专题08 从函数观点看一元二次不等式（综合，30题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期中真题分类汇编（江苏专用）

专题08 从函数观点看一元二次不等式（综合，30题） 一、单选题 1．（23-24高一上·江苏苏州·期中）“”是“”的（    ） A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高一上·江苏徐州·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·江苏镇江·期中）“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 4．（23-24高一上·江苏·期中）已知正实数，满足，则的最小值是（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 5．（23-24高一上·江苏·期中）已知命题，命题，若p是q成立的必要不充分条件，则区间D可以为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知关于的一元二次不等式的解集为，则的最小值是（    ） A． B．3 C． D．6 7．（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知关于的不等式的解集是，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·江苏盐城·期中）若关于的不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·江苏常州·期中）在下列选项中，满足p与q等价的是（        ） A．已知实数x，p：和q： B．已知实数x、y，p：和q： C．已知实数a、b，p：和q： D．已知、、、、、均为非零实数，不等式和不等式的实数解集分别为M和N，p：和q： 二、多选题 10．（23-24高一上·江苏无锡·期中）使不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C．或 D． 11．（23-24高一上·江苏扬州·期中）已知关于的不等式的解集为，则（　　） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 12．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 三、填空题 13．（23-24高一上·江苏·期中）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 ． 14．（23-24高一上·江苏·期中）已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为 ． 15．（23-24高一上·江苏常州·期中）的解集为 16．（23-24高一上·江苏镇江·期中）若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围 . 17．（23-24高一上·江苏南京·期中）若命题“，”为假命题，则实数a可取的最小整数值是 . 18．（23-24高一上·江苏·期中）已知，若时，关于x的不等式恒成立，则的最小值为 ． 四、解答题 19．（23-24高一上·江苏扬州·期中）已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为. (1)求实数的值； (2)若，，，求的最小值. 20．（23-24高一上·江苏南通·期中）解下列不等式并将结果写成集合的形式： (1)； (2)． 21．（23-24高一上·江苏镇江·期中）已知函数（其中，）. (1)若不等式的解集为，求的值； (2)当，时，求不等式的解集. 22．（23-24高一上·江苏无锡·期中）已知集合． (1)若，求； (2)若，设命题，命题．已知命题是命题的充分不必要条件，求实数的取值范围． 23．（23-24高一上·江苏无锡·期中）已知命题实数x满足，命题q：实数x满足． (1)若命题p为假命题，求实数x的取值范围 (2)若命题q是命题p的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 24．（23-24高一上·江苏无锡·期中）已知函数 (1)当，求的最小值； (2)解不等式 25．（23-24高一上·江苏镇江·期中）（1）解关于的不等式. （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 26．（23-24高一上·江苏·期中）已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数a的取值范围， 27．（23-24高一上·江苏连云港·期中）设：实数满足：实数满足． (1)若，且均为真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 28．（23-24高一上·江苏徐州·期中）（1）当时，求不等式的解集； （2）若正数a，b满足，证明：. 29．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知二次函数满足下列两个条件： ①的解集为；②的最小值为 (1)求的值； (2)求关于的不等式的解集． 30．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知二次函数，且. (1)求函数的解析式； (2)解关于的不等式. 4 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 从函数观点看一元二次不等式（综合，30题） 一、单选题 1．（23-24高一上·江苏苏州·期中）“”是“”的（    ） A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解不等式得到，根据推出关系得到答案. 【详解】解得， 因为，， 故“”是“”的必要而不充分条件. 故选：A 2．（23-24高一上·江苏徐州·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用一元二次不等式的解法求解即得. 【详解】不等式，化为，即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A 3．（23-24高一上·江苏镇江·期中）“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】解不等式，根据包含关系结合充分、必要条件分析求解. 【详解】由，解得； 由，解得； 因为是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4．（23-24高一上·江苏·期中）已知正实数，满足，则的最小值是（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】注意到不等式，所以可将条件等式转换为关于的一元二次不等式，从而即可得解. 【详解】注意到，等号成立当且仅当， 从而， 因为，是正实数， 所以解得或（舍去）， 即的最小值是4，等号成立当且仅当. 故选：C. 5．（23-24高一上·江苏·期中）已知命题，命题，若p是q成立的必要不充分条件，则区间D可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据二次函数的性质求得命题中的的范围，再由p是q是成立的必要不充分条件，判断求解即可. 【详解】对于，即， 所以，解得或， 因为p是q成立的必要不充分条件， 所以， 所以区间D可以为. 故选：B. 6．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知关于的一元二次不等式的解集为，则的最小值是（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】A 【分析】根据不等式与对应方程的关系，结合根与系数的关系，得出与的关系式，再利用基本不等式求的最小值． 【详解】因为是不等式的解集， 所以是方程的两个实数根且， 所以，， 所以，且，； 所以， 当且仅当时“”成立； 所以的最小值为． 故选：A． 7．（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知关于的不等式的解集是，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，结合韦达定理即可求出，，，之间的关系，再代入不等式即可求解. 【详解】关于的不等式的解集是 和是方程的两个实数根，且. 则，解得. 所以不等式等价于（），即， 解得： 所以不等式的解集是 故选：B. 8．（23-24高一上·江苏盐城·期中）若关于的不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对二次不等式作差，利用平方差因式分解，分析集合的端点范围，结合不等式恰有两个整数解求另一端点的范围，从而得到实数的取值范围. 【详解】由恰有两个整数解，即恰有两个整数解， 所以，解得或， ①当时，不等式的解集为，因为， 所以两个整数解，则，即，解得； ②当时，不等式的解集为，因为， 所以两个整数解，则，即，解得， 综上所述，实数的取值范围为或. 故选：B. 9．（23-24高一上·江苏常州·期中）在下列选项中，满足p与q等价的是（        ） A．已知实数x，p：和q： B．已知实数x、y，p：和q： C．已知实数a、b，p：和q： D．已知、、、、、均为非零实数，不等式和不等式的实数解集分别为M和N，p：和q： 【答案】C 【分析】根据题意知，是的充要条件，根据不等式的性质，方程的解法，不等式的性质，一元二次不等式的解法，分别进行判断即可. 【详解】p与q等价的意思就是是的充要条件， 对于A，对于p：若，则或，而对于q：， 故是的必要不充分条件，不符合题意； 对于B，对于p：若，则且， 对于q：若，则或， 故是的充分不必要条件，不符合题意； 对于C，对于p：若，则且不全为零， 而对于q：表示不全为零，则有成立， 故是的充要条件，符合题意； 对于D，已知、、、、、均为非零实数，不等式和不等式的实数解集分别为M和N， 对于q：若，则不一定成立，例如，与，解集都为R，但系数并不成比例. 对于p：由可知相应二次方程的解的情况是一致的，但二次项系数的符号不一定一致，故由推不出， 故是的既不充分也不必要条件，不符合题意. 故选：C 二、多选题 10．（23-24高一上·江苏无锡·期中）使不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】AC 【分析】解出不等式，再逐项判断可得答案. 【详解】对于A，是或的一个充分不必要条件，故A正确； 对于B，既不是或的充分条件也不是必要条件，故B错误； 对于C，或是或的一个充分不必要条件，故C正确； 对于D，既不是或的充分条件也不是必要条件，故D错误. 故选：AC. 11．（23-24高一上·江苏扬州·期中）已知关于的不等式的解集为，则（　　） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 【答案】BCD 【分析】结合一元二次不等式解集的形式，可判断A；用一元二次方程根与系数的关系，用表示，，代入不等式，从而判断BCD. 【详解】对于A，因为关于的不等式的解集为， 所以且，得，故A错误； 对于B，原不等式可化为， 因为，所以，解得，故B正确； 对于C，，故C正确. 对于D，原不等式可化为， 因为，所以，解得，故D正确. 故选：BCD. 12．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 【答案】AB 【分析】一元二次不等式的解集可判断AB：用表示代入可判断CD. 【详解】不等式的解集为， 所以是的两个根，且，故A正确； 对于B，所以， 可得， 所以， 所以不等式的解集是，故B正确； 对于C，因为，， 可得，故C错误； 对于D，因为， 即解，解得，故D错误. 故选：AB. 三、填空题 13．（23-24高一上·江苏·期中）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】且 【详解】先根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到，，然后求出两不等式的公共部分即可． 【分析】∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴且，解得且． 故答案为：且． 14．（23-24高一上·江苏·期中）已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】关于x的不等式的解集为，可得且，由二次不等式的解法，求不等式的解集. 【详解】不等式即，由不等式的解集为， 则有且，且， 令，解得或， 由可知，不等式的解集为. 故答案为： 15．（23-24高一上·江苏常州·期中）的解集为 【答案】 【分析】利用移项, 通分, 转化整式不等式求解即可. 【详解】由, 可得, 即, 所以, 解得, 所以原不等式的解集为. 故答案为: . 16．（23-24高一上·江苏镇江·期中）若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围 . 【答案】 【分析】 根据二次函数的性质，结合配方法进行求解即可. 【详解】， 设， ，该二次函数的对称轴为，开口向下， 当时，， 要想关于的不等式在区间内有解， 只需， 所以实数的取值范围为， 故答案为： 17．（23-24高一上·江苏南京·期中）若命题“，”为假命题，则实数a可取的最小整数值是 . 【答案】 【分析】根据题意得：“，”为真命题，分离参数求解函数最值即可求解. 【详解】因为命题“，”为假命题， 所以“，”为真命题， 则，使得，所以， 因为，，所以当时，有最小值， 所以，所以实数a可取的最小整数值是. 故答案为：. 18．（23-24高一上·江苏·期中）已知，若时，关于x的不等式恒成立，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由题意，根据一次函数与二次函数的性质，整理关于的等式，利用基本不等式求最值即可. 【详解】由，则函数单调递增， 且当时，；当时，. 由在时恒成立， 则当时，恒成立； 当时，恒成立. 故有时，，则有， 则有，当且仅当等号成立. 故答案为：. 四、解答题 19．（23-24高一上·江苏扬州·期中）已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为. (1)求实数的值； (2)若，，，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，转化为即和是方程为的两个实数根，结合，即可求解； （2）由（1）得，则，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）解：由题意，函数的值域为，可得，即， 则不等式，即为的解集为， 即和是方程为的两个实数根， 所以，解得. （2）解：由（1）得，则， 因为且，所以且， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 20．（23-24高一上·江苏南通·期中）解下列不等式并将结果写成集合的形式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）应用一元二次不等式的解法求解；（2）应用分式不等式的求法求解. 【详解】（1）由，得， 即，解得， 则其解集为. （2）由，得，解得或， 则其解集为或. 21．（23-24高一上·江苏镇江·期中）已知函数（其中，）. (1)若不等式的解集为，求的值； (2)当，时，求不等式的解集. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由题意可得和2为方程的两根，且，进而结合韦达定理求解即可； （2）根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】（1）由题意，不等式的解集为， 所以和2为方程的两根，且， 则，解得，， 所以. （2）当时，由， 即， 当时，不等式为，即； 当时，不等式为， 当，即时，或； 当，即时，； 当，即时，或. 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 22．（23-24高一上·江苏无锡·期中）已知集合． (1)若，求； (2)若，设命题，命题．已知命题是命题的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）把代入，解不等式化简集合，再利用补集、交集的定义求解即得. （2）求出集合，利用充分不必要条件的定义，结合集合的包含关系求解即得. 【详解】（1）当时，，或，而， 所以. （2）当时，，由命题是命题的充分不必要条件，得真包含于， 于是，解得， 所以实数的取值范围是. 23．（23-24高一上·江苏无锡·期中）已知命题实数x满足，命题q：实数x满足． (1)若命题p为假命题，求实数x的取值范围 (2)若命题q是命题p的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由命题为假命题，可得，解不等式即可得出答案； （2）设命题对应的集合为，命题对应的集合为，由命题是命题的必要不充分条件，可得是的真子集，列出不等式组即可得出答案. 【详解】（1）命题为假命题， 则，解得， 所以实数x的取值范围为； （2）由题意，命题或， 设其对应的集合为，则或， 命题或， 设其对应的集合为，则或， 因为命题是命题的必要不充分条件， 所以是的真子集， 所以（不同时取等号），解得， 所以实数的取值范围为. 24．（23-24高一上·江苏无锡·期中）已知函数 (1)当，求的最小值； (2)解不等式 【答案】(1)2 (2)答案见解析． 【分析】（1）由基本不等式求最小值； （2）根据的取值分类讨论求解． 【详解】（1）因为，所以， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以； （2）时，不等式为，， 时，不等式化为，时，，不等式解为， 时，不等式无解， 时，不等式解为， ，不等式化为，或， 综上，时，解集为，时解集为，时解集为，时，解集为，时，解集为． 25．（23-24高一上·江苏镇江·期中）（1）解关于的不等式. （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）分类讨论，答案见解析；（2）. 【分析】（1）分类讨论解含参的不等式即得. （2）根据给定条件，分离参数，借助恒成立求出的范围. 【详解】（1）不等式化为：， 当时，解得；当时，不等式无解；当时，解得， 所以当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （2）当时，恒成立，则， 当时，不等式， 依题意，，，而最大值为2，因此， 所以实数的取值范围是. 26．（23-24高一上·江苏·期中）已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数a的取值范围， 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先求集合，，然后根据集合的交补运算可得； （2）根据集合的包含关系求参数即可. 【详解】（1），            当时，， 故或，            所以或 （2）， ， 因为，所以，得 ， 故a的取值范围为 27．（23-24高一上·江苏连云港·期中）设：实数满足：实数满足． (1)若，且均为真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据命题均为真命题，分别求实数满足的范围，即可求得结果. （2）根据是的必要不充分条件得出集合间的包含关系，进而求出实数的取值范围. 【详解】（1）时，由命题，可得得， 由命题，解得， 均为真命题， 取值范围是. （2）设， 则， 得， 因为是的必要不充分条件，所以是的真子集， 则有（等号不同时成立）， 化简得， 所以实数的取值范围是. 28．（23-24高一上·江苏徐州·期中）（1）当时，求不等式的解集； （2）若正数a，b满足，证明：. 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）运用分类讨论思想解一元二次不等式可得解集； （2）运用基本不等式可证明不等式成立. 【详解】（1）因为，所以，即， 因为，所以当，即时，原不等式解集为； 当即时，原不等式解集为R； 当即时，原不等式解集为； 综上所述：当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为R； 当时，原不等式解集为. （2）证明：∵，，， ， 当且仅当，又，即，时等号成立， ∴原不等式成立. 29．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知二次函数满足下列两个条件： ①的解集为；②的最小值为 (1)求的值； (2)求关于的不等式的解集． 【答案】(1)，，； (2)答案见解析. 【分析】（1）根据不等式解集和最值列方程组求解可得； （2）分、、三种情况讨论即可. 【详解】（1）由条件知：， 由①知：的两根为， 所以， 由②结合对称性可知： 联立，解得. （2）因为， 即， 化简得， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 30．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知二次函数，且. (1)求函数的解析式； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）结合条件，代入解析式求解即可； （2）将问题转化为求的解集，讨论的范围即可求解. 【详解】（1）因为，所以，所以， 又因为，所以， 所以，所以，所以， 即. （2）由，可得不等式，即， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 综上，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为； 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$