专题05三个二次题型归类（5基础题型+9提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期中真题分类汇编（人教B版2019必修第一册）

专题05 “三个二次”题型归类 经典基础题 题型1 一元二次根的分布 1．（23-24高一上·河北沧州·期中）已知关于x的方程，则下列结论中正确的是（    ） A．当时，方程的两个实数根之和为 B．方程无实数根的充分不必要条件是 C．方程有两个正根的充要条件是 D．方程有一个正根一个负根的充要条件是 2．（23-24高一上·北京·期中）如果关于的一元二次方程有两个不同的正数实数根，那么的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·甘肃武威·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 4．（23-24高一上·安徽池州·期中，多选）若关于的不等式的解集为，则的值可以是（    ） A． B． C．2 D．1 5． （22-23高一上·湖南·期中）已知关于的方程的两根分别在区间，内，则实数的取值范围为 ． 题型2 一元二次性质 1．（22-23高一上·新疆·期中）已知二次函数，若函数的值域是，且 ，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·江苏南京·期中）已知函数，，函数的值域为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一上·北京海淀·期中）的最小值为（    ） A．-1 B． C． D．前三个答案都不对 4．（23-24高一上·山东日照·期中，多选）已知函数的值域是，则的定义域可能是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·福建福州·期中）函数的值域为 ． 题型3 一元二次根与系数 1．（2022·上海黄浦·模拟预测）已知不等式有实数解．结论（1）：设是的两个解，则对于任意的，不等式和恒成立；结论（2）：设是的一个解，若总存在，使得，则，下列说法正确的是（    ） A．结论①、②都成立 B．结论①、②都不成立 C．结论①成立，结论②不成立 D．结论①不成立，结论②成立 2．（17-18高一上·河北衡水·阶段练习）若实数，且a，b满足，，则代数式的值为（    ） A．2 B．－20 C．2或－20 D．2或20 3．（20-21高一上·湖南长沙·期中）已知集合有且仅有两个子集，对于下列四个命题 ① ② ③若不等式的解集为，则 ④若不等式的解集为，且，则 其中正确的命题有（    ） A．①②④ B．②③ C．①③④ D．①④ 4．（2024·全国·期中）(多选)下列命题正确的是（   ） A．若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0 B．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R C．不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0 D．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集 5．（22-23高一上·宁夏石嘴山·期中）关于的不等式的解集为，且，则实数 ． 题型4 一元二次不等式 1．（23-24高一上·山西朔州·期中）关于x的一元二次不等式，当时，该不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·江苏宿迁·期中）若，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24·江苏南京·期中）设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·湖北·期中，多选）已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则且 B．若，则关于的不等式的解集也为 C．若，则关于的不等式的解集为或 D．若为常数，则的最小值为 5．（23-24高一上·浙江杭州·期中）不等式的解集是，则不等式的解集是（用集合表示） ． 题型5 二次函数单调性 1．（22-23陕西渭南·期中）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·贵州贵阳·期中）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2021高一·江苏·期中）已知函数f(x)＝x2＋4x＋c，则（    ） A．f（1）<c<f(－2) B．c<f(－2)<f（1） C．c>f（1）>f(－2) D．f（1）>c>f(－2) 4．（21-22·福建漳州·期中，多选）若方程的两个根是1和3，则对函数下列正确的是（    ） A．在上单调递减 B．不等式的解集是 C．在上单调递增 D．最大值是 5．（23-24高一上·广东揭阳·期中）函数的单调递增区间为 . 优选提升题 题型01 一元二次不等式整数根求参 1．（23-24高一上·湖北恩施·）已知关于的不等式恰有三个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·贵州毕节）若关于的不等式的解集中恰有2个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）若关于的不等式的解集中，恰有3个整数，则实数的取值集合是（    ） A． B． C．或 D．或 4．（22-23高一·全国·期中，多选）关于的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正，如下给出的结论中正确的是（    ） A．这两个方程的根都是负根 B．这两个方程的根中可能存在正根 C． D． 5．（21-22高一·全国·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的正整数根，则整数的值是 . 题型02 实数集上恒成立求参 1．（24高一上·河南驻马店·期中）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·湖北武汉·期中）已知，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·吉林·期中）已知对任意恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·山东临沂·期中，多选）已知命题，，则命题P成立的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一·上海·期中）关于x的一元二次不等式的解集为空集，则实数m的取值范围为 ． 题型03 区间内恒成立求参 1．（23-24高一下·贵州贵阳·期中）对任意的，恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·四川内江·期中）“”是“，”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（21-22高一上·江苏徐州·期中）若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期中，多选）当时，不等式恒成立，则的范围可以是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知关于x的不等式，若，则该不等式的解集是 ，若该不等式对任意的均成立，则实数的取值范围是 . 题型04 “能”成立或有解求参 1．（23-24高一上·江苏·期中）已知命题，命题，若p是q成立的必要不充分条件，则区间D可以为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏南京·期中）若命题“”为假命题，则的取值范围是 （   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·福建·期中）若至少存在一个，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·广东揭阳·期中，多选）若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（23-24高一上·广东珠海·期中）命题：，为真命题，则实数的取值范围为 . 6.（22-23高一上·山东青岛·期中，多选）若“”为真命题，则下列选项中实数a可以取到的值为（    ） A． B． C．4 D．10 题型05区间内“能”成立（有解） 1．（23-24高二上·浙江·期中）若关于x的不等式在上有解，则实数m的最小值为（    ） A．9 B．5 C．6 D． 2．（22-23高一下·河北保定·阶段练习）若，使得不等式成立，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一·湖北·期中）若关于的不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一上·辽宁·期中）若存在，使不等式成立，则a的取值范围为 . 题型06轴动区间定或轴定区间定 1．（22-23高一上·江苏镇江·期中）已知函数的定义域为区间，其中，，若的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·四川·期中）已知二次函数的值域为，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（23-24高一上·新疆·期中）已知函数在上的值域是，则的最大值是（    ） A．3 B．6 C．4 D．8 4.（23-24高一上·浙江·期中，多选）若函数的定义域为，值域为，则实数的值可能为（    ） A． B．1 C． D．2 5．（22-23高一上·河北沧州·期中）已知函数在区间上的最小值为1，则实数的值为 . 专题07复合型一元二次 1．（21-22高一上·浙江宁波·期中）函数，则恒成立的解集是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一·吉林·期中）已知函数，，当时，方程根的个数为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·湖北荆州·阶段练习）已知，若，则（    ） A．在区间内递减 B．在区间内递减 C．在区间内递增 D．在区间内递增 4．（19-20高一·浙江杭州·期中，多选）已知，函数的图象与x轴的交点个数为m，函数与x轴的交点个数为M，则的值可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（22-23高一上·浙江·期中）函数，，最大值为，则的最小值是 专题08整数解 专题09一元二次型综合压轴大题 1．（22-23高一上·江苏镇江·期中）已知二次函数 (1)若的解集为，解关于的不等式； (2)若且，求的最小值； (3)若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值． 2．（22-23高一上·福建泉州·期中）若关于的不等式的解集为. (1)当时，求的值； (2)若，，求的值，并求的最小值. 3．（22-23·湖北宜昌·期中）已知，为常数，函数. （1）当时，求关于的不等式的解集； （2）当时，若函数在上存在零点，求实数的取值范围； （3）对于给定的，且，，证明:关于的方程在区间内有一个实数根. 4．（23-24高一上·浙江台州·期中）已知函数，， (1)当时，解不等式； (2)若任意，都有成立，求实数的取值范围； (3)若，，使得不等式成立，求实数的取值范围. 5．（23-24高一上·浙江台州·期中）已知函数，． (1)恒成立，求实数的取值范围； (2)当时，求不等式的解集； (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 “三个二次”题型归类 经典基础题 题型1 一元二次根的分布 1．（23-24高一上·河北沧州·期中）已知关于x的方程，则下列结论中正确的是（    ） A．当时，方程的两个实数根之和为 B．方程无实数根的充分不必要条件是 C．方程有两个正根的充要条件是 D．方程有一个正根一个负根的充要条件是 【答案】B 【分析】由判断A；利用方程对应函数的性质列不等式组求参数范围，结合充分、必要性定义判断B、C、D. 【详解】A：由题设，显然无解，错； B：若方程无实根，则，即， 所以是方程无实数根的充分不必要条件，对； C：令，要使方程有两个正根， 所以，可得，故不是充要条件，错； D：同C分析， ，可得，故不是充要条件，错. 故选：B 2．（23-24高一上·北京·期中）如果关于的一元二次方程有两个不同的正数实数根，那么的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程有两个不同的正实根，则两根之和大于零，两根之积大于零及，列出不等式组，解出即可. 【详解】因为关于的一元二次方程有两个不同的正数实数根， 则有， 故选：A 3．（23-24高一上·甘肃武威·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根的分布，结合韦达定理即可求解. 【详解】根据题意可知；， 由韦达定理可得，解得， 故选：B 4．（23-24高一上·安徽池州·期中，多选）若关于的不等式的解集为，则的值可以是（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】BC 【分析】先根据一元二次不等式的解集得到对称轴，然后根据端点得到两个等式和一个不等式，求出的取值范围，最后都表示成的形式即可. 【详解】因为不等式的解集为， 所以二次函数的对称轴为直线， 且需满足，即，解得， 所以，所以， 所以，故的值可以是和， 故选：BC 【点睛】关键点睛：一元二次不等式的解决关键是转化为二次函数问题，求出对称轴和端点的值，继而用同一个变量来表示求解. 5．（22-23高一上·湖南·期中）已知关于的方程的两根分别在区间，内，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】转化化二次函数零点分布问题，数形结合得到不等式组，求出的取值范围. 【详解】令， 根据题意得， 由①得：，由②得：，由③得：， 求交集得： 故的取值范围为. 故答案为： 题型2 一元二次性质 1．（22-23高一上·新疆·期中）已知二次函数，若函数的值域是，且 ，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质可得，且，又因为（1），所以，再结合基本不等式求解即可． 【详解】解：二次函数的值域是， ，解得，且， 又，，， 由，，可得， 即的取值范围是． 故选：B． 2．（22-23高一上·江苏南京·期中）已知函数，，函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次函数的基本性质可求得函数的值域. 【详解】当时，，则. 故选：D. 3．（22-23高一上·北京海淀·期中）的最小值为（    ） A．-1 B． C． D．前三个答案都不对 【答案】A 【分析】变形给定函数，利用换元法结合二次函数求解最小值作答. 【详解】依题意，，令， 于是得，因此当且仅当，即，时取等号， 所以当时，. 故选：A 4．（23-24高一上·山东日照·期中）已知函数的值域是，则的定义域可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】确定函数的定义域是的子集，且含有，至少有一个端点值，对比选项得到答案. 【详解】函数的值域是，，， 故函数的定义域是的子集，且含有，且至少有一个端点值， 对比选项知：ACD满足条件. 故答案为：ACD 5．（23-24高一上·福建福州·期中）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】根据二次函数单调性求解值域. 【详解】 开口向上，对称轴为, 函数单调递减，函数单调递增， 当时，, 当时，, 所以. 故答案为： 题型3 一元二次根与系数 1．（2022·上海黄浦·模拟预测）已知不等式有实数解．结论（1）：设是的两个解，则对于任意的，不等式和恒成立；结论（2）：设是的一个解，若总存在，使得，则，下列说法正确的是（    ） A．结论①、②都成立 B．结论①、②都不成立 C．结论①成立，结论②不成立 D．结论①不成立，结论②成立 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式与二次方程以及二次函数之间的关系，以及考虑特殊情况通过排除法确定选项. 【详解】当且 时， 的解为全体实数，故对任意的，与 的关系不确定，例如：取而，所以 ，故结论①不成立. 当且 时，的解为 ，其中 是的两个根.当 此时 ，但 值不确定，比如：，取 ，则，但 ，故结论②不成立. 故选：B 2．（17-18高一上·河北衡水·阶段练习）若实数，且a，b满足，，则代数式的值为（    ） A．2 B．－20 C．2或－20 D．2或20 【答案】B 【解析】利用韦达定理可求的值. 【详解】因为，，故为方程的两个根， 故. 又 ， 故选：B. 【点睛】本题考查一元二次方程的解、韦达定理，注意利用同构的思想来构建方程，另外注意将代数式整合成与两根和、两根积有关的代数式，本题属于基础题. 3．（20-21高一上·湖南长沙·期中）已知集合有且仅有两个子集，对于下列四个命题 ① ② ③若不等式的解集为，则 ④若不等式的解集为，且，则 其中正确的命题有（    ） A．①②④ B．②③ C．①③④ D．①④ 【答案】A 【解析】因为有且只有一个零点，故可得，即可，再利用基本不等式和不等式的性质，即可得答案； 【详解】因为有且只有一个零点， 故可得，即可. 对①：等价于，显然，故①正确； 对②：，故②正确； 对③：因为不等式的解集为，故可得，故③错误； 对④：因为不等式的解集为，且， 则方程的两根为， 故可得， 故可得，故④正确. 故选：A. 【点睛】本题考查一元二次方程、不等式的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想. 4．（2024·全国·期中）(多选)下列命题正确的是（   ） A．若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0 B．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R C．不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0 D．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集 【答案】AD 【解析】略 5．（22-23高一上·宁夏石嘴山·期中）关于的不等式的解集为，且，则实数 ． 【答案】/ 【分析】根据一元二次不等式与对应一元二次方程的关系求解即可. 【详解】由题意，的两根为， 所以， 解得，或， 当时，故， 由知，所以解得， 当时，不合题意. 故答案为： 题型4 一元二次不等式 1．（23-24高一上·山西朔州·期中）关于x的一元二次不等式，当时，该不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，知，原不等式等价于，再确定相应二次方程的根的大小得不等式的解集. 【详解】由，则，原不等式等价于不等式的解集， 又由，则方程的两根分别为， 当时，，故原不等式的解集为. 故选：B 2．（22-23高一上·江苏宿迁·期中）若，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，直接求解不等式即可. 【详解】由，得，解不等式，得， 所以不等式的解集是. 故选：A 3．（23-24·江苏南京·期中）设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分类讨论解不等式，判断不可能的解集. 【详解】关于的不等式， 若，不等式为，解得，此时解集为； 若，方程，解得或， 时，不等式解得或，此时解集为； 时，，不等式解得，此时解集为； 时，，不等式解集为， 时，，不等式解得，此时解集为； 所以不等式的解集不可能是. 故选：B 4．（24-25高一上·湖北·期中，多选）已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则且 B．若，则关于的不等式的解集也为 C．若，则关于的不等式的解集为或 D．若为常数，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】根据一元二次解的情况，即可判断A，若比值，即可代入求不等式的解集，即可判断B，根据不等式的解集，结合韦达定理，即可求解不等式，判断C，根据不等式解集的情况，即可确定，，再代入式子，转化为二次函数求最值. 【详解】A.若一元二次不等式的解集为，则且，故A正确； B. 若，则，，，所以不等式， 等价于，与不等式的解集不同，故B错误. C. 若，则，，，即，， 所以不等式，即， 整理为，得或，即或，故C正确； D. 若为常数，则，，即， 则，当时，的最小值为，故D正确. 故选：ACD 5．（23-24高一上·浙江杭州·期中）不等式的解集是，则不等式的解集是（用集合表示） ． 【答案】 【分析】根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系，求出b、c与a的关系，代入所求不等式，求出解集即可． 【详解】不等式的解集为， ∴，且1，2是方程的两个实数根， ∴，解得，，其中； ∴不等式化为， 即，解得， 因此所求不等式的解集为 . 故答案为：． 题型5 二次函数单调性 1．（22-23陕西渭南·期中）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出对称轴，确定单调性，然后判断各选项即可． 【详解】对称轴为， 则在上单调递减，在上是单调递增， A：，故A错误； B：，故B错误； C：，故C错误； D：，故D正确. 故选：D. 2．（22-23高一上·贵州贵阳·期中）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的对称性和单调性可得答案. 【详解】函数的图像的对称轴为， 因为函数在区间上单调递增， 所以，解得， 所以的取值范围为， 故选：C 3．（2021高一·江苏·期中）已知函数f(x)＝x2＋4x＋c，则（    ） A．f（1）<c<f(－2) B．c<f(－2)<f（1） C．c>f（1）>f(－2) D．f（1）>c>f(－2) 【答案】D 【分析】由二次函数的对称性、单调性判断． 【详解】二次函数f(x)＝x2＋4x＋c图象的对称轴为x＝－2，且开口向上，所以在[－2，＋∞)上为增函数， 所以f(－2)<f(0)<f（1），又f(0)＝c， 所以f（1）>c>f(－2). 故选：D． 4．（21-22·福建漳州·期中）若方程的两个根是1和3，则对函数下列正确的是（    ） A．在上单调递减 B．不等式的解集是 C．在上单调递增 D．最大值是 【答案】AB 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，求出，得到函数的解析式，利用函数性质，求单调区间和最值，解函数不等式. 【详解】若方程的两个根是1和3，则有， 解得，所以， 二次函数，图像抛物线开口向上，对称轴方程为， 得在上单调递减，在上单调递增，则A选项正确，C选项错误； 不等式的解集是，B选项正确； 由单调性可知，函数没有最大值，D选项错误. 故选：AB 5．（23-24高一上·广东揭阳·期中）函数的单调递增区间为 . 【答案】和 【分析】画函数图像，再根据图像得出结果. 【详解】函数，开口向上与轴的两个交点 对称轴为， 图像如下 所以函数单调递增区间为 故答案为： 优选提升题 题型01 一元二次不等式整数根求参 1．（23-24高一上·湖北恩施·）已知关于的不等式恰有三个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化不等式为，分，和三种情况讨论，求得不等式的解集，结合题意即可求解. 【详解】不等式，可化为， 当时，不等式的解集为空集，不合题意； 当时，不等式的解集为， 要使不等式恰有三个整数解，则， 当时，不等式的解集为， 要使不等式恰有三个整数解，则， 综上可得，实数的取值范围是. 故选：D 2．（23-24高一上·贵州毕节）若关于的不等式的解集中恰有2个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因式分解，分三种情况讨论，即可得出结果. 【详解】由，得， 当时，不等式的解集为，不符合题意舍去， 当时，不等式的解集为，此时若有2个整数解，则需， 当时，不等式的解集为，此时若有2个整数解，则需， 综上：实数的取值范围为或， 故选:A． 3．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）若关于的不等式的解集中，恰有3个整数，则实数的取值集合是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】对不等式因式分解，分，，三种情况，得到不等式解集，结合恰有3个整数得到不等式，求出答案. 【详解】， 当时，不等式解集为，此时恰有3个整数解， 则3个整数解分别为，故，解得， 当时，不等式解集为，此时恰有3个整数解， 则3个整数解分别为，故，解得， 当时，不等式解集为，不合要求， 故实数的取值集合为或. 故选：D 4．（22-23高一·全国·期中）关于的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正，如下给出的结论中正确的是（    ） A．这两个方程的根都是负根 B．这两个方程的根中可能存在正根 C． D． 【答案】ACD 【分析】列出两个方程的根与系数关系，判断A,B两个选项的正确性.根据两个方程的判别式为非负数，判断C选项的正确性.根据两个方程的根与系数关系，分别求得的表达式，证得和，由此判断D选项的正确性. 【详解】设方程的两根为、，方程的两根为、.由题意知，，又，， 这两个方程的根都是负根，故A正确，B不正确； ，，，， ， 故C正确； ， ，、均为负整数，， .，,.，， 、均为负整数，， ，即，，故D正确. 综上所述，正确的结论有A，C，D. 故选:ACD. 【点睛】本小题主要考查一元二次方程根与系数关系，考查不等式的证明，考查化归与转化的数学思想方法，考查分析与解决问题的能力，属于中档题. 5．（21-22高一·全国·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的正整数根，则整数的值是 . 【答案】 【分析】首先判断，然后根据判别式为正数，求得且，利用根与系数关系，结合为整数、两个根为不相等的正整数根，求得的值. 【详解】方程是关于的一元二次方程，. ， 当时方程有两个相等的实数根；当且时，方程有两个不相等的实数根. 方程有两个不相等的正整数根，且. 设方程的两个根分别为、，，， 、均为正整数，为正整数，为整数，且，. 故答案为 【点睛】本小题主要考查根据一元二次方程的根求参数的值，考查根与系数关系，属于基础题. 题型02 实数集上恒成立求参 1．（24高一上·河南驻马店·期中）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分和两种情况，结合不等式恒成立求参数的取值范围. 【详解】当时，不等式为对一切实数都成立，符合题意， 当时，要使得不等式对一切实数都成立， 则，解得， 综上所述，的取值范围为. 故选：D． 2．（23-24高一上·湖北武汉·期中）已知，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次不等式恒成立问题的解法，分，两种情况，结合判别式法即可得解. 【详解】因为，不等式恒成立， 所以当时，若不等式恒成立，若无意义； 当时，即或，则， 解得 综上：实数的取值范围是， 故选：D. 3．（23-24高一上·吉林·期中）已知对任意恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由根的判别式得到不等式，求出实数的取值范围. 【详解】，解得， 故实数的取值范围为. 故选：A 4．（23-24高一上·山东临沂·期中）已知命题，，则命题P成立的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】考虑和的两种情况，得到，命题P成立的一个充分不必要条件是的真子集，对比选项得到答案. 【详解】恒成立， 当时，，成立； 当时，，解得； 综上所述：， 命题P成立的一个充分不必要条件是的真子集，CD满足. 故选：CD. 5．（24-25高一·上海·期中）关于x的一元二次不等式的解集为空集，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用判别式法求解. 【详解】解：因为关于x的一元二次不等式的解集为空集， 所以，对恒成立， 所以，解得， 所以实数m的取值范围为， 故答案为： 题型03 区间内恒成立求参 1．（23-24高一下·贵州贵阳·期中）对任意的，恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】参变分离可得对任意的恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为对任意的，恒成立， 所以对任意的，恒成立， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，解得，即的取值范围为. 故选：D 2．（23-24高一上·四川内江·期中）“”是“，”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先根据恒成立问题求参，再结合充分必要的定义判断即可。 【详解】,可得单调递减，单调递增， ,所以, 所以. 不能推出,可以得出，是的必要不充分条件. 故选：B. 3．（21-22高一上·江苏徐州·期中）若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用一元二次函数的图象与性质分析运算即可得解. 【详解】由题意，对于都有成立， ∴，解得：， 即实数的取值范围是. 故选：B. 4．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期中）当时，不等式恒成立，则的范围可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】先参变分离得到在上恒成立，由对勾函数得到函数单调性，从而得到，求出，得到答案. 【详解】时，变形为， 故在上恒成立， 其中为对勾函数，在上单调递减， 故，故， 故，其中ABD满足要求，C不满足要求. 故选：ABD 5．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知关于x的不等式，若，则该不等式的解集是 ，若该不等式对任意的均成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 ， . 【分析】代入，化简可得 ，根据一元二次不等式解法求结论，当时由条件求的取值范围，当时，化简不等式，由条件求的取值范围，由此可得结论. 【详解】当时，不等式可化为， 所以， 所以或， 所以不等式的解集是， 由已知对任意的，不等式恒成立， 当时，，此时， 当时，不等式，可化为， 所以，其中， 所以，所以， 所以不等式对任意的均成立时，的取值范围是. 故答案为：，. 题型04 “能”成立或有解求参 1．（23-24高一上·江苏·期中）已知命题，命题，若p是q成立的必要不充分条件，则区间D可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据二次函数的性质求得命题中的的范围，再由p是q是成立的必要不充分条件，判断求解即可. 【详解】对于，即， 所以，解得或， 因为p是q成立的必要不充分条件， 所以， 所以区间D可以为. 故选：B. 2．（23-24高一上·江苏南京·期中）若命题“”为假命题，则的取值范围是 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设为真命题，有求参数范围. 【详解】由题意得，命题“”为真命题， 则，解得或. 故选：B 3．（23-24高一上·福建·期中）若至少存在一个，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 化简不等式，根据二次函数的图象、含有绝对值函数的图象进行分析，从而求得的取值范围. 【详解】依题意，至少存在一个，使得关于的不等式成立， 即至少存在一个，使得关于的不等式成立， 画出以及的图象如下图所示，其中. 当与相切时， 由消去并化简得，. 当与相切时，由消去并化简得①，由解得，代入①得， 解得，不符合题意.当过时，. 结合图象可知的取值范围是.故选：A 【点睛】对于含有参数的不等式问题的求解，可考虑直接研究法，也可以考虑分离参数，也可以合理转化法.如本题中的不等式，可以将其转化为一边是含有绝对值的式子，另一边是二次函数，再根据二次函数以及含有绝对值的函数的图象来对问题进行分析和求解. 4．（23-24高三上·广东揭阳·期中）若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】AB 【分析】不等式在区间内有解，转化为，利用二次函数求最值即可得出的取值范围. 【详解】不等式在区间内有解，仅需即可， 令，因为的对称轴为，，， 所以，所以. 故选：AB 5．（23-24高一上·广东珠海·期中）命题：，为真命题，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据条件将问题转化不等式在上有解，利用判别式求解. 【详解】因为命题：，为真命题， 所以不等式在上有解， 当时，不等式可化为，得，符合题意； 当时，由题意得，即， 解得，结合，得， 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 6.（22-23高一上·山东青岛·期中）若“”为真命题，则下列选项中实数a可以取到的值为（    ） A． B． C．4 D．10 【答案】AD 【分析】按的正负分类讨论求得的范围即可得． 【详解】，即时满足题意， 时，不等式为，满足题意， 时，，或， 综上，或，只有AD满足． 故选：AD． 题型05区间内“能”成立（有解） 1．（23-24高二上·浙江·期中）若关于x的不等式在上有解，则实数m的最小值为（    ） A．9 B．5 C．6 D． 【答案】B 【分析】先通过分离参数得到，然后利用基本不等式求解出的最小值，则的最小值可求. 【详解】因为在上有解，所以在上有解， 所以， 又因为，当且仅当即时取等号， 所以，所以，即的最小值为， 故选：B. 2．（22-23高一下·河北保定·阶段练习）若，使得不等式成立，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可转化为，使成立，求的最小值即可. 【详解】因为，使得不等式成立， 所以，使得不等式成立， 令，， 因为对称轴为，， 所以， 所以， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 3．（22-23高一·湖北·期中）若关于的不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】据题意，分两种情况讨论：①当时，即，将的值代入分析不等式的解集是否为空集，②当时，即，结合二次函数的性质分析不等式解集非空时的取值范围，综合2种情况即可得答案． 【详解】解：根据题意，分两种情况讨论： ①当时，即， 若时，原不等式为，解可得：，则不等式的解集为，不是空集； 若时，原不等式为，无解，不符合题意； ②当时，即， 若的解集是空集，则有，解得， 则当不等式的解集不为空集时，有或且， 综合可得：实数的取值范围为； 故选：C． 4．（22-23高一上·辽宁·期中）若存在，使不等式成立，则a的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用分离参变量思想，再用换元法转化到对钩函数求最小值，即可得到取值范围. 【详解】由， 因为，所以，令， 由， 构造函数， 即，当且仅当时取等号， 所以 故答案为：. 题型06轴动区间定或轴定区间定 1．（22-23高一上·江苏镇江·期中）已知函数的定义域为区间，其中，，若的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分在对称轴的两侧和同侧求它的最大值和最小值. 【详解】因为，所以二次函数的图象是开口向上的抛物线，且过原点，对称轴为：，顶点坐标为：. ①    为使最大，则应该尽量大，尽量小，如下图所示： 此时，因为函数的值域为，所以. 所以，且，即为方程的两根. 由. 所以，所以. 即的最大值为； ②    为使最小，应该在抛物线对称轴的同侧，根据抛物线的对称性，不妨在抛物线右侧.如下图： 此时，且. 由， 由， 所以（当且仅当即时取“”，但所以等号取不到） 所以. 综上可知：. 故选：A 【点睛】方法点睛：求二次函数在给定区间上的的值域问题，通常要讨论给定的区间和对称轴的位置关系. 2．（23-24高三上·四川·期中）已知二次函数的值域为，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质可得，进而根据基本不等式即可求解最值. 【详解】∵的对称轴为：,且， ∴，∴， 由于，所以 ∴ 当且仅当，即时，最小值为4. 故选：B 3．（23-24高一上·新疆·期中）已知函数在上的值域是，则的最大值是（    ） A．3 B．6 C．4 D．8 【答案】B 【分析】根据二次函数图像特点，要使得区间长度最大，则对称轴两边（能取到对称轴的前提下）距离越大，区间长度越大 【详解】， 因为值域为，所以要取到最小值1，必须取到对称轴， 又对称轴两边距离越大，则区间长度越大， 令，得或， 所以当时， 故选：B 4.（23-24高一上·浙江·期中）若函数的定义域为，值域为，则实数的值可能为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】BCD 【分析】根据已知条件及二次函数的性质即可求解. 【详解】由，对称轴为， 当时，函数取得最小值为， 或2时，函数值为， 因为函数的定义域为，值域为， 所以， 实数t的可能取值为，，2. 故选：BCD. 5．（22-23高一上·河北沧州·期中）已知函数在区间上的最小值为1，则实数的值为 . 【答案】5 【分析】根据函数图象的对称轴为，分和求解. 【详解】解：函数图象的对称轴为， 当，即时，，解得5； 当，即时，，解得（舍去）或1（舍去）， 综上：. 故答案为：5 专题07复合型一元二次 1．（21-22高一上·浙江宁波·期中）函数，则恒成立的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据原函数表示出，化简后解不等式； 【详解】解：由题意得 故 ，解得 故选：B 2．（23-24高一·吉林·期中）已知函数，，当时，方程根的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出使的的范围，结合二次函数的值域及性质即可得. 【详解】令，则， 由，则，有， 故，解得，即或， ，则， 令，则对任意的，都有两个不同的使其成立， 对任意的，无解，故方程的根的个数为2. 故选：C. 3．（23-24高一上·湖北荆州·阶段练习）已知，若，则（    ） A．在区间内递减 B．在区间内递减 C．在区间内递增 D．在区间内递增 【答案】A 【分析】通过令，则，根据条件，利用判断复合函数单调性的方法“同增异减”，求出的单调区间，再结合各个选项，即可得出结果. 【详解】令，则，因为，故， 易知，在上单调递减， 在上单调递增， 又易知，在上单调递增，在上单调递减， 由，得到或，由，得到， 因为在区间上单调递增，此时，且在区间上单调递减， 故由复合函数的单调性知，在区间上单调递减， 因为在区间上单调递减，此时，且在区间上单调递减， 故由复合函数的单调性知，在区间上单调递增， 又因为在区间上单调递增，此时，且在区间上单调递增， 故由复合函数的单调性知，在区间上单调递增， 因为在区间上单调递减，此时，且在区间上单调递增， 故由复合函数的单调性知，在区间上单调递减， 故选：A. 4．（19-20高一·浙江杭州·期中）已知，函数的图象与x轴的交点个数为m，函数与x轴的交点个数为M，则的值可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】ABC 【解析】根据二次函数的对称性，讨论、、结合判别式、对称轴、根的情况，判断对应的零点可能情况即可求的值. 【详解】由知：且， ∴令，的定义域为，对称轴为，， 1、当时，，中； 2、当时，， 1）当时有一个零点，若时；若时； 2）当时无零点，； 3、当时，， 1）当时有两个零点，则； 2）当时有一个零点，则； 3）当时无零点，； 综上知：的可能值有0, 1, 2； 故选：ABC 【点睛】本题考查了二次函数的性质，应用了分类讨论、判别式、对称轴、根的分布情况讨论复合函数零点的个数，属于难题. 5．（22-23高一上·浙江·期中）函数，，最大值为，则的最小值是 【答案】4 【分析】变换得到，计算，，考虑，，，四种情况，根据函数单调性分别函数最值得到答案. 【详解】， ，函数在上单调递减，在上单调递增，故， 设，，， 当，即时，函数在上单调递增，， 则， 当，即时等号成立，； 当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增. ，则； 当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，，则； 当，即时，函数在上单调递减，， 则； 综上可知 故答案为：4 【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，双勾函数性质，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中分类讨论求最值是解题的关键. 专题08整数解 专题09一元二次型综合压轴大题 1．（22-23高一上·江苏镇江·期中）已知二次函数 (1)若的解集为，解关于的不等式； (2)若且，求的最小值； (3)若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值． 【答案】(1)不等式的解集为. (2)的最小值为； (3)的最小值为. 【分析】（1）由条件可得是方程的解，由此可求，结合一元二次不等式解法求的解集； （2）由已知可得，结合基本不等式求结论； （3）由条件可得，由此可得，换元并结合基本不等式可求其最小值. 【详解】（1）由已知的解集为，且， 所以是方程的解， 所以，， 所以，， 所以不等式可化为， 所以， 故不等式的解集为. （2）因为， 所以 因为，所以， 由基本不等式可得， 当且仅当时等号成立， 即当且仅当， 时等号成立； 所以的最小值为； （3）因为对任意，不等式恒成立， 所以，， 所以，， ， 令，则，， 所以， 当且仅当，时等号成立， 即当且仅当，时等号成立， 所以的最小值为. 2．（22-23高一上·福建泉州·期中）若关于的不等式的解集为. (1)当时，求的值； (2)若，，求的值，并求的最小值. 【答案】(1) (2)，的最小值为. 【分析】（1）由方程有两个实数根即可得，再代入通分后的式子即可得解. （2）由不等式的解集为和、可得，进而可求得和求解，从而结合基本不等式即可求解的最小值. 【详解】（1）由题意，关于的方程有两个根，， 所以，故. （2）由题意，关于方程有两个正根， 且由韦达定理知，解得， 所以， 所以， 又，，故、， 所以，当且仅当即时等号成立， 结合得即，时取等号. 此时实数符合条件， 故，且当时，取得最小值. 3．（22-23·湖北宜昌·期中）已知，为常数，函数. （1）当时，求关于的不等式的解集； （2）当时，若函数在上存在零点，求实数的取值范围； （3）对于给定的，且，，证明:关于的方程在区间内有一个实数根. 【答案】（1）当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；（2）；（3）证明见解析. 【解析】（1）当时，，分，，三种情况讨论，求不等式的解集； （2）当时，，其图象的对称轴为.分，，三种情况讨论，即求实数的取值范围； （3）设.由，得.对于给定的，且，，得在区间上单调，故在区间上有且只有一个零点，即方程在区间内有一个实数根. 【详解】（1）当时，. 当，即时，由得或， 不等式的解集为或. 当，即时，恒成立，不等式的解集为. 当，即时，由得或， 不等式的解集为或. 综上，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. （2）当时，，其图象的对称轴为. 当，即时，在上单调递增， 在上存在零点，，即得. . 当，即时，在上存在零点， 或或或， 解得或或或或. . 当，即时，在上单调递减， 在上存在零点，，即得. . 综上，. 实数的取值范围为. （3）设. 当给定时，为定值. , . 又对于给定的，且，， 在区间上单调，即在区间上单调， 在区间上有且只有一个零点， 即方程在区间内有一个实数根. 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法、函数的零点和方程的根，考查分类讨论的数学思想，属于难题. 4．（23-24高一上·浙江台州·期中）已知函数，， (1)当时，解不等式； (2)若任意，都有成立，求实数的取值范围； (3)若，，使得不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）作差后解一元二次不等式即可. （2）解法一：构造函数，分类讨论求解二次函数最小值，然后列不等式求解即可； 解法二：分离参数，构造函数，利用基本不等式求解最值即可求解； （3）把问题转化为，利用动轴定区间分类讨论即可求解. 【详解】（1）当时，， 所以，所以，所以的解集为. （2）若对任意，都有成立，即在恒成立， 解法一：设，，对称轴，由题意，只须， ①当，即时，在上单调递增，所以，符合题意，所以； ②当，即时，在上单调递城，在单调递增， 所以，解得且， 所以. 综上，. 解法二：不等式可化为，即，设，， 由题意，只须，， 当且仅当即时等号成立，则， 所以，即. （3）若对任意，存在，使得不等式成立， 即只需满足，， ，对称轴，在递减，在递增， ，，，对称轴， ①即时，在递增，恒成立； ②即时，在递减，在递增， ，，所以，故； ③即时，在递减，，， 所以，解得，综上：. 【点睛】关键点点睛：涉及不等式恒成立（有解）问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用函数单调性、基本不等式求解最值是解决问题的关键. 5．（23-24高一上·浙江台州·期中）已知函数，． (1)恒成立，求实数的取值范围； (2)当时，求不等式的解集； (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）将不等式化为；当时易知满足题意；当时，根据一元二次不等式恒成立问题的求法可求得结果； （2）分别在、和三种情况下，解一元二次不等式求得结果； （3）由基本不等式可求解得，根据题意，将题中条件转化为有两个不同正根，由二次函数根的分布列不等式组，由求解的取值范围. 【详解】（1）由得恒成立，恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为. （2）当时，； 令，解得：，； 当，即时，恒成立，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为； 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （3）当时，令， 当且仅当时取等号， 依题意可得关于的方程有四个不等实根， 令，则转化为存在使得关于的方程， 即有两个不同正根， 则 ，由第二个与第三个不等式可得， 由知，存在使不等式成立， 把看成主元代入，故，即， 解得或，综合可得， 故实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④韦达定理；⑤端点函数值符号四个方面分析． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$