31.1 《圆的有关性质》 弧、弦、圆心角 课件 2025-2026学年人教版（五四制）九年级数学上册

31.1 圆的有关性质 —— 弧、弦、圆心角 1.理解圆心角的概念，掌握圆的中心对称性和旋转不变性。 2.探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题。 3.理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的意义。 教学目标 圆是中心对称图形 观察：1.将圆绕圆心旋转180°后，你发现了什么？由此你得到什么结论呢？ 对称中心是圆心 探究新知 2.将圆绕圆心旋转任意一个角度呢？ 圆具有旋转不变性 N O 把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度 新知探究 活动：探索圆的旋转角 N O 把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度任意时刻∠NON'具有什么共同特点？ 新知探究 活动：探索圆的旋转角 N' ∠NON'顶点始终在圆心处，只是角的大小有所变化而已 N O 新知探究 活动：探索圆的旋转角 N' 把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度任意时刻∠NON'具有什么共同特点？ ∠NON'顶点始终在圆心处，只是角的大小有所变化而已 N O 新知探究 活动：探索圆的旋转角 N' 把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度任意时刻∠NON'具有什么共同特点？ ∠NON'顶点始终在圆心处，只是角的大小有所变化而已 N O 新知探究 活动：探索圆的旋转角 N' 把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度任意时刻∠NON'具有什么共同特点？ ∠NON'顶点始终在圆心处，只是角的大小有所变化而已 1.圆心角： 圆心角及相关概念： A B O 概念归纳 顶点在圆心的角,叫圆心角， 如∠AOB . 判一判：判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由. 圆内角 圆外角 圆周角（后面会学到） 圆心角 ① ② ③ ④ O O O O 1.圆心角：顶点在圆心的角,叫圆心角， 如∠AOB . 3.圆心角∠AOB 所对的弦为 . 圆心角及相关概念： 2.圆心角∠AOB 所对的弧为 . A B O 概念归纳 AB 判一判：判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由. ① ② ③ ④ 圆内角 圆外角 圆周角 圆心角 C D 圆心角、弧、弦之间的关系（在同圆中探究） 在⊙O中，如果∠AOB=∠COD，那么，，弦AB与弦CD有怎样的数量关系？ 归纳 由圆的旋转不变性，我们发现： 在⊙O中， 如果∠AOB= ∠COD， 那么，，弦AB=弦CD A B O 如图，在等圆中，如果，你发现的等量关系是否依然成立？为什么？ 在等圆中探究 归纳 通过平移和旋转将两个等圆变成同一个圆，我们发现： 如果∠AOB= ∠COD， 那么，，弦AB=弦CD 想一想：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？ 不可以，如图. 要点归纳 弧、弦与圆心角的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相等． ∵∠AOB=∠A'OB' ∴AB=A'B'，AB=A'B' ⌒ ⌒ 探究：如果把定理的结论与题设交换，还是真命题吗？ 探究归纳 圆心角、弧、弦之间的关系定理 O A B A' B' 几何语言: 定理1：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的弦也相等． 弧、弦与圆心角关系的定理 定理2：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等． 要点归纳 知一得二 注意：必须是在同圆或等圆的前提下.此关系才成立. 定理3：在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等． 思考： “在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？ 答：不可以，如图. 如图，AB为⊙O 的弦，∠A＝40°，则AB所对的圆心角等于(　　) A．40° B．80° C．100° D．120° ⌒ C 练一练 例题讲解 证明：∵AB=AC ∴ AB=AC, △ABC 等腰三角形． 又∠ACB=60°， ∴ △ABC是等边三角形， AB=BC=CA. ∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC. ⌒ ⌒ 练一练 × × √ 1.等弦所对的弧相等. （ ） 2.等弧所对的弦相等. （ ） 3.圆心角相等，所对的弦相等. ( ） 判断题 4.直径是圆中最长的弦. ( ） √ 5.直径是弦，弦是直径. ( ） × 6.半圆是弧，弧是半圆. ( ） × 1．如果两个圆心角相等，那么 （ ） A．这两个圆心角所对的弦相等 B．这两个圆心角所对的弧相等 C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等 D．以上说法都不对 随堂练习 D 60 ° 3.在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD,则AB与CD的关系是（ ） ⌒ ⌒ A A. AB=2CD ⌒ ⌒ B. AB>CD ⌒ ⌒ C. AB<CD ⌒ ⌒ D. 不能确定 2.弦长等于半径的弦所对的圆心角等于 　. 变式：已知在⊙O中，则AB=2CD，则弦AB与CD的关系是（ ） ⌒ ⌒ C A. AB=2CD B. AB>2CD C. AB<2CD D. 无法确定 易错提示： 在同圆或等圆中，弧长之间的倍数关系与对应弦长之间的倍数关系不相等。 课堂小结 圆心角 圆心角 相等 弧 相等 弦 相等 弦、弧、圆心角的关系定理 在同圆或等圆中 概念：顶点在圆心的角 $$