第31章 圆（过题型）（八大题型）数学人教版五四制九年级上册

第31章《圆》 分层练习 考查题型一 垂径定理的应用 1．（22·23上·漯河·期中）如图是一根圆形下水管道的横截面，管内有少量的污水，此时的水面宽为米，污水的最大深度为米． (1)求此下水管横截面的半径： (2)随着污水量的增加，水位又被抬升米，求此时水面的宽度增加了多少？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）过点O作于点C，交圆O于点D，连接，则米，根据垂径定理可得米，设此下水管横截面的半径为r米，则米，可得米，在中，由勾股定理，即可求解； （2）过点O作于点H，根据垂径定理可得，再由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：过点O作于点C，交圆O于点D，连接，则米， ∴米， 设此下水管横截面的半径为r米，则米， ∴米， 在中，， ∴， 解得：， 即此下水管横截面的半径为米； （2）解：如图，过点O作于点H， ∴， 根据题意得：米，米， ∴米， ∴米， ∴米， ∴此时水面的宽度增加了米． 【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理的应用，掌握垂径定理的推论是解题的关键． 2．（22·23上·海淀·阶段练习）如图是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为，直径是河底线，弦是水位线，，米，于点，此时测得． (1)求的长： (2)如果水位以0.4米/小时的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？ 【答案】(1)米 (2)经过5小时桥洞会刚刚被灌满 【分析】（1）连接，根据垂径定理可得，勾股定理求得，进而求得； （2）延长交于点，由（1）求得，进而求得，根据题意即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 设， 在中，， ∴， ∵直径是河底线，， ∴， 解得， ∴，， ∴米， （2）如图，延长交于点， 由（1）可得， ∴ ∵水位以0.4米小时的速度上升， ∴（小时）， 即经过5小时桥洞会刚刚被灌满． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键． 3．（2020下·杭州·阶段练习）如图，已知在中，弦垂直平分半径，的延长线交于，连接，过点，的切线相交于点． （1）求证：是等边三角形； （2）若的半径为2，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）根据垂径定理和线段垂直平分线的性质进行证明，通过有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形进行证明. （2）根据勾股定理可求得AP长度. 【详解】解：（1）证明：连接，设与的交点为． ∵，分别切于，， ∴，， ∵弦垂直平分半径， ∴， ∴，故， ∴是等边三角形． （2）∵，由（1）可知， ∴在中，， ∴在中，． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定以及勾股定理的运用，解题的关键是熟练掌握这些定理性质判定. 4．（23·24上·朔州·期中）如图1，太原地铁号线工程建设者在施工时意外发现一座石拱桥．经考证，该石拱桥是明清时期太原府城大北门外的镇远桥，是当时城防交通体系的重要实物遗存．图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，设所在圆的圆心为，拱顶为点，交于点，连接．当桥下水面宽时，．                (1)求这座石拱桥主桥拱的半径． (2)有一条宽为，高出水面的矩形渔船，请你判断一下，此渔船能否顺利通过这座拱桥？并说明理由． 【答案】(1)这座石拱桥主桥拱的半径为 (2)此渔船不能顺利通过这座桥 【分析】（1）根据垂径定理可得，，，设主桥拱半径为，可得，根据勾股定理即可求解； （2）如图，设为该渔船的上端，连接，根据题意可求出的值，根据勾股定理可求出的值，再与矩形船的宽比较，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 设主桥拱半径为，由题意可知，， ∴，， ∵， ∴， ∴，解得，， ∴这座石拱桥主桥拱的半径为． （2）解：此渔船不能顺利通过这座拱桥，理由如下， 如图，设为该渔船的上端，连接， ∵，船舱顶部为长方形并高出水面， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴此渔船不能顺利通过这座桥． 【点睛】本题主题考查圆的基础知识，勾股定理的运用，掌握垂径定理，勾股定理的综合运用是解题的关键． 考查题型二 弧、弦、圆心角的应用 1．（21·22上·福州·期中）如图，四边形内接于，是的直径，点C为的中点，弦于点F，与交于点G．    (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）根据垂径定理以及圆周角定理可得，进而得到，再根据等腰三角形的判定可得； （2）利用圆心角、弦、弧之间的关系以及垂径定理证得，可得，再结合三角形中位线定理可得答案． 【详解】（1）证明：∵点为的中点， ∴， 又∵弦，是直径， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作，垂足为，连接，，    ∵， ∴， 即， ∴， 又∵，， ∴，， 则， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴． 【点睛】本题考查垂径定理、圆周角定理以及圆心角、弦、弧、圆心距之间的关系定理，掌握垂径定理、圆周角定理，圆心角、弦、弧之间的关系定理以及等腰三角形的判定方法、全等三角形的判定及性质、三角形中位线定理是正确解答的前提． 2．（22·23下·安庆·期末）如图，的两条弦、互相垂直，垂足为E，且．    (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作于点M，作于点N，证明四边形为矩形，可得，，，可得，证明四边形是正方形，可得．证明，从而可得结论； （2）连接，求解，可得，可得，再由勾股定理可得答案. 【详解】（1）证明：作于点M，作于点N， 又∵， ∴四边形为矩形， ∵，，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴． ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴即． （2）连接，        由（1）可知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 在中，， ∴⊙O的半径为． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，矩形，正方形的判定与性质，垂径定理的应用，弦，弧，弦心距之间的关系，熟记圆的基本性质是解本题的关键. 3．（22·23下·武汉·模拟预测）如图为圆O的直径，为圆O的弦，C为O上一点，，，垂足为D．    (1)连接，判断与的位置关系，并证明； (2)若，，求圆O的半径； 【答案】(1)，证明见详解 (2)5 【分析】（1），理由如下：延长交于点，连接，再根据圆的基本性质及等腰三角形的性质即可； （2）由（1）中结论，，，先证明，再根据勾股定理即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 延长交于点，连接，    ， ， ； （2）解：由（1）中结论，， ， ， 设的半径为，则， 在中，，即， 解得：，即的半径为5．    【点睛】本题考查圆的基本性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 4．（22·23下·黔南·一模）如图，、是圆上的两点，，是的中点． (1)求证：平分； (2)延长至，使得，连接，若圆的半径，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）求出等边三角形和等边，推出，即可得出答案； （2）求出，再求出，，即可求出答案． 【详解】（1）证明：连接、， ∵，是弧的中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，同理， ∴， ∴四边形是菱形， ∴平分； （2）解：∵是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∵，， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦之间的关系、勾股定理、菱形的判定与性质、等边三角形的性质和判定等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 考查题型三 圆周角定理及推论的应用 1．（22·23上·盐城·期中）如图，是的直径，弦交AB于点E，连接．若，    (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1)55度 (2)100度 【分析】（1）先根据直径所对的角是直角得出，再根据三角形内角和定理得出，最后根据同弧所对的圆周角相等，求解即可； （2）根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】（1）连接，    ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴∠ABC＝∠D＝55°； （2）∵是的一个外角，，， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形内角和定理和外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 2．（23·24上·连云港·阶段练习）如图，中，以为直径作，交于点D，交的延长线于点E，连接、，．求证：D是的中点．    【答案】见解析 【分析】根据等腰三角形的性质得到，利用圆周角定理得到，从而有，得出，根据圆周角定理的推论可得，然后根据等腰三角形的三线合一的性质即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， 又∵， ， 即D是的中点． 【点睛】本题考查圆周角定理，也考查了等腰三角形的判定和性质，掌握圆周角定理是解题的关键． 3．（21·22上·临汾·期末）如图，是的直径，C，D两点在上，．    (1)求证：． (2)若求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）由圆周角定理，得，由直径所对圆周角是直角，得，从而，于是； （2）连接，由直径，得，于是得，半径为3 ． 【详解】（1）∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴； ∵ ∴． （2）连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴的半径为3 ．    【点睛】本题考查圆周角定理，直径所对的圆周角是直角；运用圆周角定理寻求等角是解题的关键． 4．（22·23上·廊坊·期中）如图，四边形内接于，为的直径，．    (1)试判断的形状，并给出证明； (2)若，求的长度． 【答案】(1)是等腰直角三角形，证明见解析； (2)． 【分析】（1）根据圆周角定理可得，由根据等弧对等角可得，即可证明； （2）中由勾股定理可得，中由勾股定理求得即可； 【详解】（1）解：是等腰直角三角形， 证明过程如下： 为的直径， ， ， ， ， 又， 是等腰直角三角形． （2）解：是等腰直角三角形， ， ， 中，，，则， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识；掌握等弧对等角是解题关键． 考查题型四 切线的性质和判定的综合应用 1．（20·21·郴州·中考真题）如图，是的内接三角形，是的直径，点是的中点，交的延长线于点． （1）求证：直线与相切； （2）若的直径是10，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）． 【分析】（1）连接OD，由点D是的中点得OD⊥BC，由DE//BC得OD⊥DE，由OD是半径可得DE是切线； （2）证明△ODE是等腰直角三角形，可求出OE的长，从而可求得结论． 【详解】解：（1）连接OD交BC于点F，如图， ∵点是的中点， ∴OD⊥BC， ∵DE//BC ∴OD⊥DE ∵OD是的半径 ∴直线与相切； （2）∵AC是的直径，且AB=10, ∴∠ABC=90°， ∵OD⊥BC ∴∠OFC=90° ∴OD//AB ∴ ∵ ∴ ∴ 由勾股定理得， ∴． 【点睛】此题主要考查了切线的判定与性质的综合运用，熟练掌握切线的判定与性质是解答此题的关键． 2．（2020·济南·中考真题）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点A作AD⊥DC，连接AC，BC． （1）求证：AC是∠DAB的角平分线； （2）若AD＝2，AB＝3，求AC的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）连接OC，根据切线的性质可得∠OCD＝90°，再根据AD⊥DC，和半径线段即可证明AC是∠DAB的角平分线； （2）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再证明Rt△ADC∽Rt△ACB，对应边成比例即可求出AC的长． 【详解】解：（1）证明：连接OC，如图， ∵CD与⊙O相切于点C， ∴∠OCD＝90°， ∴∠ACD+∠ACO＝90°， ∵AD⊥DC， ∴∠ADC＝90°， ∴∠ACD+∠DAC＝90°， ∴∠ACO＝∠DAC， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， ∴∠DAC＝∠OAC， ∴AC是∠DAB的角平分线； （2）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠D＝∠ACB＝90°， ∵∠DAC＝∠BAC， ∴Rt△ADC∽Rt△ACB， ∴ ， ∴AC2＝AD•AB＝2×3＝6， ∴AC＝ 【点睛】本题主要考查切线的性质和圆周角定理，解题关键是连接OC，根据切线的性质可得∠OCD＝90°. 3．（23·24上·南宁·期中）如图，与相切于点B，交于点C，的延长线交于点D，E是上不与B，D重合的点，．    (1)求的大小； (2)若点F在的延长线上，且，求证：与相切． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据切线的性质，得出，进而求出，，再根据圆周角定理得出答案； （2）根据等腰三角形的判定和性质可得，进而得出，根据“三角形一边的中线等于这边的一半，这个三角形是直角三角形”得出即可． 【详解】（1）解：连接，    与相切于点， ，即， ， ， ， ， （2）证明：连接，    ，， ， ， 又， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， 是直角三角形， 即， ，是半径， 是的切线． 【点睛】本题考查切线的性质和判定，圆周角定理以及等腰三角形、直角三角形性质，掌握切线的性质和判定方法，圆周角定理以及等腰三角形、直角三角形的性质是正确解答的前提． 4．（23·24上·南宁·阶段练习）如图，四边形是平行四边形，以为圆心，为半径的圆交于，延长交于，连接，，若是的切线，    (1)求证：是的切线； (2)若，，求平行四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）连接，证出，推出，根据切线的判定推出即可； （2）求出，根据三角形的面积公式求出，根据平行四边形的面积公式求出即可． 【详解】（1）解：∵是的切线， ∴， 连接，如图，    ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴（）， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）解：过作于，如图，    ∵四边形是平行四边形， ∴，， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形的面积． 【点睛】本题主要考查圆的切线的判定定理，添加辅助线，构造全等三角形和高，是解题的关键 考查题型五 切线长定理的应用 1．（22·23下·海淀·二模）如图，P为外一点，，是⊙O的切线，A、B为切点，点C在上，连接、、．    (1)求证：； (2)连接，若，的半径为5，，的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)10 【分析】（1）过作于，得到，根据切线的性质得到，根据余角的性质得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论； （2）连接，延长交于，根据切线的性质得到，，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：过作于，如图所示：    ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：连接，延长交于，如图所示：    ∵，是的切线， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 2．（20·21上·武汉·阶段练习）如图，是的直径，，． (1)求证：是的切线； (2)与相切与点C，交与点D，连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，即可证明结论； （2）连接、，交于点E，连接，，根据可求出，证明，由全等三角形的性质得出，由等腰直角三角形的性质可得出答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， 即， 又∵是直径， ∴是的切线； （2）如图，连接、，交于点E，连接，， ∵，， ∴， 由（1）可知和是的切线， ∴，， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，等腰直角三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键． 3．（20·21·唐山·二模）如图，△ABC是直角三角形，以斜边AB为直径作半圆，半圆的圆心为O，过A、C两点作半圆的切线，交点为D，连接DO交AC于点E． (1)求证：OD∥BC； (2)若AC＝2BC，求证：AB＝AD． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】对于（1），连接OC，根据切线的性质得到AD＝CD，且OA⊥AD，OC⊥CD，根据全等三角形的性质得到∠ADO＝∠CDO，求得DO⊥AC，根据平行线的判定定理即可得到结论； 对于（2），先根据平行线的性质得∠B＝∠EOA，进而说明AE＝EC，求得∠EOA＝∠EAD，再推出BC＝AE，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接OC，如图所示， ∵DA、DC是半圆O的切线， ∴AD＝CD，且OA⊥AD，OC⊥CD， 又OA＝OC，OD＝OD， ∴△OAD≌△OCD（SSS）， ∴∠ADO＝∠CDO， 即DO是∠ADC的平分线， ∴DO⊥AC， 又BC⊥AC， ∴OE∥BC； （2）证明：由（1）知：OE∥BC，DO垂直平分AC， ∴∠B＝∠EOA，AE＝EC， 又DA⊥AO， ∴∠EOA＝∠EAD， ∴∠EAD＝∠B. ∵AC＝2BC， ∴BC＝AE， ∴△ABC≌△DAE（ASA）， ∴AB＝AD． 【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质，平行线的性质和判定，全等三角形的性质和判定等，构造全等三角形是解题的关键． 4．（2020上·乌鲁木齐·一模）如图，在中，，以为直径的交于，点在线段上，且. (1)求证：是的切线． (2)若，求的半径． 【答案】(1)证明见解析；(2)的半径为1. 【分析】（1）如图（见解析），连接OD，先根据等边对等角求出，再根据直角三角形两锐角互余得，从而可得，最后根据圆的切线的判定定理即可得证； （2）先根据圆的切线的判定定理得出是的切线，再根据切线长定理可得，从而可得AC的长，最后在中，利用直角三角形的性质即可得. 【详解】如图，连接 又，则 ，且OD为的半径 是的切线； （2），是直径 是的切线 由（1）知，是的切线 在中，，则 故的半径为1. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、圆的切线的判定定理、切线长定理，较难的是（2），利用切线长定理求出EC的长是解题关键. 考查题型六 正多边形和圆的综合应用 1．如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧 CD上（不与C点重合）． （1）求∠BPC的度数； （2）若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长． 【答案】(1)45°；(2)8 【详解】试题分析：（1）连接OB，OC，由正方形的性质知，是等腰直角三角形，根据，由圆周角定理可以求出； （2）过点O作OE⊥BC于点E，由等腰直角三角形的性质可知OE=BE，由垂径定理可知BC=2BE，故可得出结论． 试题解析：（1）连接OB，OC， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BOC=90°， ∴∠P=∠BOC=45°； （2）过点O作OE⊥BC于点E， ∵OB=OC，∠BOC=90°， ∴∠OBE=45°， ∴OE=BE， ∵OE2+BE2=OB2， ∴BE=， ∴BC=2BE=2×. 点睛：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的两条弧. 2．如图1、、3、…、，、分别是的内接正三角形、正方形、五边形、…..、正边形…..的边、上的点，且，连接、． （1）求图1中的度数； （2）图中的度数是____________，图3中的度数是____________； （3）试探究的度数与正边形边数的关系（直接写出答案）． 【答案】（1）；（2），；（3） 【详解】试题分析:连接BO,CO那么,有:BM=CM, ∠OBM=∠OCN,BO=CO,利用SAS证明△OBM≌△OCN,同理可得,图1中的∠MON=∠BOC=120°,图2中心角等于360°÷4=90°,图3的中心角等于360°÷5=72°,所以,（1）120°,（2）90° 72°,（3）正n边形时, ∠MON=∠BOC=360°÷n, ∠MON是一定值,取特殊位置进行分析,对三个图取B与M重合,N与C重合,即可求出∠MON的值. 试题解析:（1）解法一:连接OB,OC, ∵正△ABC内接于⊙O, ∴∠OBM=∠OCN=30°,∠BOC=120°. 又∵BM=CN,OB=OC, ∴△OBM≌△OCN, ∴∠BOM=∠OCN, ∴∠MON=∠BOC=120°. 解法二:连接OA,OB, ∵正△ABC内接于⊙O, ∴AB=AC,∠OAM=∠OBN=30°,∠AOB=120°, 又∵BM=CN, ∴AM=BN, 又∵OA=OB, ∴△AOM≌△BON, ∴∠AOM=∠BON, ∴∠AON=∠AOB=120°. （2）90°, 72°. （3）∠MON=. 3．如图，已知点O是正六边形ABCDEF的对称中心，G，H分别是AF，BC上的点，且AG＝BH． （1）求∠FAB的度数； （2）求证：OG＝OH． 【答案】（1）120°；（2）见解析； 【分析】(1)根据多边形的内角和定理、正多边形的性质计算； (2)证明△AOG≌△BOH，根据全等三角形的性质证明结论． 【详解】(1)∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠FAB＝＝120°； (2)连接OA、OB， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA， ∵∠FAB＝∠CBA， ∴∠OAG＝∠OBH， 在△AOG和△BOH中， ， ∴△AOG≌△BOH(SAS) ∴OG＝OH． 【点睛】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的内角的计算公式、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 4．如图,☉O是正五边形ABCDE的外接圆,F是的中点,连接CF,EF. (1)请直接写出∠CFE=　 　°; (2)求证:EF=CF; (3)若☉O的半径为5,求的长. 【答案】（1）72°；（2）详见解析；（3）3π. 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质和正五边形的内角解答即可； （2）利用正五边形的性质和弧长关系证明即可； （3）利用弧长公式解答即可． 【详解】解: （1）∵正五边形ABCDE， ∴∠EDC＝108°， ∴∠CFE＝180°−108°＝72°， 故答案为72°. (2)∵五边形ABCDE是正五边形,∴AE=BC,∴, 又∵F是的中点,∴, ∴,∴,∴EF=CF. (3)∵☉O是正五边形ABCDE的外接圆, ∴, ∵R=5,∴×2πR=2π, 又∵=π,∴=3π. 【点睛】本题考查了正多边形与圆，解题关键是根据圆内接四边形的性质和正五边形的性质解答． 考查题型七 求阴影部分的面积 1．（22·23上·赣州·期末）如图，正方形的边长为4，以为直径在正方形内部作半圆O，点E在边上，，连接和． (1)求图中阴影部分的面积（用含π的代数式表示）； (2)试判断的形状； (3)求证：是半圆O的切线． 【答案】(1) (2)是直角三角形，且 (3)见解析 【分析】（1） 阴影部分的面积=梯形的面积-半圆的面积，据此求解即可； （2）在中，，，可求出，同理在，中，可求出，，用勾股定理逆定理证明即可； （3）过点O作于F，利用面积相等可求出，且等于半径长，即可证明． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为4，， ∴； （2）解：∵正方形的边长为4，， ∴， ， 在中，，， ， 在中，，， ， ， 是直角三角形，且， （3）证明：过点O作于F，如图所示： 由（2）得：，，， ， ， ， 是圆的半径，且， 是半圆O的切线． 【点睛】本题考查了切线的判定、正方形的性质、勾股定理及逆定理的应用、等面积法求高和求不规则图形的面积，熟练掌握正方形的性质及勾股定理及其逆定理是解题的关键． 2．（23·24上·齐齐哈尔·期中）如图，内接于，是的直径，的切线交的延长线于点P，交于点E，交于点F，连接． (1)求证：直线是的切线； (2)若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，由为切线，可得，根据与，可得，从而证得，得到，因此可证为的切线； （2）根据，，可得，，因此，又由得到，在中，解直角三角形可得，，因此根据三角形的面积公式求得的面积，根据扇形面积公式求得扇形的面积，它们的差即为阴影部分的面积． 【详解】（1）连接， ∵为切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， ∴， 又∵为的半径， ∴为的切线； （2）∵，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴阴影部分的面积为． 【点睛】此题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，三角形的面积求法，扇形的面积公式，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键． 3．（22·23上·廊坊·期中）如图1，直线与直线相交于点，在直线上取两点，且，在直线上取两点．且，以为直径作小半圆，以为直径作大半圆．连接，直线交大半圆于点．    (1)求证：； (2)求阴影部分的面积； (3)如图2，若切小半圆于点，连接，求证：也是小半圆的切线． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）证明，即可得到，从而即可得证； （2）由可得阴影部分的面积，代入数据进行计算即可得到答案； （3）由切线的性质可得，设交小半圆于，连接，由直角三角形的性质可得，从而推出是等边三角形，得到，，再由等腰三角形的性质及三角形外角的定义及性质可得，过点作于点，由角平分线的性质可得，由此即可得证． 【详解】（1）证明：， ， ， ； （2）解：， 阴影部分的面积； （3）解：切小半圆于A， ， 如图，设交小半圆于，连接， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 过点作于点， ， ， 也是小半圆的切线． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、扇形面积的计算、切线的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义与性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 4．（23·24上·福州·期中）如图，在正方形中有一点，连接、，旋转到的位置． (1)若正方形的边长是，．则阴影部分面积为___________； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）根据题意， ，根据公式计算即可． （2）连接，根据题意， ，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）如图，∵正方形，旋转到的位置， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图所示，连接， 根据题意， ，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，阴影面积的计算，扇形面积公式，勾股定理，熟练掌握旋转的性质，阴影面积的计算，扇形面积公式，勾股定理是解题的关键． 考查题型八 圆锥的应用 1．（21·22上·盐城·阶段练习）如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是1，母线长是4． （1）求这个圆锥的侧面展开图中∠ABC的度数． （2）如果A是底面圆周上一点，一只蚂蚁从点A出发，绕圆锥侧面一圈再回到A点，求这只蚂蚁爬过的最短距离． 【答案】（1）90°；（2）4 【分析】（1）利用侧面展开图是以4为半径，2π为弧长的扇形，由弧长公式求圆心角，进而即可求解； （2）在侧面展开图中，由两点之间线段最短得蚂蚁爬行的最短距离为AC的距离，进而即可求解． 【详解】解：（1）设∠ABC的度数为n，底面圆的周长等于2π×1＝，解得n＝90°； （2）连接AC，过B作BD⊥AC于D，则∠ABD＝45°． ∴是等腰直角三角形， ∵AB＝4， ∴AD＝BD＝4÷=2， ∴AC＝2AD＝4， 即这只蚂蚁爬过的最短距离4． 【点睛】此题考查了圆锥的侧面展开图弧长的计算；得到圆锥的底面圆的周长和扇形弧长相等是解决本题的关键． 2．已知一个圆锥沿轴剖开是一个等腰三角形．若这个三角形的底为，腰为． (1)求圆锥侧面展开图的扇形弧长． (2)求圆锥的全面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可知等腰三角形的底边长即为圆锥底面圆的直径，利用圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长进行求解即可； （2）根据圆锥的全面积等于圆锥的侧面积加上底面圆的面积，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：圆锥的底面圆的直径为， ∴圆锥侧面展开图的扇形弧长为； （2）由题意，得：底面圆的半径为，母线长为， ∴圆锥的全面积． 【点睛】本题考查求圆锥的全面积和扇形的弧长．熟练掌握圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长，以及圆锥的全面积等于圆锥的侧面积加上底面圆的面积，是解题的关键． 3．（21·22上·江苏·期末）如图1中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，将扇形EAF围成圆锥时，AE、恰好重合，已知这种加工材料的顶角． (1)求图2中圆锥底面圆直径ED与母线AD长的比值； (2)若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留π） 【答案】(1)1：2 (2) 【分析】（1）根据弧EF的两种求法，可得结论． （2）根据求解即可． 【详解】（1）由圆锥的底面圆周长相当于侧面展开后扇形的弧长得： ． ∴． ∴，ED与母线AD长之比为 （2）∵ ∴ 答：加工材料剩余部分的面积为 【点睛】本题考查圆锥的计算，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 4．在一个圆柱形水桶里，垂直放入一段半径是的圆柱形钢材．如果把钢材全部侵入水中，桶里的水面上升；如果再把钢材垂直露出水面，桶里的水面下降．（取） (1)整段钢材的体积是多少？ (2)若把整段钢材全部用来锻造底面直径为，高为的圆锥形零件，一共可以锻造多少个这样的圆锥形零件？（假定锻造过程中无任何损耗） 【答案】(1) (2)个 【分析】（1）根据题意先求出整段钢材的高，再根据圆柱的体积公式列式计算即可； （2）根据圆锥的体积公式求出每个圆锥形零件的体积，再用整段钢材的体积除以每个圆锥形零件的体积即可求解． 【详解】（1）解：整段钢材的高为：， 整段钢材的体积为：， 答：整段钢材的体积是； （2）解：每个圆锥形零件的体积为：， 锻造锥形零件的个数为：（个）． 答：一共可以锻造个这样的圆锥形零件． 【点睛】本题考查了圆柱与圆锥的体积公式，解题的关键是要读懂题意，根据题目给出的条件，由体积公式找出合适的数量关系列式计算． 1．（2021·滨海新·二模）如图，是的外接圆，切于点，与直径的延长线相交于点． （Ⅰ）如图①，若，求的大小； （Ⅱ）如图②，当，时，求的大小和的半径． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），半径为2 【分析】（Ⅰ）连接，根据圆周角定理求得，然后利用三角形外角和切线的性质求解； （Ⅱ）连接，设，根据圆周角定理及切线的性质列方程求解，然后再利用含30°的直角三角形性质求解圆的半径． 【详解】解：（Ⅰ）连接． ∵切于点， ∴，∴， ∵， ∴， ∴． （Ⅱ）连接，设． ∵，∴， ∵，∴， ∴． ∵是的切线， ∴，即， 在中，， 即， 解得， ∴． 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴，即的半径为2． 【点睛】本题考查圆周角定理及切线的性质，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键． 2．如图，⊙O的直径AB的长为2，点C在圆周上，∠CAB=30°．点D是圆上一动点，DE∥AB交CA的延长线于点E，连接CD，交AB于点F． (1)如图1，当DE与⊙O相切时，求∠CFB的度数； (2)如图2，当点F是CD的中点时，求△CDE的面积． 【答案】（1）75°；（2）. 【分析】（1）由题意可求∠AOD=90°，即可求∠C=45°，即可求∠CFB的度数； （2）连接OC，根据垂径定理可得AB⊥CD，利用勾股定理．以及直角三角形30度性质求出CD、DE即可． 【详解】解：（1）如图：连接OD ∵DE与⊙O相切 ∴∠ODE＝90° ∵AB∥DE ∴∠AOD+∠ODE＝180° ∴∠AOD＝90° ∵∠AOD＝2∠C ∠C＝45° ∵∠CFB＝∠CAB+∠C ∴∠CFB＝75° （2）如图：连接OC ∵AB是直径，点F是CD的中点 ∴AB⊥CD，CF＝DF， ∵∠COF＝2∠CAB＝60°， ∴OF＝OC＝，CF＝ OF＝ ， ∴CD＝2CF＝ ，AF＝OA+OF＝ ， ∵AF∥AD，F点为CD的中点， ∴DE⊥CD，AF为△CDE的中位线， ∴DE＝2AF＝3， ∴S△CED＝×3×＝ 【点睛】本题考查切线的性质和判定、圆的有关知识、勾股定理等知识，解题关键是灵活运用这些知识，属于基础题，中考常考题型． 3．如图1在平面直角坐标系中，⊙O1与x轴切于A（﹣3，0）与y轴交于B、C两点，BC=8，连AB． （1）求证：∠ABO1=∠ABO； （2）求AB的长； （3）如图2，过A、B两点作⊙O2与y轴的正半轴交于M，与O1B的延长线交于N，当⊙O2的大小变化时，得出下列两个结论：①BM﹣BN的值不变；②BM+BN的值不变．其中有且只有一个结论正确，请判断正确结论并证明． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）①BM﹣BN的值不变，理由见解析. 【分析】（1）连接O1A，由圆O1与x轴切于A，根据切线的性质得到O1A垂直于OA，由OB与AO垂直，根据平面内垂直于同一条直线的两直线平行，得到O1A与OB平行，根据两直线平行内错角相等，得到一对内错角相等，再由O1A=O1B，根据等边对等角可得出一对角相等，等量代换可得出∠ABO1=∠ABO，得证； （2）作O1E⊥BC于点E，根据垂径定理得到E为BC的中点，由BC的长求出BE的长，再由A的横坐标得出OA的长，即为O1E的长，在直角三角形O1BE中，根据勾股定理求出O1B的长，用OE-BE求出OB的长，在直角三角形AOB中，根据勾股定理即可求出AB的长； （3）两个结论中，①BM-BN的值不变正确，理由为：在MB上取一点G，使MG=BN，连接AM、AN、AG、MN，由∠ABO1为四边形ABMN的外角，根据圆内接四边形的外角等于它的内对角，可得出∠ABO1=∠NMA，再由∠ABO1=∠ABO，等量代换可得出∠ABO=∠NMA，然后利用同弧所对的圆周角相等可得出∠ABO=∠ANM，等量代换可得出∠NMA=∠ANM，根据等角对等边可得出AM=AN，再由同弧所对的圆周角相等，及OM=BN，利用SAS可得出三角形AMG与三角形ABN全等，根据全等三角形的对应边相等可得出AG=AB，由AO与BG垂直，根据三线合一得到O为BG的中点，根据OB的长求出BG的长，然后BM-BN=BM-MG=BG，由BG为常数得到BM-BN的长不变，得证． 【详解】（1）连接O1A，则O1A⊥OA，又OB⊥OA， ∴O1A∥OB， ∴∠O1AB=∠ABO， 又∵O1A=O1B， ∴∠O1AB=∠O1BA， ∴∠ABO1=∠ABO； （2）作O1E⊥BC于点E， ∴E为BC的中点， ∵BC=8， ∴ ∵A（﹣3，0）， ∴O1E=OA=3， 在直角三角形O1BE中， 根据勾股定理得： ∴O1A=EO=5， ∴BO=5﹣4=1， 在直角三角形AOB中， 根据勾股定理得： （3）①BM﹣BN的值不变，理由为： 证明：在MB上取一点G，使MG=BN，连接AM、AN、AG、MN， ∵∠ABO1为四边形ABMN的外角， ∴∠ABO1=∠NMA，又∠ABO1=∠ABO， ∴∠ABO=∠NMA，又∠ABO=∠ANM， ∴∠AMN=∠ANM， ∴AM=AN， ∵∠AMG和∠ANB都为所对的圆周角， ∴∠AMG=∠ANB， 在△AMG和△ANB中， ∵ ∴△AMG≌△ANB（SAS）， ∴AG=AB， ∵AO⊥BG， ∴BG=2BO=2， ∴BM﹣BN=BM﹣MG=BG=2其值不变． 【点睛】考查切线的性质, 坐标与图形性质, 全等三角形的判定与性质, 勾股定理, 垂径定理，综合性比较强，难度较大. 4．如图，是的直径，与是弦，且． 求证：； 如果点是由圆上运动到圆外，过圆心．如图，是否仍有？为什么？ 如图，如果点由圆上运动到圆内呢？ 【答案】见解析 【分析】(1)作出弦心距,利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等求得,而证得; (2)(3)同(1). 【详解】作于点，于点， ∵， ∴， 可证， ∴． 又∵，， ∴． 、结论成立． 证明：作于点，于点， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，． 在与中， ∵， ∴， ∴． ∴． 作于点，于点，设延长交圆于点，延长交圆于点， ∵， ∴， 根据在同圆中圆心距相等，则相对应的弦相等， ∴， ， ∴，，， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题利用了角的平分线的性质及全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握这些性质和判定. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第31章《圆》 分层练习 考查题型一 垂径定理的应用 1．（22·23上·漯河·期中）如图是一根圆形下水管道的横截面，管内有少量的污水，此时的水面宽为米，污水的最大深度为米． (1)求此下水管横截面的半径： (2)随着污水量的增加，水位又被抬升米，求此时水面的宽度增加了多少？ 2．（22·23上·海淀·阶段练习）如图是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为，直径是河底线，弦是水位线，，米，于点，此时测得． (1)求的长： (2)如果水位以0.4米/小时的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？ 3．（2020下·杭州·阶段练习）如图，已知在中，弦垂直平分半径，的延长线交于，连接，过点，的切线相交于点． （1）求证：是等边三角形； （2）若的半径为2，求的长． 4．（23·24上·朔州·期中）如图1，太原地铁号线工程建设者在施工时意外发现一座石拱桥．经考证，该石拱桥是明清时期太原府城大北门外的镇远桥，是当时城防交通体系的重要实物遗存．图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，设所在圆的圆心为，拱顶为点，交于点，连接．当桥下水面宽时，．                (1)求这座石拱桥主桥拱的半径． (2)有一条宽为，高出水面的矩形渔船，请你判断一下，此渔船能否顺利通过这座拱桥？并说明理由． 考查题型二 弧、弦、圆心角的应用 1．（21·22上·福州·期中）如图，四边形内接于，是的直径，点C为的中点，弦于点F，与交于点G．    (1)求证：； (2)若，求的长． 2．（22·23下·安庆·期末）如图，的两条弦、互相垂直，垂足为E，且．    (1)求证：； (2)若，，求的半径． 3．（22·23下·武汉·模拟预测）如图为圆O的直径，为圆O的弦，C为O上一点，，，垂足为D．    (1)连接，判断与的位置关系，并证明； (2)若，，求圆O的半径； 4．（22·23下·黔南·一模）如图，、是圆上的两点，，是的中点． (1)求证：平分； (2)延长至，使得，连接，若圆的半径，求的长． 考查题型三 圆周角定理及推论的应用 1．（22·23上·盐城·期中）如图，是的直径，弦交AB于点E，连接．若，    (1)求的度数； (2)若，求的度数． 2．（23·24上·连云港·阶段练习）如图，中，以为直径作，交于点D，交的延长线于点E，连接、，．求证：D是的中点．    3．（21·22上·临汾·期末）如图，是的直径，C，D两点在上，．    (1)求证：． (2)若求的半径． 4．（22·23上·廊坊·期中）如图，四边形内接于，为的直径，．    (1)试判断的形状，并给出证明； (2)若，求的长度． 考查题型四 切线的性质和判定的综合应用 1．（20·21·郴州·中考真题）如图，是的内接三角形，是的直径，点是的中点，交的延长线于点． （1）求证：直线与相切； （2）若的直径是10，，求的长． 2．（2020·济南·中考真题）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点A作AD⊥DC，连接AC，BC． （1）求证：AC是∠DAB的角平分线； （2）若AD＝2，AB＝3，求AC的长． 3．（23·24上·南宁·期中）如图，与相切于点B，交于点C，的延长线交于点D，E是上不与B，D重合的点，．    (1)求的大小； (2)若点F在的延长线上，且，求证：与相切． 4．（23·24上·南宁·阶段练习）如图，四边形是平行四边形，以为圆心，为半径的圆交于，延长交于，连接，，若是的切线，    (1)求证：是的切线； (2)若，，求平行四边形的面积． 考查题型五 切线长定理的应用 1．（22·23下·海淀·二模）如图，P为外一点，，是⊙O的切线，A、B为切点，点C在上，连接、、．    (1)求证：； (2)连接，若，的半径为5，，的长． 2．（20·21上·武汉·阶段练习）如图，是的直径，，． (1)求证：是的切线； (2)与相切与点C，交与点D，连接，若，求的长． 3．（20·21·唐山·二模）如图，△ABC是直角三角形，以斜边AB为直径作半圆，半圆的圆心为O，过A、C两点作半圆的切线，交点为D，连接DO交AC于点E． (1)求证：OD∥BC； (2)若AC＝2BC，求证：AB＝AD． 4．（2020上·乌鲁木齐·一模）如图，在中，，以为直径的交于，点在线段上，且. (1)求证：是的切线． (2)若，求的半径． 考查题型六 正多边形和圆的综合应用 1．如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧 CD上（不与C点重合）． （1）求∠BPC的度数； （2）若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长． 2．如图1、、3、…、，、分别是的内接正三角形、正方形、五边形、…..、正边形…..的边、上的点，且，连接、． （1）求图1中的度数； （2）图中的度数是____________，图3中的度数是____________； （3）试探究的度数与正边形边数的关系（直接写出答案）． 3．如图，已知点O是正六边形ABCDEF的对称中心，G，H分别是AF，BC上的点，且AG＝BH． （1）求∠FAB的度数； （2）求证：OG＝OH． 4．如图,☉O是正五边形ABCDE的外接圆,F是的中点,连接CF,EF. (1)请直接写出∠CFE=　 　°; (2)求证:EF=CF; (3)若☉O的半径为5,求的长. 考查题型七 求阴影部分的面积 1．（22·23上·赣州·期末）如图，正方形的边长为4，以为直径在正方形内部作半圆O，点E在边上，，连接和． (1)求图中阴影部分的面积（用含π的代数式表示）； (2)试判断的形状； (3)求证：是半圆O的切线． 2．（23·24上·齐齐哈尔·期中）如图，内接于，是的直径，的切线交的延长线于点P，交于点E，交于点F，连接． (1)求证：直线是的切线； (2)若，求阴影部分的面积． 3．（22·23上·廊坊·期中）如图1，直线与直线相交于点，在直线上取两点，且，在直线上取两点．且，以为直径作小半圆，以为直径作大半圆．连接，直线交大半圆于点．    (1)求证：； (2)求阴影部分的面积； (3)如图2，若切小半圆于点，连接，求证：也是小半圆的切线． 4．（23·24上·福州·期中）如图，在正方形中有一点，连接、，旋转到的位置． (1)若正方形的边长是，．则阴影部分面积为___________； (2)若，求的长． 考查题型八 圆锥的应用 1．（21·22上·盐城·阶段练习）如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是1，母线长是4． （1）求这个圆锥的侧面展开图中∠ABC的度数． （2）如果A是底面圆周上一点，一只蚂蚁从点A出发，绕圆锥侧面一圈再回到A点，求这只蚂蚁爬过的最短距离． 2．已知一个圆锥沿轴剖开是一个等腰三角形．若这个三角形的底为，腰为． (1)求圆锥侧面展开图的扇形弧长． (2)求圆锥的全面积． 3．（21·22上·江苏·期末）如图1中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，将扇形EAF围成圆锥时，AE、恰好重合，已知这种加工材料的顶角． (1)求图2中圆锥底面圆直径ED与母线AD长的比值； (2)若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留π） 4．在一个圆柱形水桶里，垂直放入一段半径是的圆柱形钢材．如果把钢材全部侵入水中，桶里的水面上升；如果再把钢材垂直露出水面，桶里的水面下降．（取） (1)整段钢材的体积是多少？ (2)若把整段钢材全部用来锻造底面直径为，高为的圆锥形零件，一共可以锻造多少个这样的圆锥形零件？（假定锻造过程中无任何损耗） 1．（2021·滨海新·二模）如图，是的外接圆，切于点，与直径的延长线相交于点． （Ⅰ）如图①，若，求的大小； （Ⅱ）如图②，当，时，求的大小和的半径． 2．如图，⊙O的直径AB的长为2，点C在圆周上，∠CAB=30°．点D是圆上一动点，DE∥AB交CA的延长线于点E，连接CD，交AB于点F． (1)如图1，当DE与⊙O相切时，求∠CFB的度数； (2)如图2，当点F是CD的中点时，求△CDE的面积． 3．如图1在平面直角坐标系中，⊙O1与x轴切于A（﹣3，0）与y轴交于B、C两点，BC=8，连AB． （1）求证：∠ABO1=∠ABO； （2）求AB的长； （3）如图2，过A、B两点作⊙O2与y轴的正半轴交于M，与O1B的延长线交于N，当⊙O2的大小变化时，得出下列两个结论：①BM﹣BN的值不变；②BM+BN的值不变．其中有且只有一个结论正确，请判断正确结论并证明． 4．如图，是的直径，与是弦，且． 求证：； 如果点是由圆上运动到圆外，过圆心．如图，是否仍有？为什么？ 如图，如果点由圆上运动到圆内呢？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$