期中考前满分冲刺之中等易错题-2024-2025学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版）

期中考前满分冲刺之中等易错题思维导图 【类型覆盖】 类型一、三角形的平移 1． 平移后得到，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，将沿向右平移得，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在三角形中，，，将三角形沿射线的方向向右平移后，连接，若，，则三角形的面积为 ． 4．如图，将直角三角形沿着方向平移得到三角形，若，，，图中阴影部分的面积为，则三角形沿着方向平移的距离为 ． 5．如图，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，像这样的三角形叫格点三角形，试在方格纸上按下列要求画格点三角形． (1)将向下平移4个单位，再向右平移2个单位得到；（的对应点分别为A、B、C） (2)线段与的关系 ； (3)画边上的中线和高线．（利用网格点和直尺画图） 6．已知∶ 如图的网格中， 三角形ABC的顶点． (1)根据A，B两点的坐标在网格中建立平面直角坐标系，并写出点C 的坐标：． (2)平移三角形， 使点C移动到点，画出平移后的三角形， 其中点 D 与点A 对应，点E与点B对应． (3)在坐标轴上是否存在一点P，使三角形 的面积与三角形 的面积相等？若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 类型二、垂直平分线的性质与判定 1．如图，内一点，点，分别是点关于，的对称点，交于点，交于点，若，则的周长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，在中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交的两侧于点、，连接，交于点，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．如图，在中，的垂直平分线分别交，于，两点，若，，则的周长为 ． 4．如图，在中，，分别为，的垂直平分线，如果，那么的周长为 ．    5．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点P．    (1)求证：点P在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 6．如图，中，垂直平分，交于点F，交于点E，，垂足为D，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，则的长为多少？ 类型三、角平分线的性质与判定 1．如图，是的角平分线，于点E，，，，则的长是（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，在中，是的平分线，，垂足是E，若，，则的长为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．如图，在中，，，平分交于点D，若，则的面积为 ． 4．如图，已知，以点O为圆心，以适当长度为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，过点P作交于点Q，则的度数是 度． 5．如图，在中，平分，平分，于点E，于点F． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的面积． 6．如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，，且，求的面积． 类型四、等腰三角形的性质与判定 1．如图，在中，和的平分线相交于点F，过F作 ，交于点D，交于点E．若，，则线段的长为（　　） A．3 B．4 C． D．2 2．若等腰三角形的顶角为，则它的一个底角的度数为（    ） A． B． C． D． 3．一个等腰三角形的两边长分别为3，4，它的周长为 ． 4．等腰三角形一个顶角和一个底角之和是，则顶角等于 ． 5．如图，在中，是边上一点，垂直平分，．求证：为等腰三角形． 6．如图，在中，，D为延长线上一点，且于点E，交于点F． (1)求证：是等腰三角形； (2)连接，若，，，求的长． 类型五、等边三角形的性质与判定 1．如图，在等边中，D是的中点，于点E，于点F．已知，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，C为线段上一动点（不与A，E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接，则有以下五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（　　） A．①③⑤ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 3．如图，在中，，以为边在外作等边，过点作．若，，则 ． 4．如图，等边三角形，P为上一点，且，则的大小为 ．    5．已知在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且． (1)【特殊情况，探索结论】 如图①，当点E为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：______（填“＞”“＜”或“＝”）． (2)【特例启发，解答题目】 如图②，当点E为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论，______（填“＞”“＜”或“＝”）． 理由如下，过点E作，交于点F（请你完成以下解答过程）． (3)【拓展结论，设计新题】 在等边三角形中，点E在直线上，点D在的延长线上，且，若的边长为1，，求的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）． 6．已知：如图，都是等边三角形，相交于点O，点M、N分别是线段的中点． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：是等边三角形． 类型六、角平分线与高结合 1．如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在中，、分别是的角平分线和高，若，，则的度数是（      ） A． B． C． D． 3．如图，在中，分别是边上的中线与高，，的面积是6，则的长是 ． 4．如图，在中，、分别是边上的中线和高，，的面积为，则 ． 5．如图，在中，是中线，是角平分线，是高，请完成以下填空：    (1)____________； (2)____________； (3)______； (4)______． 6．如图，在△ABC中，AM是中线，AD是高线．    （1）若AB比AC长4 cm，则△ABM的周长比△ACM的周长多__________ cm． （2）若△AMC的面积为12 cm2，则△ABC的面积为__________cm 2． （3）若AD又是△AMC的角平分线，∠AMB=130°，求∠ACB的度数．（写过程） 类型七、三角形的中线平分面积 1．如图在中，已知点D、E、F分别为边、、的中点，且的面积是8，则的面积是（　　） A．2 B．4 C．6 D．7 2．如图，已知分别为的边的中点，连接，为的中线．若四边形的面积为，则的面积为（　　） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，，的面积为3，则的面积为 ． 4．如图，三角形的面积是120平方厘米，且 ，D 是的中点， 则阴影部分的面积是 平方厘米．    5．如图，在中，为边上的中线． (1)若的面积为4，则的面积为______； (2)若，比的周长多2，则______． 6．【问题情境】 如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？小陈同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知． 又因为高相同，所以，于是，据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． 【深入探究】 （1）如图2，的面积为4平方厘米，延长到点，延长到点，延长边到点，使，，，依次连接得到，求的面积． 【拓展延伸】（2）如图3．若四边形的面积为，分别延长四边形的各边，使得，，，，依次连接得到四边形． ①若，求四边形的面积；（用含的代数式表示） ②直接写出四边形的面积（用含的代数式表示）      类型八、三角形的三种折叠 1．在中，已知，，现把沿进行不同的折叠得，对折叠后产生的夹角进行探究： (1)如图（1）把沿折叠在四边形内，则求的和； (2)如图（2）把沿折叠覆盖，则求的和； (3)如图（3）把沿斜向上折叠，探求、、的关系． 2．如图，把的纸片沿着折叠． (1)若点落在四边形的内部点的位置（如图1），且，请直接写出的度数； (2)若点落在四边形的外部的上方点的位置（如图2），则与有怎样的关系？请说明你的理由； 3．探究： (1)如图①与有什么关系？为什么？ (2)把图①沿折叠，得到图②，填空：______（填“>”“<”“＝”）． (3)如图③，是由图①的沿折叠得到的，如果，则______． 猜想三个角存在的等量关系为______． 4．综合与探究    (1)如图1，将沿着第一次折叠，顶点落在的内部点处，试探究与之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，将沿着第二次折叠，顶点恰好与点重合，若，，求的度数． (3)如图3，将沿着第三次折叠，顶点恰好与点重合，若，，用含，的代数式表示． 5．我们在小学已经学习了“三角形内角和等于”．在三角形纸片中，点D，E分别在边上，将沿折叠，点C落在点的位置．    (1)如图1，当点C落在边上时，若，则＝　 　，可以发现与的数量关系是 　 　； (2)如图2，当点C落在内部时，且，，求的度数； (3)如图3，当点C落在外部时，若设的度数为x，的度数为y，请求出与x，y之间的数量关系． 6．（1）如图1，把沿折叠，使点A落在点处，请直接写出与的关系：　　． （2）如图2，把分别沿、折叠，使点A落在点处，使点B落在点处，若，则　　° （3）如图3，在锐角中，于点M，于点N，、交于点H，把沿折叠使点A和点H重合，则与的关系是　　． A．    B． C．    D． （4）如图4，平分，平分，把沿折叠，使点A与点H重合，若，求的度数． 类型九、三角形的三种角平分线 1．【提出问题】如图所示，已知P是的平分线的交点，你能找到与的关系吗？ 【分析问题】在解决这个问题时，小明是这样做的：先找一个例子，如，计算出，随后又举了几个例子，并对结论进行了证明，从而找到与的关系：． 在解决问题的过程中，小明运用了“由特例得到猜想，证明得出一般结论”的方法，请你用这种方法解决下面的问题． 【解决问题】 (1)若P是的三等分线的交点，即，则与的关系为 ，请证明你的结论； (2)若P是的四等分线的交点，即，则与的关系为 （直接写出答案，不需证明）； (3)若P是的n等分线的交点，即，，则与的关系为 （直接写出答案，不需证明）． 2．如图，在中，，分别是，的平分线，，分别是，的平分线． (1)当，时， _____， ____； (2)请你猜想，当的大小变化时，的值是否变化？请说明理由． 3．如图，在中， (1)求的度数： (2)平分，平分．求的度数． 4．如图，在中，与的平分线相交于点．    (1)若，则的度数是　 　； (2)如图，作外角，的角平分线交于点，试探索，之间的数量关系； (3)如图，延长线段，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的倍，求的度数． 5．问题引入： （1）如图1，在中，点O是和平分线的交点，若，则_______；如图2，，，，则_______； 拓展研究： （2）如图3，，，，猜想度数（用α表示），并说明理由； （3）、分别是的外角、的n等分线，它们交于点O，，，，请猜想_______________（直接写出答案）． 6．我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，的内角与的内角互为对顶角，则与为“对顶三角形”．根据三角形内角和定理可知“对顶三角形”有如下性质∶．    (1)性质理解：如图1，在“对顶三角形”与中，若，则 ； (2)性质应用∶ ①如图2，则 ； ②如图3，在中，分别平分和，若，比大，求的度数； (3)拓展提高：如图4，是的角平分线，和的平分线和相交于点P，设，求的度数（用含α的式子表示）． 类型十、三角形的八字形 1．如图，，相交于点，连结，，，分别平分，，与相交于点，与相交于点．求证：．    2．如图，平分，平分，与交于点M，与交于点N，试说明之间的数量关系． 3．已知如图1，线段，相交于О点，连接，，我们把如图1的图形称之为“8字形”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题： (1)在图1中，请直接写出，，，之间的数量关系：____________________． (2)如图2，请利用（1）中结论，求的度数． 4．【问题背景】（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明； 【简单应用】（2）阅读下面的内容，并解决后面的问题：如图2．分别平分，， 若，求的度数； 【问题探究】（3）如图3， 直线平分的外角，平分的外角， 若，请猜想的度数，并说明理由． 【拓展延伸】（4）在图4中，若设 ， ，直接写出与之间的数量关系为：_________________（用、表示）． 5．如图①，线段、相交于点O，连接、BD，我们把形如这样的图形称为“8字形”．    (1)试说明：； (2)如图②，和的平分线和相交于点P，且与、分别相交于点M、N． ①以线段为边的“8字形”有________个，以点O为交点的“8字形”有________个； ②若，，求的度数． 6．北京奥运会，2008年8月8日晚上8时整在中国首都北京开幕，这或许能体现出中国人如何痴迷于幸运数字“8”，恰逢今年11月江西师大附中将迎来80周年华诞，岁经八秩，桃李芬芳，那么让我们一起来感受一下“8”的魅力． 如图1的图形我们把它称为“8字形”，显然有； 新定义：在图1中，我们把，，，叫做“8字形”的边，，，，叫做“8字形”的内角，“8字形”的一边与其相邻边的延长线组成的角叫做外角．例如，图2中，，为“8字形”的内角，图3中，，为“8字形”的外角．    (1)在图2中，的平分线和的平分线相交于点P，若，，求的度数． (2)在图3中，的平分线和的平分线所在直线相交于点P，猜想与、的关系，并说明理由． (3)在图4中，的平分线和的平分线相交于点P，猜想与、的关系，并说明理由． (4)在图5中，的平分线和的平分线相交于点P，用、来表示出，直接写出结论，无需说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中考前满分冲刺之中等易错题思维导图 【类型覆盖】 类型一、三角形的平移 1． 平移后得到，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平移的性质，三角形内角和定理，熟记平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状是解题的关键．先根据平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状可得，然后根据三角形的内角和定理及邻补角定义列式计算即可得解． 【详解】解：中，，， ． 平移后得到， ， ． 故选：D 2．如图，在中，，，将沿向右平移得，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平移的性质，三角形的内角和定理求出的度数，平移的性质，得到，即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵将沿向右平移得， ∴， 故选C． 3．如图，在三角形中，，，将三角形沿射线的方向向右平移后，连接，若，，则三角形的面积为 ． 【答案】10 【分析】此题主要考查了图形的平移及性质，三角形的面积，准确识图，理解图形的平移及性质，熟练掌握三角形的面积公式是解决问题的关键． 过点作，根据平移的性质得：，，'，再根据，可求出，然后再利用三角形的面积公式求出'的面积即可． 【详解】解：过点作，如图所示： ∵， ∴根据平移的性质得：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：10． 4．如图，将直角三角形沿着方向平移得到三角形，若，，，图中阴影部分的面积为，则三角形沿着方向平移的距离为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了平移的性质、三角形面积计算的知识；解题的关键是熟练掌握平移的性质，从而完成求解．根据题意，计算得；再根据阴影部分的面积，求得，从而得，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，得， ∵， ∴三角形为直角三角形， ∴，， 根据题意得：阴影部分的面积，且阴影部分的面积为， ∴， ∴， ∴，即三角形沿着方向平移的距离为， 故答案为：5． 5．如图，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，像这样的三角形叫格点三角形，试在方格纸上按下列要求画格点三角形． (1)将向下平移4个单位，再向右平移2个单位得到；（的对应点分别为A、B、C） (2)线段与的关系 ； (3)画边上的中线和高线．（利用网格点和直尺画图） 【答案】(1)见解析 (2)且 (3)见解析 【分析】本题考查了平移变换作图和平移的性质； （1）将A、B、C按平移条件找出它们的对应点，顺次连接，即得到平移后的图形； （2）由平移的性质即可得到结论； （3）用直尺结合网格特点作图即可． 【详解】（1）如图所示， （2）由平移得性质可得：且； （3）边上的中线和高线如图所示； 6．已知∶ 如图的网格中， 三角形ABC的顶点． (1)根据A，B两点的坐标在网格中建立平面直角坐标系，并写出点C 的坐标：． (2)平移三角形， 使点C移动到点，画出平移后的三角形， 其中点 D 与点A 对应，点E与点B对应． (3)在坐标轴上是否存在一点P，使三角形 的面积与三角形 的面积相等？若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2，3 (2)见解析 (3)或或或 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系、坐标与图形-平移等知识点，熟练掌握利用点的坐标确定坐标系的方法以及利用平移的性质作图是解题的关键． （1）利用A，B点坐标即可确定坐标原点的位置进而建立坐标系，然后写出点C的坐标即可； （2）由（1）知点，点C移动到点，可知横坐标加5，纵坐标减7，所以先向右平移5个单位，再向下平移7个单位得到，由此即可画出； （3）运用割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图所示：点C的坐标为：． 故答案为：2，3． （2）解：如图所示：即为所求． （3）解：． 当点在x轴上时，,解得：; 所以点 P 的坐标为或； 当点在y轴上时，,解得：; 所以点 P 的坐标为或； 综上，点P的坐标为或或或． 类型二、垂直平分线的性质与判定 1．如图，内一点，点，分别是点关于，的对称点，交于点，交于点，若，则的周长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】由与关于对称，得到为线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，同理可得，由，等量代换可求得三角形的周长．此题考查了轴对称的性质，以及线段垂直平分线的性质，利用了转化的思想，熟练掌握线段垂直平分线性质是解本题的关键． 【详解】解：与关于对称， 为线段的垂直平分线， ， 同理，与关于对称， 为线段的垂直平分线， ， ， 则的周长为． 故选：C． 2．如图，在中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交的两侧于点、，连接，交于点，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．分别求出，的大小，可得结论． 【详解】解：，， ， 由作图可知垂直平分线段， ， ， ， 故选：C 3．如图，在中，的垂直平分线分别交，于，两点，若，，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，熟记线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，然后根据三角形周长的定义得到的周长为． 【详解】解：是的垂直平分线， ， 的周长， ，， 的周长 故答案为：． 4．如图，在中，，分别为，的垂直平分线，如果，那么的周长为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质．根据垂直平分线的性质得到，，再由得到答案． 【详解】解：，分别为，的垂直平分线， ，， ， ． 故答案为：． 5．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点P．    (1)求证：点P在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】此题考查了线段垂直平分线的判定和性质，三角形内角和定理和四边形内角和，熟练掌握各个知识点是解题的关键． （1）连接、，，根据线段垂直平分线的性质和判定即可； （2）由线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理和四边形内角和定理进行求解． 【详解】（1）证明：连接、、，   垂直平分，垂直平分， ，， 点P在线段的垂直平分线上； （2）解：垂直平分，垂直平分， ，，， ，， 在中，，， ， 即，， 在四边形中，， 6．如图，中，垂直平分，交于点F，交于点E，，垂足为D，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，则的长为多少？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质： （1）根据线段垂直平分线的性质可得，，等量代换可得； （2）先根据已知条件得出，再通过等量代换得出，进而得出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 类型三、角平分线的性质与判定 1．如图，是的角平分线，于点E，，，，则的长是（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，过D作于F，由角平分线的性质定理即可求出，再计算出，最后根据，即可求出的值． 【详解】解：过D作于F， ∵是的角平分线，， ∴， ∵，的面积为9， ∴ ∴， ∴， 故选：C． 2．如图，在中，是的平分线，，垂足是E，若，，则的长为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”．根据角平分线的性质可得，进而即可求解． 【详解】解：∵在中，是的平分线，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 3．如图，在中，，，平分交于点D，若，则的面积为 ． 【答案】24 【分析】本题考查角平分线的性质，过点D作于点E，根据角平分线的性质可得，根据三角形的面积公式即可解答． 【详解】解：过点D作于点E， ∵平分，，， ∴， ∴． 故答案为：24． 4．如图，已知，以点O为圆心，以适当长度为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，过点P作交于点Q，则的度数是 度． 【答案】20 【分析】本题考查角平分线的作图和平行线的性质，属于基础题． 观察可得平分，根据角平分线的定义求出的度数，根据平行线的性质求的度数． 【详解】解：由作图可得：平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：20． 5．如图，在中，平分，平分，于点E，于点F． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，角平分线的性质． （1）根据角平分线的定义，及三角形内角和定理即可求出结论； （2）利用角平分线性质得出，再利用三角形面积公式即可求出． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵平分，， ∴， ∴； （2）解：平分，，，， ∴． ∵， ∴． 6．如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，，且，求的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)10 【分析】（1）根据垂直得到，利用三角形外角的性质得到，再根据，即可求出的度数； （2）过点E作，，根据角平分线的性质得到，，进而得到，再根据角平分线的判定定理即可证明结论； （3）根据三角形的面积公式求出，再根据三角形的面积公式计算，即可求出的面积． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，， ， （2）证明：过点E作交于点G，交于点H， ∵，， ∴， 由（1）可知，， 平分， ，， ， 平分，，， ， ， ，， 平分； （3）解：， ，，， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，三角形面积公式，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键． 类型四、等腰三角形的性质与判定 1．如图，在中，和的平分线相交于点F，过F作 ，交于点D，交于点E．若，，则线段的长为（　　） A．3 B．4 C． D．2 【答案】A 【分析】根据角平分线的性质，可得，，根据平行线的性质，等腰三角形的判定，可得解答即可； 本题是三角形的综合题，考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：和的平分线相交于点F， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴ ∴， ∵，， ∴， 故选A． 2．若等腰三角形的顶角为，则它的一个底角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，根据等腰三角形的两底角相等即可求解． 【详解】解：等腰三角形的顶角为， 则它的一个底角的度数为， 故选：B． 3．一个等腰三角形的两边长分别为3，4，它的周长为 ． 【答案】10或11 【分析】本题考查了等腰三角形的性质“等腰三角形的两腰相等”．分腰为4和腰为3两种情况讨论，再求其周长． 【详解】解：①当腰为4时，则三角形的三边长分别为4、4、3，满足三角形的三边关系， 周长为； ②当腰为3时，则三角形的三边长分别为3、3、4，满足三角形的三边关系， 周长为． 综上可知：等腰三角形的周长为10或11． 故答案为：10或11． 4．等腰三角形一个顶角和一个底角之和是，则顶角等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形及三角形内角和定理，掌握等腰三角形的定义是关键． 已知给出了两角的和，可根据三角形内角和定理求出另一个底角，再相减即可求出顶角． 【详解】解：∵等腰三角形的顶角和一个底角的和是， ∴它的另一个底角为， ∵等腰三角形的底角相等， ∴它的一个顶角等于． 故答案为：． 5．如图，在中，是边上一点，垂直平分，．求证：为等腰三角形． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，由线段垂直平分线的性质可得，，进而可得，又由，即得，即可根据等腰三角形的定义求证，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】证明：∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴为等腰三角形． 6．如图，在中，，D为延长线上一点，且于点E，交于点F． (1)求证：是等腰三角形； (2)连接，若，，，求的长． 【答案】(1)答案见解析 (2)4 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质与判定及直角三角形的性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，然后根据直角三角形的性质，即可逐步证明，再根据等腰三角形的判定，即可证明结论； （2）先证明，得到，再根据直角三角形的性质，即得答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ，， ， ， ， ， 即是等腰三角形； （2）解：，， ， ， ， ， ， ． 类型五、等边三角形的性质与判定 1．如图，在等边中，D是的中点，于点E，于点F．已知，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据等边三角形的性质得到，根据直角三角形的性质得到，于是得到结论． 【详解】解：∵是等边三角形，D是的中点， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C． 2．如图，C为线段上一动点（不与A，E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接，则有以下五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（　　） A．①③⑤ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 【答案】C 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质的应用，等边三角形的判定和性质．①根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出．②首先根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出；然后根据，可得为等边三角形，所以，据此判断出即可．③根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出．④首先根据，可得，然后判断出，再根据，即可判断出．⑤，据此判断即可． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，结论①正确． ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴，结论②正确． ∵， ∴，结论③正确． ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，结论④不正确． ∵，结论⑤正确． 综上，可得正确的结论有4个：①②③⑤． 故选：C． 3．如图，在中，，以为边在外作等边，过点作．若，，则 ． 【答案】7.8 【分析】此题考查了等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，正确地作出辅助线，构造全等三角形和含有角的直角三角形是解决问题的关键．过点作于，根据得，再根据等边三角形性质得，，则，由此得，据此可依据“”判定和全等，从而得，则，进而在根据直角三角形性质得，据此可得的长． 【详解】解：过点作于，如图所示： ， ， 为等边三角形， ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，， ， ， ． 故答案为： 4．如图，等边三角形，P为上一点，且，则的大小为 ．    【答案】/60度 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质．根据三角形的外角的性质，得出，结合等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， 又， ∴， 故答案为：． 5．已知在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且． (1)【特殊情况，探索结论】 如图①，当点E为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：______（填“＞”“＜”或“＝”）． (2)【特例启发，解答题目】 如图②，当点E为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论，______（填“＞”“＜”或“＝”）． 理由如下，过点E作，交于点F（请你完成以下解答过程）． (3)【拓展结论，设计新题】 在等边三角形中，点E在直线上，点D在的延长线上，且，若的边长为1，，求的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）． 【答案】(1)＝ (2)＝，见解析 (3)，画图见解析． 【分析】（1）根据等边三角形性质得到，，结合E是中点，得到，根据等腰三角形性质得到，由三角形外角性质得到，得到 ，即得； （2）以下解答为：，根据等边三角形性质得到．得到，得到 为等边三角形，推出．根据等腰三角形性质得到．结合三角形外角性质得到 ．得到．得到．即得； （3）证明，根据，得到，根据，得到，结合，得到，得到，即得． 【详解】（1）∵在等边三角形中，，且E是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：＝； （2）以下解答过程为： ∴， ∵为等边三角形， ∴． ∴， ∴ 为等边三角形， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∴． 故答案为：＝； （3）如图． ∵等边的边长为1，， ∴, ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形．熟练掌握等边三角形的判定和性质 ，等腰三角形的判定和性质，含的直角三角形性质，三角形外角性质，全等三角形的判定和性质，是解决问题的关键． 6．已知：如图，都是等边三角形，相交于点O，点M、N分别是线段的中点． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：是等边三角形． 【答案】(1)证明见解析； (2)的度数是；； (3)证明见解析． 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据等边三角形性质得出，求出，证即可； （2）根据全等求出，求出的值，根据三角形的内角和定理求出即可； （3）求出，根据证，推出，求出即可． 【详解】（1）证明：∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵等边三角形， ∴， ∴ ， ∴， ∴的度数是； （3）证明：∵， ∴， 又∵点M、N分别是线段的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ， 又， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 类型六、角平分线与高结合 1．如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，依此即可求解，熟悉它们的定义和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，分别是的高、角平分线、中线， ∴，，，无法确定， 故选：． 2．如图，在中，、分别是的角平分线和高，若，，则的度数是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形高线，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．首先求出，再求出，根据角平分线的定义求出，最后根据三角形内角和定理即可解决问题． 【详解】解：∵为高线， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：B． 3．如图，在中，分别是边上的中线与高，，的面积是6，则的长是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了三角形面积计算，三角形中线的性质，先根据三角形中线平分三角形面积得到，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵的面积是6，是的中线， ∴， ∵是的高，且， ∴， ∴， 故答案为：3． 4．如图，在中，、分别是边上的中线和高，，的面积为，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了三角形中线的性质，三角形的面积，熟知三角形中线的性质和三角形的面积计算公式是关键． 由为边上的中线可得，再根据三角形的面积计算公式，可解出的长． 【详解】解：为边上的中线， ， 即， 又， 解得：， 故答案为：． 5．如图，在中，是中线，是角平分线，是高，请完成以下填空：    (1)____________； (2)____________； (3)______； (4)______． 【答案】(1)， (2)， (3) (4) 【分析】此题考查了三角形的中线、角平分线、高，用到的知识点是三角形的中线、角平分线、高的定义和面积公式， （1）根据三角形中线的性质即可得出答案； （2）根据三角形角平分线的性质即可得出答案； （3）根据三角形高的定义与性质即可得出答案； （4）根据三角形的面积公式即可得出答案． 【详解】（1）解：是的中线， ， 故答案为：，； （2）解：是中的角平分线， ， 故答案为：，； （3）解：是中边的高， ， ， 故答案为：； （4）解：， ， 故答案为：． 6．如图，在△ABC中，AM是中线，AD是高线．    （1）若AB比AC长4 cm，则△ABM的周长比△ACM的周长多__________ cm． （2）若△AMC的面积为12 cm2，则△ABC的面积为__________cm 2． （3）若AD又是△AMC的角平分线，∠AMB=130°，求∠ACB的度数．（写过程） 【答案】（1）4；（2）24；（3）50° 【分析】(1) △ABM的周长与△ACM的周长的差，实际为AB与AC的差; (2)因为BC=2CM.所以△A BC的面积是△AMC的面积的2倍; (3)由∠AMB=130°,易得∠AMD=50°，又AD既是高，又是角平分线，易得△ADM≌△ADC,∠AMC=∠ACB=50° 【详解】解: (1) : △ABM的周长为：AB+ BM+AM，△ACM的周长为AC+CM+AM， ∵AM是△ABC中线 ∴BM=CM, BC=2CM ∴△ABM的周长-△ACM的周长为：（AB+ BM+AM ）-（AC+CM+AM）=AB-AC=4（cm） 故答案为: 4; (2) ∵ ∴ 故答案为: 24; （3）    解：  ∵ AD是高线 ∴∠ADM=∠ADC=90° ∵ AD又是△AMC的角平分线 ∴ ∠MAD=∠CAD ∵在△ADM和△ADC中 ∴ △ADM≌△ADC （SAS） ∴∠AMD=∠ACD ∵ ∠AMB=130° ∴∠AMD=50° ∴∠ACB =50° 【点睛】此题主要考查全等三角形的性质和判定，以及三角形的周长和面积的有关求法，难度中等. 类型七、三角形的中线平分面积 1．如图在中，已知点D、E、F分别为边、、的中点，且的面积是8，则的面积是（　　） A．2 B．4 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了与三角形中线有关的面积的计算，由点为的中点得出，由点为的中点得出，最后再由点为的中点即可得出答案． 【详解】解：∵点为的中点， ∴， ∵点为的中点， ∴，， ∴，即， ∵点为的中点， ∴， 故选：A． 2．如图，已知分别为的边的中点，连接，为的中线．若四边形的面积为，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，根据三角形中线平分三角形面积推出，再根据四边形的面积为，得到，据此求解即可，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键． 【详解】∵是的中线， ∴， 同理可得，，， ∴， ∵四边形的面积为， ∴ ， ∴， ∴， 故选：． 3．如图，在中，，，，的面积为3，则的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了三角形的面积计算．由，得，由，得，由，据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 4．如图，三角形的面积是120平方厘米，且 ，D 是的中点， 则阴影部分的面积是 平方厘米．    【答案】 【分析】题目主要考查利用三角形中线求面积，理解题意，结合图形运用三角形的高相等计算面积即可． 【详解】解：∵三角形的面积是平方厘米，D 是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 5．如图，在中，为边上的中线． (1)若的面积为4，则的面积为______； (2)若，比的周长多2，则______． 【答案】(1)2 (2)6 【分析】本题考查了三角形中线的应用，掌握相关结论是解题关键． （1）设边上的高为，根据、、即可求解； （2）根据、即可求解 【详解】（1）解：∵为边上的中线． ∴ 设边上的高为 ∴ ∵ ∴ 故答案为：2 （2）解： ∵为边上的中线． ∴ ∴ ∴ 故答案为：6 6．【问题情境】 如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？小陈同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知． 又因为高相同，所以，于是，据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． 【深入探究】 （1）如图2，的面积为4平方厘米，延长到点，延长到点，延长边到点，使，，，依次连接得到，求的面积． 【拓展延伸】（2）如图3．若四边形的面积为，分别延长四边形的各边，使得，，，，依次连接得到四边形． ①若，求四边形的面积；（用含的代数式表示） ②直接写出四边形的面积（用含的代数式表示）      【答案】（1）28；（2）①；② 【分析】本题考查了与三角形中线有关的面积计算、列代数式，解题的关键在于添加适当的辅助线，正确表示出三角形面积． （1）连接，，根据三角形中线有关的面积计算出、、、，再根据计算即可得出答案； （2）①连接、、、、，设的面积为、的面积为，则，结合题意求出，同理可得：，再根据计算即可得出答案；②同①的方法计算即可得出答案． 【详解】解：（1）如图，连接，， ， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）①如图，连接、、、、， ， 设的面积为、的面积为，则， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴； ②如图，连接、、、、， ， 设的面积为、的面积为，则， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴． 类型八、三角形的三种折叠 1．在中，已知，，现把沿进行不同的折叠得，对折叠后产生的夹角进行探究： (1)如图（1）把沿折叠在四边形内，则求的和； (2)如图（2）把沿折叠覆盖，则求的和； (3)如图（3）把沿斜向上折叠，探求、、的关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查折叠性质，三角形内角和定理，解答此题时要充分利用折叠部分折叠前后形成的图形为全等形的性质，并且解答该题时要充分利用三角形的性质． （1）根据折叠前后的图象全等可知，，，再根据三角形内角和定理比可求出答案； （2）连接，将作为一个整体，根据三角形内角和定理来求； （3）将看作，看作，再根据三角形内角和定理求解，即可解题． 【详解】（1）解：由折叠性质可知：，， ， ； （2）解：连接， 由折叠性质可知：， ， ； （3）解： ， 所以：． 2．如图，把的纸片沿着折叠． (1)若点落在四边形的内部点的位置（如图1），且，请直接写出的度数； (2)若点落在四边形的外部的上方点的位置（如图2），则与有怎样的关系？请说明你的理由； 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平角的定义： （1）由折叠的定义得到，再由平角的定义求出，的度数，即可根据三角形内角和定理求出的度数； （2）先由折叠的性质得到，，再由平角的定义得到，则由三角形内角和定理得到，则，进而得到，即． 【详解】（1）解：由折叠的性质可得， ∵，， ∴， 同理可得， ∴； （2）解：，理由如下： 由折叠的性质可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 3．探究： (1)如图①与有什么关系？为什么？ (2)把图①沿折叠，得到图②，填空：______（填“>”“<”“＝”）． (3)如图③，是由图①的沿折叠得到的，如果，则______． 猜想三个角存在的等量关系为______． 【答案】(1)，理由如下 (2) (3)， 【分析】（1）由题意知，，进而可得； （2）由题意知，，进而可得； （3）由，，可得，由折叠与平角的性质，可知，，则，进而可求三个角存在的等量关系． 【详解】（1）解： ，理由如下： 由题意知，， ∴； （2）解：由题意知，， ∴， 故答案为：； （3）解：∵，， ∴， 由折叠与平角的性质，可知，， ∴， 故答案为：； 由题意知，， ∴三个角存在的等量关系为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，折叠的性质．解题的关键在于明确角度之间的数量关系． 4．综合与探究    (1)如图1，将沿着第一次折叠，顶点落在的内部点处，试探究与之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，将沿着第二次折叠，顶点恰好与点重合，若，，求的度数． (3)如图3，将沿着第三次折叠，顶点恰好与点重合，若，，用含，的代数式表示． 【答案】(1)，理由见解析； (2) (3) 【分析】（1）由折叠的性质得出，，由平角的定义及三角形内角和定理可得出答案； （2）由（1）可知，，求出，则可得出答案； （3）由（2）可知，，求出，由周角的定义求出，则可得出答案． 【详解】（1）． 理由：由折叠得：，， ， ， ； （2）由（1）可知，， ， ， ， ， ， ； （3）由（2）可知，， ， ，， ， 又 ， ． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了折叠的性质，三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 5．我们在小学已经学习了“三角形内角和等于”．在三角形纸片中，点D，E分别在边上，将沿折叠，点C落在点的位置．    (1)如图1，当点C落在边上时，若，则＝　 　，可以发现与的数量关系是 　 　； (2)如图2，当点C落在内部时，且，，求的度数； (3)如图3，当点C落在外部时，若设的度数为x，的度数为y，请求出与x，y之间的数量关系． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据平角定义求出，再利用折叠性质即可求出，然后利用三角形内角和进行计算即可； （2）根据平角定义求出，，然后利用折叠性质可得，然后利用三角形内角和进行计算即可； （3）根据平角定义求出，再利用折叠性质即可求出，然后利用三角形内角和进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 由折叠得： . ∴， ∴， （2）解：∵， ∴， 由折叠得： ∴， ∴的度数为； （3）解：如图：    ∵， ∴， 由折叠得： ， ∴ ， ∴与x，y之间的数量关系：． 【点睛】本题考擦汗折叠性质和三角形内角和，灵活运用所学知识是关键． 6．（1）如图1，把沿折叠，使点A落在点处，请直接写出与的关系：　　． （2）如图2，把分别沿、折叠，使点A落在点处，使点B落在点处，若，则　　° （3）如图3，在锐角中，于点M，于点N，、交于点H，把沿折叠使点A和点H重合，则与的关系是　　． A．    B． C．    D． （4）如图4，平分，平分，把沿折叠，使点A与点H重合，若，求的度数． 【答案】（1）；理由见解析（2）（3）A（4） 【分析】（1）根据翻折变换的性质以及三角形内角和定理以及平角的定义求出即可； （2）根据（1）的结论即可得到结果； （3）根据翻折变换的性质以及垂线的性质得出，，进而求出，即可得出答案； （4）根据三角形角平分线的性质得出，得出的度数即可． 【详解】解：（1）； 理由如下：由折叠的性质得：，， ∴①， 又∵， ∴②， 由①②得：， 故答案为：； （2）由（1）可得，，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）理由：∵于点M，于点N， ∴，， ∴，由（1）知， ∴， ∴， 故选：A； （4）由（1）得：， 得， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴． 【点睛】本此题主要考查了图形的翻着变换的性质以及角平分线的性质和三角形内角和定理，正确的利用翻折变换的性质得出对应关系是解决问题的关键． 类型九、三角形的三种角平分线 1．【提出问题】如图所示，已知P是的平分线的交点，你能找到与的关系吗？ 【分析问题】在解决这个问题时，小明是这样做的：先找一个例子，如，计算出，随后又举了几个例子，并对结论进行了证明，从而找到与的关系：． 在解决问题的过程中，小明运用了“由特例得到猜想，证明得出一般结论”的方法，请你用这种方法解决下面的问题． 【解决问题】 (1)若P是的三等分线的交点，即，则与的关系为 ，请证明你的结论； (2)若P是的四等分线的交点，即，则与的关系为 （直接写出答案，不需证明）； (3)若P是的n等分线的交点，即，，则与的关系为 （直接写出答案，不需证明）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理及角平分线定义． （1）先根据三角形内角和定理求出，根据三等分线求出，根据三角形的内角和定理得出，代入求出即可； （2）同（1）可得出结论； （3）先根据三角形内角和定理求出，根据等分线求出，根据三角形的内角和定理得出，代入求出即可． 【详解】（1）解：猜测：； 由示例得， 、分别是、的三等分线，， ， ， 故答案为：． （2）解：由示例得， 、分别是、的四等分线，， ， ， 故答案为：． （3）解：，、分别是、的等分线，，， ， ． ∴． 故答案为：． 2．如图，在中，，分别是，的平分线，，分别是，的平分线． (1)当，时， _____， ____； (2)请你猜想，当的大小变化时，的值是否变化？请说明理由． 【答案】(1)， (2)当的大小变化时，的值不发生变化，理由见解析 【分析】本题主要考查角平分线的性质及三角形内角和定理，理解题意，找准各角之间的关系是解题关键． （1）由角平分线的性质和三角形内角和定理可得，利用邻补角求出，，再结合角平分线的性质和三角形内角和定理可得； （2）由角平分线的性质和三角形内角和定理可得，利用邻补角求出，，再结合角平分线的性质和三角形内角和定理可得，由此即可得到答案． 【详解】（1）∵，分别是，的平分线，，， ∴，， ∵， ∴； ∵，， ∴， ， ∵，分别是，的平分线， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）当的大小变化时，的值不发生变化，， 理由如下： ∵，分别是，的平分线，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵，分别是，的平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴当的大小变化时，的值不发生变化，． 3．如图，在中， (1)求的度数： (2)平分，平分．求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义． （1）根据三角形内角和定理即可求解； （2）由是的外角得到，根据角平分线的定义求出，进而求出，利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：在中，， ； （2）解：根据题意得：， 平分，平分， ， ， ． 4．如图，在中，与的平分线相交于点．    (1)若，则的度数是　 　； (2)如图，作外角，的角平分线交于点，试探索，之间的数量关系； (3)如图，延长线段，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的倍，求的度数． 【答案】(1)； (2)，理由见解答过程； (3)或或或． 【分析】（）根据角平分线定义及三角形内角和定理得，则，再根据可得的度数； （）由三角形的外角定理及三角形三角形内角和定理得，再由角平分线定义得，由此得，之间的数量关系； （）先求出，根据得，然后分四种情况讨论即可； 此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角定理，角平分线定义，熟练掌握三角形的内角和定理，三角形的外角定理，理解角平分线定义是解题的关键． 【详解】（1）在中，， ∵与 的平分线相交于点， ∴，， ∴ ， ∴ ∵， ∴， 故答案为：； （2），之间的数量关系是，理由如下： ∵，，， ∴， ∵点是和的角平分线的交点， ∴， ∴， ∴， ∴，之间的数量关系是； （3）∵平分,平分，， ∴，， ∴ ， 即， ∴， 由（）可知: ， ∴， ∴， 如果在中，存在一个内角等于另一个内角的倍，那么有以下四种情况： 当时, 则， ∴， 此时， 当时，则， ∴，则， 此时， 当时，则， ∴， 此时， 当时，则， ∴， ∴， 此时， 综上所述，的度数是或或或． 5．问题引入： （1）如图1，在中，点O是和平分线的交点，若，则_______；如图2，，，，则_______； 拓展研究： （2）如图3，，，，猜想度数（用α表示），并说明理由； （3）、分别是的外角、的n等分线，它们交于点O，，，，请猜想_______________（直接写出答案）． 【答案】（1），  （2）  （3） 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，采取类比的方法是解题的关键，同时渗透了整体思想． （1）由角平分线的定义得，再利用三角形内角和定理可得答案； （2）根据三角形内角和定理得而 代入化简即可； （3）根据三角形内角和定理得而 代入化简即可. 【详解】（1）∵点是和 平分线的交点， ， ， 在 中， ， 故答案为：； 在 中， ， 故答案为：； 理由如下： , ， ； （3）在 中， ， 故答案为 ． 6．我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，的内角与的内角互为对顶角，则与为“对顶三角形”．根据三角形内角和定理可知“对顶三角形”有如下性质∶．    (1)性质理解：如图1，在“对顶三角形”与中，若，则 ； (2)性质应用∶ ①如图2，则 ； ②如图3，在中，分别平分和，若，比大，求的度数； (3)拓展提高：如图4，是的角平分线，和的平分线和相交于点P，设，求的度数（用含α的式子表示）． 【答案】(1) (2)①② (3) 【分析】本题综合考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，掌握整体思想是解题关键． （1）求出即可求解； （2）①连接，可得，据此即可求解；②求出即可求解； （3）根据、、即可求解； 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵， ∴ 故答案为： （2）解：①连接，如图所示：    则 ∴ 故答案为： ②∵， ∴ ∵分别平分和， ∴ ∵ ∴ ∵ 由①②可得： （3）解：∵， ∴ ∵是的角平分线， ∴ ∵和的平分线和相交于点P， ∴ ∵ ∴得： ∴ 类型十、三角形的八字形 1．如图，，相交于点，连结，，，分别平分，，与相交于点，与相交于点．求证：．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理及角平分线定义，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键，由角平分线得，由三角形的内角和定理得，从而得，进而得，，两式相加即可得解． 【详解】证明：∵，分别平分，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴． 2．如图，平分，平分，与交于点M，与交于点N，试说明之间的数量关系． 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、三角形内角和定理等知识点，理解对顶角三角形模型成为解题的关键． 根据对顶角三角形可得、进而得到，再结合可得，进而得到结论． 【详解】解：，理由如下： 由与为对顶角三角形可得：，① 由与为对顶角三角形可得：，② ①＋②可得：． ∵， ∴，即． 3．已知如图1，线段，相交于О点，连接，，我们把如图1的图形称之为“8字形”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题： (1)在图1中，请直接写出，，，之间的数量关系：____________________． (2)如图2，请利用（1）中结论，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，多边形的内角和定理，对顶角相等的性质，整体思想的利用是解题的关键． （1）利用三角形的内角和定理表示出与，再根据对顶角相等可得，然后整理即可得解； （2）根据“8字形”的结构特点，连接，根据四边形的内角和等于可得，根据“8字形”的关系可得，然后即可得解． 【详解】（1）解：在中，， 在中，， （对顶角相等）， ， ； （2）解：如图3，连接 ， 则， ∴， 根据“8字形”数量关系，， ∴， 即图2中． 4．【问题背景】（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明； 【简单应用】（2）阅读下面的内容，并解决后面的问题：如图2．分别平分，， 若，求的度数； 【问题探究】（3）如图3， 直线平分的外角，平分的外角， 若，请猜想的度数，并说明理由． 【拓展延伸】（4）在图4中，若设 ， ，直接写出与之间的数量关系为：_________________（用、表示）． 【答案】（1）见详解；（2）；（3），理由见详解；（4） 【分析】（1）根据三角形内角和定理即可证明． （2）（3）由平分的外角，平分的外角，推出，，推出，，由，，推出，即可解决问题． （4）由前面小题的结论易求，，再将已知条件代入化简可求，进而可求解． 本题考查三角形内角和，三角形的外角的性质、多边形的内角和等知识，解题的关键是学会用方程组的思想思考问题，属于中考常考题型． 【详解】 解：（1）在中，， 在中，， ， ； （2）、分别平分． ， 由（1）的结论得：， ①②，得 ． （3）如图3， 平分的外角，平分的外角， ，， ，， ，， ， ； （4）由（1）可知：，，， ，， ， ，，，， ，， ， ． 故答案为：． 5．如图①，线段、相交于点O，连接、BD，我们把形如这样的图形称为“8字形”．    (1)试说明：； (2)如图②，和的平分线和相交于点P，且与、分别相交于点M、N． ①以线段为边的“8字形”有________个，以点O为交点的“8字形”有________个； ②若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)① 3；4；② 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，对顶角相等，解题的关键是熟练掌握三角形内角和为． （1）根据三角形内角和定理进行解答即可； （2）①根据“8字形”图形的定义进行解答即可； ②根据解析（1）的结论，得出，，根据角平分线的定义得出：，，求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴． （2）解：①以线段为边的“8字形”有： ，，，共3个； 以点O为交点的“8字形”有： ，，，，共4个． ②在和中，， ∴， 在和中，， ∴， ∴． ∵、分别平分、， ∴，， ∴， ∴． 6．北京奥运会，2008年8月8日晚上8时整在中国首都北京开幕，这或许能体现出中国人如何痴迷于幸运数字“8”，恰逢今年11月江西师大附中将迎来80周年华诞，岁经八秩，桃李芬芳，那么让我们一起来感受一下“8”的魅力． 如图1的图形我们把它称为“8字形”，显然有； 新定义：在图1中，我们把，，，叫做“8字形”的边，，，，叫做“8字形”的内角，“8字形”的一边与其相邻边的延长线组成的角叫做外角．例如，图2中，，为“8字形”的内角，图3中，，为“8字形”的外角．    (1)在图2中，的平分线和的平分线相交于点P，若，，求的度数． (2)在图3中，的平分线和的平分线所在直线相交于点P，猜想与、的关系，并说明理由． (3)在图4中，的平分线和的平分线相交于点P，猜想与、的关系，并说明理由． (4)在图5中，的平分线和的平分线相交于点P，用、来表示出，直接写出结论，无需说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）设，，解方程即可得到答案； （2）由“8”字三角形得①， ②， ，得，整理后可得结论； （3）连接PB，PD根据，得到 同理得到：，再根据，，，，即可求解． （4）根据直线平分，平分的外角，得到 ，从而可以得到180°，再根据，得到即可求解； 【详解】（1），分别平分，， ∴， 设，， 则有， ， ； （2）∵的平分线和的平分线所在直线相交于点P， ∴， ∵，① ∴， ∴， ∴． ∵，② ，得 ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （3）连接 直线平分的外角，平分的外角， ，， ∵， ∴ 同理得到： ∴ ∴ ∵， ∴， ∴    （4）直线平分，平分的外角， ，， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴180°， 即． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$