31.2.2 直线和圆的位置关系（第2课时）（教学课件）数学人教版五四制九年级上册

第31.2.2直线和圆的位置关系（第2课时） 人教版五四制数学九年级上册 学习目标 1.会判定一条直线是否是圆的切线并会过圆上一点作圆的切线. 2.理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理. 3.能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题. 人教版五四制数学九年级上册 直线和圆的位置关系有几种？用数量关系如何来判断？   复习引入 交点个数 位置关系 数量关系 d＜r d＝r d＞r 相交 两个公共点 只有一个公共点 没有公共点 相切 相离 人教版五四制数学九年级上册 只有一个公共点 相切 d＝r 判断一条直线是圆的切线，你现在有多少种方法？ 1.定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； 2.数量法(d=r)：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线. 切线具有什么性质？ 1.切线和圆只有一个公共点；2.圆心到切线的距离等于半径. ⇔ ⇔ 复习引入 人教版五四制数学九年级上册 可以看出，这时圆心O到直线l的距离就是⊙O的半径，直线l就是⊙O的切线. 思考 如图，在⊙O中，经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA，则圆心O到直线l的距离是多少？直线l和⊙O有什么位置关系？ 切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 符号语言 ∵OA是半径，l⊥OA ∴l是⊙O的切线. 互动新授 【注意】 ①过半径的外端 ②垂直于半径 人教版五四制数学九年级上册 互动新授 在生活中，有许多直线和圆相切的实例.例如，下雨天当你快速转动雨伞时飞出的水珠，在砂轮上打磨工件时飞出的火星，都是沿着圆的切线方向飞出的. 人教版五四制数学九年级上册 互动新授 思考 将上面“思考”中的问题反过来，如图，如果直线l是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？ 证明：假设半径OA与直线l不垂直，那么过点O作OB⊥l，垂足为B. 由于“点到直线的距离垂线段最短”，所以OB＜OA. 根据“直线l和⊙O相交d＜r”，所以直线l和⊙O相交. 这与已知相矛盾，因此假设不成立，则半径OA与直线l垂直. ¬ B 人教版五四制数学九年级上册 互动新授 切线的性质定理： 圆的切线垂直于过切点的半径. 符号语言 ∵l是⊙O的切线， ∴l⊥OA. 人教版五四制数学九年级上册 典例精析 例1 如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D.求证：AC是⊙O的切线. 证明：过点O作OE⊥AC，垂足为E，连接OD，OA. ∵⊙O与AB相切于点D ∴OD⊥AB 又△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点. ∴AO是∠BAC的平分线 ∴OE=OD，即OE是⊙O的半径 ∴AC是⊙O的切线. ¬ E 人教版五四制数学九年级上册 1.下列各直线是不是圆的切线?如果不是,请说明为什么? O A O A B A O (1) (2) (3) (1)不是,因为没有垂直. (2)(3)不是,因为没有经过半径的外端点A. 小试牛刀 人教版五四制数学九年级上册 2.判断下列命题是否正确 ⑴经过半径外端的直线是圆的切线. （ ） ⑵垂直于半径的直线是圆的切线. （ ） ⑶过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.（ ） ⑷和圆只有一个公共点的直线是圆的切线.（ ） ⑸过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线.（ ） × × √ √ √ 小试牛刀 人教版五四制数学九年级上册 1.如图,直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB，求证：直线AB是⊙O的切线. O B C A 证明：连接OC. ∵OA=OB,CA=CB, ∴AB⊥OC. ∵OC是⊙O的半径, ∴AB是⊙O的切线. 课堂检测 人教版五四制数学九年级上册 2.如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，连接AB. 若∠B=25°，求∠P的度数. B O P A 解：如图，连接OA. ∵PA是⊙O的切线， ∴∠OAP=90°. ∵∠AOP=2∠B=50°， ∴∠P=90°-50°=40°. 课堂检测 人教版五四制数学九年级上册 1.如图，四边形ABCD内接于☉O，BD是☉O的直径，AE⊥CD,垂足为E,DA平分∠BDE.(1)求证: AE是☉O的切线; (1)证明:连接0A ∵DA平分∠BDE， ∴∠BDA=∠EDA ∴0A=OD ∴∠0DA=∠0AD ∴∠OAD=∠EDA ∴AE⊥CD ∴∠AED=90°，∠DAE+∠EDA=90° ∴∠DAE+∠OAD=90，即∠0AE=90°，OA⊥AE ∴AE是00的切线. 拓展训练 人教版五四制数学九年级上册 1.如图，四边形ABCD内接于☉O，BD是☉O的直径，AE⊥CD,垂足为E,DA平分∠BDE.(2)若∠DBC=30°,DE=1cm，求BD的长. (2)解:∵BD是直径， ∴∠BCD=∠BAD=90° ∴∠DBC=30°，∴∠BDC=60°，∠BDE=120° ∵DA平分∠BDE，∴∠BDA=∠EDA=60° ∴∠ABD=∠EAD=30° 在Rt△AED中，∠EAD=30° ∴AD=2DE 在Rt△ABD中，∠ABD=30° ∴BD=2AD=4DE ∵DE=1cm，∴BD=4cm 拓展训练 人教版五四制数学九年级上册 课堂小结 切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 切线的性质定理： 圆的切线垂直于过切点的半径. 证切线时辅助线的添加方法: (1) 有交点，连半径,证垂直; (2) 无交点，作垂直,证半径. 有切线时常用辅助线添加方法: 见切点，连半径，得垂直. 人教版五四制数学九年级上册 1.如图，☉O与AB相切于点A，BO与☉O交于点C，∠BAC=27°， 则∠B等于( ) A.36° B.54° C.110° D.140° 2.如图，直线l是☉O的切线，A为切点，B为直线l上一点,连接0B交☉O于点C.若AB=12, 0A=5，则BC的长为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 A D 课后作业 人教版五四制数学九年级上册 3.如图,AB=AC,AB是⊙O的直径,⊙O交BC于D,DM⊥AC于M.求证：DM与⊙O相切． 证明：连接OD. ∵AB=AC,∴∠B=∠C. ∵OB=OD,∴∠BDO=∠B. ∴∠BDO=∠C,∴OD∥AC. ∵DM⊥AC,∴DM⊥OD. ∴DM与⊙O相切． O C D M B A 课后作业 人教版五四制数学九年级上册 谢谢聆听 人教版五四制数学九年级上册 $$