第一次月考模拟测试卷（测试范围：勾股定理+实数）-（题型·技巧培优系列）2024-2025学年八年级数学上册同步精讲精练（北师大版）

（北师大版）2024-2025学年八年级上学期数学 第一次月考模拟测试卷 （测试范围：第1,2章） （考试时间120分钟 满分120分） 一、选择题（共10题，每小题3分，共30分） 1．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．下列说法错误的是（　　） A．±3是9的平方根 B．的平方根为±4 C．25的平方根为±5 D．负数没有平方根 4．△ABC 的三边长分别为a，b，c，由下列条件不能判断△ABC为直角三角形的是（　　） A．∠B+∠C＝90° B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C．a＝6，b＝8，c＝10 D．c2﹣a2＝b2 5．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A．b＞﹣1 B．|b|＞2 C．a+b＞0 D．ab＞0 6．如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度DE＝6cm，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度BF＝8cm，此时摆锤与静止位置时的水平距离BC＝10cm时，钟摆AD的长度是（　　） A．17 B．24 C．26 D．28 7．当时，代数式x2+2x+2的值是（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 8．图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在Rt△ABC中，若直角边AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是（　　） A．52 B．48 C．72 D．76 9．对于实数p，我们规定：用＜p＞表示不小于p的最小整数，例如：＜4＞＝4，．现对72进行如下操作：．即对72只需进行3次操作后变为2．类似地：对121只需进行______次操作后变为2．（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 10．已知△ABC中，AB＝15，AC＝6，且BC边上的高AD＝12，则BC的长为（　　） A．2 B．3 C．3或15 D．15 二、填空题（共6题，每小题3分，共18分） 11．若2a+1和2﹣a的立方根互为相反数，则a＝　 　． 12．如图，在数轴上，点A与原点重合，点C表示的数为3，BC＝1，以AC、BC为直角边作Rt△ABC，以点A为圆心，以AB长为半径作弧，与负半轴交于点D，则点D表示的数为 　 　． 13．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2﹣b2，根据这个规则，方程（x+2）*5＝0的解为 　 　． 14．一个三角形的三边长之比是5：12：13，且周长是60，则它的面积是 　 　． 15．我国汉代数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称该图为“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个推断：①x2+y2＝49；①x﹣y＝2；③2xy+4＝49；④x+y＝7．其中正确的推断是 　 　． 16．如图，圆柱形容器的底面周长是24cm，高是17cm，在外侧地面S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一苍蝇，急于捕捉苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线长度是 　 　cm． 三、解答题（本大题共8小题，满分共72分） 17．（每小题3分，共9分）计算： （1）． （2）． （3）． 18．（8分）（1）已知：，，求x2+y2﹣3xy的值； （2）若，求代数式x2﹣2x+2023的值． 19．（8分）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． （1）求|m+1|+|m﹣1|的值； （2）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c+6|与互为相反数，求2c+3d的平方根． 20．（8分）如图，小区有一块三角形空地ABC，为响应中山市创建全国文明典范城市的号召，小区计划将这块空地种上三种不同的花卉，中间用小路AD、DE隔开，DE⊥AB．经测量，AB＝15米，AC＝13米，AD＝12米，DC＝5米． （1）求BD的长； （2）求小路DE的长． 21．（8分）已知a的平方根是±2，b是27的立方根，c是的整数部分． （1）求a+b+c的值； （2）若x是的小数部分，求的平方根． 22．（9分）2023中国红色旅游博览会在于都举办，全国各地游客追随而来，纷纷走进长征源头、红色圣地于都，开展红色主题研学活动，开启红色文化之旅．在江西馆门口离地面一定高度的墙上D处，装有一个由传感器控制的迎宾门铃，人只要移动到该门口2.4m及2.4m以内时，门铃就会自动发出“于都欢迎您”的语音．如图，一个身高1.6m的学生刚走到B处（学生头顶在A处），门铃恰好自动响起，此时测得迎宾门铃与地面的距离和到该生头顶的距离相等． （1）请你计算迎宾门铃距离地面多少米？ （2）若该生继续向前走1.4m，此时迎宾门铃距离该生头顶多少米？ 23．（10分）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题： 化简：． 解：隐含条件1﹣3x≥0，解得：，∴1﹣x＞0． ∴原式＝（1﹣3x）﹣（1﹣x）＝1﹣3x﹣1+x＝﹣2x． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简：． 【类比迁移】 （2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：． （3）已知a，b，c为△ABC的三边长．化简：． 24．（12分）已知在△ABC中，AB＝AC，点D在线段BC上，点F在射线AD上，连接CF，作BE∥CF交射线AD于E，∠CFA＝∠BAC＝α． （1）如图1，当α＝70°时，∠ABE＝15°时，求∠BAE的大小； （2）当α＝90°，AB＝AC＝8时， ①如图2．连接BF，当BF＝BA，求CF的长； ②若AD，求CF的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ （北师大版）2024-2025学年八年级上学期数学 第一次月考模拟测试卷 （测试范围：第1,2章） （考试时间120分钟 满分120分） 一、选择题（共10题，每小题3分，共30分） 1．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式有意义的条件可得2x﹣1≥0，再解不等式即可． 【解答】解：由题意得：2x﹣1≥0， 解得：x， 故选：A． 【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． 2．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的运算及性质可求解． 【解答】解：A、，故不符合题意； B、是最简二次根式，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，故不符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查二次根式的运算及性质，熟练掌握二次根式的运算及性质是解题的关键． 3．下列说法错误的是（　　） A．±3是9的平方根 B．的平方根为±4 C．25的平方根为±5 D．负数没有平方根 【分析】根据平方根的定义，逐个进行判断即可． 【解答】解：A、±3是9的平方根，正确，故本选项不符合题意； B、的平方根为±2，故B不正确，故本选项符合题意； C、25的平方根为±5，正确，故本选项不符合题意； D、负数没有平方根，正确，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点评】本题主要考查了平方根的定义，解题的关键是熟练掌握平方根的定义，正数有两个平方根互为相反数，负数没有平方根． 4．△ABC 的三边长分别为a，b，c，由下列条件不能判断△ABC为直角三角形的是（　　） A．∠B+∠C＝90° B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C．a＝6，b＝8，c＝10 D．c2﹣a2＝b2 【分析】根据三角形内角和定理可分析出B、C的正误；根据勾股定理逆定理可分析出A、D的正误． 【解答】解：A、∵a2＝b2﹣c2， ∴a2+c2＝b2， ∴能构成直角三角形，故此选项不符合题意； B、设∠A＝3x°，∠B＝4x°，∠C＝5x°， 3x+4x+5x＝180， 解得：x＝15， 则5x°＝75°， ∴△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意； C、∵∠B+∠C＝90°，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠A＝90°， ∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意； D、∵a＝12，b＝5，c＝13， ∴c2＝a2+b2， ∴能构成直角三角形，故此选项不合题意； 故选：B． 【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用和三角形的内角和定理．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 5．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A．b＞﹣1 B．|b|＞2 C．a+b＞0 D．ab＞0 【分析】由数轴得，﹣2＜b＜﹣1，2＜a＜3，进一步得出|b|＜2，a+b＞0，ab＜0，即可作出判断． 【解答】解：由数轴得，﹣2＜b＜﹣1，2＜a＜3， ∴|b|＜2，a+b＞0，ab＜0， 故选：C． 【点评】本题考查了实数与数轴，熟练掌握数轴的性质、绝对值、有理数的加法、有理数的乘法法则是解题的关键． 6．如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度DE＝6cm，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度BF＝8cm，此时摆锤与静止位置时的水平距离BC＝10cm时，钟摆AD的长度是（　　） A．17 B．24 C．26 D．28 【分析】设AB＝AD＝x cm，根据题意可推出AC＝（x﹣2）cm，然后在Rt△ABC中利用勾股定理列方程求解即可． 【解答】解：设AB＝AD＝x cm， 根据题意可知，BC∥EF，CE⊥EF，BF⊥EF，BF＝8cm， ∴CE＝BF＝8cm， ∴AC＝AD+DE﹣CE＝x+6﹣8＝（x﹣2）cm， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ∴AB2＝AC2+BC2，即x2＝（x﹣2）2+102， 解得：x＝26， 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，平行线之间的距离处处相等，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 7．当时，代数式x2+2x+2的值是（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【分析】先变形已知条件得到x+1，再方程两边平方后减去1可得x2+2x＝2022，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：∵x1， ∴x+1， ∴（x+1）2＝2023， ∴x2+2x+1＝2023， ∴x2+2x＝2022， ∴x2+2x+2＝2022+2＝2024． 故选：C． 【点评】本题考查了二次根式的化简求值，灵活运用整体代入的方法是解决问题的关键． 8．图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在Rt△ABC中，若直角边AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是（　　） A．52 B．48 C．72 D．76 【分析】通过勾股定理可将“数学风车”的斜边求出，然后可求出风车外围的周长． 【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则 x2＝122+52＝169， 所以x＝13， 所以“数学风车”的周长是：（13+6）×4＝76． 故选：D． 【点评】本题是勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题． 9．对于实数p，我们规定：用＜p＞表示不小于p的最小整数，例如：＜4＞＝4，．现对72进行如下操作：．即对72只需进行3次操作后变为2．类似地：对121只需进行______次操作后变为2．（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】找出所求问题需要的条件．按照定义的新运算，进行计算即可解答． 【解答】解：∵， ∴对121只需进行3次操作后变为2． 故选：B． 【点评】本题考查估计无理数的大小，掌握实数大小的比较是解答本题的关键． 10．已知△ABC中，AB＝15，AC＝6，且BC边上的高AD＝12，则BC的长为（　　） A．2 B．3 C．3或15 D．15 【分析】根据题意作出如图1和图2，分两种情况分别求解即可． 【解答】解：如图1，在△ABC中，AB＝15，AC＝6，BC边上的高AD＝12， ∴BD9， CD6， ∴BC＝BD+DC＝15； 如图2，在Rt△ABD中，AB＝15，AD＝12， BD9， CD6， ∴BC＝BD﹣CD＝9﹣6＝3， 综上所述，BC的长为15或3， 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 二、填空题（共6题，每小题3分，共18分） 11．若2a+1和2﹣a的立方根互为相反数，则a＝　 　． 【分析】直接利用立方根的性质结合互为相反数的定义得出答案． 【解答】解：∵2a+1和2﹣a的立方根互为相反数， ∴2a+1和2﹣a也是互为相反数， ∴2a+1+2﹣a＝0， ∴a＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【点评】此题主要考查了实数的性质，正确掌握立方根的性质是解题关键． 12．如图，在数轴上，点A与原点重合，点C表示的数为3，BC＝1，以AC、BC为直角边作Rt△ABC，以点A为圆心，以AB长为半径作弧，与负半轴交于点D，则点D表示的数为 　 　． 【分析】利用数轴求得AC长度，利用直角三角形三边定理得AB长度，由圆的性质得AD＝AB． 【解答】解：由题意得：AC＝3，BC＝1． ∵△ABC为直角三角形． ∴AB2＝AC2+BC2． ∴AB． 由圆的性质得AD＝AB． ∵D点所表示的数小于0． ∴点D表示的数为． 故答案为点D表示的数为． 【点评】该题考查：圆的性质，直角三角形的性质，数轴的概念． 13．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2﹣b2，根据这个规则，方程（x+2）*5＝0的解为 　 　． 【分析】根据题目中的规定的法则将方程转化为（x+2）2﹣52＝0，再解方程即可求解． 【解答】解：∵（x+2）*5＝0， ∴（x+2）2﹣52＝0， （x+2）2＝52， ∴x+2＝±5， 解得x＝3或﹣7． 故答案为3或﹣7． 【点评】本题主要考查解一元二次方程，属于新定义题型，将所求方程转化为一元二次方程是解题的关键． 14．一个三角形的三边长之比是5：12：13，且周长是60，则它的面积是 　 ． 【分析】先求得三角形的三边长，然后依据勾股定理的逆定理证明三角形为直角三角形，最后，再利用三角形的面积公式求解即可． 【解答】解：三角形的三边长分别为6010，6024，6026． ∵102+242＝262， ∴三角形为直角三角形． ∴三角形的面积10×24＝120． 故答案为：120． 【点评】本题主要考查的是勾股定理的逆定理，证得三角形为直角三角形是解题的关键． 15．我国汉代数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称该图为“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个推断：①x2+y2＝49；①x﹣y＝2；③2xy+4＝49；④x+y＝7．其中正确的推断是 　 　． 【分析】根据所给图形，用含x和y的代数式分别表示出图中各部分图形的面积，再结合各部分图形面积之间的关系即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为大正方形的面积为49， 所以大正方形的边长为7， 则由勾股定理得， x2+y2＝49． 故①正确． 因为小正方形的面积为4， 所以小正方形的边长为2， 则x﹣y＝2． 故②正确． 由x﹣y＝2得， （x﹣y）2＝4． 又因为x2+y2＝49， 所以2xy＝x2+y2﹣（x﹣y）2＝45， 所以2xy+4＝49． 故③正确． （x+y）2＝x2+y2+2xy＝49+45＝94， 所以x+y（舍负）． 故④错误． 故答案为：①②③． 【点评】本题主题考查了勾股定理的证明，熟知勾股定理是解题的关键． 16．如图，圆柱形容器的底面周长是24cm，高是17cm，在外侧地面S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一苍蝇，急于捕捉苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线长度是 　 　cm． 【分析】把圆柱的侧面展开，根据勾股定理求出SF的长即可． 【解答】解：如图所示， SF20（cm）． 故答案为：20． 【点评】本题考查平面展开﹣最短路径问题，解题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形的长和宽的值，然后用勾股定理进行计算． 三、解答题（本大题共8小题，满分共72分） 17．（每小题3分，共9分）计算： （1）． （2）． （3）． 【分析】（1）根据零次幂、乘方和算术平方根的性质化简即可求解； （2）分别化简各项后，再进行加减运算即可 （3）根据二次根式的乘除法法则计算即可求解． 【解答】解：（1） ＝1+4﹣（﹣1） ＝6； （2） ． （3） ． 【点评】本题考查了实数、二次根式的混合运算，解题的关键是掌握实数、二次根式的混合运算法则． 18．（8分）（1）已知：，，求x2+y2﹣3xy的值； （2）若，求代数式x2﹣2x+2023的值． 【分析】（1）根据二次根式的加法法则求出x+y，根据二次根式的乘法法则求出xy，根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可； （2）根据完全平方公式把原式变形，把x﹣1的值代入计算即可 【解答】解：（1）∵x＝2，y＝2， ∴x+y＝（2）+（2）＝4，xy＝（2）（2）＝4﹣3＝1， 则x2+y2﹣3xy ＝x2+y+2xy﹣5xy ＝（x+y）2﹣5xy ＝42﹣5×1 ＝11； （2）∵x1， ∴x﹣1， 则x2﹣2x+2023 ＝x2﹣2x+1+2022 ＝（x﹣1）2+2022 ＝（）2+2022 ＝2024． 【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握完全平方公式是解题的关键． 19．（8分）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． （1）求|m+1|+|m﹣1|的值； （2）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c+6|与互为相反数，求2c+3d的平方根． 【分析】（1）利用两点间的距离公式计算即可； （2）利用非负数的性质，得到c，d的值，代入求值即可． 【解答】解：（1）∵AB＝2， ∴m﹣（）＝2， ∴m， ∴|m+1|+|m﹣1| ＝|21|+|21| ＝|3|+|1| ＝31 ＝2； （2）∵|2c+6|与互为相反数， ∴|2c+6|0， ∵|2c+6|≥0，0， ∴2c+6＝0，d﹣4＝0， ∴c＝﹣3，d＝4， ∴2c+3d＝2×（﹣3）+3×4＝6， ∴2c+3d的平方根是． 【点评】本题考查了两点间的距离公式、平方根，解题的关键是熟练掌握两点的距离公式，注意平方根有两个． 20．（8分）如图，小区有一块三角形空地ABC，为响应中山市创建全国文明典范城市的号召，小区计划将这块空地种上三种不同的花卉，中间用小路AD、DE隔开，DE⊥AB．经测量，AB＝15米，AC＝13米，AD＝12米，DC＝5米． （1）求BD的长； （2）求小路DE的长． 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理判定△ADC为直角三角形，再利用勾股定理解答即可； （2）利用三角形的面积公式列出关于DE的方程解答即可． 【解答】解：（1）∵AC＝13米，AD＝12米，DC＝5米， ∴AC2＝169，AD2+CD2＝144+25＝169， ∴AC2＝AD2+CD2， ∴∠ADC＝90°， ∴∠ADB＝90°． ∴BD9（米）． （2）∵S△ABDAD•BDAB•DE， ∴AD•BD＝AB•DE， ∴12×9＝15DE， ∴DE（米）． 【点评】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 21．（8分）已知a的平方根是±2，b是27的立方根，c是的整数部分． （1）求a+b+c的值； （2）若x是的小数部分，求的平方根． 【分析】（1）根据平方根、立方根、无理数的估算分别求出a、b、c的值即可； （2）由（1）可知的整数部分是3，从而求出其小数部分，再根据算术平方根计算，最后求出平方根即可． 【解答】解：（1）∵a的平方根是±2， ∴a＝（±2）2＝4， ∵b是27的立方根， ∴b＝3， ∵， 即， ∴的整数部分是3， ∵c是的整数部分， ∴c＝3， ∴a+b+c＝4+3+3＝10； （2）由（1）可知的整数部分是3， ∵x是 的小数部分， ∴， ∴， ∴ 的平方根是． 【点评】本题考查了无理数的估算，算术平方根，平方根，立方根，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键． 22．（9分）2023中国红色旅游博览会在于都举办，全国各地游客追随而来，纷纷走进长征源头、红色圣地于都，开展红色主题研学活动，开启红色文化之旅．在江西馆门口离地面一定高度的墙上D处，装有一个由传感器控制的迎宾门铃，人只要移动到该门口2.4m及2.4m以内时，门铃就会自动发出“于都欢迎您”的语音．如图，一个身高1.6m的学生刚走到B处（学生头顶在A处），门铃恰好自动响起，此时测得迎宾门铃与地面的距离和到该生头顶的距离相等． （1）请你计算迎宾门铃距离地面多少米？ （2）若该生继续向前走1.4m，此时迎宾门铃距离该生头顶多少米？ 【分析】（1）过点A作AE⊥CD于点E，则CE＝AB＝1.6m，AE＝BC＝2.4m，设迎宾门铃距离地面x m，则AD＝CD＝x m，DE＝（x﹣1.6）m，在Rt△AED中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （2）MN为该生向前走1.4m后的位置，则AN＝1.4m，NE＝1m，由（1）可知，DE＝1m，然后在Rt△NED中，由勾股定理求出DN的长即可． 【解答】解：（1）由题意知，AD＝CD，BC＝2.4m，AB＝1.6m，∠ABC＝∠DCB＝90°， 如图1，过点A作AE⊥CD于点E， 则CE＝AB＝1.6m，AE＝BC＝2.4m， 设迎宾门铃距离地面x m，则AD＝CD＝x m，DE＝（x﹣1.6）m， 在Rt△AED中，由勾股定理得：AE2+DE2＝AD2， 即2.42+（x﹣1.6）2＝x2， 解得：x＝2.6． 答：宾门铃距离地面2.6m； （2）如图2，MN为该生向前走1.4m后的位置， 则AN＝1.4m， ∴NE＝AE﹣AN＝2.4﹣1.4＝1（m）， 由（1）可知，DE＝x﹣1.6＝1（m）， 在Rt△NED中，由勾股定理得：DN（m）， 答：此时迎宾门铃距离该生头顶． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 23．（10分）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题： 化简：． 解：隐含条件1﹣3x≥0，解得：，∴1﹣x＞0． ∴原式＝（1﹣3x）﹣（1﹣x）＝1﹣3x﹣1+x＝﹣2x． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简：． 【类比迁移】 （2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：． （3）已知a，b，c为△ABC的三边长．化简：． 【分析】（1）先根据题意得到x≤2，据此化简二次根式即可； （2）先根据数轴得到a+b＜0，b﹣a＞0，据此化简二次根式和绝对值即可； （3）根据三角形三边的关系得到a+b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，据此化简二次根式即可． 【解答】解：（1）∵有意义， ∴2﹣x≥0，即x≤2， ∴ ＝3﹣x﹣（2﹣x） ＝3﹣x﹣2+x ＝1； （2）由题意得，a＜0，|a|＞|b|， ∴a+b＜0，b﹣a＞0， ∴ ＝﹣a﹣（a+b）﹣（b﹣a） ＝﹣a﹣a﹣b﹣b+a ＝﹣a﹣2b； （3）∵a，b，c为△ABC的三边长 ∴a+b+c＞0，a﹣b﹣c＜0， ∴ ＝a+b+c﹣（a﹣b﹣c） ＝a+b+c﹣a+b+c ＝2b+2c． 【点评】本题主要考查了化简二次根式，实数与数轴，三角形三边的关系，解题的关键是掌握二次根式的性质． 24．（12分）已知在△ABC中，AB＝AC，点D在线段BC上，点F在射线AD上，连接CF，作BE∥CF交射线AD于E，∠CFA＝∠BAC＝α． （1）如图1，当α＝70°时，∠ABE＝15°时，求∠BAE的大小； （2）当α＝90°，AB＝AC＝8时， ①如图2．连接BF，当BF＝BA，求CF的长； ②若AD，求CF的长． 【分析】（1）由平行线的性质求解∠BED＝70°，再利用三角形的外角的性质可得答案； （2）①证明△BEF≌△AFC，可得，再利用勾股定理求解即可； ②如图，过A作AM⊥BC于M，当D在M的右边时，利用勾股定理，可得，与等面积法可得，可得，，证明△BAE≌△ACF，从而可得答案；当D在M的左边时，如图，同理可得答案． 【解答】解：（1）∵BE∥CF，∠CFA＝∠BAC＝α＝70°， ∴∠BED＝70°， ∵∠BED＝∠ABE+∠BAE，∠ABE＝15°， ∴∠BAE＝70°﹣15°＝55°； （2）①∵BF＝BA，AB＝AC， ∴BF＝AC， ∵BE∥CF，∠CFA＝∠BAC＝α＝90°， ∴BE⊥AF，AE＝EF，∠ABE＝∠FBE，∠BEF＝∠AFC＝90°， ∴∠ABE+∠BAE＝90°＝∠BAE+∠CAF， ∴∠ABE＝∠CAF， ∴∠CAF＝∠FBE， ∴△BEF≌△AFC（AAS）， ∴EF＝FC， ∴， ∵AB＝AC＝8， ∴CF2+（2CF）2＝64， 解得：（负根舍去）； ②如图，过A作AM⊥BC于M，当D在M的右边时， ∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝8， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）得：∠ABE＝∠CAF， 而∠AEB＝∠AFC＝90°，AB＝AC， ∴△BAE≌△ACF（AAS）， ∴， 当D在M的左边时，如图， 同理可得：，，， ∴； 综上：或． 【点评】本题考查的是三角形的外角的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算，熟练的证明需要的两个三角形全等是解本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$