31.1.4 圆周角（教学课件）数学人教版五四制九年级上册

第31.1.4圆周角 人教版五四制数学九年级上册 学习目标 1.理解圆周角的概念,会叙述并证明圆周角定理; 2.掌握圆内接四边形的性质; 3.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解决简单的几何问题. 4.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用. 人教版五四制数学九年级上册 圆心角的定义： 圆心角的判断方法：　　　　　　　　　　　　　　 判断下列各图中的哪个角是圆心角，并说明理由. (1) (2) (3) (4) 顶点在圆心的角叫做圆心角. 观察顶点是否在圆心. 复习引入 人教版五四制数学九年级上册 将圆心角顶点上移，直至与⊙O相交于点C?观察得到的∠ACB有什么特征？ O A C B 特征：顶点在圆上，两边都与圆相交. 互动新授 顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的特征： ①顶点在圆上； ②两边都和圆相交. 圆周角: 人教版五四制数学九年级上册 如图，连接AO，BO，得到圆心角∠AOB.可以发现，∠ACB与∠AOB对着同一条弧AB，它们之间存在什么关系呢？ ( 互动新授 人教版五四制数学九年级上册 互动新授 探究 分别测量图中AB所对的圆周角∠ACB和圆心角∠AOB的度数，它们之间有什么关系？   在⊙O上任取一条弧，作出这条弧所对的圆周角和圆心角，测量它们的度数，你能得出同样的结论吗？由此你能发现什么规律？ ( 可以发现，同弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角的度数的一半. 猜想： 人教版五四制数学九年级上册 互动新授 在圆周角的内部 在圆周角的外部 在圆周角的一条边上 思考 圆心O与圆周角∠ACB有几种不同的位置关系？ 人教版五四制数学九年级上册 分析第(1)种情况： OA=OC ∠A=∠C ∠BOC=∠A +∠C ⇒ ⇒ 互动新授 对于第（2）（3）种情况，可以通过添加辅助线（如图），将它们转化为第（1）种情况，从而得到相同的结论. D D 人教版五四制数学九年级上册 圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 互动新授 符号语言： ∵AB=AB ∴∠AOC= ∠AOB 人教版五四制数学九年级上册 思考 如图，在☉O中，如果AB=CD，那么∠E与∠F相等吗？请说明理由. ( ( 互动新授 解：∠E=∠F.理由如下： 连结OA、OB、OC、OD. ∵AB=CD ∴∠AOB=∠COD ∵∠E= ∠AOB，∠F= ∠COD ∴∠E=∠F. ( ( 人教版五四制数学九年级上册 同弧或等弧所对的圆周角相等. 推论1： 符号语言： ∵AB=CD ∴∠AEB=∠CFD ( ( 符号语言： ∵AB=AB ∴∠ACB=∠ADB ( ( 互动新授 人教版五四制数学九年级上册 互动新授 思考 如图，线段AB是☉O的直径，点C是☉O上的任意一点(除点A、B外)，那么∠ABC就是半圆(直径AB)所对的圆周角，你能求出∠ACB的度数吗？ 解：连结OC. ∵OA=OB=OC ∴△AOC、△BOC都是等腰三角形 ∴∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB ∵∠OAC+∠OBC+∠ACB=180°. ∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=180°÷2=90°. 人教版五四制数学九年级上册 互动新授 推论2： 半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 符号语言： ∵∠ACB=90° ∴AB是☉O的直径. 符号语言： ∵AB是☉O的直径 ∴∠ACB=90°. 人教版五四制数学九年级上册 例4 如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求BC、AD、BD的长. 解：连接OD. ∵AB是直径， ∴∠ACB=∠ADB=90° 在Rt△ABC中， BC=(cm) ∵CD平分∠ACB ∴∠ACD=∠BCD 典例精析 人教版五四制数学九年级上册 例4 如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求BC、AD、BD的长. ∴∠AOD=∠BOD ∴AD=BD 又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2 ∴AD=BD=AB=×10=5(cm) 典例精析 人教版五四制数学九年级上册 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O是四边形ABCD的外接圆. 互动新授 人教版五四制数学九年级上册 思考 圆内接四边形的四个角之间有什么关系？ 如图，连接OB，OD. ∵∠A所对的弧为BCD，∠C所对的弧为BAD, 又BCD和BAD所对的圆心角的和是周角, ∴∠A+∠C= =180° , 同理∠B+∠D=180°. ( ( ( ( 互动新授 圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补. 人教版五四制数学九年级上册 1.下列各图中的∠BPA是否为圆周角并简述理由. √ × 小试牛刀 × × × × 人教版五四制数学九年级上册 2.四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，且∠A = 110°，∠B = 80°，则∠C = ° ，∠D = °. 3.⊙O 的内接四边形 ABCD 中，∠A∶∠B∶∠C =1∶2∶3，则∠D = °. 70 100 90 小试牛刀 人教版五四制数学九年级上册 1.如图，AB是⊙O直径，若∠AOC＝140°，则∠D的度数是（　　） A．20° B．30° C．40° D．70° 2.如图，☉O中，∠BOC=78°，则∠BAC的度数是( ) A.156° B.78° C.39° D.12° A C 课堂检测 人教版五四制数学九年级上册 3.如图，AB是☉O的直径，点C、D在☉O上，∠BDC=20°,则∠AOC的大小为( ) A.40° B.140° C.160° D.170° 4.如图，☉O中，OC⊥AB，∠APC=28°，则∠BOC的度数为( ) A.14° B.28° C.42° D.56° B D 课堂检测 人教版五四制数学九年级上册 B 1.如图，四边形ABCD内接于☉O.若AC=BC，∠BDC=50°,则∠ADC的度数是( ) A.125° B.130° C.135° D.140° ( ( 拓展训练 人教版五四制数学九年级上册 2.如图，BC是半圆O的直径，AD⊥BC于点D，BA=AF ，BF与AD交于点E.求证：(1)∠BAD=∠ACB；(2)AE=BE. ( ( 证明:(1)∵BC是半圆O的直径， ∴∠BAC＝90°. ∴∠BAD＋∠CAD＝90°. ∵AD⊥BC，∴∠ACB＋∠CAD＝90°. ∴∠BAD＝∠ACB. (2)∵BA=AF，∴∠ACB＝∠ABF. 由(1)知∠BAD＝∠ACB， ∴∠ABF＝∠BAD.∴AE＝BE. ( ( 拓展训练 人教版五四制数学九年级上册 课堂小结 圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 同弧或等弧所对的圆周角相等. 推论1： 推论2： 半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 圆内接四边形的对角互补. 圆内接四边形的性质： 人教版五四制数学九年级上册 1.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠A＝30°，则∠B的度数为(　　) A．15°　　B．30°　　　 C．45°　 D．60° D 课后作业 人教版五四制数学九年级上册 2.如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点.若∠B=110°，求∠ADE的度数. 解：∵四边形ABCD内接于⊙O ∴∠B+∠ADC=180° ∴∠ADC=180°-∠B=180°-110°=70° ∵∠ADE+∠ADC=180° ∴∠ADE=180°-∠ADC=180°-70°=110° 课后作业 人教版五四制数学九年级上册 谢谢聆听 人教版五四制数学九年级上册 $$