第02讲 简单事件的概率（1个知识点+9大题型+15道强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（浙教版）

第02讲 简单事件的概率（1个知识点+9大题型+15道强化训练） 课程标准 学习目标 1.掌握简单概率的计算； 1.掌握概率的概念与概率公式的计算； 2.掌握列举法表示概率； 3、掌握列表法、树状图法求概率； 知识点01、概率的意义： （1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率，会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）=p． （2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现． （3）概率取值范围：0≤p≤1． （4）必然发生的事件的概率P（A）=1；不可能发生事件的概率P（A）=0． （4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0． 【即学即练1】 1．从背面朝上的分别画有等边三角形、平行四边形、矩形、菱形的四张形状、大小相同的卡片中，随机抽取一张，则所抽得的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率为（    ） A． B． C． D．1 【即学即练2】 2．一只蜘殊爬到如图所示的一面墙上，停留位置是随机的，则停留在阴影区域上的概率是（　　）    A． B． C． D． 题型01 列举随机试验的所有可能结果 1．某种型号的变速自行车的主动轴上有三个齿轮，齿数分别是，，；后轴上有四个齿轮，齿数分别是，，，，则这种变速车共有多少档不同的车速（   ） A． B． C． D． 2．浙教版九年级上册课本第41页中的一道题如图所示，请你仔细阅读后认真解答．笼子里关着一只小松鼠（如图），笼子的主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开，松鼠要先经过第一道门（A，B，或C），再经过第二道门（D或E）才能出去，问松鼠走出笼子的路线（经过的两道门）有多少种不同的可能？你的答案是（    ） A．12 B．6 C．5 D．2 3．把10个苹果分给3个小朋友，要求每个小朋友都有苹果，且分得苹果的数量各不相同，一共有 种不同的分法． 4．如图，一只小虫沿着图示的六边形构成的格子从长桥畔爬行到古樟旁，标记有箭头的边只能按箭头方向爬行，且小虫爬行同一条边最多一次，则共有 种不同的爬行路径． 5．如图，转盘被分成六个相同的部分，并在上面依次写上数字：1，2，3，4，5，6．指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止（若指针指向边界处则重新转动）． (1)当转盘停止时，写出指针指向奇数区域的所有可能； (2)当转盘停止时，指针指向的数小于或等于4的概率是多少？ 题型02 概率的意义理解 1．下列说法中，正确的是（    ） A．为了解一批花炮的燃放质量，宜采用全面调查 B．从1000名学生中随机抽取100名学生的体育成绩组成一个样本，样本容量是1000 C．天气预报显示“明天的降水概率为”，表示明天有的时间都在降雨 D．“掷一枚硬币，落下后正面朝上”是随机事件 2．下列说法错误的是（    ） A．年月 日晚，杭州第届亚运会开幕式在浙江省杭州市隆重举行，国家主席习近平出席开幕式．为了解开幕式盛况的收视率，应采取抽样调查方式 B．五一期间，某超市举行了抽奖活动，中奖率为，小明购买了张彩票，则一定有张中奖 C．甲、乙两组数据的平均数相等，若方差，则甲组数据波动较小，说明该组数据较稳定 D．“外角和与内角和相等的多边形一定是四边形”是必然事件 3．小明分别扔硬币4次，正面朝上的一定有2次，这种说法是 （填“对”或“错”）． 4．一般地，如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性都 ，事件包含其中的种结果，那么事件发生的概率 ．特别地，当为必然事件时，；当为不可能事件时，． 5．某路口东西方向交通信号灯的设置时间为∶ 红灯20秒，绿灯27秒，黄灯m秒．张师傅随机地由东向西开车到达该路口． (1)张师傅遇到红灯的概率大还是遇到绿灯的概率大？为什么？ (2)若张师傅遇到红灯的概率为，则黄灯每次开启多少秒？ 题型03 判断几个事件概率的大小关系 1．袋子里有8个红球，m个黑球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性比摸到黑球的可能性大，则m的值不可能是（　　） A．10 B．5 C．3 D．1 2．在个相同的袋子中，装有除颜色外完全相同的个球，任意摸出个球，摸到红球可能性最大的是（    ） A．个红球，个白球 B．个红球，个白球 C．个红球，个白球 D．个红球，个白球 3．一只不透明的袋子中装有1个白球、2个黄球和3个红球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，①该球是白球；②该球是黄球；③该球是红球．将这些事件的序号按发生的可能性从小到大排列为 ． 4．在一副扑克牌中，任意抽取一张，则下列事件：①抽到“红桃”；②抽到“黑桃”；③抽到“”；④抽到“红色的”，则事件发生的可能性最大的是 ．（填序号） 5．有一个转盘（如图所示），被分成6个相等的扇形，颜色分为红、绿、黄三种，指针的位置固定．转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，重新转动）．下列事件：①指针指向红色；②指针指向绿色；③指针指向黄色；④指针不指向黄色；⑤指针不指向绿色． 思考各事件的可能性大小，然后回答下列问题：    (1)可能性最大和最小的事件分别是哪个？（用序号表示） (2)将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列． 题型04 根据概率公式计算概率 1．数学老师要在班上开展项目式学习，他将全班同学分成7个学习小组并采用随机抽签方法确定一个小组进行展示活动，则第4个小组被抽到的概率是（   ） A． B． C． D． 2．中国古代的“四书”是指《论语》、《孟子》、《大学》、《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分，现有《论语》、《大学》各2本，《孟子》、《中庸》各1本，若从这6本书中随机抽取1本书，则恰好抽取到《大学》的概率是（    ） A． B． C． D． 3．一个不透明的盒子里有形状、大小相同的黄球2个、红球3个，从盒子里任意摸出1个球，摸到红球的概率是 ． 4．如图是可以自由转动的转盘，转盘被等分成三个扇形，并分别上1、2、3，转盘停止后，指针指向边缘重转，则指针指向的数字为偶数的概率是 ． 5．某公司对一批某品牌衬衣的质量抽检结果如表： 抽查件数 50 100 200 300 400 500 次品件数 0 4 16 19 24 30 (1)从这批衬衣中任抽1件是次品的概率约为多少? (2)如果销售这种衬衣1200件，那么至少需要准备多少件正品衬衣供买到次品的顾客更换? 题型05 根据概率作判断 1．有9个形状大小相同的小球，其中一个略重些，其余8个重量相同．现给你一架天平，能将那个略重些的小球找到，则至少需要天平的次数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．在一个不透明的袋子里装有1个红球、2个白球、3个黄球、6个蓝球，这些球除颜色外都相同，搅匀后任意摸出一个球，则下列事件中发生的可能性的最大的是（    ） A．摸到红球 B．摸到黄球 C．摸到白球 D．摸到蓝球 3．一个不透明盒子中装有1个红球、2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从该盒子中随机摸出1个球，请写出概率为的事件： ． 4．一个箱子装有除颜色外都相同的2个白球，2个黄球，1个红球．现添加上述同种型号的1个球，使得从中随机抽取1个球，白颜色的球被抽到的可能性是 ，那么添加的球是 ． 5．小明利用质地均匀的骰子和小颖做游戏，规则如下： ①两人同时做游戏，各自掷一枚骰子，每人可以只掷一次骰子，也可以连续地掷几次骰子； ②当掷出的点数和不超过时，如果决定停止掷，那么你的得分就是所掷出的点数和；当掷出的点数和超过时，必须停止掷，并且你的得分为； ③比较两人的得分，谁的得分多谁就获胜． 在一次游戏中，小颖连续投掷两次，掷出的点数分别是，．小明也是连续投掷两次，掷出的点数分别是，．请问： (1)如果小颖继续掷，点数和不超过的概率是_____； (2)如果你是小明，你是决定继续掷还是决定停止掷？为什么？（请通过计算说明） (3)在做游戏的过程中，你认为该如何决定继续掷骰子还是停止掷骰子？ 题型06 已知概率求数量 1．一个不透明的口袋中装有若干个除颜色不同外其它都相同的小球，已知口袋中只装有3个红球，且摸到红球的概率为，那么口袋中小球的总数为（    ） A．4 B．9 C．12 D．15 2．一个不透明的袋子里装有18个黄球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，小明从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.4，则袋子里约有红球（    ） A．6个 B．12个 C．18个 D．24个 3．一个盒子中装有20颗蓝色幸运星，若干颗红色幸运星和15颗黄色幸运星，这些幸运星除颜色外都相同．小明从中随机摸出一颗幸运星记下颜色并放回，发现摸到红色幸运星的频率稳定在0.5，则可估计盒中红色幸运星的颗数为 颗． 4．一个不透明的盒子中装有3个黑棋和若干个白棋，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑棋的概率是，则盒子中棋子的总个数是 ． 5．一个不透明的口袋中装有3个红球和9个白球，它们除颜色外完全相同． (1)判断事件“从口袋中随机摸出一个球是蓝球”是什么事件，并写出其发生的概率； (2)现从口袋中取走若干个白球，并放入相同数量的红球，充分摇匀后，若从口袋中随机摸出一个球是白球的概率是，则取走了多少个白球？ 题型07 几何概率 1．一个均匀的小球在如图所示的水平地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上，若每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（ ） A． B． C． D．1 2．如图，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆，在正方形内随机取点，则此点来自阴影部分的概率是（　　） A． B． C． D． 3．如图，小华为了添加老师微信，想估算出二维码黑色部分的面积，已知边长为的正方形二维码，在正方形区域内随机投掷100个点，有70个点落入黑色部分，则黑色部分的面积为 4．如图，是我国古代的铜钱，方孔铜钱应天圆地方之说，是古人智慧的结晶．如图，将它简易成几何图形，已知外圆的半径为6，里面正方形的边长为1．一小球（忽略体积的影响）在铜钱上自由地滚动，并随机停留在某区域，它最终停留在正方形里面的概率为 ．（结果保留） 5．（1）如图①是书房地板的示意图，图中每一块地砖除了颜色外是完全相同的，现任意抛掷一个乒乓球，若乒乓球最后落在某一块地砖上算一次成功的抛掷，试求所有成功抛掷中，乒乓球抛掷后停留在黑地砖上的概率是多少？ （2）请在图②中，重新设计地砖的颜色，使乒乓球最后停留在地砖上的概率为． 题型08 列举法求概率 1．随机掷一枚质地均匀的硬币两次，落地后至多有一次反面朝上的概率为（    ） A． B． C． D． 2．从2，3，4，5四个数中，随机抽取三个数，作为三角形的边长，能组成三角形的概率为（    ） A． B． C． D． 3．盒子里装有5张数字卡片，上面分别写着1、2、3、4、5．从盒中任意摸出一张，摸出奇数的可能性是 ． 4．在一个盒子中有张形状、大小相同质地均匀的卡片，上面分别标着，，，这四个数字，从盒子里随机抽出两张卡片，则所得卡片上的两数之和是的概率是 ． 5．为弘扬我国传统文化，增强文化自信，某校举办“传统文化月”系列活动．活动之一是组织全校学生进行经典名篇知识竞赛．为了解学生答题情况，老师从中随机抽取了n名学生的比赛成绩（满分100分），制作出如下不完整的统计表和统计图： 组别 分组 人数 A组 5 B组 12 C组 18 D组 m (1)一共抽取了__________名学生的成绩，m的值是__________，扇形统计图中，A组所在扇形的圆心角的__________； (2)若规定学生成绩为“优秀”，估计全校3000名学生中成绩达到“优秀”有__________人； (3)“传统文化月”系列活动之二是经典朗诵比赛，每班需派两名选手参加初赛，七（1）班共有4名同学报名参赛，分别是李红、丁洋、孙飞、陈月，请求出李红和陈月同时被选上的概率． 题型09 列表法活树状图求概率 1．小蕾有某文学名著上、中、下各1册，她随机将它们叠放在一起，从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率是（    ） A． B． C． D． 2．中国邮政推出了2023年“癸卯贺春”贺年明信片，该套明信片采用平面插画的方式表现了新春佳节中国传统民俗活动，画风时尚灵动，造型活泼可爱．小明购买了一套（共4张）明信片，主题分别为“耍龙灯”“舞醒狮”“游锣鼓”“赏花灯”，他打算送两张给同桌小亮．小明洗匀后将它们背面朝上放到桌面上（明信片除正面主题不同外其他方面均相同），让小亮随机抽取两张，则小亮抽到的两张明信片恰好是“耍龙灯”和“舞醒狮”的概率是（    ） A． B． C． D． 3．小明负责小组里4个同学的作业本的收发，但做事比较马虎．如果他随机的分发4个同学的本子，那么他把每个同学的本子都发错的概率是 ． 4．一个不透明的袋中装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．现随机从袋中摸出一个球，记下它的颜色后放回摇匀，再从袋中摸出一个球，则两次摸出的球都是“红球”的概率是 ． 5．北京冬奥会已于2022年2月4日至20日举行，为了了解学校学生对于北京冬奥会的了解情况，进行了随机在线问卷调查，调查结果分为四类：A．非常了解；B．了解较多；C．基本了解；D．了解较少．将收集到的信息进行了统计，绘制成不完整的统计表和统计图（如图所示）．请你根据统计图表所提供的信息解答下列问题． 频数分布统计表 类别 频数 频率 A 60 n B m C 90 D 30 (1)接受问卷调查的学生共有______人，_______，______； (2)补全条形统计图； (3)学校决定从选填结果是A类的学生中，选取甲、乙、丙、丁四人，从这四位学生中随机抽取两名学生参与冬奥知识竞赛，用画树状图或列表的方法，求甲、乙两名同学同时被抽中的概率． 1．龙年春晚的扑克牌魔术激发了小明的兴趣．他抽取了一副扑克牌中的四张：黑桃3，红桃5，梅花7，方片10（黑桃和梅花是黑色，红桃和方片是红色），他将这四张扑克牌充分洗匀，再随机抽取2张，则他抽到的两张扑克牌颜色不同的概率是（   ） A． B． C． D． 2．现有三张形状、大小、质地及背面完全相同的卡片，在其正面分别写有汉字“多”“读”“书”．将这三张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面所写汉字，放回后，洗匀，再从中随机抽取一张．则两次抽取的卡片上的汉字可以组成“读书”的概率为 (    ) A． B． C． D． 3．类比“赵爽弦图”，可类似的构造如图所示的图形，它是由中间的小正六边形和6个全等的直角三角形拼成的一个大正六边形，若在大正六边形内部随机取一点，则此点取自小正六边形的概率是（       ） A． B． C． D． 4．为了缅怀革命先烈，清明节假期强强从《八路军》、《淮海战役》、《长津湖》中随机选择两部电影观看，恰好选中《淮海战役》和《长津湖》两部电影的概率是（    ） A． B． C． D． 5．一个不透明口袋中有白球、绿球、黑球各1个（除颜色外完全相同）．甲乙两人一起做摸球游戏，规则如下：甲、乙各摸球一次，先由甲从袋中随机摸出一个球，不放回，再由乙从袋中随机摸出一个球，摸到黑球者获胜．下列说法正确的是（    ） A．此游戏规则对甲有利 B．此游戏规则对乙有利 C．此游戏规则对甲、乙双方公平 D．无法确定此游戏规则对谁有利 6．一个不透明的口袋中有1个黄色球和3个红色球，这些球除颜色外其余均相同从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再从中随机摸出一个球，则两次都摸出红球的概率是 ． 7．为了加强学生国防教育，某校举办了主题为“爱我中华，强我国防”的演讲比赛，甲、乙、丙、丁四名学生分在同一个小组，赛前需要以抽签的方式确定出场顺序，主持人将表示出场顺序的卡片(除正面分别写有1，2，3，4外，其余完全相同)背面朝上放在桌面上，洗匀后先由甲随机抽取一张，然后由乙随机抽取一张，甲、乙抽到的出场顺序相邻的概率为 ． 8．一个不透明的口袋中有2个红球，1个黄球，个白球（小球除颜色外，其它完全相同）．随机摸出一个小球，摸出白球的概率大于，写出一个符合条件的的值为 ． 9．党的二十大于2022年10月日在北京胜利召开，某校为学习“二十大精神”开展以“心系二十大”为主题的知识竞赛，竞赛由每班笔试初赛后推选2人参加学校现场面试决赛，我班笔试初赛由3男2女共5个同学获得100分，现从中抽取2人参加学校的现场面试决赛，则恰好抽到一男一女的概率是 ． 10．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”.小李同学购买了“二十四节气”主题邮票，他将A（小雪）、B（寒露）、C （秋分）、D （立秋）四张纪念邮票（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀，先从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面朝下放回，重新洗匀后再随机抽取一张邮票，则小李两次抽取的邮票中至少有一张是D （立秋）的概率为 . 11．盒中有x枚黑棋和3枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，是黑棋的概率是 (1)直接写出x的值； (2)从盒中一次性随机摸出2枚棋子，请用列表或画树状图法求两枚棋子颜色相同的概率． 12．有4张看上去无差别的卡片，上面分别写着数字1，2，3，6，随机抽取1张卡片后放回并混在一起，再随机抽取一张卡片． (1)直接写出抽取的两张卡片上的数字相同的概率； (2)请用列表或画树状图法求第一次取出的数字是第二次取出的数字的整数倍的概率． 13．某校在手抄报评比活动中，共设置了“交通安全，消防安全、饮食安全，防疫安全”四个主题内容，推荐亮亮和苗苗两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选择一个，每个主题被选择的可能性相同． (1)亮亮选择交通安全手抄报的概率为________； (2)用列表法或画树状图法来求亮亮和苗苗选择不同主题手抄报的概率． 14．为了丰富校园文化生活，提高学生的综合素质，促进中学生全面发展，学校开展了多种社团活动．小明喜欢的社团有：合唱社团、足球社团、书法社团、科技社团（分别用字母依次表示这四个社团），并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片的正面上，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上． (1)小明从中随机抽取一张卡片是合唱社团的概率是______． (2)小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母后不放回，再从剩余的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母．请你用列表法或画树状图法求出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团S的概率． 15．某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“厨艺”“绘画”“陶艺”“街舞”等四门校本课程以提升课后服务质量，为了解学生对这四门课程的选修情况（要求必须选修—门且只能选修一门），学校从七年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图： 请结合上述信息，解答下列问题： (1)共有_____名学生参与了本次问卷调查；“厨艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是_____度？ (2)补全调查结果条形统计图； (3)小刚和小毅分别从“厨艺”“绘画”“陶艺”“街舞”等四门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 简单事件的概率（1个知识点+9大题型+15道强化训练） 课程标准 学习目标 1.掌握简单概率的计算； 1.掌握概率的概念与概率公式的计算； 2.掌握列举法表示概率； 3、掌握列表法、树状图法求概率； 知识点01、概率的意义： （1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率，会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）=p． （2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现． （3）概率取值范围：0≤p≤1． （4）必然发生的事件的概率P（A）=1；不可能发生事件的概率P（A）=0． （4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0． 【即学即练1】 1．从背面朝上的分别画有等边三角形、平行四边形、矩形、菱形的四张形状、大小相同的卡片中，随机抽取一张，则所抽得的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据等边三角形、平行四边形、矩形、菱形的图形特征，结合中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行作答即可． 【详解】解：等边三角形是轴对称图形不是中心对称图形；平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形；矩形既是中心对称图形又是轴对称图形；菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；所以四张卡片中，两张卡片是符合题意的， 所以其概率为， 故选：B． 【点睛】本题考查了概率、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形的图形特征、中心对称图形的定义和轴对称图形的定义，正确掌握相关的内容性质是解题的关键． 【即学即练2】 2．一只蜘殊爬到如图所示的一面墙上，停留位置是随机的，则停留在阴影区域上的概率是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用阴影部分的面积比上总面积，即可得解． 【详解】解：由图可知：阴影部分的面积占到总面积的， ∴； 故选：C． 【点睛】本题考查概率的计算．熟练掌握概率公式，是解题的关键． 题型01 列举随机试验的所有可能结果 1．某种型号的变速自行车的主动轴上有三个齿轮，齿数分别是，，；后轴上有四个齿轮，齿数分别是，，，，则这种变速车共有多少档不同的车速（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据求得齿轮数的比值，比值等于1，则车速相等，进而即可求解． 【详解】解：∵主动轴上有三个齿轮，齿数分别是48，36，24； ∴主动轴上可以有3个变速， ∵后轴上有四个齿轮，齿数分别是36，24，16，12， ∴后轴上可以有4个变速， ∵变速比为2，1.5，1，3的有两组， 又∵前后齿轮数之比如果一致，则速度会相等， ∴共有3×4-4=8种变速， 故选：B． 【点睛】本题考查了列举法求可能性，解决本题的关键是找到两次实验中每次可能出现的结果次数． 2．浙教版九年级上册课本第41页中的一道题如图所示，请你仔细阅读后认真解答．笼子里关着一只小松鼠（如图），笼子的主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开，松鼠要先经过第一道门（A，B，或C），再经过第二道门（D或E）才能出去，问松鼠走出笼子的路线（经过的两道门）有多少种不同的可能？你的答案是（    ） A．12 B．6 C．5 D．2 【答案】B 【分析】分析两道门各自的可能性情况，再进行组合即可得解． 【详解】解：∵第一道门有A、B、C三个出口， ∴出第一道门有三种选择， 又∵第二道门有两个出口， 故出第二道门有D、E两种选择， ∴小松鼠走出笼子的路线有6种选择， 分别为AD、AE、BD、BE、CD、CE， 故选B． 【点睛】本题考查了概率的知识，解题的关键是通过列举法列出所有可能性的路径． 3．把10个苹果分给3个小朋友，要求每个小朋友都有苹果，且分得苹果的数量各不相同，一共有 种不同的分法． 【答案】4 【分析】首先把10拆成3个数，因为每个小朋友都有苹果，且分得苹果的数量各不相同，一一列举即可． 【详解】解：首先把10拆成3个数，，，，， 共有4种分法， 故答案为：4． 【点睛】本题考查数的组成，把10拆成3个数以及正确理解题意是关键． 4．如图，一只小虫沿着图示的六边形构成的格子从长桥畔爬行到古樟旁，标记有箭头的边只能按箭头方向爬行，且小虫爬行同一条边最多一次，则共有 种不同的爬行路径． 【答案】64 【分析】根据题意，将路线分为5个步骤，分析每一步有几种走法，即可进行解答． 【详解】解：由图可知：第一步有2种走法，第二步有2种走法，第三步有4种走法，第四步有2种走法，第五步有2种走法； 共有：（种）， 故答案为：64． 【点睛】本题主要考查了学生的数据分析能力，解题的关键是正确理解题意，用列举法分析出每一步有几种走法． 5．如图，转盘被分成六个相同的部分，并在上面依次写上数字：1，2，3，4，5，6．指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止（若指针指向边界处则重新转动）． (1)当转盘停止时，写出指针指向奇数区域的所有可能； (2)当转盘停止时，指针指向的数小于或等于4的概率是多少？ 【答案】(1)三种：1，3，5 (2) 【分析】（1）当转盘停止转动时，指针指向数字区域1，2，3，4，5，6的机会是均等的，故共有6种均等的结果，其中指针指向奇数区域1，3，5有3种结果． （2）当转盘停止转动时，指针指向数字区域1，2，3，4，5，6的机会是均等的，故共有6种均等的结果，其中指针指向的数小于或等于4区域1，2，3，4有4种结果，根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：当转盘停止转动时，指针指向数字区域1，2，3，4，5，6的机会是均等的，故共有6种均等的结果，其中指针指向奇数区域1，3，5有3种结果； （2）解：当转盘停止转动时，指针指向数字区域1，2，3，4，5，6的机会是均等的，故共有6种均等的结果，其中指针指向的数小于或等于4区域1，2，3，4有4种结果， 所以指针指向的数小于或等于4的概率是． 【点睛】本题考查了用列举法求概率，解题的关键是熟练掌握概率公式，一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为且． 题型02 概率的意义理解 1．下列说法中，正确的是（    ） A．为了解一批花炮的燃放质量，宜采用全面调查 B．从1000名学生中随机抽取100名学生的体育成绩组成一个样本，样本容量是1000 C．天气预报显示“明天的降水概率为”，表示明天有的时间都在降雨 D．“掷一枚硬币，落下后正面朝上”是随机事件 【答案】D 【分析】本题考查了全面调查与抽样调查，样本容量的定义，概率的意义，随机事件、必然事件、不可能事件的定义，根据全面调查与抽样调查，样本容量的定义，概率的意义，随机事件、必然事件、不可能事件的定义，逐一判断即可． 【详解】解：A、为了解一批花炮的燃放质量，宜采用抽样调查，故A不符合题意； B、从1000名学生中随机抽取100名学生的体育成绩组成一个样本，样本容量是100，故B不符合题意； C、天气预报显示“明天的降水概率为”，表示降雨的可能性是，故C不符合题意； D、“掷一枚硬币，落下后正面朝上”是随机事件，故D符合题意； 故选：D． 2．下列说法错误的是（    ） A．年月 日晚，杭州第届亚运会开幕式在浙江省杭州市隆重举行，国家主席习近平出席开幕式．为了解开幕式盛况的收视率，应采取抽样调查方式 B．五一期间，某超市举行了抽奖活动，中奖率为，小明购买了张彩票，则一定有张中奖 C．甲、乙两组数据的平均数相等，若方差，则甲组数据波动较小，说明该组数据较稳定 D．“外角和与内角和相等的多边形一定是四边形”是必然事件 【答案】B 【分析】本题考查数据的收集、整理与分析的应用，根据概率的意义、全面调查与抽样调查的概念、方差的意义、随机事件的定义进行解题即可．熟练掌握概率意义、方差的运用、随机事件、全面调查与抽样调查的定义是解题关键． 【详解】解：A．年月 日晚，杭州第届亚运会开幕式在浙江省杭州市隆重举行，国家主席习近平出席开幕式．为了解开幕式盛况的收视率，应采取抽样调查方式，原说法正确，故此选项不符合题意； B．五一期间，某超市举行了抽奖活动，中奖率为，小明购买了张彩票，则不一定会中奖，原说法不正确，故此选项符合题意； C．甲、乙两组数据的平均数相等，若方差，则甲组数据波动较小，说明该组数据较稳定，原说法正确，故此选项不符合题意； D．设该多边形的边数为， 依题意，得：， 解得：， ∴此多边形一定是四边形， ∴“外角和与内角和相等的多边形一定是四边形”是必然事件，原说法正确，故此选项不符合题意． 故选：B． 3．小明分别扔硬币4次，正面朝上的一定有2次，这种说法是 （填“对”或“错”）． 【答案】错 【分析】本题考查了概率的意义，熟练掌握概率的意义是解题的关键． 根据小明分别扔硬币4次，正面朝上的不一定有2次，即可解答． 【详解】解：小明分别扔硬币4次，正面朝上的一定有2次，这种说法是错， 故答案为：错． 4．一般地，如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性都 ，事件包含其中的种结果，那么事件发生的概率 ．特别地，当为必然事件时，；当为不可能事件时，． 【答案】 相等 【分析】此题考查了概率的定义，根据概率的定义求解即可． 【详解】解：一般地，如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件包含其中的种结果，那么事件发生的概率． 故答案为：相等，． 5．某路口东西方向交通信号灯的设置时间为∶ 红灯20秒，绿灯27秒，黄灯m秒．张师傅随机地由东向西开车到达该路口． (1)张师傅遇到红灯的概率大还是遇到绿灯的概率大？为什么？ (2)若张师傅遇到红灯的概率为，则黄灯每次开启多少秒？ 【答案】(1)绿灯，原因见解析 (2)黄灯每次开启3秒 【分析】本题考查概率的意义，已知概率求数量： （1）根据概率的意义，进行说明即可； （2）根据红灯的概率，结合概率公式进行求解即可． 【详解】（1）解：张师傅遇到绿灯的概率大，原因是：绿灯时长比红灯的时长要长； （2）解：由题意，得：， 解得：； 故黄灯每次开启3秒． 题型03 判断几个事件概率的大小关系 1．袋子里有8个红球，m个黑球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性比摸到黑球的可能性大，则m的值不可能是（　　） A．10 B．5 C．3 D．1 【答案】A 【分析】摸到红球的可能性最大，则红球数最多，故m的值小于8，注意判断即可． 【详解】解：∵袋子里有8个红球，m个黑球， ∴摸到红球的可能性为； 摸到黑球的可能性为， ∵摸到红球的可能性比摸到黑球的可能性大， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查的是概率问题，重点考查求概率的公式，根据求概率的公式判断，或者根据概率定义判断都可． 2．在个相同的袋子中，装有除颜色外完全相同的个球，任意摸出个球，摸到红球可能性最大的是（    ） A．个红球，个白球 B．个红球，个白球 C．个红球，个白球 D．个红球，个白球 【答案】D 【分析】根据概率的计算方法，比较概率的大小即可求解． 【详解】解：选项，个红球，个白球，摸到红球的概率为； 选项，个红球，个白球，到红球的概率为； 选项，个红球，个白球，到红球的概率为； 选项，个红球，个白球，到红球的概率为； ∵， ∴摸到红球可能性最大的是“个红球，个白球”， 故选：． 【点睛】本题主要考查概率的计算，掌握概率的计算方法，比较概率大小的方法是解题的关键． 3．一只不透明的袋子中装有1个白球、2个黄球和3个红球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，①该球是白球；②该球是黄球；③该球是红球．将这些事件的序号按发生的可能性从小到大排列为 ． 【答案】 【分析】根据概率公式，求出各个事件发生的概率，再进行比较即可． 【详解】解：∵袋子中装有1个白球、2个黄球和3个红球， ∴摸出白球概率，摸出黄球概率，摸出红球概率， ∴将这些事件的序号按发生的可能性从小到大排列为； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了用概率公式求事件发生的概率，解题的关键是掌握事件发生的概率等于符合条件的情况数和总情况数之比． 4．在一副扑克牌中，任意抽取一张，则下列事件：①抽到“红桃”；②抽到“黑桃”；③抽到“”；④抽到“红色的”，则事件发生的可能性最大的是 ．（填序号） 【答案】④ 【分析】根据题意逐项分析判段即可求解． 【详解】解：在一副扑克牌中，有54张纸牌，有4种花色，2种颜色，“黑桃”有1个，“”有4个， 则①抽到“红桃”的概率为；②抽到“黑桃”的概率为；③抽到“”的概率是；④抽到“红色的”概率为， 则事件发生的可能性最大的是④， 故答案为：④． 【点睛】本题考查了判断事件发生的可能性大小，理解题意是解题的关键． 5．有一个转盘（如图所示），被分成6个相等的扇形，颜色分为红、绿、黄三种，指针的位置固定．转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，重新转动）．下列事件：①指针指向红色；②指针指向绿色；③指针指向黄色；④指针不指向黄色；⑤指针不指向绿色． 思考各事件的可能性大小，然后回答下列问题：    (1)可能性最大和最小的事件分别是哪个？（用序号表示） (2)将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列． 【答案】(1)⑤；② (2) 【分析】（1）分别求出各个事件的概率，即可比较出对应事件可能性大小关系； （2）根据所求的概率，即可得出答案． 【详解】（1）∵共3红2黄1绿相等的六部分， ∴①指针指向红色的概率为； ②指针指向绿色的概率为； ③指针指向黄色的概率为； ④指针不指向黄色的概率为， ⑤指针不指向绿色的概率为， ∴可能性最大的是⑤，可能性最小的事件是②； （2）解：由（1）得：． 【点睛】本题考查的是可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比． 题型04 根据概率公式计算概率 1．数学老师要在班上开展项目式学习，他将全班同学分成7个学习小组并采用随机抽签方法确定一个小组进行展示活动，则第4个小组被抽到的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了概率的知识．根据概率是所求情况数与总情况数之比，可得答案． 【详解】解：随机抽取一个小组，共有种等可能结果，抽到第4个小组的有种结果， ∴概率为， 故选：C． 2．中国古代的“四书”是指《论语》、《孟子》、《大学》、《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分，现有《论语》、《大学》各2本，《孟子》、《中庸》各1本，若从这6本书中随机抽取1本书，则恰好抽取到《大学》的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了概率公式，解题的关键是熟悉概率公式． 根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：由题意得：共有6种等可能的结果， 则恰好抽取到《大学》的概率， 故选：C． 3．一个不透明的盒子里有形状、大小相同的黄球2个、红球3个，从盒子里任意摸出1个球，摸到红球的概率是 ． 【答案】/0.6 【分析】本题主要考查了根据概率公式计算概率，盒子里面有黄球2个、红球3个，一共5个，从盒子里任意摸到1个红球的概率即为红球的个数3除以总的个数5即可． 【详解】解：盒子里面有黄球2个、红球3个，一共5个， 从盒子里任意摸到1个红球的概率是． 故答案为：． 4．如图是可以自由转动的转盘，转盘被等分成三个扇形，并分别上1、2、3，转盘停止后，指针指向边缘重转，则指针指向的数字为偶数的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是概率公式的应用.转盘转动共有三种结果，指针指向的数字为偶数的情况只有一种，概率公式求解即可. 【详解】解：∵一共三种结果，指针指向的数字为偶数的情况只有一种， ∴P（指向偶数） 故答案为：. 5．某公司对一批某品牌衬衣的质量抽检结果如表： 抽查件数 50 100 200 300 400 500 次品件数 0 4 16 19 24 30 (1)从这批衬衣中任抽1件是次品的概率约为多少? (2)如果销售这种衬衣1200件，那么至少需要准备多少件正品衬衣供买到次品的顾客更换? 【答案】(1) (2)准备件正品衬衣供顾客调换 【分析】本题考查了概率的运算，样本估计总体等知识点，熟悉掌握运算的法则是解题的关键． （1）根据次品件数比上抽查总件数即可得到概率； （2）利用商品总数次品概率即可得出结果． 【详解】（1）抽查总件数， 次品件数， ； （2）根据(1)的结论：， 则(件)， 答：准备件正品衬衣供顾客调换． 题型05 根据概率作判断 1．有9个形状大小相同的小球，其中一个略重些，其余8个重量相同．现给你一架天平，能将那个略重些的小球找到，则至少需要天平的次数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】可采取把9个球三三组合，共分成3个组去称，用天平每次称两组，则：二二选一，两次即可． 【详解】解：把9个小球，三三组合，则可以分成3组，用天平去称，第一次称两组： ①若天平平衡，则重球在第三组，第二次称第三组其中的两个球，若天平平衡，则重球就是第三个，若不平衡，重的一边就是重球； ②若天平不平衡，则重球在重的一边，第二次称重的一边三个球中的两个，若平衡，第三个就是重球，若不平衡，重的一边就是重球． 综上所述，至少需要天平的次数是2． 故选：C． 【点睛】本题考查了二分法的应用，理解二分法是解答关键． 2．在一个不透明的袋子里装有1个红球、2个白球、3个黄球、6个蓝球，这些球除颜色外都相同，搅匀后任意摸出一个球，则下列事件中发生的可能性的最大的是（    ） A．摸到红球 B．摸到黄球 C．摸到白球 D．摸到蓝球 【答案】D 【分析】分别求出各选项事件的概率，即可作答． 【详解】总计有球：（个）， 则摸到红球的概率为：， 则摸到白球的概率为：， 则摸到黄球的概率为：， 则摸到蓝球的概率为：， 经过比较，可知：摸到蓝球，是所有事件中发生的可能性最大， 故选：D． 【点睛】本题考查了可能性的大小，解题的关键是分别求得各个选项中事件发生的概率． 3．一个不透明盒子中装有1个红球、2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从该盒子中随机摸出1个球，请写出概率为的事件： ． 【答案】摸出红球 【分析】根据概率公式确定答案即可． 【详解】一共有3个球，其中红球有1个，所以摸出红球的概率是． 故答案为：摸出红球． 【点睛】本题主要考查了概率，掌握概率的计算公式是解题的关键． 4．一个箱子装有除颜色外都相同的2个白球，2个黄球，1个红球．现添加上述同种型号的1个球，使得从中随机抽取1个球，白颜色的球被抽到的可能性是 ，那么添加的球是 ． 【答案】红球或黄球/黄球或红球 【分析】用原来袋中白球的数量比上袋中小球的总数量即可算出原来从袋中随便摸出一个小球是白球的的概率，将该概率与放球后抽到白色小球的概率进行比较即可得出答案． 【详解】∵， ∴原来白颜色的球被抽到的可能性是 ； ∵＞ ， ∴添加的球是红球或黄球． 故答案为：红球或黄球． 【点睛】本题考查了根据概率公式求概率，理解题意是解题的关键． 5．小明利用质地均匀的骰子和小颖做游戏，规则如下： ①两人同时做游戏，各自掷一枚骰子，每人可以只掷一次骰子，也可以连续地掷几次骰子； ②当掷出的点数和不超过时，如果决定停止掷，那么你的得分就是所掷出的点数和；当掷出的点数和超过时，必须停止掷，并且你的得分为； ③比较两人的得分，谁的得分多谁就获胜． 在一次游戏中，小颖连续投掷两次，掷出的点数分别是，．小明也是连续投掷两次，掷出的点数分别是，．请问： (1)如果小颖继续掷，点数和不超过的概率是_____； (2)如果你是小明，你是决定继续掷还是决定停止掷？为什么？（请通过计算说明） (3)在做游戏的过程中，你认为该如何决定继续掷骰子还是停止掷骰子？ 【答案】(1) (2)停止掷，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查简单的概率计算，确定所需情况数和掌握概率公式是解答本题的关键． （1）根据当前已掷出的点数和，即可求得小颖继续掷时，点数和不超过的概率； （2）分别计算出点数和超过和不超过的概率，比较大小即可解题； （3）根据已掷出的点数和前面掷的人的结果综合考虑来决定是否继续掷即可． 【详解】（1）解：由题可知：小颖已掷出的点数和为， 再掷一次，只有掷出点时，其点数和才会超过， 小颖继续掷，点数和不超过的概率是， 故答案为：； （2）解：停止掷； 理由如下： 小明前两次掷出的点数和是，若再掷一次，点数为，时，得分为 或 （小明得分或）； 点数为，，，时．得分为， （小明得分）． ， 停止掷． （3）解：一般来说，当前面掷出的点数和不超过时，应该继续掷； 当前面掷出的点数和在-之间时，可以选择继续掷； 当前面掷出的点数和在-之间时，可以选择停止掷； 当前面掷出的点数和为时，应该停止掷． 当然，如果你在后面掷，还要视前面掷的人的结果来决定是否继续掷． 题型06 已知概率求数量 1．一个不透明的口袋中装有若干个除颜色不同外其它都相同的小球，已知口袋中只装有3个红球，且摸到红球的概率为，那么口袋中小球的总数为（    ） A．4 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【分析】本题考查随机事件与概率以及概率的应用，运用概率公式即可计算. 【详解】解：口袋中小球的总数为：个， 故选C. 2．一个不透明的袋子里装有18个黄球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，小明从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.4，则袋子里约有红球（    ） A．6个 B．12个 C．18个 D．24个 【答案】B 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量问题，熟知大量反复试验下频率的稳定值即概率值是解题的关键．设袋子中红球约有x个，根据题意可知从袋子中随机摸出一个球的概率为0.4，由此根据概率公式建立方程求解即可． 【详解】解：设袋中红球有x个， 根据题意，可得：， 解得：， 经检验：时，， 所以是原方程的解． 故选：B． 3．一个盒子中装有20颗蓝色幸运星，若干颗红色幸运星和15颗黄色幸运星，这些幸运星除颜色外都相同．小明从中随机摸出一颗幸运星记下颜色并放回，发现摸到红色幸运星的频率稳定在0.5，则可估计盒中红色幸运星的颗数为 颗． 【答案】35 【分析】本题主要考查了已知频率求相关数量，正确列出方程是解题的关键． 设袋中红色幸运星有颗，根据“摸取到红色幸运星的频率稳定在0.5左右”列出关于的方程，解之可得袋中红色幸运星的个数． 【详解】设袋中红色幸运星有颗， 根据题意，得：， 解得：． 故答案为：35． 4．一个不透明的盒子中装有3个黑棋和若干个白棋，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑棋的概率是，则盒子中棋子的总个数是 ． 【答案】12 【分析】本题考查利用概率求数量，根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：， ∴盒子中棋子的总个数是． 故答案为：． 5．一个不透明的口袋中装有3个红球和9个白球，它们除颜色外完全相同． (1)判断事件“从口袋中随机摸出一个球是蓝球”是什么事件，并写出其发生的概率； (2)现从口袋中取走若干个白球，并放入相同数量的红球，充分摇匀后，若从口袋中随机摸出一个球是白球的概率是，则取走了多少个白球？ 【答案】(1)不可能事件，0； (2)5个白球． 【分析】本题考查事件的分类，概率，掌握事件的分类，概率的两种求法，利用方程解概率问题是关键． （1）口袋中装有红球和白球，从口袋中随机摸出一个球是蓝球，是不可能的，进而也可得出概率． （2）设取走了x个白球，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）因为口袋中装有3个红球和9个白球， 所以“从口袋中随机摸出一个球是蓝球”是不可能事件， 所以它发生的概率是0． （2）设取走了x个白球． 由题意，得， 解得． 故取走了5个白球． 题型07 几何概率 1．一个均匀的小球在如图所示的水平地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上，若每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（ ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了几何概率，求出黑砖部分的面积占整体的几分之几即可，熟练掌握几何概率的求法是解此题的关键． 【详解】解：这个图形的总面积为9，黑砖部分的面积为4，因此黑砖部分占整体的， 所以小球最终停留在黑砖上的概率是， 故选：A． 2．如图，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆，在正方形内随机取点，则此点来自阴影部分的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得阴影部分的面积后除以正方形的面积即可求得概率．本题考查了几何概率的知识，解题的关键是求得阴影部分的面积，难度不大． 【详解】解：如图，图中四个半圆都通过正方形的中心，用正方形的面积减去四空白的面积，剩下的就是阴影部分的面积，而正方形的面积减去两个半圆的面积就得两个空隙的面积， ∴所求阴影部分的面积为． ∵正方形的面积为， 故正方形内随机取点，则此点来自阴影部分的概率是， 故选：B． 3．如图，小华为了添加老师微信，想估算出二维码黑色部分的面积，已知边长为的正方形二维码，在正方形区域内随机投掷100个点，有70个点落入黑色部分，则黑色部分的面积为 【答案】 【分析】本题考查了几何概型中的面积型，由几何概型中的面积型概率的求法，先求出黑色部分占这个区域的，再用正方形区域的面积乘以即可得到答案． 【详解】解：∵在正方形区域内随机投掷100个点，有70个点落入黑色部分， ∴黑色部分占这个区域的， ∴黑色部分的面积为， 故答案为：． 4．如图，是我国古代的铜钱，方孔铜钱应天圆地方之说，是古人智慧的结晶．如图，将它简易成几何图形，已知外圆的半径为6，里面正方形的边长为1．一小球（忽略体积的影响）在铜钱上自由地滚动，并随机停留在某区域，它最终停留在正方形里面的概率为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查几何概率，解题的关键是明确题意，求出相应的概率．根据几何概率的求法：一个小球停留在某个区域上的概率就是该区域的面积与总面积的比值． 【详解】由题意可得，小球最终停留在正方形里面的概率为： ， 故答案为：． 5．（1）如图①是书房地板的示意图，图中每一块地砖除了颜色外是完全相同的，现任意抛掷一个乒乓球，若乒乓球最后落在某一块地砖上算一次成功的抛掷，试求所有成功抛掷中，乒乓球抛掷后停留在黑地砖上的概率是多少？ （2）请在图②中，重新设计地砖的颜色，使乒乓球最后停留在地砖上的概率为． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】本题考查几何中概率的求法，熟练掌握“几何概率相应的面积与总面积之比”是解题的关键． （1）先确定黑色方砖的面积在整个地板中占的比例，这个比例即为出乒乓球停留在黑色方砖上的概率； （2）乒乓球最后停留在黑色地砖上的概率为，则只需黑色块即可． 【详解】解：（1）由图可知共有方砖块，黑色方砖为块， 则乒乓球停留在黑色方砖上的概率是； （2）因为乒乓球最后停留在黑色地砖上的概率为， 所以黑色地砖共有（块）， 画图如下（不唯一）： 题型08 列举法求概率 1．随机掷一枚质地均匀的硬币两次，落地后至多有一次反面朝上的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了列举法求概率，解题的关键是找到所有的情况．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 用列举法确定所有等可能的情况，根据落地后至多有一次正面朝下的次数，利用概率公式计算解答． 【详解】随机掷一枚质地均匀的硬币两次，共“正、反”，“反、正”，“正、正”，“反、反”，4种情况，落地后至多有一次正面朝下包括“正、反”，“反、正”，“正、正”，3种情况， 故至多有一次反面朝上的概率为． 故选：A． 2．从2，3，4，5四个数中，随机抽取三个数，作为三角形的边长，能组成三角形的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了概率计算以及三角形三边关系，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比；组成三角形的两条小边之和大于最大的边． 由4条线段中任意取3条，是一个列举法求概率问题，是无放回的问题，共有4种可能结果，每种结果出现的机会相同，满足两边之和大于第三边构成三角形的有3个结果．因而就可以求出概率． 【详解】解：由4条线段中任意取3条，共有4种可能结果， 分别为：2，3，4；2，3，5；3，4，5；2，4，5； 每种结果出现的机会相同，满足两边之和大于第三边构成三角形的有2，3，4；3，4，5；2，4，5；共3个结果， 所以P（能组成三角形）． 故选：A． 3．盒子里装有5张数字卡片，上面分别写着1、2、3、4、5．从盒中任意摸出一张，摸出奇数的可能性是 ． 【答案】/0.6 【分析】本题考查可能性，用出现奇数的情况除以总情况即可． 【详解】解：总共有5种情况，摸出奇数的情况有3种， 故摸出奇数的可能性是． 故答案为：． 4．在一个盒子中有张形状、大小相同质地均匀的卡片，上面分别标着，，，这四个数字，从盒子里随机抽出两张卡片，则所得卡片上的两数之和是的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列举法求概率，概率公式等知识点，熟练掌握列举法求概率是解题的关键． 列举出所有可能出现的情况，再用所求情况数除以总的情况数即可得解． 【详解】解：从张卡片中随机抽出两张卡片共有种可能的结果，即： ，，，，，， 所得卡片上的两数之和是的情况共有种，即：，， 所得卡片上的两数之和是的概率是， 故答案为：． 5．为弘扬我国传统文化，增强文化自信，某校举办“传统文化月”系列活动．活动之一是组织全校学生进行经典名篇知识竞赛．为了解学生答题情况，老师从中随机抽取了n名学生的比赛成绩（满分100分），制作出如下不完整的统计表和统计图： 组别 分组 人数 A组 5 B组 12 C组 18 D组 m (1)一共抽取了__________名学生的成绩，m的值是__________，扇形统计图中，A组所在扇形的圆心角的__________； (2)若规定学生成绩为“优秀”，估计全校3000名学生中成绩达到“优秀”有__________人； (3)“传统文化月”系列活动之二是经典朗诵比赛，每班需派两名选手参加初赛，七（1）班共有4名同学报名参赛，分别是李红、丁洋、孙飞、陈月，请求出李红和陈月同时被选上的概率． 【答案】(1)50，15， (2)900 (3) 【分析】（1）由组人数除以其占比可得总人数，由总人数减去组的人数可得的值，由组的占比乘以可得圆心角的大小； （2）由3000乘以优秀率即可； （3）利用例举法得到所有的等可能的结果数与符合条件的结果数，再利用概率公式计算即可． 【详解】（1）解： （名），，， 故A组所在扇形的圆心角的． （2）解：（人）， ∴全校3000名学生中成绩达到“优秀”有900人；． （3）解：派两名选手参加初赛有种等可能的结果， 其中李红和陈月同时被选上的结果有一种，则P（李红和陈月同时被选上）． 【点睛】本题考查的是统计表与扇形统计图，利用样本估计整体，求解扇形的圆心角，求解简单随机事件的概率，掌握基础的统计知识是解本题的关键． 题型09 列表法活树状图求概率 1．小蕾有某文学名著上、中、下各1册，她随机将它们叠放在一起，从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．画树状图，共有6种等可能的结果，其中从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的结果有1种，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图为： 共有6种等可能的结果，顺序恰好为“上册、中册、下册”的结果有1种， 从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率是， 故选：D． 2．中国邮政推出了2023年“癸卯贺春”贺年明信片，该套明信片采用平面插画的方式表现了新春佳节中国传统民俗活动，画风时尚灵动，造型活泼可爱．小明购买了一套（共4张）明信片，主题分别为“耍龙灯”“舞醒狮”“游锣鼓”“赏花灯”，他打算送两张给同桌小亮．小明洗匀后将它们背面朝上放到桌面上（明信片除正面主题不同外其他方面均相同），让小亮随机抽取两张，则小亮抽到的两张明信片恰好是“耍龙灯”和“舞醒狮”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 根据题意列出表格，数出所有的情况数和符合条件的情况数，根据概率公式，即可解答． 【详解】解：将明信片“耍龙灯”“舞醒狮”“游锣鼓”“赏花灯”分别记为，，，．根据题意，列表如下： 由表格可知，共有12种等可能的结果，其中抽到的两张明信片恰好是“耍龙灯”和“舞醒狮”的结果有2种，故所求概率为． 故选：D． 3．小明负责小组里4个同学的作业本的收发，但做事比较马虎．如果他随机的分发4个同学的本子，那么他把每个同学的本子都发错的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，熟练掌握概率的公式是解题的关键，首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与他把每个同学的本子都发错的情况，再利用概率公式即可求出答案． 【详解】解：分别用A，B，C，D表示4个同学的作业本，画树状图得： ∵共有24种等可能的结果，他把每个同学的本子都发错的有种情况， ∴他把每个同学的本子都发错的概率是：． 故答案为：． 4．一个不透明的袋中装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．现随机从袋中摸出一个球，记下它的颜色后放回摇匀，再从袋中摸出一个球，则两次摸出的球都是“红球”的概率是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查画树状图或列表法求概率，解题的关键是画出所有的情况，再用概率公式进行求解． 根据题意画出树状图，再利用概率公式进行求解． 【详解】解：画树状图为 由此可得，一共有9种等可能的情况，两次摸出的球都是“红球”的有4种， ∴两次摸出的球都是“红球”的概率为． 故答案为： 5．北京冬奥会已于2022年2月4日至20日举行，为了了解学校学生对于北京冬奥会的了解情况，进行了随机在线问卷调查，调查结果分为四类：A．非常了解；B．了解较多；C．基本了解；D．了解较少．将收集到的信息进行了统计，绘制成不完整的统计表和统计图（如图所示）．请你根据统计图表所提供的信息解答下列问题． 频数分布统计表 类别 频数 频率 A 60 n B m C 90 D 30 (1)接受问卷调查的学生共有______人，_______，______； (2)补全条形统计图； (3)学校决定从选填结果是A类的学生中，选取甲、乙、丙、丁四人，从这四位学生中随机抽取两名学生参与冬奥知识竞赛，用画树状图或列表的方法，求甲、乙两名同学同时被抽中的概率． 【答案】(1)300，120， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查频数分布表、频率、频数、补全条形统计图、画树状图求概率等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． （1）由C类别的频数除以C类别的频率即可求得总人数，继而解得A、B类别的频率和频数； （2）由频数分布统计表的数据解答； （3）画树状图表示所有等可能的结果，再求出甲、乙两名同学同时被抽中的情况，然后利用概率公式计算即可． 【详解】（1）解：接受问卷调查的学生共有：（人）， ， ， 故答案为：300；120；； （2）解：补全的条形统计图如图所示： （3）解：画树状图如下，       共有12种情况，甲乙同时被选中的情况由2种， ∴甲、乙两名同学同时被抽中的概率为：． 1．龙年春晚的扑克牌魔术激发了小明的兴趣．他抽取了一副扑克牌中的四张：黑桃3，红桃5，梅花7，方片10（黑桃和梅花是黑色，红桃和方片是红色），他将这四张扑克牌充分洗匀，再随机抽取2张，则他抽到的两张扑克牌颜色不同的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率：先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到抽到的两张扑克牌颜色不同的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：设分别用A，B，C，D表示黑桃3，红桃5，梅花7，方片10，列表如下： 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中他抽到的两张扑克牌颜色不同的结果数有8种， ∴他抽到的两张扑克牌颜色不同的概率为， 故选：A． 2．现有三张形状、大小、质地及背面完全相同的卡片，在其正面分别写有汉字“多”“读”“书”．将这三张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面所写汉字，放回后，洗匀，再从中随机抽取一张．则两次抽取的卡片上的汉字可以组成“读书”的概率为 (    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列表法或树状图求概率，画出树状图表示出所有等可能的结果数和抽取的两张卡片上的汉字为“读书”的结果数，再根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：根据题意画树状图如下： 一共有9种情况，其中组成“读书”的情况有2种， ∴两次抽取的卡片上的汉字可以组成“读书”的概率为， 故选：B． 3．类比“赵爽弦图”，可类似的构造如图所示的图形，它是由中间的小正六边形和6个全等的直角三角形拼成的一个大正六边形，若在大正六边形内部随机取一点，则此点取自小正六边形的概率是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对图形标注，根据内角和定理求出，即可得出，再设，根据直角三角形的性质得，由勾股定理求出，根据题意可知，可求，然后求出等边三角形的面积，进而得出正六边形的面积，最后根据面积比得出答案． 【详解】如图所示， 正六边形的每个内角， ∴． 设， ∴， 根据勾股定理得． 根据题意可知， ∴． 作，交于点F， ∵是等边三角形， ∴． 根据勾股定理得， ∴，， ∴正六边形的面积，六个直角三角形的面积为， ∴此点取自小正六边形的概率是． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理，直角三角形的性质，勾股定理，概率的计算公式，理解用面积比表示概率是解题的关键． 4．为了缅怀革命先烈，清明节假期强强从《八路军》、《淮海战役》、《长津湖》中随机选择两部电影观看，恰好选中《淮海战役》和《长津湖》两部电影的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．用A、B、C分别表示电影《八路军》、《淮海战役》、《长律湖》，画树状图展示所有6种等可能的结果，再找出选中《淮海战役》和《长津湖》两部电影的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：用A、B、C分别表示电影《八路军》、《淮海战役》、《长律湖》， 画树状图为： 共有6种等可能的结果，其中选中《淮海战役》和《长津湖》两部电影的结果数为2种， 所以随机选择两部电影观看，恰好选中《淮海战役》和《长津湖》两部电影的概率． 故选：B． 5．一个不透明口袋中有白球、绿球、黑球各1个（除颜色外完全相同）．甲乙两人一起做摸球游戏，规则如下：甲、乙各摸球一次，先由甲从袋中随机摸出一个球，不放回，再由乙从袋中随机摸出一个球，摸到黑球者获胜．下列说法正确的是（    ） A．此游戏规则对甲有利 B．此游戏规则对乙有利 C．此游戏规则对甲、乙双方公平 D．无法确定此游戏规则对谁有利 【答案】C 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等． 【详解】解：画树状图如图所示： 由上述树状图或表格知： 甲获胜的概率为：， 乙获胜的概率为：， 甲获胜的概率乙获胜的概率， ∴此游戏对双方公平， 故选：C． 6．一个不透明的口袋中有1个黄色球和3个红色球，这些球除颜色外其余均相同从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再从中随机摸出一个球，则两次都摸出红球的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查列表法和树状图法求概率，根据题意，画出相应的树状图，然后根据概率公式求出两次都摸出红球的概率即可． 【详解】解：树状图如下， 由上可得，一共有16种等可能性，其中两次都摸出红球的可能性有9种， ∴两次都摸出红球的概率为， 故答案为：． 7．为了加强学生国防教育，某校举办了主题为“爱我中华，强我国防”的演讲比赛，甲、乙、丙、丁四名学生分在同一个小组，赛前需要以抽签的方式确定出场顺序，主持人将表示出场顺序的卡片(除正面分别写有1，2，3，4外，其余完全相同)背面朝上放在桌面上，洗匀后先由甲随机抽取一张，然后由乙随机抽取一张，甲、乙抽到的出场顺序相邻的概率为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查画树状图或列表法求概率，掌握画树状图或列表法求概率方法是解题关键． 列表表示出所有等可能的情况和甲、乙抽到的出场顺序相邻的情况，然后根据概率公式求解即可． 【详解】列表如下： 1 2 3 4 1 2 3 4 ∴共有12种等可能的情况，其中甲、乙抽到的出场顺序相邻的情况有6种， ∴甲、乙抽到的出场顺序相邻的概率为． 故答案为：． 8．一个不透明的口袋中有2个红球，1个黄球，个白球（小球除颜色外，其它完全相同）．随机摸出一个小球，摸出白球的概率大于，写出一个符合条件的的值为 ． 【答案】4（答案不唯一） 【分析】本题考查了概率公式计算概率，解题关键是熟练运用概率公式计算．根据概率公式得出不等式，求出的范围即可． 【详解】解：由题意可得：，是正整数， 解得：， 则取； 故答案为：4（答案不唯一）． 9．党的二十大于2022年10月日在北京胜利召开，某校为学习“二十大精神”开展以“心系二十大”为主题的知识竞赛，竞赛由每班笔试初赛后推选2人参加学校现场面试决赛，我班笔试初赛由3男2女共5个同学获得100分，现从中抽取2人参加学校的现场面试决赛，则恰好抽到一男一女的概率是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查用树状图法求概率．结合题意，画树状图进行计算，即可得到答案. 【详解】解：画树状图为： 共20种等可能的结果数，其中选中一男一女的结果数为12， ∴恰好选中一男一女的概率是， 故答案为：． 10．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”.小李同学购买了“二十四节气”主题邮票，他将A（小雪）、B（寒露）、C （秋分）、D （立秋）四张纪念邮票（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀，先从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面朝下放回，重新洗匀后再随机抽取一张邮票，则小李两次抽取的邮票中至少有一张是D （立秋）的概率为 . 【答案】 【分析】本题考查了求两次事件的概率，属于常考题型，正确理解题意、画出相应的树状图或列出表格是解题的关键．先画出树状图得出所有可能的结果，然后找出两次抽取的邮票中至少有一张是D的结果数，再根据概率公式解答． 【详解】解：画出树状图可得所有可能的结果： ∵共有16种等可能的结果，两次抽取的邮票中至少有一张是D的结果有7种， ∴两次抽取的邮票中至少有一张是D （立秋）的概率为， 故答案为：． 11．盒中有x枚黑棋和3枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，是黑棋的概率是 (1)直接写出x的值； (2)从盒中一次性随机摸出2枚棋子，请用列表或画树状图法求两枚棋子颜色相同的概率． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． （1）“摸出两枚棋子的颜色都是白色”是不可能事件知白球的数量不足2个，据此可得答案； （2）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）∵盒中有x枚黑棋和3枚白棋，从盒中随机取出一枚棋子，是黑棋的概率是， ∴黑棋有枚． （2）列表如下： 由树状图知，共有12种等可能结果，其中“摸出两枚棋子的颜色相同”的有8种结果， 所以“摸出两枚棋子的颜色相同”的概率为． 12．有4张看上去无差别的卡片，上面分别写着数字1，2，3，6，随机抽取1张卡片后放回并混在一起，再随机抽取一张卡片． (1)直接写出抽取的两张卡片上的数字相同的概率； (2)请用列表或画树状图法求第一次取出的数字是第二次取出的数字的整数倍的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求概率，列表法或树状图法求概率，正确理解题意是解题的关键； （1），列出表格可得所有可以出现的结果，再找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可； （2），列出表格可知所有可能出现的结果，再得出符合条件的结果数，进而得出答案． 【详解】（1） 二          一 1 2 3 6 1 2 3 6 一共有16种可能出现的结果，符合条件的有4种，所以抽取两张卡片上的数字相同的概率是． （2）解：列表如下： 二          一 1 2 3 6 1 2 3 6 一共有16种可能出现的结果，符合条件的有9种，所以第一次取出的数字是第二次取出数字的整数倍的概率为． 13．某校在手抄报评比活动中，共设置了“交通安全，消防安全、饮食安全，防疫安全”四个主题内容，推荐亮亮和苗苗两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选择一个，每个主题被选择的可能性相同． (1)亮亮选择交通安全手抄报的概率为________； (2)用列表法或画树状图法来求亮亮和苗苗选择不同主题手抄报的概率． 【答案】(1) (2)亮亮和苗苗选择不同主题手抄报的概率为 【分析】本题考查了求随机事件的概率、画树状图法或列表法求概率， （1）从四个主题中随机选择一个，所有的结果数是4，其中选择交通安全手抄报的结果数是1，直接利用概率公式即可得解； （2）画树状图，共有16种等可能的结果，两人选择不同主题手抄报的结果有12种，然后由概率公式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可知亮亮从“交通安全，消防安全、饮食安全，防疫安全”四个主题选择交通安全手抄报的概率为， 故答案为：； （2）解：设用分别表示交通安全、消防安全、饮食安全、防疫安全四个主题内容，根据题意画出树状图如下： 一共有16种等可能的结果数，其中亮亮和苗苗选择不同主题手抄报的结果数为12， 亮亮和苗苗选择不同主题手抄报的概率为：． 答：亮亮和苗苗选择不同主题手抄报的概率为． 14．为了丰富校园文化生活，提高学生的综合素质，促进中学生全面发展，学校开展了多种社团活动．小明喜欢的社团有：合唱社团、足球社团、书法社团、科技社团（分别用字母依次表示这四个社团），并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片的正面上，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上． (1)小明从中随机抽取一张卡片是合唱社团的概率是______． (2)小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母后不放回，再从剩余的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母．请你用列表法或画树状图法求出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团S的概率． 【答案】(1) (2)，树状图见解析 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率： （1）根据概率计算公式求解即可； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团S的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵一共有四个社团，每个社团被抽取的概率相同， ∴小明从中随机抽取一张卡片是合唱社团的概率是； （2）解：画树状图如下： 由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团的结果数有6种， ∴小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团S的概率为． 15．某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“厨艺”“绘画”“陶艺”“街舞”等四门校本课程以提升课后服务质量，为了解学生对这四门课程的选修情况（要求必须选修—门且只能选修一门），学校从七年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图： 请结合上述信息，解答下列问题： (1)共有_____名学生参与了本次问卷调查；“厨艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是_____度？ (2)补全调查结果条形统计图； (3)小刚和小毅分别从“厨艺”“绘画”“陶艺”“街舞”等四门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率． 【答案】(1)50，； (2)见详解； (3) 【分析】（1）用“街舞”的人数除以占比得到总人数；用“厨艺”的人数除以总人数再乘以即可求解； （2）先求出选择陶艺的人数，然后即可补全条形统计图． （3）用列表法求得概率即可求解． 【详解】（1）解：（人）， 共有50名学生参与了本次问卷调查． ， “厨艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是． （2）选择陶艺的人数有：（人）， 补全条形统计图如下： （3）列表如下： 厨艺 绘画 陶艺 街舞 厨艺 (厨艺， 厨艺) (绘画， 厨艺) (陶艺， 厨艺) (街舞， 厨艺) 绘画 (厨艺， 绘画) (绘画， 绘画) (陶艺， 绘画) (街舞， 绘画) 陶艺 (厨艺， 陶艺) (绘画， 陶艺) (陶艺， 陶艺) (街舞， 陶艺) 街舞 (厨艺， 街舞) (绘画， 街舞) (陶艺， 街舞) (街舞， 街舞) 一共有16中可能，小刚和小毅恰好选到同一门课程的情况有4种， ∴小刚和小毅恰好选到同一门课程的情况的概率有： 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，用列表法或画树状图法求概率；列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数，概率=所求情况数与总情况数之比．能对图表信息进行具体分析和熟练掌握概率公式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！37 学科网（北京）股份有限公司 $$