31.2.2 直线和圆的位置关系 重难点专项练习（八大题型）数学人教版五四制九年级上册

31.2.2《直线和圆的位置关系》 分层练习 考查题型一 判断直线和圆的位置关系 1．（23·24上·宿迁·阶段练习）若的半径为，点到圆心O的距离为，则直线与的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交 【答案】D 【分析】根据点到直线的距离小于或等于半径，则直线与的位置关系是相切或相交． 【详解】∵直线上一点到圆心的距离等于， ∴圆心到直线的距离小于或等于半径， ∴直线与的位置关系是相切或相交， 故选：． 【点睛】此题考查了直线与圆的位置，解题的关键是熟练掌握直线与圆的位置关系． 2．（22·23上·巴彦淖尔·期末）在平面直角坐标系中，的圆心坐标为，半径为方程的一个根，那么与轴的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【答案】B 【分析】解方程得到半径，再根据圆心坐标判断位置关系． 【详解】解：解方程得：或， ∵半径大于零， ∴的半径为5， ∵圆心坐标为， ∴与轴的位置关系是相切， 故选B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，直线与圆的位置关系，解题的关键是根据圆心位置和半径的关系判断位置关系． 3．（22·23下·云浮·期末）已知的半径为5，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据直线和圆的位置关系可知，圆的半径大于直线到圆距离，则直线l与O的位置关系是相交． 【详解】解：∵的半径为5，圆心O到直线的距离为4，， ∴直线l与的位置关系是相交． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，解题的关键在于能够熟练掌握若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离． 4．（22·23下·梅州·开学考试）中，，，，以为圆心，以长为半径作，则与的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【分析】此题首先应求得圆心到直线的距离，根据直角三角形的面积公式即可求得；再进一步根据这些和圆的位置关系与数量之间的联系进行判断． 【详解】解：根据勾股定理求得． ，， ，， 上的高为：， 即圆心到直线的距离是2.4． ， 直线和圆相交． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了直线与圆的位置关系，关键是根据三角形的面积求出斜边上的高的长度．注意：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边． 考查题型二 已知直线和圆的位置关系求半径的取值范围 1．（22·23下·浦东新·三模）在平面直角坐标系中，以点为圆心、以R为半径作圆A与x轴相交，且原点O在圆A的外部，那么半径R的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别根据原点O在圆A的外部，圆A与x轴相交，可得半径R的取值范围． 【详解】解：， ∴， ∵原点O在圆A的外部， ∴，即， ∵圆A与x轴相交， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质，勾股定理，直线、点与圆的位置关系等知识点，能熟记直线、点与圆的位置关系是解此题的关键． 2．（22·23下·虹口·二模）如图，在矩形中，对角线与相交于点，，．分别以点、为圆心画圆，如果与直线相交、与直线相离，且与内切，那么的半径长的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，勾股定理求得，进而根据平行线分线段成比例得出，根据题意，画出相应的图形，即可求解． 【详解】解：如图所示，当圆O与相切时，过点作， ∵矩形中，对角线与相交于点，，． ∴，，，， ∴ ∴， 则；    当圆O与相切时，过点作于点，如图所示，    则 则 ∴与直线相交、与直线相离，且与内切时，， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，根据题意画出图形是解题的关键． 3．（23·24上·宝山·一模）已知中，，、．以C为圆心作，如果圆C与斜边有两个公共点，那么圆C的半径长R的取值范围是（　　） A． B． C． D．． 【答案】C 【分析】作于，由勾股定理求出，由三角形的面积求出，由，可得以为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点；若与斜边有两个公共点，即可得出的取值范围． 【详解】解：作于，如图所示： ，，， ， ∵的面积， ， 即圆心到的距离， ， 以为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点， 若与斜边有两个公共点，则的取值范围是． 故选：C． 【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 4．（22·23上·齐齐哈尔·期末）已知和直线相交，圆心到直线的距离为，则的半径可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆心到直线的距离为d，若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离． 【详解】解：设圆心到直线的距离为d， 和直线相交， ， ， 只有选项D符合条件， 故选：D． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是熟悉直线和圆的位置关系与数量之间的联系：，直线和圆相交；，直线和圆相切；，直线和圆相离． 考查题型三 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 1．（23·24上·广州·期中）已知的半径为5，直线是的切线，则点到直线的距离是（    ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．5 【答案】D 【分析】根据圆与直线的位置关系进行解答即可． 【详解】解：的半径是5，直线l是的切线，那么点O到直线l的距离是5． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是熟练掌握当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径；当直线与圆相交时，圆心到直线的距离小于半径；当直线与圆相离时，圆心到直线的距离大于半径． 2．（22·23下·淮安·一模）已知的半径为5，直线与有2个公共点，则点到直线的距离可能是（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】A 【分析】根据题意得点到直线的距离小于圆的半径，即可解答． 【详解】∵的半径为5，直线与有2个公共点， ∴点到直线的距离． 故选：A． 【点睛】本题考查了点、直线、圆的位置关系．熟练掌握直线与圆相交时，圆心到直线的距离小于半径，是解题的关键． 3．（2021上·长寿·期末）若直线与半径为的⊙O相交，则圆心O到直线的距离可能为（    ） A．3 B．4 C．4.5 D．5 【答案】A 【分析】根据圆与直线的位置关系进行判断即可． 【详解】解：∵直线与半径为的⊙O相交， ∴圆心到直线的距离d<r，即d<4， ∴满足条件的只有A选项， 故选：A． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是记住：①直线与圆相交时，d<r；②直线与圆相切时，d=r；③直线与圆相离时，d>r． 4．（2020上·恩施·期末）已知的直径是8，直线与有两个交点，则圆心到直线的距离满足（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出圆的半径,再根据直线与圆的位置关系与d和r的大小关系即可得出结论． 【详解】解:∵的直径是8 ∴的半径是4 ∵直线与有两个交点 ∴0≤d＜4（注：当直线过圆心O时，d=0） 故选B． 【点睛】此题考查的是根据圆与直线的位置关系求圆心到直线的距离的取值范围，掌握直线与圆的位置关系与d和r的大小关系是解决此题的关键． 考查题型四 与切线有关的概念 1．（20·21上·龙岩·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．垂直于半径的直线是圆的切线 B．经过三点一定可以作圆 C．每个三角形都有一个内切圆 D．圆的切线垂直于圆的半径 【答案】C 【分析】根据与圆有关的基本概念依次分析各项即可判断． 【详解】A．垂直于半径且经过半径外端点的直线是圆的切线，故本选项错误； B．经过不共线的三点一定可以作圆，注意要强调“不共线”，故本选项错误； C．每个三角形都有一个内切圆，本选项正确； D．圆的切线垂直于过切点的半径，注意强调“过切点”，故本选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了有关圆的切线的判定与性质，解答本题的关键是注意与圆有关的基本概念中的一些重要字词，学生往往容易忽视，要重点强调． 2．下列直线中可以判定为圆的切线的是（　　） A．与圆有公共点的直线 B．经过半径外端的直线 C．垂直于圆的半径的直线 D．与圆心的距离等于半径的直线 【答案】D 【分析】根据切线的判定方法逐项分析即可． 【详解】解：A．与圆有且仅有一个公共点的直线是圆的切线，故该选项不正确，不符合题意；     B．经过半径外端的直线且垂直于半径的直线是圆的切线，故该选项不正确，不符合题意； C．经过半径外端的直线且与半径垂直的直线是圆的切线，故不正确；     D．与圆心的距离等于半径的直线，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了切线的判定方法，如果直线与圆只有一个公共点，这时直线与圆的位置关系叫做相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点；经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 3．（22·23上·无锡·期中）下列说法：①圆中弦的垂直平分线一定经过圆心；②与半径垂直的直线是圆的切线；③相等的圆心角所对的弦也相等；④圆内接四边形有且只有一个．其中不正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据圆的相关概念和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：①圆中弦的垂直平分线一定经过圆心，说法正确，不符合题意； ②过半径的末端，且与半径垂直的直线是圆的切线，原说法错误，符合题意； ③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦也相等，原说法错误，符合题意； ④圆内接四边形有无数个，原说法错误，符合题意； 综上，②③④说法不正确． 故选C． 【点睛】本题考查垂径定理，切线的定义，等角对等弦，圆内接四边形．熟练掌握相关知识点是解题的关键． 4．（2021上·滨海新·阶段练习）下列说法中错误的是（    ） A．切线与圆有唯一的公共点 B．到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线 C．垂直于切线的直线必经过切点 D．从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等 【答案】C 【分析】根据圆的切线相关的概念辨析即可． 【详解】A、B、D说法均正确； C、垂直于切线的直径必定过切点，但是垂直于切线的直线不一定过切点，故错误； 故选：C． 【点睛】本题考查圆的切线的判定与性质，及切线长定理，熟记基本概念并准确判断是解题关键． 考查题型五 切线的证明 1．（23·24上·福州·阶段练习）如图，在中，，，的半径为3，求证：是的切线．    【答案】见解析 【分析】作，根据等腰三角形的性质求出，再根据勾股定理求出，然后根据切线的判定定理得出结论． 【详解】证明：过点O作于点C． ∵，          ∴． 在中，， ∴． ∵的半径为3，， ∴是的切线． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理等，理解切线的判定定理是解题的关键．即过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线． 2．（21·22上·红河·期末）如图，，是的直径，交于D，于M点． 求证：与相切．    【答案】见解析 【分析】连接 ，根据等腰三角形的性质可得，，从而可证，根据平行线的性质可得，即可得出结论． 【详解】证明：连接 ，    ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵交于D， ∴是的半径， ∴与相切． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定，根据平行线的判定与性质得出是解题的关键． 3．（23·24上·襄阳·阶段练习）如图是的直径，是的弦，延长到点C，使．过D点作于E，求证：为的切线. 【答案】见解析 【分析】连接，现根据直径所对的圆周角是直角得到，根据三线合一得到，即是的中位线，可以得到，即可得到结论. 【详解】证明: 如图, 连接. ∵是的直径, ， ， ， ， ， ， ∴, ∴为的切线. 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，切线的判定，掌握切线的判定定理是解题的关键. 4．（23·24上·厦门·期中）如图，四边形是的内接四边形，延长与过点的直线相交于点，已知．求证：与相切． 【答案】见解析 【分析】连接，根据已知条件得出，根据圆周角定理得出，则，进而即可得证． 【详解】证明：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是半径， ∴与相切． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，平行线的判定与性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键． 考查题型六 切线的性质定理 1．（23·24上·四平·期中）如图，是的直径，，与相交于点E，是的切线，与的延长线相交于点F，连接．    (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，由圆周角定理得，再由等腰三角形性质及切线的判定定理可得结论； （2）根据垂径定理得到，由切线的性质得到，据此可得答案． 【详解】（1）证明：连接，    是直径， ， ， ， ， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴． 【点睛】此题考查的是圆周角定理、切线的判定与性质，平行线的性质与判定，垂径定理，正确作出辅助线是解决此题关键． 2．（22·23上·许昌·期末）如图，是的外接圆，是的直径，点B是的中点，过点B的切线与的延长线交于点D．    (1)求证：； (2)若的半径为6，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】（1）连接OB，由点B是的中点及可推出，再由切线的性质即可求证； （2）过点O作，由等腰三角形“三线合一”的性质可知；结合条件可推出四边形为矩形，根据即可求解． 【详解】（1）证明：连接OB，如图所示：    ∵是⊙O的切线， ∴， ∴． ∵点B是的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 即． （2）解：过点O作，如图所示：    ∵， ∴. ∵， ∴四边形为矩形， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、矩形的判定、圆中弧弦角的关系等知识点．掌握相关结论是解题关键． 3．如图，是的直径，为的切线，为切点，过作的垂线，垂足为．    (1)求证：平分； (2)若的半径为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】（1）由切线的性质得到，推出，证明，即可得； （2）过点作于点，证明四边形是矩形，利用勾股定理求得，据此即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接．    ∵直线切圆于点， ， ， ∴， ， ， ， ， 平分； （2）解：如图，过点作于点， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 4．（22·23下·六安·一模）如图，是的外接圆，直径的长为6，过点C的切线交的延长线于点D，连接． (1)若，求的长； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先根据切线的性质得到，则利用含角的直角三角形三边的关系得到，然后计算即可； （2）先利用得到，再计算出，则利用三角形内角和可计算出，所以，从而得到． 【详解】（1）解：∵直径的长为6， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的性质，等腰三角形的判定，含30°角的直角三角形的性质掌握切线的性质是解题的关键． 考查题型七 切线的性质和判定的综合应用 1．（23·24上·海淀·阶段练习）如图，为的直径，交于点，为上一点，延长交于点，延长至，使，连接．    (1)求证：为的切线； (2)若且，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）连接，根据等边对等角结合对等角相等即可推出结论； （2）设的半径，则，，在中， 【详解】（1）证明：如图，连接，    ， ， ， ， ，， ， 即， ， 是半径， 为的切线； （2）解：设的半径，则， ， 在中，由勾股定理得， ， ， 解得，或（舍去）， 的半径为3． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，熟记切线的判定定理是解题的关键． 2．（22·23下·厦门·二模）如图，在中，，以为直径的半圆交于点，点是边和半圆的公共点，且满足．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接、，由圆周角定理，得到，然后由平行线的判定和性质，即可得到结论成立； （2）由题意，先求出的半径，然后由弧长公式进行计算，即可得到答案． 【详解】（1）证明：连接，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即：，又为的半径， 为的切线；    （2）解：设的半径为， 则， 由（1）可知：， 为直角三角形， 又， ， ， ， ， 在中，，， ， 为等边三角形， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，弧长公式，切线的判定定理，以及平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题． 3．（21·22上·武隆·期末）如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，交于点，连接，作，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)15 【分析】（1）连接，根据平分，，，证明即可； （2）设的半径为，则有，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：连接，    是的直径， ，即， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线． （2）设的半径为， 则有， ∵是的切线． ∴， 在中，， ， 解得， 的半径为． 【点睛】本题考查了切线的性质与判定，勾股定理，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键． 4．（22·23·扬州·二模）如图，中，，过两点，且是的切线，连接交劣弧于点．    (1)证明：是的切线； (2)若，，求的半径； 【答案】(1)见解析 (2)的半径为 【分析】（1）直接根据“”证明即可得出结论； （2）设的半径为，则，然后根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：设的半径为， 则， 在中，， 即， 解得：， 故的半径为. 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，灵活运用所学知识点是解本题的关键． 考查题型八 切线长定理的应用 1．（21·22下·模拟预测）如图，PA与⊙O相切于点A，点B在⊙O上，且PA=PB． (1)求证：PB与⊙O相切； (2)点Q在劣弧AB上运动，过点Q作⊙O的切线分别交PA，PB于点M，N．若PA=6，则△PMN的周长为______． 【答案】(1)见解析； (2)12 【分析】（1）连接OB，证明△APO≌△BPO（SSS），由全等三角形的判定与性质得出∠PAO=∠PBO=90°，得出OB⊥PB，则可得出结论； （2）由切线长定理可得出答案． 【详解】（1）证明：连接OB， ∵PA与⊙O相切于点A， ∴∠PAO=90°， 在△APO和△BPO中， ， ∴△APO≌△BPO（SSS）， ∴∠PAO=∠PBO=90°， ∴OB⊥PB， ∴PB与⊙O相切； （2）解：∵PA，PB是⊙O的切线，过点Q作⊙O的切线，PA=6， ∴MA=MQ，NQ=NB，PA=PB=6， ∴△PMN的周长=PM+MQ+NQ+PN=PA+PB=12； 故答案为：12． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，切线长定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 2．（21·22下·河东·二模）已知是直径，，分别切于点，． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，延长到点，使，连接，若，求的度数． 【答案】(1)64° (2)63° 【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到∠PCO=∠PBO=90°，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ACO=58°，根据三角形外角的性质和四边形的内角和定理即可得到结论； （2）连接OP，根据切线的性质得到∠CPO=∠BPO，∠PBO=90°，证明PB是OD的垂直平分线，可得∠OPB=∠DPB=∠CPO，进而可以解决问题． 【详解】（1）解∶如图，连接OC， ∵PC，PB分别切OO于点C，B，AB是直径， ∴∠PCO=∠PBO=90°， ∵OC=OA， ∴∠A=∠ACO=58°， ∴∠BOC=∠A+∠ACO=116°， ∴∠P=360°-90°-90°-116°=64°； （2）解：如图，连接OP， ∵PC，PB分别切OO于点C，B，AB是直径， ∴∠CPO=∠BPO，∠PBO=90°， ∵BD=OB， ∴PB是OD的垂直平分线， ∴PO=PD， ∴∠OPB=∠DPB， ∴∠OPB=∠DPB=∠CPO， ∵∠DPC=81°， ∴∠OPB=∠DPB=∠CPO=27°， ∴∠D=90°-27°=63°． 【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 3．（21·22下·模拟预测）如图，AB是⊙O直径，BC⊥AB于点B，点C是射线BC上任意一点，过点C作CD切⊙O于点D，连接AD． (1)求证：BC＝CD； (2)若∠C＝60°，BC＝3，求AD的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据切线长定理证明即可； （2）根据已知条件可得是等边三角形，根据直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵ AB是⊙O直径，BC⊥AB于点B， 是的切线， CD是的切线， （2）连接，， 是的切线，， BC＝3， 是等边三角形， ， 是直径 【点睛】本题考查了切线长定理，切线的性质，直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，掌握圆的切线的性质是解题的关键． 4．（22·23上·抚顺·期末）如图，在中，，点D是边的中点，点O在边上，经过点C且与边相切于点E，．      (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）作，垂足为点H，连接，根据直角三角形的性质可得，从而得到，再由，可得，然后根据角平分线的性质，即可求证； （2）根据勾股定理求出的长，可得，设的半径为r，在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，作，垂足为点H，连接，    ∵，D是的中点， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， 即是的平分线， ∵点O在上，与相切于点E， ∴，且是的半径， ∴，是的半径， ∴是的切线； （2）解：在中，， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， 设的半径为r，则， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴． ∴的半径长为3． 【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理等知识是解题的关键． 1．（22·23上·哈尔滨·阶段练习）如图，在中，直径弦，连接，．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，作弦交于点E，交于点G，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，，，求的半径． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】（1）由垂径定理可得弧弧，可得； （2）由余角的性质可得，由等腰三角形的性质和外角的性质可得结论； （3）先证明，，利用相似三角形的性质可求，由勾股定理可求的长，的长，即可求解． 【详解】（1）证明：∵直径弦， ∴弧弧， ∴， （2）证明：∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，连接，，过点B作于H，      ∵，， ∴， ∵弧弧， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴的半径为． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，利用相似三角形的性质求出的长是解题的关键． 2．（21·22·哈尔滨·模拟预测）如图1，为直径，点E是弦中点，连接并延长交于点D，    (1)求证：； (2)如图2，连接交于点F，求证：； (3)如图3，在（2）条件下，延长至点G，连接，若，，求的周长. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得出，根据圆心角与弧之间的关系得出即可； （2）连接，证明，得出，即可证明； （3）连接，交于点H，证明，得出，求出，得出，根据为的中点，得出，求出，根据解析（2）求出，设的半径为r，根据勾股定理得出，求出，最后求出圆的周长即可． 【详解】（1）证明：连接，如图所示：    ∴， ∵E是弦中点， ∴， ∴． （2）证明：连接，如图所示：    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：连接，交于点H，如图所示：    ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， 由（2）得：， ∴， 设的半径为r， 在中，，，， ∴， 解得：， ∴， 即的周长为． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，三角形相似的判定和性质，垂径定理，圆心角、弧之间的关系，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 3．（22·23上·长沙·期中）如图：已知等腰，，在上，延长交于点，过点作，交于点，连接，连接，是的内心．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，延长交于点，求证：； (3)如图3，过点作的垂线，垂足为，当时时，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)4 【分析】（1）证明是直径，再证明，可得结论； （2）连接，证明，可得结论； （3）如图3中，过点作交的延长线于点，作的内切圆，切点分别为，，．证明四边形是正方形，再证明，推出，因为与内切于点，，，推出，，，可得． 【详解】（1）证明：如图1中，    ， ， 是直径， ， 是等腰直角三角形， ， ， ； （2）证明：如图2中，连接．    是的内心， ，， ，，， ， ； （3）解：如图3中，过点作交的延长线于点，作的内切圆，切点分别为，，．    ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， 与内切于点，，， ，，， ． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的内切圆，全等三角形的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 4．（23·24上·福州·阶段练习）内接于，点D在边上，射线交于点E，点F在弧上，连接，.    (1)如图1，求证：； (2)如图2，交弦于点G，经过O点，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，H为的中点，连接、，若，，求线段的长. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，得到，，即，然后根据，可得到结果； （2）连接，找到角度之间的关系，结合（1）中的结论，可得到，通过同弧所对的圆周角相等，可得到，进而得到，即可求得结果； （3）延长交于点K，过O作于点M，过A作于点N，则，然后根据（1）（2）中的条件判断出四边形是平行四边形，四边形是矩形，得到，进而根据勾股定理得到答案． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：延长交于点K，过O作于点M，过A作于点N，则， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵H是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 由（2）得， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴在中，由勾股定理可得， ∴（舍）或， ∴，，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， 在中，． 【点睛】本题考查了圆与三角形的综合问题，其中有同弧所对的圆周角相等，垂线定理，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是找到各个角度、边长之间的关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 31.2.2《直线和圆的位置关系》 分层练习 考查题型一 判断直线和圆的位置关系 1．（23·24上·宿迁·阶段练习）若的半径为，点到圆心O的距离为，则直线与的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交 2．（22·23上·巴彦淖尔·期末）在平面直角坐标系中，的圆心坐标为，半径为方程的一个根，那么与轴的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 3．（22·23下·云浮·期末）已知的半径为5，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 4．（22·23下·梅州·开学考试）中，，，，以为圆心，以长为半径作，则与的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 考查题型二 已知直线和圆的位置关系求半径的取值范围 1．（22·23下·浦东新·三模）在平面直角坐标系中，以点为圆心、以R为半径作圆A与x轴相交，且原点O在圆A的外部，那么半径R的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（22·23下·虹口·二模）如图，在矩形中，对角线与相交于点，，．分别以点、为圆心画圆，如果与直线相交、与直线相离，且与内切，那么的半径长的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 3．（23·24上·宝山·一模）已知中，，、．以C为圆心作，如果圆C与斜边有两个公共点，那么圆C的半径长R的取值范围是（　　） A． B． C． D．． 4．（22·23上·齐齐哈尔·期末）已知和直线相交，圆心到直线的距离为，则的半径可能为（    ） A． B． C． D． 考查题型三 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 1．（23·24上·广州·期中）已知的半径为5，直线是的切线，则点到直线的距离是（    ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．5 2．（22·23下·淮安·一模）已知的半径为5，直线与有2个公共点，则点到直线的距离可能是（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 3．（2021上·长寿·期末）若直线与半径为的⊙O相交，则圆心O到直线的距离可能为（    ） A．3 B．4 C．4.5 D．5 4．（2020上·恩施·期末）已知的直径是8，直线与有两个交点，则圆心到直线的距离满足（    ） A． B． C． D． 考查题型四 与切线有关的概念 1．（20·21上·龙岩·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．垂直于半径的直线是圆的切线 B．经过三点一定可以作圆 C．每个三角形都有一个内切圆 D．圆的切线垂直于圆的半径 2．下列直线中可以判定为圆的切线的是（　　） A．与圆有公共点的直线 B．经过半径外端的直线 C．垂直于圆的半径的直线 D．与圆心的距离等于半径的直线 3．（22·23上·无锡·期中）下列说法：①圆中弦的垂直平分线一定经过圆心；②与半径垂直的直线是圆的切线；③相等的圆心角所对的弦也相等；④圆内接四边形有且只有一个．其中不正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2021上·滨海新·阶段练习）下列说法中错误的是（    ） A．切线与圆有唯一的公共点 B．到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线 C．垂直于切线的直线必经过切点 D．从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等 考查题型五 切线的证明 1．（23·24上·福州·阶段练习）如图，在中，，，的半径为3，求证：是的切线．    2．（21·22上·红河·期末）如图，，是的直径，交于D，于M点． 求证：与相切．    3．（23·24上·襄阳·阶段练习）如图是的直径，是的弦，延长到点C，使．过D点作于E，求证：为的切线. 4．（23·24上·厦门·期中）如图，四边形是的内接四边形，延长与过点的直线相交于点，已知．求证：与相切． 考查题型六 切线的性质定理 1．（23·24上·四平·期中）如图，是的直径，，与相交于点E，是的切线，与的延长线相交于点F，连接．    (1)求证：； (2)求证：． 2．（22·23上·许昌·期末）如图，是的外接圆，是的直径，点B是的中点，过点B的切线与的延长线交于点D．    (1)求证：； (2)若的半径为6，，求的长． 3．如图，是的直径，为的切线，为切点，过作的垂线，垂足为．    (1)求证：平分； (2)若的半径为，，求的长． 4．（22·23下·六安·一模）如图，是的外接圆，直径的长为6，过点C的切线交的延长线于点D，连接． (1)若，求的长； (2)若，求证：． 考查题型七 切线的性质和判定的综合应用 1．（23·24上·海淀·阶段练习）如图，为的直径，交于点，为上一点，延长交于点，延长至，使，连接．    (1)求证：为的切线； (2)若且，求的半径． 2．（22·23下·厦门·二模）如图，在中，，以为直径的半圆交于点，点是边和半圆的公共点，且满足．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长度． 3．（21·22上·武隆·期末）如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，交于点，连接，作，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 4．（22·23·扬州·二模）如图，中，，过两点，且是的切线，连接交劣弧于点．    (1)证明：是的切线； (2)若，，求的半径； 考查题型八 切线长定理的应用 1．（21·22下·模拟预测）如图，PA与⊙O相切于点A，点B在⊙O上，且PA=PB． (1)求证：PB与⊙O相切； (2)点Q在劣弧AB上运动，过点Q作⊙O的切线分别交PA，PB于点M，N．若PA=6，则△PMN的周长为______． 2．（21·22下·河东·二模）已知是直径，，分别切于点，． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，延长到点，使，连接，若，求的度数． 3．（21·22下·模拟预测）如图，AB是⊙O直径，BC⊥AB于点B，点C是射线BC上任意一点，过点C作CD切⊙O于点D，连接AD． (1)求证：BC＝CD； (2)若∠C＝60°，BC＝3，求AD的长． 4．（22·23上·抚顺·期末）如图，在中，，点D是边的中点，点O在边上，经过点C且与边相切于点E，．      (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径长． 1．（22·23上·哈尔滨·阶段练习）如图，在中，直径弦，连接，．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，作弦交于点E，交于点G，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，，，求的半径． 2．（21·22·哈尔滨·模拟预测）如图1，为直径，点E是弦中点，连接并延长交于点D，    (1)求证：； (2)如图2，连接交于点F，求证：； (3)如图3，在（2）条件下，延长至点G，连接，若，，求的周长. 3．（22·23上·长沙·期中）如图：已知等腰，，在上，延长交于点，过点作，交于点，连接，连接，是的内心．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，延长交于点，求证：； (3)如图3，过点作的垂线，垂足为，当时时，求的长度． 4．（23·24上·福州·阶段练习）内接于，点D在边上，射线交于点E，点F在弧上，连接，.    (1)如图1，求证：； (2)如图2，交弦于点G，经过O点，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，H为的中点，连接、，若，，求线段的长. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$