2.5 三角函数的应用（同步课件）数学鲁教版五四制九年级上册

鲁教版九年级上册数学 第二章 直角三角形边角关系 2.5 三角函数的应用 1 学习目标 1.正确理解方位角、仰角和坡角的概念；（重点） 2.能运用解直角三角形知识解决方位角、仰角和坡角的问题.（难点） 2 情境&导入 1.解直角三角形的意义：在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做直角三角形. 2.直角三角形中诸元素之间的关系： （1）三边之间的关系：a2+b2=c2 (勾股定理）； （2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°； （3）边角之间的关系： 把∠A换成∠B同样适用. 3 我们已经知道轮船在海中航行时，可以用方位角准确描述它的航行方向. 那你知道如何结合方位角等数据进行计算，帮助轮船在航行中远离危险吗？ 情境&导入 三角函数的应用 1— 探索&交流 如图，海中有一个小岛A,该岛四周10n mile内有暗礁。今有货轮由西向东航行，开始时在A岛的南偏西55°，往东行驶20n mile后到达该岛的南偏西25°的C处。之后，货轮继续向东航行。 你认为货轮继续向东航行途中会有触礁危险吗？ 东 北 A B C 25° 55° 5 探索&交流 A B 55° C 25° 你是怎样想的？与同伴进行交流. 20海里 D 解: 过A点作BC的垂线AD，则AD的长即为货轮距离小岛的最短距离.若AD＞10海里，则货轮安全；反之则有触礁的危险.设AD=x. x Rt△ABD中, Rt△ACD中, ∴BC=BD－CD=x·tan55°－x·tan25° ∴x= ≈20.79 海里 ∴货轮继续向东航行途中没有触礁的危险. 6 探索&交流 1.运用锐角三角函数解决实际问题的方法： (1)弄清题意，画出示意图； (2)找出图形中的线段、角所表示的实际意义，并找到所要解决的问题； (3)寻找要求解的直角三角形，有时需要作适当的辅助线； (4)选择合适的边角关系式，进行有关锐角三角函数的计算； (5)按照题目要求的精确度确定答案，并注明单位，作答． 典例精析 例1.如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆CD 的高度，先在教学楼的底端A 处，观测到旗杆顶端C 的仰角∠ CAD=60°，然后爬到教学楼上的B 处，观测到旗杆底端D 的俯角是30°，已知教学楼AB 高4 m. 求教学楼与旗杆的水平距离AD(结果保留根号)； 8 探索&交流 求教学楼与旗杆的水平距离AD(结果保留根号)； 解：∵在教学楼B 处观测旗杆底端D 的俯角是30°，∴∠ ADB=30°. 在Rt △ ABD 中，∵∠ BAD=90°，∠ ADB=30°，AB=4 m， 即教学楼与旗杆的水平距离AD 是4 m. 探索&交流 议一议 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（精确到0.01海里）？ 65° 34° P B C A 解：如图 ，在Rt△APC中， PC＝PA·cos（90°－65°） ＝80×cos25° ≈80×0.91 =72.8 在Rt△BPC中，∠B＝34° 当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130.23海里． 65° 34° P B C A 探索&交流 典例精析 例2.热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）. A B C D α β 仰角 水平线 俯角 12 解：如图，α= 30°,β= 60°，AD＝120． 答：这栋楼高约为277.1m. A B C D α β 探索&交流 总结 1.首先要弄清题意,结合实际问题中的示意图分清题目中的已知条件和所求结论. 2.找出问题中有几个直角三角形,或通过作辅助线构造直角三角形，把实际问题转化为解直角三角形的问题. 3.方程思想、转化思想的运用. 典例精析 例3.如图，一幢楼房AB背后有一台阶CD，台阶每层高0.2 m，且 AC＝17.2 m，设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α＝60°时，测得楼房在地面上的影长AE＝10 m，现有一只小猫睡在台阶的MN这层上晒太阳( 取1.73)． (1)求楼房的高度约为多少米． (2)过了一会儿，当α＝45°时， 请说明理由． 15 探索&交流 (1)当α＝60°时，在Rt△ABE中， ∵tan 60°＝ ∴AB＝10·tan 60°＝10 ≈10×1.73=17.3(m)． 即楼房的高度约为17.3 m. (2)当α＝45°时，小猫仍可以晒到太阳． 理由如下：假设没有台阶，当α＝45°时，从点B射 下的光线与地面AD的交点为点F，与射线CM的交点 为点H(如下图)． 解： ∵∠BFA＝45°， ∴tan 45°＝ ＝1，此时的影长AF＝AB≈17.3m． ∴CF＝AF－AC≈17.3－17.2＝0.1(m)．∴CH＝CF≈0.1 m． ∴大楼的影子落在台阶MC这个侧面上， ∴小猫仍可以晒到太阳。 探索&交流 随堂练习 练习&巩固 1.如图2，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为_____米. B C 18 练习&巩固 2.如图，厂房屋顶人字形(等腰三角形)钢架的跨度BC＝10米，∠B＝36°，则中柱AD(D为底边中点)的长是(　　) A．5sin 36°米 B．5cos 36°米 C．5tan 36°米 D．10tan 36°米 C 练习&巩固 3.如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距600km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成30°角的方向飞行，飞行到中途，再沿与原来的飞行方向成45°角的方向继续飞行直到终点．这样飞机的飞行路程比原来的路程600km远了多少？ 解：过点C作CD⊥AB于点D， ∵AD＋BD＝AB， 20 练习&巩固 ∴在Rt△BCD中， ∴AC＋BC＝ 在Rt△ACD中， 750－600＝150(km)． 答：飞机的飞行路程比原来的路程600km远了150km. 课堂总结 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程： (1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)； (2)根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数，运用直角三角形的有关性质解直角三角形； (3)得到数学问题的答案； (4)得到实际问题的答案． 22 泰坦尼克号.mp4Lavf56.15.102 $$