期中考前满分冲刺之优质压轴题-2024-2025学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版）

期中考前满分冲刺之优质压轴题思维导图 【类型覆盖】 类型一、轴对称中的最值问题 1．如图，等腰三角形的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交，边于点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，锐角中，，的面积是6，D、E、F分别是三边上的动点，则周长的最小值是（    ） A．3 B．4 C．6 D．7 3．如图，在等边三角形中，是中线，点P，Q分别在，上，且，动点E在上，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．如图，在中，，在上方作射线，且，若为上的一个动点，则的最大值为 ． 5．如图，在四边形中，C是的中点，，若，则线段的最大值为 6．如图，在四边形中，，，，，则的最大值为 ． 类型二、角平分线与垂直平分线的结合 1．如图，在中，I是三角形角平分线的交点，连接，，，点O为三边垂直平分线交点，若，则的大小为（　　） A． B． C． D． 2．如图，在中，的角平分线与的垂直平分线交于点D，于点E，，交的延长线于点F．若，，则的长为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，中，的角平分线与的中垂线交于点，过点分别作所在直线的垂线，垂足分别为，若，则的长为 ． 4．如图，是的角平分线，点B在射线上，是线段的中垂线交于E，．若，则 ． 5．如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点D，的延长线于点M，于点N．若，，，则的长为？ 6．已知，的垂直平分线与的角平分线交于点，过点作交的延长线于点，于点，求证：． 类型三、倍长中线法 1．如图，点是的边上的中线，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知是的边上的中线，，，则边及中线的取值范围分别是(　　) A．， B．， C．， D．， 3．如图，在中，点E是的中点，，的长为m，则m的取值范围是 ． 4．已知三角形的两边长分别为和8，则第三边上中线长m的取值范围是 ． 5．某校八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了试验探究活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接，求证：． 【理解与运用】 （2）如图2，是的中线，若，求的取值范围； （3）如图3，是的中线，，点在的延长线上，，求证：． 6．【发现问题】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样的一个问题： 如图①，在中，，，第三边上的中线，则的取值范围是____． 【探究方法】小明同学通过组内合作交流，得到了如下解决方法： （1）如图②，延长至点，使得，连结，根据“”可以判定__________，得出．在中，，，，故中线的长x的取值范围是_______． 【活动经验】当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑将中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的问题集中到同一个三角形中，进而解决问题，这种作辅助线的方法叫做“倍长中线”法． 【问题解决】（2）如图③，已知，，，连接和，点是的中点，连接．求证：．小明发现，如图④，延长至点，使，连接，通过证明，可推得． 下面是小明的部分证明过程： 证明：延长至点，使，连接， ∵点是的中点， ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴，． 请你补全余下的证明过程． 【问题拓展】（3）如图⑤，在和中， ，，，点M，N分别是和的中点．若，，则MN的取值范围是 ． 类型四、一线分多腰 1．在如图的三角形中，若，哪些能被过一个顶点的一条直线分成两个小等腰三角形？能被过一个顶点的一条直线分为两个小等腰三角形的请作出这条直线． 2．如图1，在中，，把分割成两个等腰三角形（不写作法，但需保留作图痕迹），并标注每个等腰三角形底角的度数． 拓展一：定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线． 例如，如图2，把一张顶角为的等腰三角形纸片剪两刀，使每张小纸片都是等腰三角形．    (1)请你在图3中用两种不同的方法画出顶角为的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种） (2)中，，和是的三分线，点E在边上，且，设，试画出示意图 拓展一： 拓展二：已知的三条边长分别为3，4，6，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画 条． 3．阅读下列材料，解答问题： 材料  从等腰三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个三角形都是等腰三角形，我们把这条线段叫做三角形的完美分割线．例如：线段把等腰分成与（如图1），如果与均为等腰三角形，那么线段叫做的完美分割线． 解答下列问题： (1)如图1，已知中，，，为的完美分割线，且，则________°，________°； (2)如图2，已知中，，，，求证：为的完美分割线； (3)如图3，已知是一等腰三角形纸片，，是它的一条完美分割线，且，将沿直线折叠后，点C落在点处，交于点M，求证：． 4．【阅读学习】 阅读从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，如果顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小的等腰三角形，那么我们就把原三角形叫作“可两分三角形”．这条线段叫作这个三角形的“两分线”． （）判断：在中，，，则________“可两分三角形”．（填“是”或“不是”） （）画图和计算： 下图中的两个三角形都是“可两分三角形”．请你画出每个三角形的“两分线”，并标出分成的等腰三角形的底角的度数． 阅读如果两条线段将一个三角形分割成三个等腰三角形，那么我们把这两条线段叫作这个三角形的“三分线”．如图，线段将顶角为的等腰分成了三个等腰三角形，则线段是的“三分线”． （）画图和计算：请你在图中，画出顶角为的等腰的“三分线”，并标出每个等腰三角形顶角的度数． （）画图和计算：在中，，和是的“三分线”，点在边上，点在边上，且，．设，试画出示意图，并求出的值． 5．【问题情景】 小明发现：顶角为的等腰三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形，为此，请你完成下列问题： （1）已知：如图，在中，，，直线平分交于点． 求证：与都是等腰三角形；    【初步应用】 小明提问：直角三角形是否也具有这样的特性？ （2）已知，如图，在中，，，请画一条直线把这个三角形分割成两个等腰三角形．（要求：画出两种不同的分割方法，并标出相等两角的度数，无需证明）．    【灵活应用】 小明进一步思考： （3）对于任意，是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个等腰三角形，若，，请你画出图形，并直接写出与之间的关系． 6．课本中有一探究活动：如图1，有甲、乙两个三角形，甲三角形内角分别为10°，20°，150°；乙三角形内角分别为80°，25°，75°．你能把每一个三角形分成两个等腰三角形吗？画一画，并标出每个等腰三角形顶角的度数． (1)小明按要求画出了图1中甲图的分割线，请你帮他作出图1中乙图的分割线； (2)小明进一步探究发现：能将一个顶角为108°的等腰三角形分成三个等腰三角形；请在图2中画出分割线，并标注每个等腰三角形顶角的度数； 类型五、手拉手模型 1．【综合实践】如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”． (1)【初步把握】如图1，与都是等腰三角形，，，且，则有 ；线段和的数量关系是 ； (2)【深入研究】如图2，和是都是等腰三角形，即，，且，B，C，D在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图3，直线，垂足为点O，上有一点M在点O右侧且，点N是上一个动点，连接，在下方作等腰直角三角形，，，连接．请直接写出线段的最小值及此时的长度． 2． (1)问题发现： 两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形， 如图1，和是顶角相等的等腰三角形，即，，且，分别连接，．求证：；（请在下面的证明过程中填写上理由或数学式） 证明： 在和中 ① ②（_________________） ③（________________________________________________） (2)类比探究：如图2，和都是等腰三角形，即，，且，B，C，D在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由． (3)问题解决：如图3，若和均为等腰直角三角形，且，，，点A，D，E在同一条直线上，为中边上的高，连接，若，，请直接写出的长，不说明理由． 3．【综合实践】如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图①，与都是等腰三角形，其中，则． 【初步把握】如图②，与都是等腰三角形，，且，则有______________________； 【深入研究】如图③，已知，以为边分别向外作等边和等边，并连接，求证：； 【拓展延伸】如图④，在两个等腰直角和中，，连接，交于点，请判断和的关系，并说明理由． 4．【阅读材料】小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若，，，则． 【材料理解】（1）在图1中说明小明的发现． 【深入探究】（2）如图2，和是等边三角形，连接交于点O，连接，试说明：①；②．    5．在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”．兴趣小组进行了如下操作： (1)观察猜想：如图①，已知均为等边三角形，点D在边上，且不与点B、C重合，连接，易证，进而判断出与的位置关系是___________ (2)类比探究：如图②，已知均为等边三角形，连接，若，试说明点B，D，E在同一直线上； (3)解决问题：如图③，已知点E在等边的外部，并且与点B位于线段的异侧，连接．若，请求出的长． 6．【问题提出】如图1，、都是等边三角形，求证：． 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】    (1)等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边：等边三角形，连接． ①如图2，若点在边上，求证：． ②如图3，若点在边的延长线上，线段、、之间的关系为__________（直接写出结论） (2)如图4，等腰中，，，，且交于点，以为边作等边，直线交直线于点，连接交于点，写出、、之间的数量关系，并加以说明． (3)如图5，在中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接，则是否有最小值，如有，求出它的最小值，没有，请说明理由． 类型六、三角形的新定义 1．【定义】如果两个角的差为，就称这两个角互为“伙伴角”，其中一个角叫做另一个角的“伙伴角”．例如：，则和互为“伙伴角”，即是的“伙伴角”， 也是的“伙伴角”． (1)已知和互为“伙伴角”，且，则 ． (2)如图1所示，在中，，过点C作的平行线，的平分线分别交于D，E两点． ①若，且和互为“伙伴角”，求的度数； ②如图2所示，的平分线交于点F，当和互为“伙伴角”时，直接写出的度数． 2．定义：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的2倍，那么这样的三角形我们称为“倍角三角形”． (1)如图1，在中，，平分交于点D，求证：是“倍角三角形”； (2)如图2，A，C为直线l上两点，点B在直线l外，且．若D是l上一点，且是“倍角三角形”，直接写出的度数． 3．定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”.    (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． ①求、的度数． ②若是中边上的高，则、都是“友爱三角形”吗？为什么？ (2)如图2，在中，，，D是边上一点（不与点A，B重合），连接，若是“友爱三角形”，直接写出的度数． 4．新定义： 在中，若存在一个内角是另外一个内角度数的倍（为大于1的正整数），则称为倍角三角形.例如，在中，，，，可知，所以为2倍角三角形. (1)在中，，，则为______倍角三角形. (2)如图，直线直线于点，点、点分别在射线、上，已知、的角平分线分别与的角平分线所在的直线交于点、.若为3倍角三角形，试求的度数. 5．【定义】如果两个角的差为，就称这两个角互为“黄金角”，其中一个角叫做另一个角的“黄金角”． 例如：，则和互为“黄金角”，即是的“黄金角”，也是的“黄金角”． (1)已知和互为“黄金角”，且，若和互余，则_____； (2)如图1所示，在中，，过点作的平行线的平分线分别交于两点． ①若，且和互为“黄金角”，则______； ②如图2所示，过点作的垂线，垂足为相交于点．若与互为“黄金角”，求的度数； ③如图3所示，的平分线交于点，当和互为“黄金角”时，则______． 6．定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“如意角”，这个三角形叫做“如意三角形”．例如：在中，，，则与互为“如意角”，为“如意三角形”． 【理解】 （1）若为如意三角形，，则这个三角形中最小的内角为　 　°； （2）若为如意三角形，，则在所有可能的三角形中，最大的内角为　 　°； 【应用】 （3）如图，平分的内角，交于点E，平分的外角，延长和交于点P，已知，若和互为“如意角”，设，求的值．    类型七、轴对称的新定义 1．定义：若两个等腰三角形的顶角之和等于，则称这两个等腰三角形互为“友好三角形”，这两个角的顶点互为“友好点”． (1)已知与互为"友好三角形"，点和点互为“友好点”，且中有一个内角为，则________． (2)已知，在平面直角坐标系中，点，，点为角平分线上一动点，点为轴上一动点，连接，，． ①如图1，，求证：与互为“友好三角形”；（提示：由点向两坐标轴作垂线） ②在①的条件下，若点的坐标为，求点的坐标： (3)在（2）的条件下，动点、同时从点出发向左运动，当点与点重合时动点、同时停止运动．点的速度为每秒4个单位，点的速度为每秒2个单位，以为边在轴的上方作正方形，当一条边的垂直平分线成为正方形对称轴时，直接写出的值． 2．我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．    (1)已知：如图1，四边形是“等对角四边形”，，，．求，的度数． (2)在探究“等对角四边形”性质时： ①小红画了一个“等对角四边形”（如图2），其中，此时她发现成立．请你证明此结论； ②由此小红猜想：“对于任意‘等对角四边形’，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等”．你认为她的猜想正确吗？若正确，请证明；若不正确，请举出反例． 3．定义：一个内角等于另一个内角两倍的三角形，叫做“华益三角形”．    (1)下列三角形一定是“华益三角形”的有________． ①顶角是的等腰三角形； ②等腰直角三角形； ③有一个角是的直角三角形． (2)如图1，在中，，，以边所在的直线为对称轴作的对称图形，延长到点E，使，求证：是“华益三角形”； (3)如图2，平分的内角，交于点E，平分的外角，延长和交于点P，已知，若是“华益三角形”，设，求的度数． 4．我们定义：从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，若分得的两个小三角形中一个三角形为等腰三角形，另一个三角形的三个内角与原来三角形的三个内角分别相等，则称这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．例如，等腰直角三角形斜边上的高就是这个等腰直角三角形的一条“等角分割线”． (1)如图1，在中，是边上一点，若，，则________的“等角分割线”．（填“是”或“不是”）； (2)如图2，中，； 利用直尺和圆规，作出的“等角分割线”（保留作图痕迹，不写做法） 若，则中画出的“等角分割线”的长度为____________； (3)在中，，若存在“等角分割线”，且是等腰三角形，试求出所有符合要求的的度数． 5．【了解概念】 定义：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，则称这个三角形为“唯美三角形”，这条中线叫这条边的“唯美线”． 【理解运用】 （1）如图1，为“唯美三角形”，为边的“唯美线”，试判断的形状，并说明理由； 【拓展提升】 （2）在中，，E为外一点，连接，若和均为“唯美三角形”，且和分别为这两个三角形边的“唯美线”． ①如图2，若点在直线异侧，连接，求的度数； ②若点E为平面内一点，满足，请直接写出点A到的距离．    6．问题情境： 定义：如果两个等腰三角形的顶角互补，顶角的顶点又是同一个点，而且这两个等腰三角形的腰也分别相等，则称这两个三角形互为“顶补等腰三角形”． 特例证明： （1）如图1，若与互为“顶补等腰三角形”．，于，于，求证：； 拓展运用： （2）如图2，在四边形中，，，，，在四边形的内部是否存在点，使得与互为“顶补等腰三角形”？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由． 类型八、全等中的动点 1．如图，在中，，点D为的中点．如果点P在线段上以的速度由B点向C点运动．同时，点Q在线段上由C点以的速度向A点运动．设运动的时间为． (1)直接写出：①_________ cm；②_________ cm；③_________ cm．（用含t，a的式子表示） (2)若以D，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a，t的值． 2．如图①，于于，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等？与是否垂直？请分别说明理由 (2)如图②，将图①中的“于于”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的的值；若不存在，请说明理由． 3．如图，在长方形中，，．点P从点A出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向点C运动，同时点Q从点C出发，沿以每秒1个单位长度的速度向点B运动，当点P到达点C时，点P、Q同时停止运动．设点P的运动时间为t秒． (1)当点P在边上运动时，________（用含t的式子表示）； (2)当点P与点Q重合时，求t的值； (3)当（点P与点Q是对应顶点）时，求t的值； (4)求出和面积相等时t的值． 4．如图，在四边形中，，，．点从点出发以1的速度沿向点匀速移动，设移动时间为． (1)如图①，若连接、交于点．当时，求出的值； (2)如图②，当点开始运动时，点同时从点出发，点从点出发以1.5的速度沿向点匀速移动，点从点出发以的速度沿向点匀速移动．点同时出发，当其中一个点到达终点时，其他两个点也随之停止运动，当为何值时，以为顶点的三角形与全等？并求出相应的的值； (3)如图③，连接交于点，当，时，证明． 5．如图，在四边形中，，，，点从点出发，以的速度向点运动，当点与点重合时，停止运动．设点的运动时间为秒． (1)________．（用含的代数式表示） (2)如图1，当为何值时，． (3)如图2，当点从点开始运动，同时点从点向点以的速度运动（点运动到点处时停止运动，两点中有一点停止运动后另一点也停止运动）．在点和点运动过程中，与可能全等吗？若可能，求出的值；若不可能，请说明理由． 6．如图，在中，，，．点从点出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向终点运动，点从点出发沿折线以每秒6个单位长度的速度向终点A运动，，两点同时出发．分别过，两点作于点，于点．设点的运动时间为． (1)当，两点相遇时，求的值； (2)在整个运动过程中，求，的长；（用含的代数式表示） (3)当与全等时，求的值． 类型九、等腰三角形中的动点 1．如图①，在平面直角坐标系中，，C为y轴正半轴上一点，，且． (1)点B的坐标为________； (2)如图②，点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发，沿射线方向运动；同时点Q以每秒1个单位长度的速度在边上从点B向点C运动，运动时间为，当点Q运动到点C处时，两点同时停止运动．在运动过程中： ①当是直角三角形时，求t的值； ②当是等腰三角形时，的度数是________． 2．如图，在中，，，，动点、同时从、两点出发，分别在、边上匀速移动，点的运动速度为，点的运动速度为，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为． (1)当为何值时，为等边三角形？ (2)当为何值时，为直角三角形？ 3．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在y轴正半轴上，且，点P从点B出发，沿线段方向，以每秒1个单位长度的速度做匀速运动，同时点Q从点A出发，沿射线方向，当P点到达A点时，点P，Q都停止运动．设运动时间为秒． (1)当点P运动1.5秒时，，求点Q运动的速度． (2)若点Q也以每秒1个单位长度的速度做匀速运动，当是直角三角形时，求点Q的坐标． 4．如图，在边长为的等边中，、两点分别从点、点同时出发，沿三角形的边顺时针方向运动，已知点的速度为，点的速度为．当点第一次到达点时，、同时停止运动．设运动时间为秒．求： (1)为何值时，、两点第一次重合？ (2)为何值时，为等边三角形？ (3)当点、在边上运动时，是否存在以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时运动的时间；若不存在，请说明理由． 5．在中，，，，，是线段的中点，动点从点出发以每秒个单位长度的速度沿线段向终点运动，设点的运动时间为秒． (1)___________(用的代数式表示)； (2)点出发 ___________秒后，； (3)当时，求的值； (4)在点运动的同时，有一动点以每秒个单位长度的速度从点出发沿作往返运动，当点运动到终点时，点也随之停止运动，在两点运动的过程中，若为等腰三角形，直接写出的值． 6．如图，已知中，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒． (1)出发2秒后，求的值； (2)从出发几秒钟后，第一次能形成等腰三角形？ (3)当点Q运动到上时，求能使是等腰三角形时点Q的运动时间，求出t的值． 类型十、无刻度尺作图 1．如图，在边长为1个单位的正方形网格中，经过平移后得到，图中标出了点B的对应点．根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题：    (1)画出； (2)画出的高． (3)图中与的关系是________． (4)求的面积为________． (5)确定格点Q（异于C点），使的面积和的面积相等，这样的Q点有________个． 2．如图，在8×8的正方形网格中，的三个顶点都在格点上，请按要求完成下列作图：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹． (1)在图甲中，画出的边上的中线； (2)在图乙中， 找一点 P，连接线段 ，使得 平分． 3．操作与实践：如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在题图1中，作边上的高，垂足为，在上找一点，使； (2)在题图2中，作关于直线轴对称的图形，并在上确定一点，使得平分的面积． 4．图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．请在图1、图2、图3中只用无刻度的直尺分别按要求画图． (1)在图1中找出格点D（不与点B重合），画出，使得； (2)在图2中找出格点E，画出，使得； (3)在图3中找出格点F，画出，使得是一个轴对称图形． 5．如图，在网格中，的顶点都在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图①中，作线段且； (2)在图②中，作． 6．如图，是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，点与点关于格点所在的直线对称．仅用无刻度直尺在给定网格中按要求画出下列图形，并回答问题．（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）． (1)直接写出________； (2)画的高； (3)在上找一点，使； 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中考前满分冲刺之优质压轴题思维导图 【类型覆盖】 类型一、轴对称中的最值问题 1．如图，等腰三角形的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交，边于点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称——最短路线问题，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是是线段的垂直平分线，可知点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：如图，连接， ∵是等腰三角形，点是边的中点， ∴， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点关于直线的对称点为点， ∴的长为的最小值， ∴周长的最小值为． 故选：． 2．如图，锐角中，，的面积是6，D、E、F分别是三边上的动点，则周长的最小值是（    ） A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，垂线段最短，等边三角形的性质与判定等等，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，，根据轴对称的性质可得，，，，则可得，进一步可得当点在一条直线上时，最小，即此时周长最小，最小值为，此时三角形是等边三角形，则根据点到直线垂线段最短，可知当时，最小，即周长最小，利用面积法求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵周长， ∴当点在一条直线上时，最小，即此时周长最小，最小值为，此时三角形是等边三角形， ∴， 根据点到直线垂线段最短，可知当时，最小，即周长最小， ∵的面积是，，即， ∴，即周长最小6， 故选C． 3．如图，在等边三角形中，是中线，点P，Q分别在，上，且，动点E在上，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．作点P关于的对称点，连接交于，此时的值最小．最小值． 【详解】解：是等边三角形， ，， ，，， ，， 如图，作点P关于的对称点，连接交于， 此时的值最小．最小值，   ， ∴， ∴，而， 是等边三角形， ， 的最小值为3． 故选B． 4．如图，在中，，在上方作射线，且，若为上的一个动点，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查利用轴对称解决线段差值的最大值，等边三角形的判定和性质，作点关于的对称点，连接，进而得到，进而得到当三点共线时，的最大值为的长，证明为等边三角形，进而得到的长，即可．解题的关键是通过轴对称构造特殊三角形． 【详解】解：作点关于的对称点，连接， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的最大值为的长， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴的最大值为； 故答案为：． 5．如图，在四边形中，C是的中点，，若，则线段的最大值为 【答案】10 【分析】 本题考查了全等三角形的判定及性质，轴对称的性质，等边三角形的判定及性质，证明等边三角形是解题的关键．作关于的对称点，关于的对称点，连接，，，，．根据两点之间线段最短解决问题即可． 【详解】 解：作关于的对称点，关于的对称点，连接，，，，，如图所示： 是边的中点， ， 点，点关于对称， ，， ， ， ，， ． 同理可证：，，， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 当、、、共线时的值最大，最大值为10． 故答案为：10． 6．如图，在四边形中，，，，，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系定理，解题的关键是把绕着点D顺时针旋转到的位置，连接，，构造，即得到，再根据三边关系解题即可． 【详解】解：把绕着点D顺时针旋转到的位置，连接， 则，， ∴为等边三角形. ∵且， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：． 类型二、角平分线与垂直平分线的结合 1．如图，在中，I是三角形角平分线的交点，连接，，，点O为三边垂直平分线交点，若，则的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，角平分线的定义； 连接，根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，，进而得到，，求出，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵O是三边垂直平分线的交点， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴ ∴， 故选：D． 2．如图，在中，的角平分线与的垂直平分线交于点D，于点E，，交的延长线于点F．若，，则的长为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由是的垂直平分线，得,由是的平分线，，，得出,借助证出，由证出，从而有，即可得到，即可求出的长． 【详解】解：如图，连接，，    是的垂直平分线， ， 是的平分线，，， ， 在和中， ， ， ． 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查线段垂直平分线和角平分线的性质，以及三角形全等的判定与性质，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 3．如图，中，的角平分线与的中垂线交于点，过点分别作所在直线的垂线，垂足分别为，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质．根据题意，连接，由垂直平分得到平分，，则，即可证明，则，即可得到的长． ，通过等边代换计算即可． 【详解】连接，如图： ∵垂直平分， ∴ 又∵平分，， ∴， ∴， ∴， ， 故答案为： 4．如图，是的角平分线，点B在射线上，是线段的中垂线交于E，．若，则 ． 【答案】/46度 【分析】连接，过E作于R，交于Q，根据角平分线性质和线段垂直平分线的性质得出，，根据全等求出，求出，即可求出答案． 【详解】解：连接，过E作于R，交于Q， ∵是线段的中垂线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，注意： ① 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， ② 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 5．如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点D，的延长线于点M，于点N．若，，，则的长为？ 【答案】2.5 【分析】连接、，由可证，则可得、，由可证，则可得，设，则，，由此得，求出x的值即可得解． 【详解】解：如图，连接、 ∵是的角平分线，且、， ，， 又， ， ，， ∵垂直平分， ， ， ， ，， 设，则，， ， 解得， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 6．已知，的垂直平分线与的角平分线交于点，过点作交的延长线于点，于点，求证：． 【答案】见解析 【分析】如图，连接，利用证明≌，可得结论． 【详解】证明：如图，连接，． 平分，，， ， 点在的垂直平分线上， ， 在和中， ， ∴≌， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 类型三、倍长中线法 1．如图，点是的边上的中线，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形三边之间的关系，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 延长至，使，连接．由证明，得，再根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：延长至，使，连接． 则， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， 即， ， 故选：A． 2．已知是的边上的中线，，，则边及中线的取值范围分别是(　　) A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形的三边关系问题，边的取值范围可在中利用三角形的三边关系进行求解，而对于中线的取值范围可延长至点，使，得出，进而在中利用三角形三边关系求解． 【详解】如图所示， 在中，则， 即，， 延长至点，使，连接， 是的边上的中线， ， 又， ， ， 在中，，即， ，即， ． 故选：D． 3．如图，在中，点E是的中点，，的长为m，则m的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、一元一次不等式组的求解等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．延长到点F，使，连接，可证得，根据即可求解． 【详解】解：延长到点F，使，连接， ∵点E是的中点， ∴， ∵ ∴ ∴， ∵，且， ∴ ∴解得 故答案为： 4．已知三角形的两边长分别为和8，则第三边上中线长m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题重点考查三角形的中线的定义、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系等知识，作，使，，中线，延长到点E，使，连接，证明，得，由，得，解不等式求出它的解集即可．正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 【详解】解：作，使，，中线，延长到点E，使，连接，如图， ∴， 则， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴第三边上中线长x的取值范围是， 故答案为：． 5．某校八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了试验探究活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接，求证：． 【理解与运用】 （2）如图2，是的中线，若，求的取值范围； （3）如图3，是的中线，，点在的延长线上，，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，涉及中点性质、三角形三边关系等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． （1）延长至点，使，连接，如图所示，根据题意，由三角形全等的判定得到，从而根据全等三角形性质即可得证； （2）延长至点，使，连接，如图所示，由三角形全等的判定与性质得到，设，在中，由三边关系即可得到答案； （3）延长至点，使，连接，如图所示，得到，再由三角形全等的判定与性质得到，进而可确定，再由全等性质即可得证． 【详解】（1）证明：延长至点，使，连接，如图所示： ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：延长至点，使，连接，如图所示： ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， 在中，由三边关系可得，即， ∴； （3）证明：延长至点，使，连接，如图所示： ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 6．【发现问题】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样的一个问题： 如图①，在中，，，第三边上的中线，则的取值范围是____． 【探究方法】小明同学通过组内合作交流，得到了如下解决方法： （1）如图②，延长至点，使得，连结，根据“”可以判定__________，得出．在中，，，，故中线的长x的取值范围是_______． 【活动经验】当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑将中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的问题集中到同一个三角形中，进而解决问题，这种作辅助线的方法叫做“倍长中线”法． 【问题解决】（2）如图③，已知，，，连接和，点是的中点，连接．求证：．小明发现，如图④，延长至点，使，连接，通过证明，可推得． 下面是小明的部分证明过程： 证明：延长至点，使，连接， ∵点是的中点， ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴，． 请你补全余下的证明过程． 【问题拓展】（3）如图⑤，在和中， ，，，点M，N分别是和的中点．若，，则MN的取值范围是 ． 【答案】（1），；（2），∴ ，又∵，∴．∵，∴，∴（3） 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解； （2）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，即可求解； （3）由（2）可知，，由三角形的三边关系可求解． 【详解】（1）解：如图②，为的中线， ， 又，， ， ， 在中，，，， ， ， 故答案为：，； （2）证明：如图④，延长至点，使，连接， 点是的中点， ． ，， ， ，， ， ， ， ∴ ， 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴； （3）如图⑤，连接，， 由（2）可知：，， ，， ，， ， ， 故答案为：． 类型四、一线分多腰 1．在如图的三角形中，若，哪些能被过一个顶点的一条直线分成两个小等腰三角形？能被过一个顶点的一条直线分为两个小等腰三角形的请作出这条直线． 【答案】①③④能被过一个顶点的一条直线分为两个小等腰三角形，②不能，图见解析． 【分析】此题考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，根据等腰三角形的判定对个选项逐一分析，只有不能被一条直线分成两个小等腰三角形，此题的4个选项中只有图有点难度． 【详解】解：如图所示： ①作的角平分线，则分为两个小等腰三角形； ②不能过一个顶点的一条直线分为两个小等腰三角形； ③过点作的垂线，则分为两个小等腰三角形； ④以为顶点，为一边在三角形内部作一个度角，则分为两个小等腰三角形． 2．如图1，在中，，把分割成两个等腰三角形（不写作法，但需保留作图痕迹），并标注每个等腰三角形底角的度数． 拓展一：定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线． 例如，如图2，把一张顶角为的等腰三角形纸片剪两刀，使每张小纸片都是等腰三角形．    (1)请你在图3中用两种不同的方法画出顶角为的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种） (2)中，，和是的三分线，点E在边上，且，设，试画出示意图 拓展一： 拓展二：已知的三条边长分别为3，4，6，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画 条． 【答案】(1)见解析； (2)拓展一：图见解析；拓展二：7． 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，尺规作图构造等腰三角形的方法，数形结合，学会分类讨论是解题的关键． 以为圆心为半径作圆，圆与的交点为，连接，则为等腰三角形； 拓展一：（1）分别构造一个等腰直角三角形即可得到答案； （2）分三种情况依次进行讨论计算出的值即可； 拓展二：的三条边长分别为3，4，6，分三种情况画出图形即可． 【详解】（1）解：如图：    拓展一：（1）    （2）解：①当时， ， ， ， ， ， ， ；    ②当时， ， ， ， ， ， ， ； ③当时此时不存在； 综上所述：x的值是20或40； 拓展二：在中，,，， 当时，如图5，图，    当时，如图7，    当时，如图8，    当，，分别有4条线， 共有7条线， 故答案为：7． 3．阅读下列材料，解答问题： 材料  从等腰三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个三角形都是等腰三角形，我们把这条线段叫做三角形的完美分割线．例如：线段把等腰分成与（如图1），如果与均为等腰三角形，那么线段叫做的完美分割线． 解答下列问题： (1)如图1，已知中，，，为的完美分割线，且，则________°，________°； (2)如图2，已知中，，，，求证：为的完美分割线； (3)如图3，已知是一等腰三角形纸片，，是它的一条完美分割线，且，将沿直线折叠后，点C落在点处，交于点M，求证：． 【答案】(1)72，108 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出，根据三角形内角和可求出，由已知条件可得出，再利用三角形内角和可求出． （2）根据两底角相等的三角形为等腰三角形证、均为等腰三角形，即可得证结论； （3）根据完美分割线的定义可得出，， ，根据折叠的性质可得出，进而可得出，根据证，即可得证结论． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴， ∵为的完美分割线，且， ∴， ∴ 故答案为：72，108； （2）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴、均为等腰三角形， ∴为的完美分割线； （3）∵是的一条完美分割线，且 ∴，， ∴，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得出， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定以及性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握等腰三角形的性质及全等三角形的判定和性质是解题的关键． 4．【阅读学习】 阅读从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，如果顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小的等腰三角形，那么我们就把原三角形叫作“可两分三角形”．这条线段叫作这个三角形的“两分线”． （）判断：在中，，，则________“可两分三角形”．（填“是”或“不是”） （）画图和计算： 下图中的两个三角形都是“可两分三角形”．请你画出每个三角形的“两分线”，并标出分成的等腰三角形的底角的度数． 阅读如果两条线段将一个三角形分割成三个等腰三角形，那么我们把这两条线段叫作这个三角形的“三分线”．如图，线段将顶角为的等腰分成了三个等腰三角形，则线段是的“三分线”． （）画图和计算：请你在图中，画出顶角为的等腰的“三分线”，并标出每个等腰三角形顶角的度数． （）画图和计算：在中，，和是的“三分线”，点在边上，点在边上，且，．设，试画出示意图，并求出的值． 【答案】（）是；（）图见解析；（）图见解析 ；（）图见解析，的值为或． 【分析】（）根据新定义画出图形即可判断； （）根据新定义画出图形即可求解； （）根据新定义画出图形即可求解； （）根据新定义画出图形即可求解； 本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角和定理和三角形的内角和定理，理解题目中的新定义是解题的关键． 【详解】解（1）如图，可以分割成两个小的等腰三角形， ∴是“可两分三角形”， 故答案为：是； （）如图所示； （）如图所示； （）如图所示， 由图可得的值为或． 5．【问题情景】 小明发现：顶角为的等腰三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形，为此，请你完成下列问题： （1）已知：如图，在中，，，直线平分交于点． 求证：与都是等腰三角形；    【初步应用】 小明提问：直角三角形是否也具有这样的特性？ （2）已知，如图，在中，，，请画一条直线把这个三角形分割成两个等腰三角形．（要求：画出两种不同的分割方法，并标出相等两角的度数，无需证明）．    【灵活应用】 小明进一步思考： （3）对于任意，是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个等腰三角形，若，，请你画出图形，并直接写出与之间的关系． 【答案】（）见解析；（）见解析；（）或或或，为小于的任意锐角． 【分析】（1）利用等腰三角形的判定即可求解； （2）根据题意画图即可； （3）分若是顶角，则；若是底角，第一种情况：当时，第二种情况，当时讨论即可； 本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定及分类讨论思想． 【详解】（1）证明：在中，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴与都是等腰三角形； （2）解：如图所示：    （3）解：设，，过点的直线交边于，    在中，若是顶角， 如图，则，， 而，此时只能有，即， 即，即； ∴； 若是底角， 第一种情况：如图，当时，则， 中，，， 由，得，此时有，即， ∴； 由，得，此时，即， ∴， 由，得，此时， ∴，为小于的任意锐角． 第二种情况，如图，当时，，，此时只能有． 从而，这与题设是最小角矛盾． ∴当是底角时，不成立． 综上，与之间的关系：或或或，为小于的任意锐角． 6．课本中有一探究活动：如图1，有甲、乙两个三角形，甲三角形内角分别为10°，20°，150°；乙三角形内角分别为80°，25°，75°．你能把每一个三角形分成两个等腰三角形吗？画一画，并标出每个等腰三角形顶角的度数． (1)小明按要求画出了图1中甲图的分割线，请你帮他作出图1中乙图的分割线； (2)小明进一步探究发现：能将一个顶角为108°的等腰三角形分成三个等腰三角形；请在图2中画出分割线，并标注每个等腰三角形顶角的度数； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，一个等腰三角形的两底角相等，故可把原三角形中的一个角分成两个角作图即可； （2）根据等腰三角形的性质，一个等腰三角形的两底角相等，故可把原三角形中的一个角分成两个角作图． 【详解】（1）解：按要求作图如下： （2）按要求作图如下： 或 （以上两种为同一种） 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定以及作图，确定分割三角形中的哪一个角是解题的关键． 类型五、手拉手模型 1．【综合实践】如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”． (1)【初步把握】如图1，与都是等腰三角形，，，且，则有 ；线段和的数量关系是 ； (2)【深入研究】如图2，和是都是等腰三角形，即，，且，B，C，D在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图3，直线，垂足为点O，上有一点M在点O右侧且，点N是上一个动点，连接，在下方作等腰直角三角形，，，连接．请直接写出线段的最小值及此时的长度． 【答案】(1)； (2)；；理由见解析 (3)4；4 【分析】本题考查四边形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰直角三角形性质等，解题的关键是掌握全等三角形判定定理． （1）由，可得，根据可得，则可得出结论； （2）由，得，即可证，有，，而是等腰三角形且，知，故，即可得，； （3）证明，当有最小，即最小，即垂线段最短，当轴时，最小，则可得出答案． 【详解】（1）∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； 故答案为：；； （2）解：与的数量关系是，位置关系是 ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵是等腰三角形且， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵是等腰直角三角形， ∴， 将绕M点顺时针旋转得（N与重合）， 连接， ∴， ∴，， ∴， 当有最小，即最小，当轴时， 由，， ∴，， ∴，最小值为4． 2． (1)问题发现： 两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形， 如图1，和是顶角相等的等腰三角形，即，，且，分别连接，．求证：；（请在下面的证明过程中填写上理由或数学式） 证明： 在和中 ① ②（_________________） ③（________________________________________________） (2)类比探究：如图2，和都是等腰三角形，即，，且，B，C，D在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由． (3)问题解决：如图3，若和均为等腰直角三角形，且，，，点A，D，E在同一条直线上，为中边上的高，连接，若，，请直接写出的长，不说明理由． 【答案】(1)① ；② ；③ 全等三角形的对应边相等． (2)与的数量关系，位置关系是，理由见解析． (3)2.5． 【分析】（1）根据三角形全等的判定和性质填空即可． （2）根据（1）问中，“手拉手”全等的证明，可得，利用全等的性质可得，，又因为是等腰直角三角形，可得，从而可知，即． （3）由是等腰直角三角形，为中边上的高，可证得，根据（1）问中，“手拉手”全等的证明，可得，从而得，即可求出的长． 【详解】（1）解：①， ②， ③全等三角形的对应边相等． （2）与的数量关系，位置关系是．     理由如下： ， ， 即， 在和中，， ， ，，   是等腰三角形且， ， ， ， ． （3）解：由（1）的方法得，， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形、等腰直角三角形的性质、三线合一等性质，熟练掌握三角形的有关性质是解题的关键． 3．【综合实践】如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图①，与都是等腰三角形，其中，则． 【初步把握】如图②，与都是等腰三角形，，且，则有______________________； 【深入研究】如图③，已知，以为边分别向外作等边和等边，并连接，求证：； 【拓展延伸】如图④，在两个等腰直角和中，，连接，交于点，请判断和的关系，并说明理由． 【答案】初步把握： 深入研究：详见解析 拓展延伸： 【分析】[初步把握]易证，再证即可； [深入研究]易证，再证，即可得出结论； [拓展延伸]易证，再证，得，，再由三角形的外角性质证出，则即可． 【详解】[初步把握] 解：， ， 即， 在和中， ， ， 故答案为：； [深入研究] 证明：和都是等边三角形， ， ， 即， 在和中， ． [拓展延伸] 解：， 理由如下： ， ， 即， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质以及三角形的外角性质等知识，本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 4．【阅读材料】小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若，，，则． 【材料理解】（1）在图1中说明小明的发现． 【深入探究】（2）如图2，和是等边三角形，连接交于点O，连接，试说明：①；②．    【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②见解析 【分析】（1）根据，可得 ，再由，，即可求证； （2）同理证明可得；②由全等三角形的性质得到 ，从而，再根据三角形的内角和等于 ，即可求解； 【详解】证明：（1）∵， ∴，即 ， ∵，， ∴， （2）①∵和是等边三角形， ∴，，， ∴，即 ， ∴， ∴； ②∵， ∴ ， ∵是等边三角形， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴， ∵在 中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知手拉手模型证明三角形全等是解题的关键． 5．在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”．兴趣小组进行了如下操作： (1)观察猜想：如图①，已知均为等边三角形，点D在边上，且不与点B、C重合，连接，易证，进而判断出与的位置关系是___________ (2)类比探究：如图②，已知均为等边三角形，连接，若，试说明点B，D，E在同一直线上； (3)解决问题：如图③，已知点E在等边的外部，并且与点B位于线段的异侧，连接．若，请求出的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)5 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）利用证明，可求出，利用平行线的判定即可得出结论； （2）利用证明，可得出，进而得出，即可得证； （3）在线段上取一点，使得，设交于点，先利用外角的性质证明，再利用证明，得出，，则可证明是等边三角形，得出，即可求解． 【详解】（1）解：， 理由如下：、都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）证明：、都是等边三角形， ，，， ，即， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 点，，在同一直线上； （3）解：如图③，在线段上取一点，使得，设交于点， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ，即， ，， ． 6．【问题提出】如图1，、都是等边三角形，求证：． 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】    (1)等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边：等边三角形，连接． ①如图2，若点在边上，求证：． ②如图3，若点在边的延长线上，线段、、之间的关系为__________（直接写出结论） (2)如图4，等腰中，，，，且交于点，以为边作等边，直线交直线于点，连接交于点，写出、、之间的数量关系，并加以说明． (3)如图5，在中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接，则是否有最小值，如有，求出它的最小值，没有，请说明理由． 【答案】(1)①见解析；②； (2) (3)有最小值，最小值为2 【分析】（1）①过点E作，交与点G，先证明是等边三角形，再证明 ，得出，即可得出结论；②过点E作，交与点G，先证明是等边三角形，得出，再证明，得出，即可得出结论； （2）先证明，在上截取，通过证明是等边三角形，得出，再证明，得出，即可得出结论； （3）以为边，在下方构造等边三角形，连接，通过证明，得出，则，根据点Q在直线上，得出当时，取最小值，即可解答． 【详解】（1）证明：①过点E作，交与点G， ∵是等边三角形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ②过点E作，交与点G， ∵是等边三角形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵，是等边三角形， ∴，，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， 在上截取， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：有最小值，最小值为2 以为边，在下方构造等边三角形，连接， ∵，点D为中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点Q在直线上， ∴当时，取最小值， 此时，． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关性质定理，正确画出辅助线，构造全等三角性是解题的关键． 类型六、三角形的新定义 1．【定义】如果两个角的差为，就称这两个角互为“伙伴角”，其中一个角叫做另一个角的“伙伴角”．例如：，则和互为“伙伴角”，即是的“伙伴角”， 也是的“伙伴角”． (1)已知和互为“伙伴角”，且，则 ． (2)如图1所示，在中，，过点C作的平行线，的平分线分别交于D，E两点． ①若，且和互为“伙伴角”，求的度数； ②如图2所示，的平分线交于点F，当和互为“伙伴角”时，直接写出的度数． 【答案】(1)或 (2)①；②或 【分析】本题是关于新定义的问题，考查了角平分线定义，平行线的性质，三角形内角和定理等，注意分情况讨论，是解题的关键． （1）考虑两种情况，即，根据伙伴角的定义，再结合补角的定义即可解答； （2）①设的度数为，则，根据角平分线的定义可得，再利用平行线的性质得到，利用伙伴角的概念，列方程即可解答； ②考虑两种情况，即和，两种情况，设的度数为，利用角平分线的性质和三角形内角和定理，用表示，列方程，即可解答. 【详解】（1）解：当时，， ， ； 当时，， ， ， 故答案为：或； （2）解：①设的度数为， ，则， 的平分线分别交于D， E两点， ， ， ， ， , 可得， 解得， ； ②设的度数为， ， ， 平分， ， 根据①可得， ， 当时，可得； 当时，可得； 综上所述，的度数为或. 2．定义：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的2倍，那么这样的三角形我们称为“倍角三角形”． (1)如图1，在中，，平分交于点D，求证：是“倍角三角形”； (2)如图2，A，C为直线l上两点，点B在直线l外，且．若D是l上一点，且是“倍角三角形”，直接写出的度数． 【答案】(1)详见解析 (2)或或或或或或或 【分析】本题考查三角形的内角和定理和三角形的外角： （1）三角形的内角和定理，推出，角平分线得到，三角形的外角得到，即可得证； （2）分点D在点A的左侧和右侧两种情况，进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴是“倍角三角形”； （2）解：当点在点的右侧时： ①当时，则：； ②当时，则：， ∴； ③当时，则：， ∴； ④当时，则：， ∴， ∴； 当点在点的左侧时：则：， ①当时，则：； ②当时，则：， ∴； ③当时，则：， ∴； ③当时，则：， ∴； ∴ 综上：或或或或或或或． 3．定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”.    (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． ①求、的度数． ②若是中边上的高，则、都是“友爱三角形”吗？为什么？ (2)如图2，在中，，，D是边上一点（不与点A，B重合），连接，若是“友爱三角形”，直接写出的度数． 【答案】(1)①，；②、都是“友爱三角形”，理由见解析 (2)或 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，本题是新定义题型，理解新定义，并熟练运用是解题的关键． （1）①利用“友爱三角形”的定义及结合解答即可；②由，，，求出，，根据“友爱三角形”的定义即可得出结论； （2）利用“友爱三角形”的定义解答即可；利用分类讨论的方法，根据“友爱三角形”的定义解答即可． 【详解】（1）解：①是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（）， ， ， ，即，解得， ； ②、都是“友爱三角形”， 理由：是中边上的高， ， ，， ， 在中，，， ， 为“友爱三角形”； 在中，，， 为“友爱三角形” ； （2）解：的度数为或， 是“友爱三角形”，D是边上一点（不与点A，B重合）， 或， 当时，； 当时， ，即， ， 综上所述，的度数为或． 4．新定义： 在中，若存在一个内角是另外一个内角度数的倍（为大于1的正整数），则称为倍角三角形.例如，在中，，，，可知，所以为2倍角三角形. (1)在中，，，则为______倍角三角形. (2)如图，直线直线于点，点、点分别在射线、上，已知、的角平分线分别与的角平分线所在的直线交于点、.若为3倍角三角形，试求的度数. 【答案】(1)3 (2)等于或时，为3倍角三角形 【分析】（1）由，可知，再根据倍角三角形的定义可得结论． （2）首先证明，分四种情形分别求出即可． 【详解】（1）解：，， ， ， 为3倍角三角形， 故答案为：3； （2）解：平分，平分， ，， ， ； 又平分， ①， ②； ①②得：． 若为3倍角三角形： 若，， ， ； 若， ， （不符合题意，舍去）； 若， ， ； 若，，， （不符合题意，舍去）； 综上所述，等于或时，为3倍角三角形． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理，余角的意义等知识，读懂新定义倍角三角形的意义和分类讨论是解决问题的基础和关键． 5．【定义】如果两个角的差为，就称这两个角互为“黄金角”，其中一个角叫做另一个角的“黄金角”． 例如：，则和互为“黄金角”，即是的“黄金角”，也是的“黄金角”． (1)已知和互为“黄金角”，且，若和互余，则_____； (2)如图1所示，在中，，过点作的平行线的平分线分别交于两点． ①若，且和互为“黄金角”，则______； ②如图2所示，过点作的垂线，垂足为相交于点．若与互为“黄金角”，求的度数； ③如图3所示，的平分线交于点，当和互为“黄金角”时，则______． 【答案】(1) (2)①；②或；③或 【分析】（1）根据黄金角的定义，再结合余角角的定义即可解答； （2）①设的度数为，则，根据角平分线的定义可得，再利用平行线的性质得到，利用“黄金角”的概念，列方程即可解答； ②考虑两种情况，即和，两种情况，设的度数为，利用角平分线的性质和三角形内角和定理，用表示和，列方程，即可解答. ③考虑两种情况，即和，两种情况，设的度数为，利用角平分线的性质和三角形内角和定理，求得，即可解答. 【详解】（1）解：∵和互为“黄金角”，且，若和互余， ， ； 故答案为：； （2）解：①设的度数为， ∵，则， 的平分线分别交于D， E两点， ， ， ， ，和互为“黄金角”， , 可得， 解得， ； ②设的度数为， ∵，则， 的平分线分别交于D， E两点， ， ， ， ， ∵与互为“黄金角”， ∴或， ∴或， 解得或； ③设, ∵，则， 的平分线分别交于D， E两点， ， ， ，， ∵的平分线交于点， ∴， ∴， ∵和互为“黄金角” ∴或， ∴或， ∴，或； 综上所述，的度数为或. 【点睛】本题是关于新定义的问题，考查了角平分线定义，平行线的性质，三角形内角和定理以及直角三角形的两锐角互余等，注意分情况讨论，是解题的关键． 6．定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“如意角”，这个三角形叫做“如意三角形”．例如：在中，，，则与互为“如意角”，为“如意三角形”． 【理解】 （1）若为如意三角形，，则这个三角形中最小的内角为　 　°； （2）若为如意三角形，，则在所有可能的三角形中，最大的内角为　 　°； 【应用】 （3）如图，平分的内角，交于点E，平分的外角，延长和交于点P，已知，若和互为“如意角”，设，求的值．    【答案】（1）；（2）或；（3） 【分析】 （1）根据题意结合三角形内角和，分情况讨论即可求解； （2）根据题意结合三角形内角和，分情况讨论即可求解； （3）由角平分线的定义，得，，利用三角形外角定理，得，，进而得到，根据和互为“如意角”，，则或，分别判断求解即可． 【详解】解：（1）为如意三角形， 必有两个角互为“如意角”， 当时， ， 此时， （舍去），不符合实际； 同理，当时， （舍去），不符合实际； 当时， ， ， ， ， 同理，当时， ， 综上所述：这个三角形中最小的内角为， 故答案为：； 解：（2）为如意三角形， 必有两个角互为“如意角”， 当时， ， 此时， ； 同理，当时， ； 此时，这个这个三角形中最大的内角为； 当时， ， ， ， ， 同理，当时， ， 此时，这个这个三角形中最大的内角为； 综上所述：这个三角形中最大的内角为或， 故答案为：或； 解：（3）平分的内角，平分的外角， ，， ，， ， ， ， ， ， 和互为“如意角”， 即和互为“如意角”， 或， 或（舍去）， ， ， ． 【点睛】本题考查三角形外角和定理与内角和定理，正确理解“如意角”，准确计算是解题的关键． 类型七、轴对称的新定义 1．定义：若两个等腰三角形的顶角之和等于，则称这两个等腰三角形互为“友好三角形”，这两个角的顶点互为“友好点”． (1)已知与互为"友好三角形"，点和点互为“友好点”，且中有一个内角为，则________． (2)已知，在平面直角坐标系中，点，，点为角平分线上一动点，点为轴上一动点，连接，，． ①如图1，，求证：与互为“友好三角形”；（提示：由点向两坐标轴作垂线） ②在①的条件下，若点的坐标为，求点的坐标： (3)在（2）的条件下，动点、同时从点出发向左运动，当点与点重合时动点、同时停止运动．点的速度为每秒4个单位，点的速度为每秒2个单位，以为边在轴的上方作正方形，当一条边的垂直平分线成为正方形对称轴时，直接写出的值． 【答案】(1)或 (2)①见解析；② (3)或3或2 【分析】（1）根据“友好三角形”的定义分当和时，两种情况讨论，即可求解； （2）①过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点N、点F，利用证明，据此求解即可； ②根据，求得，，据此求解即可； （3）满足题意的一条边的垂直平分线为，且在x轴上利用t将点Q和点R坐标表示出来，分别找到各自对称轴等量关系并求的对应t值即可． 【详解】（1）解：∵中有一个内角为，且与互为“友好三角形”，点B和点E互为“友好点”， 当时， ∴， 当时，则， ∴， 故答案为：或； （2）解：①过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点N、点F，如图， 为的平分线， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， 与互为“友好三角形”； ②∵点P的坐标为，点，， ∴，， ∴， 所以； （3）解：由题意可知，一条边的垂直平分线为，且在x轴上点Q和点R坐标表示为：和， 当成为正方形对称轴时，，解得； 当成为正方形对称轴时，此时点R与点O重合，解，解得； 当成为正方形对称轴时，，解得； 综上所述，或2或3时，一条边的垂直平分线可成为正方形对称轴． 【点睛】本题主要考查在新定义下的三角形有关知识，涉及等腰三角形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质以及对称轴的性质，解题的关键是理解新定义，并熟练利用分类讨论思想． 2．我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．    (1)已知：如图1，四边形是“等对角四边形”，，，．求，的度数． (2)在探究“等对角四边形”性质时： ①小红画了一个“等对角四边形”（如图2），其中，此时她发现成立．请你证明此结论； ②由此小红猜想：“对于任意‘等对角四边形’，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等”．你认为她的猜想正确吗？若正确，请证明；若不正确，请举出反例． 【答案】(1)， (2)①见详解；②不正确，反例见详解 【分析】本题主要考查了新定义“等对角四边形”、四边形内角和、等腰三角形的判定与性质等知识，正确理解新定义“等对角四边形”是解题关键． （1）根据新定义“等对角四边形”，结合四边形内角和为求解即可； （2）①连接，证明为等腰三角形，即可获得答案；②结合“等对角四边形”的定义，举出反例即可． 【详解】（1）解：∵四边形为等对角四边形，， ∴， ∴； （2）①连接，如下图，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②不正确，反例如下： 如图3，   ，，但. 3．定义：一个内角等于另一个内角两倍的三角形，叫做“华益三角形”．    (1)下列三角形一定是“华益三角形”的有________． ①顶角是的等腰三角形； ②等腰直角三角形； ③有一个角是的直角三角形． (2)如图1，在中，，，以边所在的直线为对称轴作的对称图形，延长到点E，使，求证：是“华益三角形”； (3)如图2，平分的内角，交于点E，平分的外角，延长和交于点P，已知，若是“华益三角形”，设，求的度数． 【答案】(1)②③ (2)详见解析 (3)或或或或 【分析】（1）根据“华益三角形”的定义进行判断即可； （2）由折叠的性质和等腰三角形的性质可求，由等腰三角形的性质可得，可得结论； （3）由角平分线的定义，得，，利用三角形外角定理，得，，进而得到，根据是“华益三角形”，分情况列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：①顶角是的等腰三角形的底角度数为：， 三个内角度数分别为：，，，不存在一个内角是另外一个内角的2倍， ∴顶角是的等腰三角形不是“华益三角形”； ②等腰直角三角形的三个内角分别为，，，存在一个内角是另外一个内角的2倍， ∴等腰直角三角形是“华益三角形”； ③有一个角是的直角三角形的三个内角分别为：，，，存在一个内角是另外一个内角的2倍， ∴有一个角是的直角三角形是“华益三角形”； 综上分析可知：是“华益三角形”的有②③； （2）证明：∵， ∴， ∵与关于直线对称， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是“华益三角形”； （3）解：∵平分的内角，平分的外角， ∴，， ∵， ∴， 即， 又∵，则， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ①当或时， ∴或， 解得，或； ②或时， ∴或， 解得； ③或时， ∴或， 解得或， 综上所述：或或或或． 【点睛】本题为几何变换综合题，新定义题型，主要考查了角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质，一元一次方程的应用，涉及到了分类讨论的思想方法，其中熟练掌握相关概念和性质是解答本题的关键． 4．我们定义：从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，若分得的两个小三角形中一个三角形为等腰三角形，另一个三角形的三个内角与原来三角形的三个内角分别相等，则称这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．例如，等腰直角三角形斜边上的高就是这个等腰直角三角形的一条“等角分割线”． (1)如图1，在中，是边上一点，若，，则________的“等角分割线”．（填“是”或“不是”）； (2)如图2，中，； 利用直尺和圆规，作出的“等角分割线”（保留作图痕迹，不写做法） 若，则中画出的“等角分割线”的长度为____________； (3)在中，，若存在“等角分割线”，且是等腰三角形，试求出所有符合要求的的度数． 【答案】(1)是 (2)①见解析；② (3)或 【分析】（1）证明出的三个内角与的三个内角的度数分别相等，是等腰三角形，即可得出答案； （2）①画的角平分线，交于点，线段即为所求，再证明出的三个内角与的三个内角的度数分别相等，是等腰三角形，即可得出答案；②设，则，列出方程，解方程即可得出答案； （3）分和；利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理分别求解即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ， ， 的三个内角与的三个内角的度数分别相等， ，， ， ， ， ， 是等腰三角形， 是的“等角分割线”， 故答案为：是； （2）解：①画的角平分线，交于点，线段即为所求，如图所示： ， 理由如下： ，， ， 平分， ， ， ， 的三个内角与的三个内角的度数分别相等， ， ， 是等腰三角形， 是的“等角分割线”； ②设， 中，，， ， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：； （3）解：当时，， ，； 当时，，， ，； 当的情况不存在； 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了新定义“等角分割线”的定义，等腰三角形的性质、直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，理解新定义“等角分割线”，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 5．【了解概念】 定义：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，则称这个三角形为“唯美三角形”，这条中线叫这条边的“唯美线”． 【理解运用】 （1）如图1，为“唯美三角形”，为边的“唯美线”，试判断的形状，并说明理由； 【拓展提升】 （2）在中，，E为外一点，连接，若和均为“唯美三角形”，且和分别为这两个三角形边的“唯美线”． ①如图2，若点在直线异侧，连接，求的度数； ②若点E为平面内一点，满足，请直接写出点A到的距离．    【答案】（1）是直角三角形，理由见解析（2）①②6或3 【分析】（1）结论：是直角三角形，利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理证明即可； （2）①过点A作交的延长线于点H，于点T，证明，推出，可得平分，即可解决问题； ②分两种情形：当点E在的下方时，如图2中，当点E在的上方时，如图3中，过点A作交的延长线于点H，于点T． 【详解】解：（1）结论：是直角三角形． 理由：为“唯美三角形”，为边的“唯美线”， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形； （2）①过点A作交的延长线于点H，于点T．    和均为“唯美三角形”，且和分别为这两个三角形边的“唯美线”， ，都是直角三角形， ， ， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 平分， ； ②当点E在的下方时，如图2中， ∵四边形是矩形，， ∴四边形是正方形， ， ， ， ， ， ，即点A到的距离为6． 当点E在的上方时，如图3中，过点A作交的延长线于点H，于点T．    同法可证，四边形是正方形， ， ， ∴AT=3，即点A到的距离为3． 综上所述，点A到的距离为6或3． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 6．问题情境： 定义：如果两个等腰三角形的顶角互补，顶角的顶点又是同一个点，而且这两个等腰三角形的腰也分别相等，则称这两个三角形互为“顶补等腰三角形”． 特例证明： （1）如图1，若与互为“顶补等腰三角形”．，于，于，求证：； 拓展运用： （2）如图2，在四边形中，，，，，在四边形的内部是否存在点，使得与互为“顶补等腰三角形”？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）存在，证明见解析 【分析】本题考查等腰三角形性质，全等三角形判定及性质，三角形内角和定理． （1）利用题意得，再判定即可得到本题； （2）连接，取的中点，连接，，证明和，再利用三角形内角和即可得到本题答案． 【详解】解：（1）证明：将图中角进行命名： ， 与互为“顶补等腰三角形”， ，， ， 又，， ，，， ， 又， ， 在和中， ， ； （2）存在． 证明：连接，取的中点，连接，， ， ，， ， ， 是的中点， ，． ， 又，，， ， ， ， 与互为“顶补等腰三角形”． 类型八、全等中的动点 1．如图，在中，，点D为的中点．如果点P在线段上以的速度由B点向C点运动．同时，点Q在线段上由C点以的速度向A点运动．设运动的时间为． (1)直接写出：①_________ cm；②_________ cm；③_________ cm．（用含t，a的式子表示） (2)若以D，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a，t的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据速度与时间可得路程和，根据边长和中点定义可得和的长； （2）根据，可知：分两种情况：①若，②若，根据全等三角形对应边相等列方程组可得结论． 本题考查了全等三角形的判定的应用及动点运动问题，关键是能根据题意得出方程，注意：全等三角形的判定定理有，，，． 【详解】（1）解：由题意得：∵，，点P在线段上以的速度由B点向C点运动． ∴①；②， ∵点Q在线段上由C点以的速度向A点运动 ∴③， 故答案为： （2）解：，，，， ， 分两种情况： ①若， 则， ， ， ②若， 则， ， ． 综上所述，的值为6、的值为2或的值为4、的值为1． 2．如图①，于于，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等？与是否垂直？请分别说明理由 (2)如图②，将图①中的“于于”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)与全等，与垂直，理由见解析 (2)存在或，使得与全等 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）当时，，，利用即可证明，由全等三角形的性质得出，由，得出，即可得解； （2）由题意得：，，，，再分两种情况：若，则，；若，则，；分别求解即可得出答案． 【详解】（1）解：与全等，与垂直，理由如下： 当时，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即与垂直； （2）解：存在， 由题意得：，，，， 若，则，， ∴， 解得：； 若，则，， ∴， 解得：； 综上所述，存在或，使得与全等． 3．如图，在长方形中，，．点P从点A出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向点C运动，同时点Q从点C出发，沿以每秒1个单位长度的速度向点B运动，当点P到达点C时，点P、Q同时停止运动．设点P的运动时间为t秒． (1)当点P在边上运动时，________（用含t的式子表示）； (2)当点P与点Q重合时，求t的值； (3)当（点P与点Q是对应顶点）时，求t的值； (4)求出和面积相等时t的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)的值为或4 【分析】本题考查了列代数式，三角形的面积，全等三角形的性质，一元一次方程的几何应用等知识，解题的关键是学会利用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． （1）判断出时间的取值范围，根据线段的和差定义求解； （2）先判断的位置，再根据，构建方程求解即可； （3）根据，得出，列出关于t的方程，解方程即可； （4）分两种情形，点在线段上，或在线段上两种情形，分别构建方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：； （2）解：当时，重合，此时不重合， 当重合时，， ； （3）解：∵， ∴，且此时点P在上， ∴， 解得， ∴当时，； （4）解：根据题意可知：， 当点在上时，， ∵， ∴， 解得； 当点在上时，， ∵， ， 解得； 综上所述，的值为或4时，和面积相等． 4．如图，在四边形中，，，．点从点出发以1的速度沿向点匀速移动，设移动时间为． (1)如图①，若连接、交于点．当时，求出的值； (2)如图②，当点开始运动时，点同时从点出发，点从点出发以1.5的速度沿向点匀速移动，点从点出发以的速度沿向点匀速移动．点同时出发，当其中一个点到达终点时，其他两个点也随之停止运动，当为何值时，以为顶点的三角形与全等？并求出相应的的值； (3)如图③，连接交于点，当，时，证明． 【答案】(1)1 (2)当，或，时，以为顶点的三角形与全等 (3)见详解 【分析】（1）证明，由全等三角形的性质可得，然后求得的值，即可获得答案； （2）结合题意，可知，，，然后分和两种情况，结合全等三角形的性质分别求解即可； （3）首先结合题意证明，连接交于，再证明，易得，进而可得，，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：根据题意，可知，，， ∴，，， ∵， ∴当时，有， 即①，②， 由①②可得，； 当时，有，， 即③，④， 由③④可得，． 综上所述，当，或，时，以为顶点的三角形与全等； （3）证明：∵当，时，， ∵， ∴， ∴点在点之间， ∵，， ∴， 如图，连接交于， ∵， ∴， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中线的性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 5．如图，在四边形中，，，，点从点出发，以的速度向点运动，当点与点重合时，停止运动．设点的运动时间为秒． (1)________．（用含的代数式表示） (2)如图1，当为何值时，． (3)如图2，当点从点开始运动，同时点从点向点以的速度运动（点运动到点处时停止运动，两点中有一点停止运动后另一点也停止运动）．在点和点运动过程中，与可能全等吗？若可能，求出的值；若不可能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了列代数式，全等三角形的性质，熟知全等三角形对应边相等是解题的关键． （1）根据路程速度时间，根据点的速度，表示出，再表示出； （2）根据全等三角形对应边相等的性质得，即，求解即可； （3）分两种情况讨论，当，，时或当，，时，与全等，再根据全等三角形对应边相等的性质，分别计算求出的值，再计算的值即可． 【详解】（1）解：点从点A出发，以秒的速度向点运动，点的运动时间为秒， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ， ∴， 当时，； （3）解：情况一：当，，时，， ，， ， ， ， ， ∴， ； 情况二：当当，，时， ，， ， ， ， ， 综上所述，当或时，与全等． 6．如图，在中，，，．点从点出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向终点运动，点从点出发沿折线以每秒6个单位长度的速度向终点A运动，，两点同时出发．分别过，两点作于点，于点．设点的运动时间为． (1)当，两点相遇时，求的值； (2)在整个运动过程中，求，的长；（用含的代数式表示） (3)当与全等时，求的值． 【答案】(1)当，两点相遇时，的值为 (2)当时，；当时，．当时，；当时， (3)当与全等时，的值为或或 【分析】本题考查了动点问题及全等三角形的判定与性质、一元一次方程的应用， （1）根据题意列方程并解方程解决即可； （2）根据题意，分情况列代数式表示即可； （3）分情况根据两三角形全等分别列方程并解方程即可解决； 【详解】（1）解：由题意，得， 解得． ∴当，两点相遇时，的值为． （2）由题意可知，点运动的路线长为， 当时，． 当时，． 由题意可知，点运动的路线长为， 当时，． 当时，． （3）当点运动到点时，；当点运动到点时，． 当点在上，点在上时， ∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． 当时，． ∴， 解得． 当点在上，点在上时，当点，重合时，． ∴． 即， 解得． 当点在上时，点到终点与点A重合，． ∴． 即， 解得． 综上，当与全等时，的值为或或． 类型九、等腰三角形中的动点 1．如图①，在平面直角坐标系中，，C为y轴正半轴上一点，，且． (1)点B的坐标为________； (2)如图②，点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发，沿射线方向运动；同时点Q以每秒1个单位长度的速度在边上从点B向点C运动，运动时间为，当点Q运动到点C处时，两点同时停止运动．在运动过程中： ①当是直角三角形时，求t的值； ②当是等腰三角形时，的度数是________． 【答案】(1) (2)①t的值为或2；② 【分析】（1）根据直角三角形的性质求出，根据含角的直角三角形的性质求出的长，即可得出答案； （2）①分和两种情况，根据含角的直角三角形的性质计算即可； ②分两种情况：当点P在边上时，当点P在边的延长线上时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵，， ， ∵， ∴， ∴； （2）解：由题意得：，， ， ， ①分两种情况：当时，如图所示：    ∵， ∴， ， 即， 解得：； 当时，如图所示：    ∴， ∴， 即， 解得：； 综上分析可知：当是直角三角形时，求t的为或2； ②当点P在边上时，如图所示： ∵是等腰三角形，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得：，符合题意； 当点P在边的延长线上时，如图所示： ∵， ∴当是等腰三角形时，一定是顶角， ∴， ∴， 解得：， ∵点Q在上，当点Q运动到点C处时，两点同时停止运动，且， ∴， ∴此时不符合题意，舍去． 综上分析可知，当是等腰三角形时，的度数是． 【点睛】本题主要考查的是等腰三角形的概念、直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，坐标与图形，灵活运用分情况讨论思想、掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键． 2．如图，在中，，，，动点、同时从、两点出发，分别在、边上匀速移动，点的运动速度为，点的运动速度为，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为． (1)当为何值时，为等边三角形？ (2)当为何值时，为直角三角形？ 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了含角的直角三角形、等边三角形的判定，本题的关键是用含的代数式表示出、，熟练掌握等边三角形的判定，当不确定哪个是直角时注意分类讨论的思想方法． （1）用含的代数式表示出、，由于，当时，为等边三角形，列式求解即可； （2）分两种情况进行讨论：当时，时，利用直角三角形中，含角的边的关系，列式求解即可． 【详解】（1）解：∵在中， ，， ∴， ∵，点的运动速度为， ∴， ∵点的运动时间为， ∴，， ∴， 当时，为等边三角形， 即， 解得：； 所以当时，为等边三角形； （2）解：若为直角三角形， ①当时， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：； ②当时， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：； 综上所述，当或时，为直角三角形． 3．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在y轴正半轴上，且，点P从点B出发，沿线段方向，以每秒1个单位长度的速度做匀速运动，同时点Q从点A出发，沿射线方向，当P点到达A点时，点P，Q都停止运动．设运动时间为秒． (1)当点P运动1.5秒时，，求点Q运动的速度． (2)若点Q也以每秒1个单位长度的速度做匀速运动，当是直角三角形时，求点Q的坐标． 【答案】(1)点Q以每秒3个单位长度的速度做匀速运动 (2)或 【分析】（1）设点Q以每秒a个单位长度的速度做匀速运动，证明是等边三角形得，进而可求出求点Q运动的速度； （2）分当时和当时两种情况求解． 【详解】（1）如图， 设点Q以每秒a个单位长度的速度做匀速运动， ∵点A的坐标为， ∴． ∵，， ∴，， 由题意得，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 点Q以每秒3个单位长度的速度做匀速运动； （2）当时，如图， 由题意得，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，如图， 由题意得，， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴． 综上可知，当是直角三角形时，点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余，分类讨论是解（2）的关键． 4．如图，在边长为的等边中，、两点分别从点、点同时出发，沿三角形的边顺时针方向运动，已知点的速度为，点的速度为．当点第一次到达点时，、同时停止运动．设运动时间为秒．求： (1)为何值时，、两点第一次重合？ (2)为何值时，为等边三角形？ (3)当点、在边上运动时，是否存在以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时运动的时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）根据与的运动时间相等，利用的路程的路程列方程，可得结论； （2）根据列方程，可得结论； （3）先证明，得，列方程可得结论． 【详解】（1）解：由题意得， ， 为12时，、两点第一次重合； （2）解：如图1所示： 是等边三角形， ， 当时，是等边三角形， ， ； （3）解：存在以为底边的等腰， 如图2所示： 是等边三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，几何动点问题，全等三角形的判定和性质，正确理解两个动点的路程是本题的关键，并与一元一次方程相结合解决问题． 5．在中，，，，，是线段的中点，动点从点出发以每秒个单位长度的速度沿线段向终点运动，设点的运动时间为秒． (1)___________(用的代数式表示)； (2)点出发 ___________秒后，； (3)当时，求的值； (4)在点运动的同时，有一动点以每秒个单位长度的速度从点出发沿作往返运动，当点运动到终点时，点也随之停止运动，在两点运动的过程中，若为等腰三角形，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】本题考查了列代数式，等边三角形的性质，等腰三角形的性质； （1），则，即可求解； （2）由题意得：，，，则，即可求解； （3）当时，则，则，则，即可求解； （4）当时，此时，点在上，点在上，则，即，解得：；当，时，同理可解． 【详解】（1）解：， 则， 故答案为：； （2）由题意得：，， ，则， 解得：舍去， 故答案为：； （3）当时，则， 则，则， 则； （4）点运动的时间为， 当时， 此时，点在上，点在上， 则，即， 解得：； 当时， 此时点在上，点在上， ，为等腰三角形， 则为等边三角形， 则，即， 解得：舍去； 当， 此时点在上，点在上， ，为等腰三角形， 则为等边三角形， 则，即， 解得：； 综上，或． 6．如图，已知中，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒． (1)出发2秒后，求的值； (2)从出发几秒钟后，第一次能形成等腰三角形？ (3)当点Q运动到上时，求能使是等腰三角形时点Q的运动时间，求出t的值． 【答案】(1) (2)秒 (3)秒或秒或秒 【分析】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质，注意分类讨论思想的应用. （1）根据点的运动速度求出，再求出和，用勾股定理求得即可； （2）设出发秒钟后，能形成等腰三角形， 则 由 列式求得即可； （3）当点在边上运动时，能使成为等腰三角形的运动时间有三种情况： ①当时 (图)， 则可证明 则 则 从而求得； ②当时 (如图)，则 易求得； ③当时 (如图)，过点作于点， 则求出， 即可得出. 【详解】（1）出发2秒后，，． 所以． 因为，根据勾股定理，． （2）设从出发t秒钟后，第一次能形成等腰三角形． 此时，． 当时，，解得秒． （3）①当时 (图)， 则， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴秒， ②当时 (如图)， 则， ∴秒； ③当时 (如图)， 过点作于点， 则 所以， 故， 所以 秒， 由上可知，当为秒或秒或秒时，为等腰三角形. 类型十、无刻度尺作图 1．如图，在边长为1个单位的正方形网格中，经过平移后得到，图中标出了点B的对应点．根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题：    (1)画出； (2)画出的高． (3)图中与的关系是________． (4)求的面积为________． (5)确定格点Q（异于C点），使的面积和的面积相等，这样的Q点有________个． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)平行且相等 (4) (5)13 【分析】（1）利用点和点的位置确定平移的方向与距离，然后利用此平移规律画出、的对应点、即可； （2）把绕点逆时针旋转得到，再把平移得到，延长交于，则于； （3）结合平移性质，据此即可作答． （4）用一个直角三角形的面积分别减去2个三角形的面积和一个小正方形的面积即可计算出的面积； （5）先作点关于的对称点，然后过点作的平行线即可得到格点的个数． 本题考查了作图平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：的高如图所示； （3）解：经过平移后得到 ∴图中与的关系是平行且相等； （4）解：的面积， （5）解：点Q如图所示：     （个） 故答案为：13 2．如图，在8×8的正方形网格中，的三个顶点都在格点上，请按要求完成下列作图：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹． (1)在图甲中，画出的边上的中线； (2)在图乙中， 找一点 P，连接线段 ，使得 平分． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质， （1）在图中取格点并连接对应的线段，即可得到三角形的全等，结合其性质即可知，连接即可； （2）根据网格可知，在上取格点长为5，即可得到等腰三角形，利用网格即可找到等腰三角形底边的中点，连接即可． 【详解】（1）解：如图， （2）解：如图， 3．操作与实践：如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在题图1中，作边上的高，垂足为，在上找一点，使； (2)在题图2中，作关于直线轴对称的图形，并在上确定一点，使得平分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了格点作图：作三角形的高、中线，作直线的平行线，作轴对称图形，掌握格点图的特点是解题的关键． （1）取格点D，连接即得高；取格点F，连接即可； （2）取格点P，连接即可；取格点G、H，连接交于点Q，连接，则必满足题意． 【详解】（1）解：取格点D，连接，则是边上的高；取格点F，连接交于点，则，如图所示； （2）解：如图，取格点P，连接，得到关于直线轴对称的图形；取格点G、H，连接交于点Q，连接，则平分的面积． 4．图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．请在图1、图2、图3中只用无刻度的直尺分别按要求画图． (1)在图1中找出格点D（不与点B重合），画出，使得； (2)在图2中找出格点E，画出，使得； (3)在图3中找出格点F，画出，使得是一个轴对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查根据轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质作图． （1）作出点B关于的对称点，即为所求； （2）取格点E，使得，即可得到； （3）作出以为腰的等腰三角形，即可解答． 【详解】（1）解：如图，点D为所求． ∵点B与点D关于对称， ∴， ∴点D为所求． （2）解：如图，点E为所求． 连接，， 由图可得，，， ∴， ∴， ∴点E为所求． （3）解：如图，点F与为所求． ∵由图可得， ∴是等腰三角形， ∴是轴对称图形． 5．如图，在网格中，的顶点都在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图①中，作线段且； (2)在图②中，作． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）结合网格特征，取格点D，T，连接交于点E，线段即为所求；、 （2）结合网格特征，取格点Q，R，连接，利用等腰直角三角形的性质解决问题即可． 本题考查作图﹣应用与设计作图，平行线的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示： 6．如图，是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，点与点关于格点所在的直线对称．仅用无刻度直尺在给定网格中按要求画出下列图形，并回答问题．（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）． (1)直接写出________； (2)画的高； (3)在上找一点，使； 【答案】(1) (2)画图见解析 (3)画图见解析 【分析】（1）由网格特点可得，，从而可得； （2）取格点，，满足，连接，延长交于，结合，，可得，再利用全等三角形的性质可得； （3）如图，上取格点，另外取格点，结合网格特点满足直线是的垂直平分线，而是的垂直平分线，交点刚好是D，则满足． 【详解】（1）解：∵的三个顶点都是格点，点A与点C关于格点M，N所在的直线对称． ∴，， ∴． （2）解：如图，即为所求作的高； （3）解：如图，即为所求作的点， 【点睛】本题考查的是复杂作图，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，难度中等，熟悉等腰直角三角形的判定与性质是解本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$