第3章 03-3.3.1 从函数观点看一元二次方程 3.3.2 从函数观点看一元二次不等式(同步精炼)-（PPT同步课件）【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册（苏教版）

该高中数学课件聚焦“从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式”，通过二次函数图像衔接方程根、函数零点与不等式解集的关系，构建从基础到能力提升的知识支架，帮助学生梳理前后知识点脉络。 其亮点在于题组梯度设计（含基础过关、能力提升）、实际应用案例（如荒地绿地面积、叫花鸡定价）及创新题型（高斯函数结合含参不等式），以数学思维（推理能力）和数学语言（模型意识）培养学生逻辑与应用能力，解析详细易错点突出，助力学生理解，方便教师高效教学。

第3章 不等式 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 3.3　从函数观点看一元二次方程和 一元二次不等式 3.3.1　从函数观点看一元二次方程　 3.3.2　从函数观点看一元二次不等式 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　二次函数的零点及其应用 1.[2026江苏连云港灌南第二中学检测]已知函数y=2x2+px+15的一个零点是-3,则此函数的另一个零点 是( ) A. 　　    B.- 　　    C. 　　    D.      B     解析　　由题意得,方程2x2+px+15=0的一个根为-3. 设方程2x2+px+15=0的另一个根为a,则由根与系数的关系得-3a= ,解得a=- ,所以函数的另一个零点是 - . 第1讲　描述运动的基本概念 解后反思　二次函数的零点是实数,而不是点;二次函数的零点就是对应方程的根,也是二次函数图象 与x轴交点的横坐标. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026江苏南通调研]若二次函数y=-x2+2x+m在区间(1,+∞)上有且仅有一个零点,则实数m的取值范围 是 ( ) A.(-1,+∞)　　     B.[-1,+∞) C.(-∞,-1)　　    D.(-∞,-1]     A     解析　　易知二次函数y=-x2+2x+m的图象开口向下,对称轴方程为x=1,所以要满足函数在区间(1,+∞) 上有且仅有一个零点,需-12+2+m>0,解得m>-1. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2025江苏南通中学月考]已知函数y=(x-a)(x-b)-x的两个零点分别为c,d,则函数y=(x-c)(x-d)+x的零点为 ( ) A.a,b　　    B.-a,-b C.c,d　　    D.-c,-d     A     解析　　令(x-a)(x-b)-x=0,得x2-(a+b+1)x+ab=0. 因为函数y=(x-a)(x-b)-x的两个零点分别为c,d,所以c+d=a+b+1,cd=ab. 令(x-c)(x-d)+x=0,即x2-(c+d-1)x+cd=0,所以x2-(a+b)x+ab=0,即(x-a)·(x-b)=0,解得x=a或x=b. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026江苏奔牛高级中学期中]已知函数y=(x-a)·(x-b)-1(a<b)的两个零点是m,n(m<n),则 ( ) A.a<m<n<b　　    B.m<a<n<b C.a<m<b<n　　    D.m<a<b<n     D     解析　　先作出函数y=(x-a)(x-b)的大致图象,然后将其向下平移1个单位长度,可得函数y=(x-a)(x-b)-1的 大致图象.   由图可知,m<a<b<n. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026山东威海乳山银滩高级中学月考]若函数y=x2+mx+4m2-3的两个零点分别为x1,x2,且满足x1+x2=x1x2, 则m的值为_____. 解析　根据题意,得方程x2+mx+4m2-3=0的两个不相等的实数根分别为x1,x2,则Δ=m2-4(4m2-3)>0, 所以- <m< , 又x1+x2=-m,x1x2=4m2-3,x1+x2=x1x2, 所以-m=4m2-3,即4m2+m-3=0,解得m=-1或m= , 又- <m< , 所以m= . 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　一元二次不等式的解法 6.[2026江苏百校联考]不等式5x2-15x-1<0的解集中整数的个数是 ( ) A.1　　    B.2　　    C.3　　    D.4     D     解析　　解不等式5x2-15x-1<0, 得 <x< . 易知 =2.2< <2.3= , 所以15.4<7 <16.1, 所以-1.1<15-7 <-0.4,30.4<15+7 <31.1, 所以-0.11< <-0.04,3.04< <3.11, 所以不等式的解集中的整数有0,1,2,3,共4个. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[易错题][2025江苏南通海安实验中学月考]不等式 ≤4的解集为 ( ) A. 　　　    B.  C. 　　　    D.      B     解析　　由 ≤4,得4- ≥0,即 ≥0,所以 解得x<2或x≥ ,所以不等式  ≤4的解集为 . 易错警示　解分式不等式,若左(右)侧不为零,则要移项、通分,然后将分式不等式转化为一元二次不等 式,需要注意分母不能为零. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026江苏南京励志高级中学月考]当0<a<1时,关于x的不等式(x-3)[(1-a)x+a-3]<0的解集为( ) A. ∪(3,+∞) B.(-∞,3)∪  C.  D.      C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　因为0<a<1,所以1-a>0,所以不等式可化为(x-3) <0. 易得 -3= = >0,即 >3,所以解不等式得3<x< , 所以原不等式的解集为 . 第1讲　描述运动的基本概念 9.[教材习题改编]解下列关于x的不等式. (1)16x2-8x+1>0; (2)-2x2+x<-1; (3)-1<x2+2x-1≤2; (4)2x- ≤1. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由16x2-8x+1>0,得(4x-1)2>0,解得x≠ ,所以不等式的解集为 . (2)由-2x2+x<-1,得2x2-x-1>0,即(2x+1)(x-1)>0,解得x<- 或x>1, 所以不等式的解集为 x x<- 或x>1 . (3)原不等式等价于  即  由①得x(x+2)>0,所以x<-2或x>0; 由②得(x+3)(x-1)≤0,所以-3≤x≤1. 所以原不等式的解集为{x|-3≤x<-2或0<x≤1}. 第1讲　描述运动的基本概念 (4)由2x- ≤1,得2( )2- -1≤0,即( -1)(2 +1)≤0. 易知2 +1>0,所以 -1≤0,所以0≤x≤1,所以不等式的解集为{x|0≤x≤1}. 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　三个“二次”之间的关系 10.[2026广东广雅中学月考]甲、乙两人分别解关于x的不等式x2+mx+n<0.甲抄错了常数m,得到解集为 (1,6);乙抄错了常数n,得到解集为(1,4).如果甲、乙两人解不等式的过程都是正确的,则原不等式的解集 为 ( ) A.(2,3)　　    B.(1,6)　　     C.(-2,3)　　    D.(-3,-2)     A     解析　　依题意,由甲求得的解集得n=1×6=6,由乙求得的解集得-m=1+4=5,解得m=-5, 于是不等式x2+mx+n<0即x2-5x+6<0,解得2<x<3,所以原不等式的解集为(2,3). 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2026天津第三十二中学月考]若一元二次不等式kx2-2x+k<0的解集为{x|x≠m},则m+k=( ) A.-1　　    B.0　　     C.-2　　    D.2     C     解析　　由题意可得,函数y=kx2-2x+k的图象开口向下,且与x轴只有1个公共点,∴ 解得k=- 1,∴不等式为-x2-2x-1<0,即x2+2x+1>0,其解集为{x|x≠-1},∴m=-1,∴m+k=-2. 第1讲　描述运动的基本概念 12.[多选题][2025江苏扬州仪征精诚高级中学月考]若关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0(a,b,c∈R)的 解集为{x|-2<x<3},则( ) A.a>0　 　    B.bc>0 C.a+b=0　　    D.a-b+c>0     BCD     解析　　对于A,由不等式解集的形式可知a<0,故A错误. 对于B,由题意得一元二次方程ax2+bx+c=0的两根分别为-2和3, 所以 所以b=-a>0,c=-6a>0,所以bc>0,故B正确. 对于C,由B知b=-a,所以a+b=0,故C正确. 对于D,由B中分析得a-b+c=a-(-a)+(-6a)=-4a>0,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 13.一元二次不等式ax2-bx+c>0的解集为{x|1<x<2},则不等式cx2-bx+a<0的解集为 ( ) A. ∪(1,+∞)　　     B.  C. ∪(1,+∞)　　     D.      C     解析　　由题意得a<0,且1,2为方程ax2-bx+c=0的两根,所以1+2= ,1×2= ,所以b=3a,c=2a,所以cx2-bx+a <0可化为2ax2-3ax+a<0,又a<0,所以2x2-3x+1>0,解得x< 或x>1,故不等式cx2-bx+a<0的解集为 ∪ (1,+∞). 第1讲　描述运动的基本概念 题组四　一元二次不等式的恒(能)成立问题 14.[2026江苏无锡天一中学月考]若命题“∃x∈R, x2+x- -a<0”为真命题,则实数a的取值范围是  ( ) A.a≥0　　    B.a≥1　　     C.a>-2　　    D.a≥-2     C     解析　　由题意得,Δ=12-4× × >0,解得a>-2. 第1讲　描述运动的基本概念 15.[2025江苏扬州新华中学月考]关于x的不等式x2-4x-6-a≥0在{x|1≤x≤4}内有解,则实数a的取值范围 是 ( ) A.{a|a≤-2}　　    B.{a|a≥-2} C.{a|a≥-6}　　    D.{a|a≤-6}     D     解析　　不等式x2-4x-6-a≥0在{x|1≤x≤4}内有解等价于在{x|1≤x≤4}内,a≤(x2-4x-6)max,而y=x2-4x-6= (x-2)2-10,当1≤x≤4时,-10≤y≤-6,所以a≤-6. 第1讲　描述运动的基本概念 16.[2026江苏连云港期中]已知k为实数,若关于x的不等式kx2-2x+k≥0恒成立,则k的取值范围为 ( ) A.(-∞,-1]∪[1,+∞)　　     B.[1,+∞) C.[-1,0)∪(0,1] D.(-1,1)     B 解析　　当k=0时,不等式为-2x≥0,解得x≤0,与题意不符; 当k≠0时,由题意得  解得k≥1. 综上,实数k的取值范围为[1,+∞). 第1讲　描述运动的基本概念 题组五　一元二次不等式的实际应用 17.某市有一块三角形荒地,如图所示,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC=200米,现市政府要在荒地中开辟一 块矩形绿地ADEF,其中点D,E,F分别在线段AB,BC,CA上,若要求绿地的面积不少于7 500平方米,则AD 的长度(单位:米)的取值范围是 ( )   A.[40,160] B.[50,150] C.[55,145] D.[60,140]     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　在△ABC中,∠A=90°,AB=AC, 所以△ABC为等腰直角三角形. 设AD=x米(0<x<200), 则EF=FC=AD=x米,FA=(200-x)米. 依题意得x(200-x)≥7 500, 解得50≤x≤150. 故AD的长度(单位:米)的取值范围是[50,150]. 第1讲　描述运动的基本概念 18.[2025江苏常熟期中]常熟“叫花鸡”,又称“富贵鸡”,既是常熟的特产,也是闻名四海的佳肴,以其 鲜美、香喷、酥嫩著称.某店铺制作了300只“叫花鸡”,若每只“叫花鸡”的定价是40元,则均可卖出; 若每只“叫花鸡”在定价40元的基础上提高x(x∈N*)元,则卖出的“叫花鸡”会减少5x只.要使该店铺 卖“叫花鸡”的销售收入超过12 495元,则该店铺的“叫花鸡”每只应定价为 ( ) A.48元　　    B.49元　　    C.51元　　    D.50元     D     解析　　由题意得(40+x)(300-5x)>12 495,化简并整理,得x2-20x+99<0,解得9<x<11,又x∈N*,所以x=10,所 以该店铺的“叫花鸡”每只应定价为40+10=50元. 第1讲　描述运动的基本概念 19.[2025江苏南通如东高级中学月考]为配制一种药液,进行了二次稀释,先在体积为V(单位:升)的桶中 盛满纯药液,然后将桶中药液倒出5升后用水补满,搅拌均匀,再倒出4升后用水补满,搅拌均匀,若此时桶 中纯药液的含量不超过容积的60%,则V的取值范围为__________.     [5,20] 解析　因为第一次将桶中药液倒出5升,所以V≥5. 第一次将桶中药液倒出5升后,桶中还有(V-5)升药液,所以加满水后,药液含量与容积的比值为 . 第二次倒出的4升液体中,药液有 升,所以加满水后,药液含量与容积的比值为 . 由题意得 ≤60%, 化简并整理,得2V2-45V+100≤0, 解得 ≤V≤20.综上,V的取值范围为[5,20]. 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 3.3　从函数观点看一元二次方程和 一元二次不等式 3.3.1　从函数观点看一元二次方程　 3.3.2　从函数观点看一元二次不等式 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　含参数的一元二次不等式的解法 1.[2026湖南长沙雅礼中学质量检测]已知关于x的不等式组 的整数解的集合为{- 2},则实数k的取值范围为 ( ) A.(-3,2)　　     B.[-3,2) C.(-3,2]　　    D.[-3,2]     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　解x2-x-2>0,得x<-1或x>2. 由2x2+(2k+5)x+5k<0, 得(2x+5)(x+k)<0(*). 当-k<- ,即k> 时,由(*)式得-k<x<- ,显然与题意不符; 当-k=- ,即k= 时,由(*)式得x∈⌀,显然与题意不符; 当-k>- ,即k< 时,由(*)式得- <x<-k,此时要使不等式组的整数解的集合为{-2},需满足-2<-k≤3,解得-3 ≤k<2. 综上,实数k的取值范围为[-3,2). 第1讲　描述运动的基本概念 创新题型 创新点　借助高斯函数考查含参一元二次不等式 2.[2026江苏无锡第一中学月考]高斯,著名的数学家、物理学家、天文学家,是近代数学的奠基者之一, 享有“数学王子”之称.函数y=[x]为高斯函数,其中[x]表示不超过实数x的最大整数,如[1.2]=1,[-1.2] =-2.若关于x的不等式[x]2-2[x]-a2+1≤0的解集为{x|0≤x<3},则实数a的取值范围是 ( ) A.[-3,-2)∪(1,2]      B.(-3,-2]∪[1,2) C.[-2,-1)∪(1,2]     D.(-2,-1]∪[1,2)     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　不等式[x]2-2[x]-a2+1≤0, 即([x]+a-1)([x]-a-1)≤0. 解方程([x]+a-1)([x]-a-1)=0, 得[x]=1-a或[x]=1+a. 当1-a=1+a,即a=0时,解不等式得[x]=1,所以1≤x<2,与题意不符. 当1-a<1+a,即a>0时,解不等式得1-a≤[x]≤1+a, 又不等式的解集为{x|0≤x<3}, 所以 解得1≤a<2. 当1+a<1-a,即a<0时,解不等式得1+a≤[x]≤1-a,又不等式的解集为{x|0≤x<3}, 所以 解得-2<a≤-1. 综上,实数a的取值范围为(-2,-1]∪[1,2). 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2025江苏南京东南实验学校期中]已知关于x的不等式(mx-m2-8)(x+3)<0(其中m∈R)的解集为A,若A∩ Z=B,则使得集合B中元素个数最少的m的取值范围是_________.     [2,4] 解析　当m=0时,不等式为-8(x+3)<0,解得x>-3,此时集合B中有无穷多个元素,与题意不符; 当m≠0时,方程(mx-m2-8)(x+3)=0的两个实根为 ,-3. 当m<0时, =m+ =- ≤-4 <-3(当且仅当m=-2 时,等号成立),所以不等式的解集为  ,此时集合B中有无穷多个元素,与题意不符; 当m>0时,-3< ,所以不等式的解集为 ,又 =m+ ≥4 (当且仅当m=2 时,等 号成立),所以集合B中至少含有-2,-1,0,1,2,3,4,5,共8个元素. 综上,集合B中元素个数最少为8,此时m>0且 ≤6,解得2≤m≤4. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　三个“二次”之间的关系 4.[多选题][2025江苏苏州中学月考]若关于x的不等式0≤ax2+bx+c≤2(a>0)的解集为{x|-1≤x≤3},则3a+ b+2c的值可能为( ) A. 　　    B. 　　    C.2　　    D.4     BC     解析　　由题意得,函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴为直线x=1,结合解集的形式可得  解得  所以a+b+c=a-2a-3a+2≥0,解得a≤ ,又a>0,所以0<a≤ ,所以3a+b+2c=3a-2a-6a+4=4-5a∈ . 结合选项知,3a+b+2c的值可能为 ,2. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026河南南阳阶段考试]已知关于x的方程ax2-(a+1)x-2a+3=0有两个不相等的实数根x1,x2,若-2<x1<x2< 3,则实数a的取值范围是( ) A.{a|a>1} B.  C.  D.      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　当a=0时,方程为-x+3=0,只有一个实数根,与题意不符. 当a>0时,需满足   解得a>1. 当a<0时,需满足   第1讲　描述运动的基本概念 解得a<- . 综上,实数a的取值范围为 a a>1或a<-  . 第1讲　描述运动的基本概念 6.[多选题][2026江苏连云港灌南期中]已知关于x的不等式a(x-1)(x+3)+2>0的解集是{x|x1<x<x2},其中x1< x2,则下列结论中正确的是 ( ) A.x1+x2+2=0　　    B.-3<x1<x2<1 C.x2-x1>4　　     D.x1x2+3<0     ACD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　∵a(x-1)(x+3)+2=ax2+2ax-3a+2>0的解集为{x|x1<x<x2}, ∴a<0,且x1,x2是方程ax2+2ax-3a+2=0的两个根,则  ∴x1+x2+2=0,x1x2+3= <0,故A,D正确; 原不等式可化为a(x-1)(x+3)>-2,其解集为{x|x1<x<x2},而函数y=a(x-1)·(x+3)的零点分别为-3,1,且图象开 口向下,作出函数y=a(x-1)(x+3)的图象与直线y=-2,如图,   由图知x1<-3<1<x2,x2-x1>4,故B错误,C正确. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026江苏苏州吴江中学质量检测]若不等式-2≤x2-2ax+a≤-1有唯一解,则实数a的取值集合为 ______________. 解析　易知函数y=x2-2ax+a的图象开口向上,对称轴方程为x=a. 因为不等式-2≤x2-2ax+a≤-1有唯一解, 所以当x=a时,函数y=x2-2ax+a取得最小值-1, 所以a2-2a2+a=-1,解得a= , 故实数a的取值集合为  ,  . 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2025江苏宜兴调研]已知关于x的不等式-1< <1的解集为{x|-2<x<0},则实数a的值为_____.     3 解析　由-1< <1,得 <1, 所以|ax+2|<|x-2|, 两边同时平方,得(ax+2)2<(x-2)2, 化简并整理,得(a2-1)x2+(4a+4)x<0. 因为不等式-1< <1的解集为{x|-2<x<0},所以-2,0是方程(a2-1)x2+(4a+4)x=0的两根,且a2-1>0,所以-2+ 0= ,所以a=3. 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　一元二次不等式中的恒(能)成立问题 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026江苏无锡锡山怀仁中学阶段测试]已知x2+(2-a)x+4-2a≥0对任意的x∈(-2,+∞)恒成立,则实数a的 取值范围是 ( ) A.(-∞,2]　　　　     B.[-6,2] C.(-∞,-6]∪[2,+∞)　　　　    D.[-6,+∞)     A     解析　　易知函数y=x2+(2-a)x+4-2a的图象开口向上,对称轴方程为x= . 当 >-2,即a>-2时,需满足ymin= +(2-a)· +4-2a≥0,即-a2-4a+12≥0,即(a+6)(a-2)≤0,解得-6≤ a≤2,所以-2<a≤2. 当 ≤-2,即a≤-2时,需满足(-2)2+(2-a)×(-2)+4-2a=4≥0,显然恒成立,所以a≤-2. 综上,实数a的取值范围为(-∞,2]. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2026江苏扬州中学检测]若关于x的不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集不为空集,则实数a的取值范围 为 ( ) A.  B.  C.  D.      C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　　①当a2-4=0,即a=±2时, 若a=2,则不等式为4x-1≥0,解得x≥ ,则不等式的解集为 ,不是空集; 若a=-2,则不等式为-1≥0,无解,不符合题意. ②当a2-4≠0,即a≠±2时, 若(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集是空集,则有  解得-2<a< , 则当不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集不为空集时,a<-2或a≥ 且a≠2. 综上,实数a的取值范围为 a a<-2或a≥  . 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2025江苏南京金陵中学月考]已知当x>0时,不等式[(a-1)x-1](x2-2ax-1)≥0恒成立,则实数a=_____. 解析    若a-1≤0,则当x>0时,(a-1)x-1<0,所以x2-2ax-1≤0在x∈(0,+∞)上恒成立,显然不可能恒成立,所以a -1>0,所以当(a-1)x-1>0,即x> 时,x2-2ax-1≥0;当(a-1)x-1<0,即x< 时,x2-2ax-1≤0. 对于方程x2-2ax-1=0,因为Δ=4a2+4>0,所以此方程必有两个不相等的实数根,记为x1,x2,又x1x2=-1,所以此方 程有且仅有一个正实数根,所以 为方程x2-2ax-1=0的正实数根,所以 - -1=0,解得a=0(舍去) 或a= . 第1讲　描述运动的基本概念 12.[2025江苏泰州中学月考]若对任意的x∈R,2x+2≤ax2+bx+c≤2x2-2x+4恒成立,则4a2+b2的最小值为 _____. 2 解析　令x=1,则4≤a+b+c≤4,所以a+b+c=4. 因为∀x∈R,2x+2≤ax2+bx+c恒成立,所以ax2+(b-2)x+c-2≥0恒成立. 当a=0时,要使ax2+(b-2)x+c-2≥0恒成立,则b=2,c=2,此时2x2-2x+4-(ax2+bx+c)=2x2-2x+4-(2x+2)=2(x-1)2≥0 恒成立,所以4a2+b2=0+22=4. 当a≠0时,要使ax2+(b-2)x+c-2≥0恒成立,则a>0,且Δ=(b-2)2-4a(c-2)=(a+c-2)2-4a(c-2)=(a-c+2)2≤0,所以c= a+2,b=2-2a,所以4a2+b2=4a2+(2-2a)2=8a2-8a+4=8 +2≥2,当且仅当a= 时取等号,此时b=1,c= ,所 以2x2-2x+4-(ax2+bx+c)=2x2-2x+4- = x2-3x+ = (x-1)2≥0恒成立. 综上,4a2+b2的最小值为2. 第1讲　描述运动的基本概念 $