出降价后冰箱的价格；再把降价后冰箱的价格看作单位“1”，国庆节之后又提价，提价后的价格是降价后价格的（1＋），再用降价后冰箱的价格（1＋），即可求出这台冰箱现在的价格。 【详解】 ＝ ＝ ＝2970（元） 答：这台冰箱的现价为2970元。 【对应练习2】 某品牌电脑正式上市之后，掀起了一股“国产化”电脑热潮。某门店“五一”促销，降价销售，节后又涨价。这种电脑现在的价格是多少元？ 【答案】4950元 【分析】把某品牌电脑的原价看作单位“1”，先降价，则降价后的价格是原价的（1－），单位“1”已知，用原价乘（1－），求出降价后的价格； 又涨价，是把降价后的价格看作单位“1”，涨价后的价格是降价后价格的（1＋）；单位“1”已知，用降价后价格乘（1＋），求出现价。 【详解】 5000×（1－）×（1＋） ＝5000×× ＝4500× ＝4950（元） 答：这种电脑现在的价格是4950元。 【对应练习3】 李老师发高烧到39℃，吃完药后体温下降了，停药1天后，体温又上升了，现在李老师还发烧吗？（一般体温超过37.5℃算发烧） 【答案】发烧 【分析】把高烧的体温看作单位“1”，下降后的体温是高烧的体温的（1－），用高烧的体温39乘（1－），求出下降后的体温；再把下降后的体温看作单位“1”，又上升的体温是下降后体温的（1＋），用下降后的体温×（1＋），求出又上升的体温，再和37.5℃比较，即可解答。 【详解】39×（1－）×（1＋） ＝39×× ＝36× ＝38（℃） 38℃＞37.5℃，李老师还发烧。 答：李老师还发烧。 【考点二】分数乘法中的分率变化问题其一。 【方法点拨】 根据问题所求的分量，可以先求出分率，再求分量。 【典型例题】 2016年植树节，学校领回了600棵树苗，分给了六年级全部树苗的，余下树苗分给了五年级，五年级分得了多少棵树苗？ 【答案】360棵 【分析】把全部树苗的数量看作单位“1”，分给了六年级全部树苗的，则分给五年级全部树苗的（1－），再根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算即可。 【详解】600×（1－） ＝600× ＝360（棵） 答：五年级分得了360棵树苗。 【点睛】本题考查求一个数的几分之几是多少，明确用乘法是解题的关键。 【对应练习1】 在2022年北京冬奥会期间，某商场进了880个“冰墩墩”吉祥物玩偶，卖完这批玩偶用了3天。第一天卖了这批玩偶的，其余的在第二天和第三天卖完，该商场第二天和第三天共卖了多少个“冰墩墩”吉祥物玩偶？ 【答案】660个 【分析】把这批吉祥物玩偶的总数量看作单位“1”，已知第一天卖了这批玩偶的，其余的在第二天和第三天卖完，则第二天和第三天共卖了这批玩偶的；根据分数乘法的意义，用即可求出第二天和第三天共卖了多少个“冰墩墩”吉祥物玩偶。 【详解】 ＝ ＝（个） 答：商场第二天和第三天共卖了660个“冰墩墩”吉祥物玩偶。 【点睛】本题主要考查了分数乘法的应用，明确求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。 【对应练习2】 明明读一本100页的数学书，第一天读了这本书的，第二天读了这本的，明明还剩多少页没有读？ 【答案】40页 【分析】将这本数学书看作单位“1”，利用减法求出剩下的占这本书的几分之几。将书的总页数100页乘剩下的分率，求出具体还剩下多少页没有读。 【详解】100×（1－－） ＝100× ＝40（页） 答：明明还剩40页没有读。 【点睛】本题考查了分数乘法应用题，求一个数的几分之几是多少，用这个数乘分率。 【对应练习3】 一本故事书共100页，第一天看了它的，第二天看了它的，还有多少页没看？ 【答案】35页 【分析】把这本故事书的总页数看作单位“1”，第一天看了它的，第二天看了它的，则还剩下它的（1－－）。根据分数乘法的意义，用这本书的页数乘（1－－）就是还没看的页数。 【详解】100×（1－－） ＝100×（1－－） ＝100× ＝35（页） 答：还有35页没看。 【点睛】此题主要考查了分数乘法的应用。求一个数的几分之几是多少，用这个数乘分率。 【考点三】分数乘法中的分率变化问题其二。 【方法点拨】 根据问题所求的分量，可以先求出分率，再求分量。 【典型例题】 一堆西瓜共2100千克，第一天运走了全部的，第二天运走了全部的，两天共运走了多少千克？ 【答案】1225千克 【分析】求一个数的几分之几是多少，用乘法，用这堆西瓜的总重量乘，求出第一天运走了多少千克，用这堆西瓜的总重量乘，求出第二天运走了多少千克，把两天运走的重量加起来即可得解。 【详解】2100×＋2100× ＝525＋700 ＝1225（千克） 答：两天共运走1225千克。 【点睛】此题的解题关键是掌握求一个数的几分之几是多少的计算方法。 【对应练习1】 一本书有108页，张成第一天看了全书的，第二天看了全书的，两天一共看了多少页？ 【答案】60页 【分析】将这本书总页数看作单位“1”，求两天共看多少页，就是求单位“1”的（）是多少，应用分数乘法解答。 【详解】108×（） ＝108×＋108× ＝24＋36 ＝60（页） 答：两天一共看了60页。 【点睛】求一个数的几分之几是多少，用这个数乘分数进行计算。 【对应练习2】 修一条长480米的水渠，第一天修了全长的，第二天修了全长的，两天一共修了多少米？ 【答案】260米 【分析】由题意可知，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，据此分别求出第一天和第二天修的长度，再相加即可。 【详解】480×＋480× ＝200＋60 ＝260（米） 答：两天一共修了260米。 【点睛】本题考查求一个数的几分之几是多少，明确用乘法是解题的关键。 【对应练习3】 一本200页的书，第一天看了全书的，第二天看了全书的，第三天从第几页看起？ 【答案】 【分析】求一个数的几分之几是多少的问题的解法：一个数（单位“1”的量）×几分之几＝比较量。据此先用200×求出第一天看的页数，再用200×求出第二天看的页数，最后用两天看的页数和＋1即可求出第三天从第几页看起。 【详解】 ＝25＋50＋1 ＝76（页） 答：第三天从第76页看起。 【点睛】确定单位“1”的量是解决分数问题的关键。单位“1”已知，用乘法解答；单位“1”未知，用除法解答。 【考点四】分数除法混合型问题其一。 【方法点拨】 分数除法混合型问题，需要我们掌握熟练掌握多种基本问题的解题方法，灵活应用。 【典型例题】 某水果店运来600千克梨。运来的苹果的质量相当于梨的，苹果的质量又比橘子的质量多。水果店运来的橘子有多少千克？ 【答案】300千克 【分析】将梨的质量看作单位“1”，梨的质量×苹果的对应分率＝苹果质量；再将橘子质量看作单位“1”，苹果质量是橘子的（1＋），苹果质量÷对应分率＝橘子质量，据此列式解答。 【详解】600×÷（1＋） ＝500÷ ＝500× ＝300（千克） 答：水果店运来的橘子有300千克。 【对应练习1】 阳阳妈妈的体重是55千克，她的体重比阳阳爸爸的体重轻。阳阳的体重正好是妈妈的。爸爸和阳阳的体重各是多少千克？ 【答案】爸爸：60千克；阳阳：33千克 【分析】把阳阳爸爸的体重看作单位“1”，阳阳妈妈的体重是阳阳爸爸体重的（1－），对应的是妈妈的体重55千克，求单位“1”，用妈妈的体重÷（1－），即可求出阳阳爸爸的体重； 把阳阳妈妈的体重看作单位“1”，阳阳的体重是妈妈的，用妈妈的体重×，即可求出阳阳的体重。 【详解】55÷（1－） ＝55÷ ＝55× ＝60（千克） 55×＝33（千克） 答：爸爸的体重是60千克，阳阳的体重是33千克。 【对应练习2】 超市运来一批水果，其中苹果60箱，梨的箱数是苹果的，同时又比橘子多。商店运来橘子多少箱？ 【答案】30箱 【分析】已知苹果60箱，梨的箱数是苹果的，把苹果的箱数看作单位“1”，单位“1”已知，用苹果的箱数乘，即可求出梨的箱数； 又已知梨的箱数比橘子多，把橘子的箱数看作单位“1”，则梨的箱数是橘子的（1＋），单位“1”未知，用梨的箱数除以（1＋），求出橘子的箱数。 【详解】60×＝45（箱） 45÷（1＋） ＝45÷ ＝45× ＝30（箱） 答：商店运来橘子30箱。 【对应练习3】 爱家超市果蔬区运进300千克水果，运来苹果的质量是水果总质量的，苹果比砂糖橘少，爱家超市果蔬区运进多少千克砂糖橘？ 【答案】180千克 【分析】先把水果的总质量看作单位“1”，苹果的质量是水果总质量的，单位“1”已知，用水果的总质量乘，求出苹果的质量； 再把砂糖橘的质量看作单位“1”，苹果比砂糖橘少，则苹果的质量是砂糖橘的（1－），单位“1”未知，用苹果的质量除以（1－），即可求出砂糖橘的质量。 【详解】苹果： 300×＝120（千克） 砂糖橘： 120÷（1－） ＝120÷ ＝120× ＝180（千克） 答：爱家超市果蔬区运进180千克砂糖橘。 【考点五】分数除法混合型问题其二。 【方法点拨】 分数除法混合型问题，需要我们掌握熟练掌握多种基本问题的解题方法，灵活应用。 【典型例题】 六年级三个班的学生共同植树，一班植树80棵，比二班少植，三班植树的棵数比二班多，三班植树多少棵？ 【答案】99棵 【分析】把二班植树的棵数看作单位“1”，一班植树的棵数是二班的（1－），是80棵，所以二班植树[80÷（1－）]棵，由“三班植树的棵数比二班多”可知，三班植树的棵数是二班的（1＋），用二班的棵数乘（1＋），即可求出三班植树的棵数。 【详解】80÷（1－）×（1＋） ＝80÷× ＝90× ＝99（棵） 答：三班植树99棵。 【点睛】找出一班、二班和三班植树棵数的关系，求出二班植树的棵数，是解答此题的关键。 【对应练习1】 在“勿忘国耻圆梦中华”征文活动中，六（1）班选送了24篇，六（2）班选送的篇数比六（1）班多，比六（3）班少。六（3）班选送了多少篇？ 【答案】36篇 【分析】已知六（2）班选送的篇数比六（1）班多，先把六（1）班选送的篇数看作单位“1”，则六（2）班选送的篇数是六（1）班的（1＋）；单位“1”已知，用六（1）班选送的篇数乘（1＋），求出六（2）班选送的篇数； 又已知六（2）班选送的篇数比六（3）班少，再把六（3）班选送的篇数看作单位“1”，则六（2）班选送的篇数是六（3）班的（1－）；单位“1”未知，用六（2）班选送的篇数除以（1－），求出六（3）班选送的篇数。 【详解】六（2）班： 24×（1＋） ＝24× ＝30（篇） 六（3）班： 30÷（1－） ＝30÷ ＝30× ＝36（篇） 答：六（3）班选送了36篇。 【点睛】本题考查分数乘除法的应用，明确求比一个数多或少几分之几的数是多少，用乘法计算；已知比一个数多或少几分之几是多少，求这个数，用除法计算。 【对应练习2】 李明、小强和小亮三位同学跳绳。李明跳了120个，小强说：“李明跳的个数比我少”。小亮说“小强跳的个数比我多，”小亮跳了多少个？ 【答案】140个 【分析】要计算小亮的跳绳个数需要先求出小强的跳绳个数，把小强的跳绳个数看作单位“1”，李明的跳绳个数占小强的（1－），根据“量÷对应的分率”求出小强的跳绳个数，再把小亮的跳绳个数看作单位“1”，小强的跳绳个数占小亮的（1＋），小亮的跳绳个数＝小强的跳绳个数÷（1＋），据此解答。 【详解】小强：120÷（1－） ＝120÷ ＝160（个） 小亮：160÷（1＋） ＝160÷ ＝140（个） 答：小亮跳了140个。 【点睛】本题主要考查分数除法的应用，找出量和对应的分率是解答题目的关键。 【对应练习3】 学校图书馆里有科技书165本，科技书比文学书少，故事书比文学书多，故事书有多少本？ 【答案】273本 【分析】根据“科技书比文学书少”可知：文学书的本数是单位“1”，单位“1”未知用除法解答。已知比一个数少几分之几的数是多少，求这个数的解题方法：已知量÷（1－比单位“1”少的分率）＝单位“1”的量，即科技书的本数÷（1－）＝文学书的本数。 根据“故事书比文学书多”可知：文学书的本数是单位“1”，单位“1”已知用乘法解答。求比一个数多几分之几的数是多少的解题方法：单位“1”的量×（1＋比单位“1”多的分率）＝这个数量，即文学书的本数×（1＋）＝故事书的本数。 【详解】165÷（1－）× ＝165× ＝165×× ＝231× ＝273（本） 答：故事书有273本。 【点睛】确定单位“1”的量是解决分数问题的关键。单位“1”已知，用乘法解答；单位“1”未知，用除法解答。 【考点六】分数除法混合型问题其三：计算盈利或亏损。 【方法点拨】 分数除法混合型问题，需要我们掌握熟练掌握多种基本问题的解题方法，灵活应用。 【典型例题】 服装店老板刚以相同的价格卖出了2件上衣，其中一件上衣赚了，另一件上衣赔了，你认为老板赚了还是赔了？请写出你的思考过程。 【答案】赔了；思考过程见详解 【分析】假设2件上衣的售价都是99元，则一件上衣赚了，相当于进价的（1＋）是99元，另一件上衣赔了，相当于进价的（1－）是99元，已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法解答，据此分别用除法求出2件上衣的进价，再和卖价比较即可解答。 【详解】假设2件上衣的售价都是99元。 99÷（1＋） ＝99÷ ＝99× ＝90（元） 99÷（1－） ＝99÷ ＝99× ＝110（元） 赚了：99－90＝9（元） 赔了：110－99＝11（元） 9＜11 答：赔了。 【对应练习1】 某服装店出售甲、乙两品牌服装。甲品牌每件卖240元，可赚；乙品牌每件卖270元，亏。这两个品牌的服装各售出1件，总体是盈利还是亏损？盈（亏）多少元？ 【答案】盈利；10元 【分析】甲品牌每件卖240元，可赚，是将甲品牌的进价看作单位“1”，则卖价所占的分率为（1＋），根据分数除法的意义，已知卖价的具体数值和其对应的分率，求单位“1”用除法，即用240÷（1＋）可求出甲品牌的进价，再用卖价减去进价，求出甲品牌赚了多少钱； 乙品牌每件卖270元，亏，是将乙品牌的进价看作单位“1”，则卖价所占的分率为（1－），根据分数除法的意义，已知卖价的具体数值和其对应的分率，求单位“1”用除法，即用270÷（1－）可求出乙品牌的进价，再用进价减去售价，求出乙品牌亏了多少钱； 用甲品牌赚的钱和乙品牌亏的钱进行比较，即可得出究竟是盈利还是亏损，并且盈（亏）多少元。 【详解】由分析可得； 240÷（1＋） ＝240÷ ＝240× ＝200（元） 240－200＝40（元） 270÷（1－）－270 ＝270÷－270 ＝270×－270 ＝300－270 ＝30（元） 甲品牌赚40元，乙品牌亏30元，40＞30，所以是盈利； 40－30＝10（元） 答：总体是盈利，盈10元。 【对应练习2】 李阿姨上午卖出2套时装，每套都是480元，李阿姨说：“第一套时装比原价提高了售出，第二套时装比原价降低了售出。赚的钱和赔的钱正好互相抵消，白忙了一上午！”你认为李阿姨说的话对吗？请用通过计算说明赚了还是赔了？赚了（或赔了）多少钱？ 【答案】不对；赚了；66.7元 【分析】分别将两件时装的原价看作单位“1”，先用480除以（1＋），求出第一件时装的原价；再用480除以（1－），求出第二件时装的原价；然后用两件时装的原价和与480元的2倍比较大小，确定赚了还是赔了，然后求差，即可确定赚或赔的钱数。 【详解】480÷（1＋） ＝480÷ ＝480× ≈426.7（元） 480÷（1－） ＝480÷ ＝480× ＝600（元） 426.7＋600－480×2 ＝426.7＋600－960 ＝1026.7－960 ＝66.7（元） 答：李阿姨赚了66.7元。 【对应练习3】 超市今天卖出两件衣服，售价都是180元，但其中一件赚了，另一件亏了。超市今天卖出的这两件衣服，总体是赚了还是亏了？赚（亏）了多少钱？ 【答案】亏了；15元 【分析】根据题意，售价都是180元的两件衣服，第一件赚了，即售价比进价高，把第一件衣服的进价看作单位“1”，则售价是进价的（1＋），单位“1”未知，用售价除以（1＋），求出第一件衣服的进价； 第二件亏了，即售价比进价低，把第二件衣服的进价看作单位“1”，则售价是进价的（1－），单位“1”未知，用售价除以（1－），求出第二件衣服的进价； 然后分别用加法求出两件衣服的总进价与总售价，再比较，如果总售价大于总进价，则赚了；如果总售价小于总进价，则亏了； 最后用减法求出两件衣服的总售价与总进价的差值，即可求出总体赚了或亏了多少钱。 【详解】第一件衣服的进价： 180÷（1＋） ＝180÷ ＝180× ＝150（元） 第二件衣服的进价： 180÷（1－） ＝180÷ ＝180× ＝225（元） 两件衣服的总进价：150＋225＝375（元） 两件衣服的总售价：180×2＝360（元） 360＜375 亏了：375－360＝15（元） 答：超市今天卖出的这两件衣服，总体是亏了，亏了15元。 【点睛】理解“赚了”和“亏了”的意思，找出单位“1”，单位“1”未知，根据分数除法的意义分别求出两件衣服的进价是解题的关键。 【考点七】量率对应问题其一：已知分量差与分率差。 【方法点拨】 该类题型属于量率对应问题的一种，已知分量差和分率差，直接使用量率对应求出单位“1”。 【典型例题】 五一期间，某品牌的一双运动鞋降价后，现价比原价少97元，这双运动鞋原价多少元？ 解析： 97÷＝97×7＝679（元） 答：这双运动鞋原价679元。 【对应练习1】 端午期间，水果店卖出一批水果，卖出的苹果比梨多，刚好多卖出了12箱，那么梨有多少箱？ 解析： 12÷＝42（箱） 答：梨有42箱。 【对应练习2】 今年小明的年龄比大海大，大海比小明小2岁，小明今年几岁？ 解析：大海：2÷=12（岁） 小明：12+2=14（岁） 答：略。 【对应练习3】 五年级男生比女生人数多，女生比男生少8人，五年级有男生多少人？ 解析：女生：8÷=32（人） 男生：32+8=40（人） 答：略。 【考点八】量率对应问题其二：已知分量和与各自分率。 【方法点拨】 该类题型属于量率对应问题的一种，已知分量和时，需要求出对应的分率和。 【典型例题】 一辆汽车从甲地开往乙地，第1小时行了全程的，第2小时行了全程的，这时共行了140千米。甲乙两地相距多少千米？（列方程解答） 【答案】240千米 【分析】假设甲乙两地相距x千米，第1小时行了全程的，第2小时行了全程的，求一个数的几分之几是多少，用乘法，所以用x×和x×分别表示出第1小时和第2小时行驶的路程，把这2小时行驶的路程加起来等于140千米，据此列出方程，解方程即可得解。 【详解】解：设甲乙两地相距x千米。 x＋x＝140 x＋x＝140 x＝140 x＝140÷ x＝140× x＝240 答：甲乙两地相距240千米。 【点睛】此题的解题关键是弄清题意，把甲乙两地的距离设为未知数x，找出题中数量间的相等关系，列出包含x的等式，解方程得到最终的结果。 【对应练习1】 某修路队修一条公路，第一天修了全长的，第二天修了全长的，两天共修了240米。这条路全长多少米？ 【答案】320米 【分析】由题意可知，先求出两天共修全长的＋，正好对应修了240米，根据分数除法的意义，用除法解答即可。 【详解】240÷（＋） ＝240÷ ＝320（米） 答：这条路全长320米。 【点睛】本题考查分数除法，明确部分的量÷所对应的分率＝单位“1”的量是解题的关键。 【对应练习2】 小明看一本书，第一天看了全书的，第二天看了全书的，两天一共看了72页。这本书共有多少页？ 【答案】105页 【分析】把全书的总页数看作单位“1”，用＋即可求出两天一共看了全书的几分之几；根据分数除法的意义，用72÷（＋）即可求出总页数。 【详解】72÷（＋） ＝72÷ ＝72× ＝105（页） 答：这本书共有105页。 【点睛】本题考查了分数除法的计算和应用，明确已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算。 【对应练习3】 修路队修一条路，第一周修了全长的，第二周修了全长的，两周一共修了220米，这条公路全长多少米？ 【答案】440米 【分析】把这条路的全长看作单位“1”，则两周共修了全长的（＋）对应的数量是220米，根据分数除法的意义，用除法即可求出全长。 【详解】220÷（＋） ＝220÷ ＝440（米） 答：这条公路全长440米。 【点睛】此题考查了分数除法的应用，明确已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法。 【考点九】量率对应问题其三：已知分率和与各自分量。 【方法点拨】 已知分率和时，需要求出对应的分量和，再根据量率对应求出单位“1”。 【典型例题1】分率和。 修路队修一段公路，第一天修了50米，第二天修了70米，两天正好修了全长的，这段路共多少米？ 【答案】280米 【分析】把这段公路的全长看作单位“1”，已知两天一共修了（50＋70）米，正好修了全长的，单位“1”未知，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用两天一共修的长度除以，即可求出这段公路的全长。 【详解】（50＋70）÷ ＝120÷ ＝120× ＝280（米） 答：这段路共280米。 【点睛】本题考查分数除法的应用，找出单位“1”，单位“1”未知，根据分数除法的意义解答。 【对应练习1】 爸爸给明明一些钱，明明买外套花了80元，买裤子花了50元。买这两样衣物花的钱是爸爸给明明钱的，爸爸给明明多少钱？ 解析： ＝ ＝195（元） 答：爸爸给了明明195元。 【对应练习2】 一批书，第一天卖出180本，第二天卖出270本，这时卖出的书是总数的。这批书一共有多少本？ 解析： （180＋270）÷ ＝450÷ ＝1350（本） 答：这批书共有1350本。 【对应练习3】 一条公路，修路队第一天修了20米，第二天修了24米，两天共修了这条公路的，这条公路全长多少米？ 【答案】99米 【分析】把这条公路的总长度看作单位“1”，把第一天和第二天修的具体长度加起来，等于（20＋24）米，对应着两天修的长度占总长度的，根据量÷对应的分率＝单位“1”，代入数据，即可求出这条公路的全长是多少米。 【详解】（20＋24）÷ ＝44÷ ＝99（米） 答：这条公路全长99米。 【点睛】本题考查分数除法的应用，找出量和对应的分率是解答题目的关键。 【考点十】量率对应问题其四：已知分量差与各自分率。 【方法点拨】 该类题型属于量率对应问题的一种，解决该类型题的关键是先求出两个量的分率差，再根据量率对应求出单位“1”。 【典型例题】 新学期开学时，小明把他积蓄的用来买文具，用来买课外读物，他发现买课外读物的钱比买文具多花了20元，小明有积蓄多少钱？ 【答案】400元 【分析】把小明的积蓄看作单位“1”，买课外读物用的钱数比买文具用的钱数多占积蓄的（－），且买课外读物比买文具多花20元，根据量÷对应的分率＝单位“1”求出小明的积蓄，据此解答。 【详解】20÷（－） ＝20÷ ＝20×20 ＝400（元） 答：小明有积蓄400元。 【点睛】本题主要考查分数除法的应用，找出量和对应的分率是解答题目的关键。 【对应练习1】 李老师打一篇稿件，第一天打了这篇稿件的，第二天打了这篇稿件的，第二天比第一天多打了9页。这篇稿件一共有多少页？ 【答案】60页 【分析】将这篇稿件总页数看作单位“1”，第二天比第一天多打了这篇稿件的（－），且第二天比第一天多打了9页，第二天比第一天多打的页数÷对应分率＝总页数，据此列式解答。 【详解】9÷（－） ＝9÷ ＝60（页） 答：这篇稿件一共有60页。 【点睛】关键是确定单位“1”，部分数量÷对应分率＝整体数量。 【对应练习2】 小红读一本故事书，第一天读了，第二天读了，第二天比第一天多读了17页，这本故事书共有多少页？ 【答案】68页 【分析】把这本故事书的总页数看作单位“1”，第二天比第一天多读17页占总页数的（－），单位“1”未知，用第二天比第一天多读的页数除以（－），即可求出这本故事书的总页数。 【详解】17÷（－） ＝17÷（－） ＝17÷ ＝17×4 ＝68（页） 答：这本故事书共有68页。 【点睛】找准单位“1”，单位“1”未知，用具体的量除以它对应的分率，求出单位“1”的量。 【对应练习3】 修一条路，第一天修了全长的，第二天修了全长的，第一天比第二天多修200米。这条路长多少米？ 【答案】2400米 【分析】把路的长度看作单位“1”，先求出第一天比第二天多修路长度占总长度的分率，也就是200米占总长度的分率，依据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法，以此解答。 【详解】200÷（－） ＝200÷ ＝2400（米） 答：这条路长2400米。 【点睛】此题主要考查了分数除法的实际应用，其中需要掌握已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法。 【考点十一】量率对应问题其五：已知分率差与各自分量。 【方法点拨】 该类题型属于量率对应问题的一种，解决该类型题的关键是先求出两个量的分量差，再根据量率对应求出单位“1”。 【典型例题】 修路队修一条路，第一天修了36米，第二天修了44米，第二天比第一天多修的相当于这条路全长的，这条路全长多少米？ 【答案】208米 【分析】由“第二天比第一天多修的相当于这条路全长的”可知，这条路的全长是单位“1”，求这条路的全长。已知一个数的几分之几是多少，求这个数的问题的解法：已知量÷已知量占单位“1”的几分之几＝单位“1”的量。先用44－36求出第二天比第一天多修8米；8米所对应的分率是，用8÷可求出这条路的全长。 【详解】（44－36）÷ ＝8÷ ＝8×26 ＝208（米） 答：这条路全长208米。 【点睛】确定单位“1”的量是解决分数问题的关键。单位“1”未知，可以列方程解答或者用除法解答。用除法解答时要注意量率对应。 【对应练习1】 小红看一本故事书。第一天看了45页，第二天看了85页，第二天看的页数比第一天多看这本书的。这本书一共有多少页？ 解析：（85-45）÷=200（页） 答：略。 【对应练习2】 有一袋米，第一周吃了20千克，第二周吃了12千克，第一周比第二周多吃这袋米的。这袋大米原有多少千克？ 解析：（20-12）÷=80（千克） 答：略。 【对应练习3】 水果店运一批水果。第一次运了20千克，第二次运了40千克，第二次比第一次多运这批水果的。这批水果共有多少千克？ 解析：（40-20）÷=80（千克） 答：略。 【考点十二】量率对应问题其六：已知分量差与其中一个分率。 【方法点拨】 该类题型属于量率对应问题的一种，解决该类型题的关键在于求出对应分量的分率差，再根据量率对应求出单位“1”。 【典型例题】 一批水果，卖出这批水果的，这时剩下的比卖出的多150千克。这批水果还剩多少千克？ 【答案】450千克 【分析】把这批水果的总数看作单位“1”，卖出这批水果的，剩下这批水果的（1），由此可以150千克相当于这批水果的（1），根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法求出这批水果的总数，然后根据求一个数的几分之几是多少，用乘法求出剩下多少千克。 【详解】150÷（1）×（1） ＝× ＝150×5× ＝750× ＝450（千克） 答：这批水果还剩450千克。 【点睛】此题属于基本的分数乘除法应用题，只要找清单位“1”，利用基本数量关系解决问题。 【对应练习1】 公园里大猴的只数是小猴的，小猴比大猴多15只。求小猴有多少只？ 解析： 小猴： ＝27（只） 大猴：（只） 答：小猴有27只，大猴有12只。 【对应练习2】 师徒两人合做一批零件，徒弟做了总数的，比师傅少做21个，这批零件有多少个？ 解析： 徒弟做了，则师傅做了1-=，徒弟比师傅少-= 师傅：21÷=49（个） 徒弟：49-21=28（个） 一共：49+28=77（个） 答：略。 【对应练习3】 小英看一本书，第一天看了全书的，第二天比第一天少13页，这时还有一半没有看，这本书有多少页？ 解析： 第二天：-= 第二天比第一天少：-= 第一天：13÷=78（页） 第二天：78-13=65（页） 一共：（78+65）×2=286（页） 答：略。 【考点十三】量率对应问题其七：已知分量和与分率关系。 【方法点拨】 该类题型属于量率对应问题的一种，已知两个量的分量和及两个量之间的分率关系，关键在于通过设单位“1”，表示出两个量的分率和，再使用量率对应求出单位“1”。 【典型例题1】基础型。 小明买了一个笔记本和一支钢笔，共花了24元，其中笔记本的价格正好是钢笔价格的，一个笔记本和一支钢笔的价格各是多少元？ 【答案】9元；15元 【分析】将钢笔的价格看成单位“1”，笔记本的价格正好是钢笔价格的，则24元对应钢笔价格的（1＋）＝，根据分数除法的意义，用24÷即可求出一支钢笔的价格；继而求出一个笔记本的价格；据此解答。 【详解】24÷（1＋） ＝24÷ ＝24× ＝15（元） 24－15＝9（元） 答：一个笔记本的价格是9元，一支钢笔的价格是15元。 【点睛】此题考查了分数除法的应用，找出与已知量对应的分率是解答此类问题的关键。 【对应练习1】 菲菲家的鱼缸中有红、黑两种颜色的金鱼共32条。其中红金鱼的条数是黑金鱼的。鱼缸中黑金鱼有多少条？ 【答案】20条 【分析】将黑金鱼的条数看成“单位1”，红金鱼的条数是黑金鱼的，那么红金鱼和黑金鱼的和就是黑金鱼的1＋，已知一个数的几分之几是多少求这个数是多少用除法计算。 【详解】32÷（1＋） ＝32÷ ＝32× ＝20（条） 答：鱼缸中黑金鱼有20条。 【点睛】明确总条数是黑金鱼的几分之几是解题的关键。 【对应练习2】 学校开展“5＋2”课后服务，参加艺术和体育两类社团的人数共540人，其中参加艺术社团的人数是体育社团的。参加这两类社团的人数各多少人？（温馨提示：先画线段图分析，再列式解答） 【答案】参加体育社团的是300人，艺术社团的是240人 【分析】把体育社团的人数看作单位“1”，则艺术社团的人数是，体育社团和艺术社团的总人数是，根据分数除法的意义，用体育社团和艺术社团的总人数除以，就是体育社团的人数；再根据分数乘法的意义，用体育社团的人数乘（或用体育社团和艺术社团的总人数减体育社团的人数），就是艺术社团的人数。据此解答。 【详解】如图：      体育社团的人数： ＝ ＝ ＝（人） 艺术社团的人数：（人） 答：参加体育社团的是300人，艺术社团的是240人。 【点睛】本题考查分数乘、除法的意义及应用，已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用已知数除以它所对应的分率；求一个数的几分之几是多少，用这个数乘分率。 【对应练习3】 某校在今年的红十字捐款活动中，师生共捐款48000元，教师的捐款是学生捐款的，教师和学生各捐款多少元？ 【答案】老师：18000元；学生：30000元 【分析】设学生捐款x元，老师的捐款是学生捐款的，则老师捐款是x元，师生共捐款48000元，即学生捐款＋老师捐款＝师生共捐款，列方程：x＋x＝48000，解方程，即可解答。 【详解】解：设学生捐款x元，则老师捐款x元。 x＋x＝48000 x＝48000 x＝48000÷ x＝48000× x＝30000 老师捐款：30000×＝18000（元） 答：教师捐款18000元，学生捐款30000元。 【点睛】本题考查方程的实际应用，利用老师捐款和学生捐款之间的关系，设出未知数，找出相关的量，列方程，解方程。 【典型例题2】拓展型。 今年植树节六年级共植树280棵，男生植树棵数比女生的多10棵，六年级女生共植树多少棵？ 【答案】150棵 【分析】根据“男生植树棵数比女生的多10棵”，设六年级女生植树棵，则六年级男生植树（＋10）棵； 根据“六年级共植树280棵”可得出等量关系：六年级女生植树的棵数＋六年级男生植树的棵数＝六年级植树的总棵数，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设六年级女生植树棵，则六年级男生植树（＋10）棵。 ＋＋10＝280 ＋10＝280 ＋10－10＝280－10 ＝270 ÷＝270÷ ＝270× ＝150 答：六年级女生共植树150棵。 【点睛】本题考查列方程解决问题，从题目中找到等量关系，按等量关系列出方程。 【对应练习1】 班级图书角有科技书和故事书共110本，已知科技书比故事书的多5本。两种书各有多少本？（列方程解答） 【答案】科技书有47本；故事书有63本。 【分析】设故事书有x本，则科技书有（x＋5）本，然后根据科技书和故事书共110本，列出方程求解即可。 【详解】解：设故事书有x本，则科技书有（x＋5）本， xx＋5＝110 xx＋5－5＝110－5 xx＝105 x＝105 x＝105 x÷＝105÷ x＝105× x＝63 110－63＝47（本） 答：科技书有47本，故事书有63本。 【点睛】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为x，由此列方程解决问题。 【对应练习2】 实验小学今年春季共种杨树、柳树240棵，其中杨树的棵数比柳树棵数的少20棵，柳树种了多少棵？ 【答案】160棵 【分析】把种植柳树的棵数设为未知数，杨树的棵数＝柳树的棵数×－20棵，等量关系式：杨树的棵数＋柳树的棵数＝两种树的总棵数，据此解答。 【详解】解：设柳树种了x棵，则杨树种了（x－20）棵。 x－20＋x＝240 x＋x－20＝240 x－20＝240 x＝240＋20 x＝260 x＝260÷ x＝160 答：柳树种了160棵。 【点睛】准确设出未知数并找出等量关系式是解答题目的关键。 【对应练习3】 为打造“书香班级”，六（1）班图书角购进历史类和文学类新书共360本，其中历史类的图书比文学类的多15本，两类图书各多少本？（用两种方法解答） 【答案】文学类图书195本；历史类图书165本 【分析】方法1：把文学类的图书本数设为未知数，历史类的图书本数＝文学类的图书本数×＋15本，等量关系式：历史类的图书本数＋文学类的图书本数＝360本； 方法2：把文学类图书的本数看作单位“1”，历史类图书刚好占文学类图书的时，两种图书的总本数是（360－15）本，根据量÷对应的分率＝单位“1”求出文学类图书的本数，历史类图书的本数＝两种书的总本数－文学类图书的本数，据此解答。 【详解】方法1：解：设文学类图书有x本，则历史类图书有（x＋15）本。 x＋x＋15＝360 x＋15＝360 x＝360－15 x＝345 x＝345÷ x＝345× x＝195 ×195＋15 ＝150＋15 ＝165（本） 答：文学类图书有195本，历史类图书有165本。 方法2：（360－15）÷（1＋） ＝345÷ ＝345× ＝195（本） 360－195＝165（本） 答：文学类图书有195本，历史类图书有165本。 【点睛】用方程解答时，准确设出未知数并找出等量关系式；用算术法解答时，确定题目中的单位“1”并找出量和对应的分率是解答题目的关键。 【考点十四】量率对应问题其八：已知分量差与分率关系。 【方法点拨】 该类题型属于量率对应问题的一种，已知两个量的分量差及两个量之间的分率关系，关键在于通过设单位“1”，表示出两个量的分率差，再使用量率对应求出单位“1”。 【典型例题】 鲜蜜果园的橘子树比枇杷树多120棵，已知枇杷树的棵数是橘子树的。鲜蜜果园的枇杷树有多少棵？ 【答案】80棵 【分析】把橘子树的棵数看作单位“1”，橘子树棵数的（1）是120棵，根据分数除法的意义，用120棵除以（1），就是橘子树的棵数；再根据分数乘法的意义，用橘子树的棵数乘，就是枇杷树的棵数。 【详解】120÷（1 ＝120 ＝200 ＝80（棵） 答：鲜蜜果园的枇杷树有80棵。 【点睛】此题是考查分数乘、除法的意义及应用。已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用已知数除以它所对应的分率；求一个数的几分之几是多少，用这个数乘分率。 【对应练习1】 仓库里篮球的个数是足球的，足球比篮球多12个，足球和篮球各有多少个？ 【答案】足球：30个；篮球：18个 【分析】将足球的个数看成单位“1”，篮球的个数是足球的，则12个对应足球个数的（1－）＝，根据分数除法的意义，用12÷即可求出足球的个数，继而求出篮球的个数；据此解答。 【详解】12÷（1－） ＝12÷ ＝12× ＝30（个） 30－12＝18（个） 答：足球有30个，篮球有18个。 【点睛】此题考查了分数除法的应用，找出与已知量对应的分率是解答此类问题的关键。 【对应练习2】 某小学女教师人数比男教师多14人，男教师人数是女教师的，这所小学男、女教师各有多少人？（先画线段图，然后写出等量关系，再列方程解答。） 线段图： 等量关系： 【答案】作图见详解；女教师人数－男教师人数＝14人 男教师有21人，女教师35有人 【分析】将女教师人数看作单位“1”，画一条线段平均分成5份，表示女教师人数，男教师有这样的3份，多出的2份，即女教师的（1－）是14人，据此作图；设女教师有x人，则男教师有x人，根据女教师人数－男教师人数＝14人，列出方程求出x的值是女教师人数，女教师人数－14人＝男教师人数，据此列出方程解答即可。 【详解】 女教师人数－男教师人数＝14人 解：设女教师有x人。 x－x＝14 x＝14 x×＝14× x＝35 35－14＝21（人） 答：男教师有21人，女教师35有人 【点睛】用方程解决问题的关键是找到等量关系。 【对应练习3】 学校购置体育器材，买进的篮球比足球多8个，已知买来的足球个数是篮球的，学校买来篮球和足球各多少个？ 【答案】篮球20个；足球12个 【分析】已知买来的足球个数是篮球的，把篮球的数量看作单位“1”，设买来篮球x个，则足球有x个，根据买进的篮球比足球多8个，列方程求解即可。 【详解】解：设买来篮球x个，则足球有x个。 x－x＝8 x＝8 x＝8÷ x＝20 ×20＝12（个） 答：学校买来篮球20个，足球12个。 【点睛】掌握列方程解含两个未知数的问题的方法是解题的关键，明确题目中的单位“1”，找到等量关系列方程解答。 【考点十五】量率对应问题其九：已知分量和与分率差。 【方法点拨】 该类题型属于量率对应问题的一种，解决该类型题关键在于通过设单位“1”表示出另一个分率，再求出分率和，最后根据量率对应求出单位“1”。 【典型例题】 国庆期间，我校共有660名学生观看了阅兵仪式直播，其中观看阅兵仪式直播的男生人数比女生人数多，观看阅兵仪式直播的女生有多少人？ 【答案】300人 【分析】把女生人数看作单位“1”，已知男生人数比女生人数多，则男生人数占女生人数的（1＋），男、女生人数和占女生的（1＋1＋），又已知男、女生人数和为660人，根据分数除法的意义，用660÷（1＋1＋）即可求出观看阅兵仪式直播的女生人数。 【详解】660÷（1＋1＋） ＝660÷ ＝300（人） 答：观看阅兵仪式直播的女生有300人。 【点睛】本题主要考查了已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算，关键是明确具体的数量对应的分率。 【对应练习1】 在新型冠状病毒防控期间，李叔叔和王叔叔都主动参与到抗击疫情的捐款活动当中。两人共捐款540元，已知李叔叔捐的钱比王叔叔多。王叔叔捐款多少元？ 【答案】240元 【分析】将王叔叔捐的钱看成单位“1”，李叔叔捐的钱是王叔叔捐的钱的，则540元对应王叔叔捐的钱的（1＋1＋）＝，根据分数除法的意义，用540÷即可求出王叔叔捐款的金额；据此解答。 【详解】540÷（1＋1＋） ＝540÷（＋＋） ＝540÷ ＝240（元） 答：王叔叔捐款240元。 【点睛】此题考查了分数除法的应用，找出与已知量对应的分率是解答此类问题的关键。 【对应练习2】 实验小学六年级有学生450人，女生人数比男生人数多。实验小学六年级有男生、女生各有多少人？（列方程解） 【答案】男生有210人，女生有240人 【分析】根据题意可知，“男生人数×（1＋）＋男生人数＝450”，据此列方程解答即可。 【详解】解：设六年级有男生x人； （1＋）x＋x＝450 x＝450 x＝210； 210×（1＋） ＝210× ＝240（人）； 答：实验小学六年级有男生有210人，女生各240人。 【点睛】明确题目中存在的数量关系是解答本题的关键。 【对应练习3】 某工程队用两天时间修筑一条公路，两天一共修了210千米。第一天比第二天少 修。第二天修了多少米？ 解析：第一天：1-= 第二天：210÷（1+）=120（米） 答：略。 【考点十六】量率对应问题其十：已知剩余分量。 【方法点拨】 该类题型属于量率对应问题的一种，解决该类型题的关键在于求出剩余分率，再根据量率对应求出单位“1”。 【典型例题1】基础型。 工地有一批水泥，第一天运走，第二天运走，还剩下25吨，这批水泥有多少吨？ 【答案】吨 【分析】把水泥的总量看作单位“1”，单位“1”减去前两天运走的部分占总量的分率求出剩下的部分占总量的分率，剩下的部分占总量的分率对应25吨，已知一个数的几分之几是多少，用除法计算。 【详解】1－－ ＝ ＝ 25÷ ＝25× ＝（吨） 答：这批水泥有吨。 【点睛】本题考查分数除法的实际应用，此题中求单位“1”用除法计算。 【对应练习1】 信达工程队要修一条公路，第一季度修了全长的，第二季度修了全长的，这时还剩下28千米没修，这条公路全长多少千米？ 【答案】105千米 【分析】把这条公路的全长看作单位“1”，第一季度修了全长的，第二季度修了全长的，那么还剩下全长的（1－－）没有修，即还剩下的28千米占全长的（1－－），单位“1”未知，用除法计算。 【详解】28÷（1－－） ＝28÷（1－－） ＝28÷ ＝28× ＝105（千米） 答：这条公路全长105千米。 【点睛】找出单位“1”，单位“1”未知，分析出还剩下的28千米占全长的几分之几，然后根据分数除法的意义列式计算。 【对应练习2】 果园里有一批苹果，上午运走全部的，下午运走全部的，还剩下140千克没运。这批苹果共有多少千克？ 【答案】480千克 【分析】把这批苹果的质量看作单位“1”，求这批苹果的质量；求单位“1”的量用除法解答，即已知量÷已知量所对应的分率＝单位“1”的量；140千克所对应的分率是（1－－），所以140÷（1－－）可求出这批苹果的质量。 【详解】140÷（1－－） ＝140÷（1－－） ＝140÷（－） ＝140÷ ＝140× ＝480（千克） 答：这批苹果共有480千克。 【点睛】确定单位“1”的量是解决分数问题的关键。单位“1”未知，可以列方程解答或用除法解答，列除法算式时要注意量率对应。 【对应练习3】 小丽看一本故事书，第一天看了11页，第二天看了，还剩下45页没看。这本书一共有多少页？ 【答案】63页 【分析】将这本故事书的总页数看作单位“1”，第二天看了，第一天和还剩下所占的分率是（1－），第一天看了的页数和还剩下的页数是（11＋45）页，用已知的页数和÷对应的分率＝总页数，据此列式解答。 【详解】（11＋45）÷（1－） ＝56÷ ＝63（页） 答：这本书一共有63页。 【点睛】此题主要考查分数除法的应用，关键是确定单位“1”，找到已知页数的对应分率。 【典型例题2】拓展型。 读一本书，第一天读了这本书的还多1页，第二天读了这本书的还少2页，最后还剩283页没有读，这本书共有多少页？ 解析：（283+1-2）÷（1-）=300（页） 答：略。 【对应练习】 小明看一本书，第一次看的比全书的少7页，第二次看了比全书的多5页，还剩下267页没看。这本书一共有多少页？ 【答案】300页 【分析】将这本书的总页数看作单位“1”，求一个数的几分之几是多少用乘法，比一个数少几就减几，比一个数多几就加几，全书总页数×－7＝第一天看的页数，全书总页数×＋5＝第二天看的页数，设这本书一共有x页，根据总页数－第一天看的页数－第二天看的页数＝剩下的页数，列出方程解答即可。 【详解】解：设这本书一共有x页。 x－（x－7）－（x＋5）＝267 x－x＋7－x－5＝267 x＋2＝267 x＋2－2＝267－2 x＝265 x÷＝265÷ x＝265× x＝300 答：这本书一共有300页。 【点睛】用方程解决问题的关键是找到等量关系，本题也可以确定剩下页数和剩下页数的对应分率，根据部分数量÷对应分率＝整体数量，进行解答。 【考点十七】量率对应问题其十一：已知剩余分率。 【方法点拨】 该类题型属于量率对应问题的一种，解决该类型题的关键在于求出剩余分量，再根据量率对应求出单位“1”。 【典型例题】 修路队修一段公路，第一天修了320米，第二天修了400米，还剩下这段路的。这段公路全长多少米？ 【答案】1620米 【分析】把这段公路的全长看作单位“1”，先用加法求出两天共修的长度，两天修的占这段公路的，单位“1”未知，用两天共修的长度除以，即可求出这段公路的全长。 【详解】 （米） 答：这段公路全长1620米。 【点睛】本题考查分数除法的意义及应用，找清单位“1”，明确已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法解答。 【对应练习1】 赵师傅安装电话，一捆电话线第一次用去了16米，第二次用去了12米，还剩下这捆电话线的。这捆电话线原来长多少米？ 【答案】70米 【分析】把这捆电话线的全长看作单位“1”，第一次、第二次各用去了16米、12米，还剩下这捆电话线的，则前两次共用去（16＋12）米占全长的（1－），单位“1”未知，根据分数除法的意义求出这捆电话线的全长。 【详解】（16＋12）÷（1－） ＝28÷ ＝28× ＝70（米） 答：这捆电话线原来长70米。 【对应练习2】 修路队修一条路，第一周修了2.5千米，第二周修了2千米，还剩下没有修，这条路长多少千米？ 【答案】8.1千米 【分析】把这条路看作单位“1”，由于最后剩下没有修，则已经修了这条路的1－；已经修了：2.5＋2＝4.5（千米），根据公式：对应量÷对应分率＝单位“1”，据此即可列式求解。 【详解】2.5＋2＝4.5（千米） 4.5÷（1－） ＝4.5÷ ＝4.5× ＝8.1（千米） 答：这条路长8.1千米。 【点睛】本题主要考查分数除法的应用，关键是找准对应量和对应分率是解题的关键。 【对应练习3】 有一批煤，上午运走210吨，下午运走330吨，还剩下总数的，这批煤共有多少吨？ 【答案】972吨 【分析】把这批煤的总质量看成单位“1”，上午运走210吨，下午运走330吨，还剩下总数的，那么运走的质量就是总质量的（1－），它对应的数量是上午和下午运走的煤的质量，由此根据分数除法的意义，求出总质量。 【详解】（210＋330）÷（1－） ＝540÷ ＝540× ＝972（吨） 答：这批煤共有972吨。 【点睛】本题的关键是找出单位“1”，并找出数量对应了单位“1”的几分之几，再用除法就可以求出单位“1”的量。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$