31.3 正多边形和圆 重难点专项练习（三大题型）数学人教版五四制九年级上册

31.3《正多边形和圆》 分层练习 考查题型一 求正多边形的中心角 1．（22·23上·河池·期末）如图，已知正五边形内接于，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（22·23下·长春·期中）如图为五星红旗上的一个五角星图案，将图案绕中心至少旋转度能与自身重合，则为（    ） A． B． C． D． 3．（21·22下·石家庄·模拟预测）下列正多边形的中心角最小的是　　 A．   B．   C．   D．   4．（22·23上·盘锦·期末）正八边形的中心角等于（    ）度 A．36 B．45 C．60 D．72 考查题型二 已知正多边形的中心角求边数 1．（22·23下·阳江·二模）如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．（22·23上·盐城·期中）如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（    ） A．10 B．12 C．15 D．20 3．（21·22下·韶关·一模）有一个正n边形的中心角是36°，则n为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 4．（2022上·福州·期末）一个正多边形的半径与边长相等，则这个正多边形的边数为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 考查题型三 正多边形尺规作图 1．（2020上·上饶·阶段练习）已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图． （1）在图①中，以AB为边作等边三角形； （2）在图②中，作一个含30°的直角三角形． 2．（21·22上·景德镇·期末）已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度直尺，按要求画图： (1)在图1中，画出CD的中点G； (2)在图2中，点G为CD中点以G为顶点画出一个菱形． 3．（2020·吉安·模拟预测）如图， 已知多边形中，，，，，分别按请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图. (1)在图①中，画出一个以为边的矩形； (2) 在图②中， 若多边形是正六边形，试在上画出点，使 4．（2020上·武汉·阶段练习）请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）． （1）如图1，E是平行四边形ABCD边AD上一点，过点A画一条直线，使其与EC平行； （2）如图2，正六边形ABCDEF（六边相等，六角相等的六边形），在图中画一条直线，使其垂直平分AF； （3）如图3，⊙O是四边形ABCD的外接圆，且AB＝BC＝CD，在图中画一条异于BC的直线，使其与AD平行． 1．（2021上·白山·期末）如图所示，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M、N分别从点B、C开始，以相同的速度在上逆时针运动． （1）求图①中的度数 （2）图②中的度数是______，图③中的度数是______； （3）若推广到一般的正n边形情况，请写出的度数是______． 2．（23·24上·邢台·期中）如图，正六边形内接于．    (1)若是上的动点，连接，求的度数； (2)已知的面积为． 求的度数； 求的半径． 3．（2020上·十堰·期中）正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，E是⊙O上的一点． （1）如图①，若点E在上，F是DE上的一点，DF=BE．求证：△ADF≌△ABE； （2）在（1）的条件下，小明还发现线段DE、BE、AE之间满足等量关系：DE-BE=AE．请说明理由； （3）如图②，若点E在上．连接DE，CE，已知BC=5，BE=1，求DE及CE的长． 4．（21·22下·金华·中考真题）如图1，正五边形内接于⊙，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2，①作直径；②以F为圆心，为半径作圆弧，与⊙交于点M，N；③连接． (1)求的度数． (2)是正三角形吗？请说明理由． (3)从点A开始，以长为半径，在⊙上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 31.3《正多边形和圆》 分层练习 考查题型一 求正多边形的中心角 1．（22·23上·河池·期末）如图，已知正五边形内接于，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正边形的中心角的计算公式（为正整数，）解答即可． 【详解】解：∵正五边形内接于， ∴正五边形的中心角． 故选：C． 【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正边形的中心角的计算公式（为正整数，）是解题的关键． 2．（22·23下·长春·期中）如图为五星红旗上的一个五角星图案，将图案绕中心至少旋转度能与自身重合，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据五角星的顶点连接起来是正五边形，结合正多边形绕中心旋转重合关系求解即可得到答案； 【详解】解：∵五角星的顶点连接起来是正五边形， ∴， 故选：B； 【点睛】本题考查正多边形绕中心旋转与原图形重合，解题的关键是熟练掌握旋转正n边形旋转的整数倍与原图形重合． 3．（21·22下·石家庄·模拟预测）下列正多边形的中心角最小的是　　 A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据正多边形的边数为n，则正多边形中心角为计算即可． 【详解】解：A．中心角度数为：， B．中心角度数为：， C．中心角度数为：， D．中心角度数为：， 故中心角最小的是． 故选：A． 【点睛】本题考查的是正多边形和圆的有关知识，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键． 4．（22·23上·盘锦·期末）正八边形的中心角等于（    ）度 A．36 B．45 C．60 D．72 【答案】B 【分析】直接用360度除以边数即可得到答案． 【详解】解：， ∴正八边形的中心角等于45度， 故选B． 【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，熟知正n边形的中心角度数为是解题的关键． 考查题型二 已知正多边形的中心角求边数 1．（22·23下·阳江·二模）如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】根据正多边形的边数周角中心角，计算即可得解． 【详解】解：这个多边形的边数是， 故选：C． 【点睛】本题考查的是正多边形的中心角的有关计算；熟记正多边形的中心角与边数的关系是解题的关键． 2．（22·23上·盐城·期中）如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（    ） A．10 B．12 C．15 D．20 【答案】A 【分析】作正多边形的外接圆，根据圆周角定理得到，根据中心角的定义即可求解． 【详解】解：如图，作正多边形的外接圆， ∵， ∴， ∴这个正多边形的边数为． 故选：A． 【点睛】此题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理． 3．（21·22下·韶关·一模）有一个正n边形的中心角是36°，则n为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】根据正多边形的中心角和为360°计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 【点睛】本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形的中心角的和是360°是解题的关键． 4．（2022上·福州·期末）一个正多边形的半径与边长相等，则这个正多边形的边数为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】如图（见解析），先根据等边三角形的判定与性质可得，再根据正多边形的中心角与边数的关系即可得． 【详解】解：如图，由题意得：， 是等边三角形， ， 则这个正多边形的边数为， 故选：C． 【点睛】本题考查了正多边形，熟练掌握正多边形的中心角与边数的关系是解题关键． 考查题型三 正多边形尺规作图 1．（2020上·上饶·阶段练习）已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图． （1）在图①中，以AB为边作等边三角形； （2）在图②中，作一个含30°的直角三角形． 【答案】（1）见详解；（2）见详解 【分析】（1）连接AD，BE交于点O，即可得到所求三角形； （2）连接AC，CF，即可得到所求三角形； 【详解】（1）如图①所示：∆AOB即为所求三角形； （2）如图②所示：∆ACF即为所求三角形． 【点睛】本题主要考查正六边形的性质，熟练掌握正六边形的每条边都相等，每个内角都等于120°，是解题的关键． 2．（21·22上·景德镇·期末）已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度直尺，按要求画图： (1)在图1中，画出CD的中点G； (2)在图2中，点G为CD中点以G为顶点画出一个菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）如图1，分别连接AD、CF交于点H，分别延长线段BC、线段ED于点I，连接HI与线段CD交于点G，点G即为所求； （2）如图2，延长线段IH与线段AF交于点J，连接BG、GE、EJ、JB，四边形BGEJ即为所求． 【详解】（1）如图1，分别连接AD、CF交于点H，分别延长线段BC、线段ED于点I，连接HI与线段CD交于点G，点G即为所求； （2）如图2，延长线段IH与线段AF交于点J，连接BG、GE、EJ、JB，四边形BGEJ即为所求． 【点睛】本题考查了无刻度直尺作图的问题，掌握正六边形的性质、中线的性质、菱形的性质是解题的关键． 3．（2020·吉安·模拟预测）如图， 已知多边形中，，，，，分别按请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图. (1)在图①中，画出一个以为边的矩形； (2) 在图②中， 若多边形是正六边形，试在上画出点，使 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【分析】（1）在图①中，画出一个以BC为边的矩形即可； （2）在图②中，多边形ABCDEF是正六边形，在AF上画出点M，使得即可． 【详解】解：（1）图①中，即为以为边的矩形    （2）在图②中，点即为所求，使得 【点睛】本题考查了作图-复杂作图，解决本题的关键是综合运用矩形的判定与性质、正多边形和圆的性质准确画图． 4．（2020上·武汉·阶段练习）请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）． （1）如图1，E是平行四边形ABCD边AD上一点，过点A画一条直线，使其与EC平行； （2）如图2，正六边形ABCDEF（六边相等，六角相等的六边形），在图中画一条直线，使其垂直平分AF； （3）如图3，⊙O是四边形ABCD的外接圆，且AB＝BC＝CD，在图中画一条异于BC的直线，使其与AD平行． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析． 【分析】（1）连接AC，BD交于点O，作直线OE交BC于F，作直线AF即可． （2）连接AE，BF交于点G，连接BD，CE交于点H，作直线GH即可． （3）作直径BE，CF，作直线EF即可． 【详解】解：（1）如图1，直线AF即为所求作． （2）如图2，直线GH即为所求作． （3）如图3，直线EF即为所求作． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线，平行四边形的性质，正多边形和圆等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 1．（2021上·白山·期末）如图所示，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M、N分别从点B、C开始，以相同的速度在上逆时针运动． （1）求图①中的度数 （2）图②中的度数是______，图③中的度数是______； （3）若推广到一般的正n边形情况，请写出的度数是______． 【答案】（1）120°；（2）90°，72°；（3） 【分析】（1）根据等边三角形的性质、旋转的性质，求出，即可求出答案； （2）与（1）同理，可求，根据正方形和正五边形的内角度数，即可求出答案； （3）与（1）（2）同理，∠APB为所在多边形的外角度数，即可得到答案． 【详解】解：（1）∵是正三角形， ∴， ∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在上逆时针运动， ∴， ∴， ∴； （2）由图②，四边形ABCD是正方形，则与（1）同理， ， ∴； 由图③，正五边形ABCDE中，与（1）同理， ∴， ∴； 故答案为：90°；72°； （3）由（1）可知，∠APB为所在正多边形的外角度数，故在图n中，有∠APB=； 故答案为：； 【点睛】此题是一道规律探索题，体现了探索发现的一般规律：通过计算得出特殊多边形中的角∠APN的度数，然后得出n边形的∠APN的度数． 2．（23·24上·邢台·期中）如图，正六边形内接于．    (1)若是上的动点，连接，求的度数； (2)已知的面积为． 求的度数； 求的半径． 【答案】(1)； (2)；． 【分析】（）在取一点，连接，利用弦和圆周角的关系即可求出的值； （）证明是等边三角形即可求出；利用三角函数求出，，再根据的面积为即可求出． 【详解】（1）如图所示，在取一点，连接 ，    ∵六边形是正六边形， ∴ ，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴是等边三角形， ∴； ∵， ∴，， ∴， ∴， 即的半径为． 【点睛】此题考查了圆内解正六边形问题，解题的关键是掌握圆内解正六边形的性质及弦和圆周角之间的关系． 3．（2020上·十堰·期中）正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，E是⊙O上的一点． （1）如图①，若点E在上，F是DE上的一点，DF=BE．求证：△ADF≌△ABE； （2）在（1）的条件下，小明还发现线段DE、BE、AE之间满足等量关系：DE-BE=AE．请说明理由； （3）如图②，若点E在上．连接DE，CE，已知BC=5，BE=1，求DE及CE的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）理由见解析；（3）DE=7，CE= 【分析】（1）根据正方形的性质，得AB=AD；根据圆周角的性质，得，结合DF=BE，即可完成证明； （2）由（1）结论得AF=AE，；结合∠BAD=90°，得∠EAF=90°，从而得到△EAF是等腰直角三角形，即EF=AE；最后结合DE-DF=EF，从而得到答案； （3）连接BD，将△CBE绕点C顺时针旋转90°至△CDH；结合题意，得∠CBE+∠CDE=180°，从而得到E，D，H三点共线；根据BC=CD，得，从而推导得∠BEC=∠DEC=45°，即△CEH是等腰直角三角形；再根据勾股定理的性质计算，即可得到答案． 【详解】（1）如图，，，， 在正方形ABCD中，AB=AD 在△ADF和△ABE中 ∴△ADF≌△ABE（SAS）； （2）由（1）结论得：△ADF≌△ABE ∴AF=AE，∠3=∠4 正方形ABCD中，∠BAD=90° ∴∠BAF+∠3=90° ∴∠BAF+∠4=90° ∴∠EAF=90° ∴△EAF是等腰直角三角形 ∴EF2=AE2+AF2 ∴EF2=2AE2 ∴EF=AE 即DE-DF=AE ∴DE-BE=AE； （3）连接BD，将△CBE绕点C顺时针旋转90°至△CDH ∵四边形BCDE内接于圆 ∴∠CBE+∠CDE=180° ∴E，D，H三点共线 在正方形ABCD中，∠BAD=90° ∴∠BED=∠BAD=90° ∵BC=CD ∴ ∴∠BEC=∠DEC=45° ∴△CEH是等腰直角三角形 在Rt△BCD中，由勾股定理得BD=BC=5 在Rt△BDE中，由勾股定理得：DE= 在Rt△CEH中，由勾股定理得：EH2=CE2+CH2 ∴（ED+DH）2=2CE2，即（ED+BE）2=2CE2 ∴64=2CE2 ∴CE=4． 【点睛】本题考查了正方形、圆、等腰三角形、勾股定理、全等三角形、旋转的知识；解题的关键是熟练掌握正方形、圆周角、正多边形与圆、等腰三角形、勾股定理、全等三角形、旋转的性质，从而完成求解． 4．（21·22下·金华·中考真题）如图1，正五边形内接于⊙，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2，①作直径；②以F为圆心，为半径作圆弧，与⊙交于点M，N；③连接． (1)求的度数． (2)是正三角形吗？请说明理由． (3)从点A开始，以长为半径，在⊙上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值． 【答案】(1) (2)是正三角形，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据正五边形的性质以及圆的性质可得，则(优弧所对圆心角)，然后根据圆周角定理即可得出结论； （2）根据所作图形以及圆周角定理即可得出结论； （3）运用圆周角定理并结合（1）（2）中结论得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵正五边形． ∴， ∴， ∵， ∴(优弧所对圆心角)， ∴； （2）解：是正三角形，理由如下： 连接， 由作图知：, ∵， ∴， ∴是正三角形， ∴， ∴， 同理， ∴，即， ∴是正三角形； （3）∵是正三角形， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，正多边形的性质，读懂题意，明确题目中的作图方式，熟练运用圆周角定理是解本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$