期中押题卷03【范围：选修一第1-3章】-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（江苏专用）

2024-2025学年上学期期中押题卷03 高二年级数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第1-3章（苏教版）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．圆的面积是（    ） A． B． C． D． 2．已知两点，，过点的直线与线段AB（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面，用于加热水和水壶食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面的反射后，集中于它的焦点.已知一束平行于轴的入射光线的一束光线与抛物线的交点为，则反射光线所在直线被抛物线截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 4．方程表示椭圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 5．已知直线，若，则（    ） A．或 B． C．或 D． 6．如图，已知分别是双曲线的左、右焦点，现以为圆心作一个通过双曲线中心的圆并且交双曲线于两点．若直线是圆的切线，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 7．已知圆，圆，点M，N分别是圆上的动点，点P为x轴上的动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 8．点P在直线上运动，，则的最大值是（    ） A． B． C．3 D．4 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．关于一次函数，下列结论正确的有（    ） A．当时，函数图象经过第一、二、三象限 B．当时，函数图象经过第一、三、四象限 C．，函数图象必经过第一、三象限 D．，函数在R上恒为减函数 10．设抛物线，为其焦点，为抛物线上一点，则下列结论正确的是（    ） A．抛物线的准线方程是 B．焦点到准线的距离为4 C．若，则的最小值为3 D．以线段为直径的圆与轴相切 11．已知圆，直线.则以下命题正确的有（　　） A．直线l恒过定点 B．y轴被圆C截得的弦长为 C．直线l与圆C恒相交 D．直线l被圆C截得弦长最长时，直线的方程为 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，过作的垂线，垂足为，若（为坐标原点），则 13．直线l经过点，与x轴、y轴分别交于A，B两点，当P为AB中点时， . 14．已知圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则直线的方程为 . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知的三个顶点的坐标分别是点与，直线. (1)求边AC所在直线的倾斜角和边AC上的高所在直线的方程; (2)记为点到直线的距离，试问:是否存在最大值?若存在，求出的最大值:若不存在，说明理由; 16．根据下列条件，分别求满足条件的直线或圆的方程： (1)已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆A相交于，当时，求直线的方程； (2)以为圆心的圆与圆相切，求圆的方程. 17．已知圆和圆. (1)若圆与圆相交，求的取值范围； (2)若直线与圆交于，两点，且，求实数的值； (3)若，设为平面上的点，且满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标. 18．已知椭圆C：的右顶点是，离心率为． (1)求椭圆的标准方程． (2)过点作直线与椭圆交于不同的两点，点关于轴的对称点为，试证明直线恒过点 19．已知抛物线及抛物线，过的焦点的直线与交于，两点，为坐标原点，.过的两条直线，与交于，，，四点，其中，在第一象限，若直线与轴的交点为. (1)求的方程； (2)若，求直线与轴的交点的坐标； (3)是否存在点，使得，，，四点共圆？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年上学期期中押题卷03 高二年级数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第1-3章（苏教版）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．圆的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的方程求圆的半径，结合圆的面积公式可求圆的面积. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为， 所以圆的面积. 故选：D. 2．已知两点，，过点的直线与线段AB（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出直线、的斜率后可求直线的斜率的范围. 【详解】 ，而， 故直线的取值范围为， 故选：A. 3．抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面，用于加热水和水壶食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面的反射后，集中于它的焦点.已知一束平行于轴的入射光线的一束光线与抛物线的交点为，则反射光线所在直线被抛物线截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可求得抛物线方程，再根据光线的反射性质求出反射光线的方程，即可求出反射光线与抛物线的交点坐标，再利用两点间的距离公式即可求得结果. 【详解】因为点在抛物线上，所以，解得， 所以抛物线的方程为，则焦点为， 又因为反射光线经过点及焦点，， 所以反射光线的方程为， 联立抛物线方程得，解得或， 所以反射光线与抛物线的交点为， 由两点间距离公式可得， 所以反射光线所在直线被抛物线截得的弦长为. 故选：C. 4．方程表示椭圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】借助椭圆定义与充要条件的定义计算即可得. 【详解】若表示椭圆，则有， 解得或. 故选：D. 5．已知直线，若，则（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【分析】由条件结合直线平行结论列方程求，并对所得结果进行检验. 【详解】因为，， 所以，所以，解得或， 当时，，，直线重合，不满足要求， 当时，，，直线平行，满足要求， 故选：B. 6．如图，已知分别是双曲线的左、右焦点，现以为圆心作一个通过双曲线中心的圆并且交双曲线于两点．若直线是圆的切线，则该双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由切线性质可得，再结合双曲线定义即可得解. 【详解】因为直线是圆的切线，所以， 由双曲线定义可得， 所以双曲线的离心率. 故选：A 7．已知圆，圆，点M，N分别是圆上的动点，点P为x轴上的动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出圆关于轴的对称圆，结合图形分析即可得. 【详解】记圆关于轴的对称圆为，点关于轴的对称点为， 由题知，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 则， 由图可知， 当且仅当共线时取等号， 因为，所以的最小值为. 故选：B    8．点P在直线上运动，，则的最大值是（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】作出点关于直线的对称点，然后利用两点距离公式求解即可. 【详解】设关于的对称点为， 则，解得，即 故, , 当且仅当，三点共线时，等号成立. 故选：A 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．关于一次函数，下列结论正确的有（    ） A．当时，函数图象经过第一、二、三象限 B．当时，函数图象经过第一、三、四象限 C．，函数图象必经过第一、三象限 D．，函数在R上恒为减函数 【答案】ABC 【分析】根据的正负判断函数的单调性及所过象限. 【详解】若，，则函数图象经过第一、二、三象限，A正确； 若，，则函数图象经过第一、三、四象限，B正确； 若，则函数图象必经过第一、三象限，且函数在R上恒为增函数，C正确，D错误． 故选：ABC 10．设抛物线，为其焦点，为抛物线上一点，则下列结论正确的是（    ） A．抛物线的准线方程是 B．焦点到准线的距离为4 C．若，则的最小值为3 D．以线段为直径的圆与轴相切 【答案】ACD 【分析】选项A，选项B，由抛物线概念即可判断，选项C： P为动点，根据几何关系，当P、A、F三点共线时取最小值；选项D：求出圆的半径与圆心，比较圆心横坐标和半径即可知是否与y轴相切﹒ 【详解】A：抛物线的准线为，故A正确； B：焦点到准线距离为，故B错误； C：当横坐标为2时抛物线上位于第一象限内的点为，此点位于点的上面，故A在抛物线内部， 当直线垂直准线时 取最小值，即为，故C正确； D：根据题意，可得抛物线的焦点为， 设的中点为，可得， 由抛物线的定义，得，则，即点到轴的距离等于以为直径的圆的半径， 因此，以为直径的圆与轴相切，故D正确﹒ 故选：ACD 11．已知圆，直线.则以下命题正确的有（　　） A．直线l恒过定点 B．y轴被圆C截得的弦长为 C．直线l与圆C恒相交 D．直线l被圆C截得弦长最长时，直线的方程为 【答案】CD 【分析】根据直线方程求出定点坐标即可判断选项A；求出圆和y轴的交点坐标，即可判断选项B；利用定点和圆的位置关系即可判断选项C；当弦长最长时，直线过圆心从而判断选项D. 【详解】对于A，直线，即， 由，解得，故直线过定点，故A错误； 对于B, 圆，当时，，故y轴被圆C截得的弦长为，故B错误； 对于C，直线过定点，,故点在圆内，则直线l与圆C恒相交，故C正确； 对于D，当直线l被圆C截得弦长最长时，直线过圆心，则，解得， 故直线方程为：，即，故D正确. 故选：CD 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，过作的垂线，垂足为，若（为坐标原点），则 【答案】 【分析】根据抛物线的定义可知：，则，可知点在线段的中垂线上，则，即可求出抛物线方程，从而求出点的坐标. 【详解】因为，所以是以为顶点的等腰三角形， 则，，即，则， 又，. 故答案为：. 13．直线l经过点，与x轴、y轴分别交于A，B两点，当P为AB中点时， . 【答案】 【分析】设，，利用中点坐标公式即可得出a，b， 【详解】设，， ∵P为AB中点，∴， 解得，， 即，， 所以 故答案为：. 14．已知圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】由二级结论：若点在圆外，过点引圆的两条切线，切点为，则切点弦(两切点的连线段)所在直线的方程为（圆的方程为），代入即可的直线的方程. 【详解】由题意，切点弦所在直线的方程为: ， 化简得：. 故答案为：. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知的三个顶点的坐标分别是点与，直线. (1)求边AC所在直线的倾斜角和边AC上的高所在直线的方程; (2)记为点到直线的距离，试问:是否存在最大值?若存在，求出的最大值:若不存在，说明理由; 【答案】(1)； (2)存在最大值； 【分析】（1）求出直线AC的斜率，根据即可求出倾斜角，由直线点斜式方程即可求出直线的方程； （2）根据直线只含一个参数，可以将其方程以参数进行整理，然后运用恒等式，求出定直线及交点，点到直线的距离为，则，再探究是否存在最大值. 【详解】（1）因为，所以， 所以直线的倾斜角为， 因为，所以， 所以直线的方程为：，化简得：. （2）将直线变形可得：， 对于取任何实数时，此方程恒成立，则 得， 即直线恒过两直线及的交点， 由图象可知，对于任何一条过点的直线，点到它的距离不超过，即．      又因为过点且垂直于的直线方程是， 但无论时，直线表示为， 此时距离最大．所以，存在最大值． 【点睛】本题考查了定点到动直线的距离的最大值问题，求出直线恒过的定点是解决问题的关键，还考查了数形形合思想，还要注意检验取得最值的条件. 16．根据下列条件，分别求满足条件的直线或圆的方程： (1)已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆A相交于，当时，求直线的方程； (2)以为圆心的圆与圆相切，求圆的方程. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）分直线 l 的斜率存在和斜率不存在两种情况讨论，然后利用弦长公式求解即可； （2）分外切、内切两种情况，利用圆心之间的距离和半径之间的关系求解即可. 【详解】（1）易知到直线的距离为圆A半径r， 所以，则圆A方程为， 过A做,由垂径定理可知，且， 在中由勾股定理易知. 当动直线斜率不存在时，设直线的方程为， 经检验圆心到直线的距离为，且根据勾股定理可知， 显然合题意， 当动直线斜率存在时，过点，设方程为：， 由到距离为知得， 代入解之可得， 所以或为所求方程． （2）两圆的圆心之间的距离为. 当两圆外切时，圆的半径为； 当两圆内切时，圆的半径为. ∴圆的方程为或. 故答案为：或. 17．已知圆和圆. (1)若圆与圆相交，求的取值范围； (2)若直线与圆交于，两点，且，求实数的值； (3)若，设为平面上的点，且满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由圆的一般方程得到圆的标准方程进而得到圆心和半径，根据两圆相交得到，进而得到的取值范围； （2）设，，联立圆与直线的方程，由有两个交点得到的取值范围，由韦达定理得到和，代入，解出的值； （3）设，由分别写出与的方程，根据弦长和半径相等得到圆心到直线的距离相等，再根据有无数多条直线，得到关于的方程有无数多组解，从而解出，即得到的坐标. 【详解】（1）圆的标准方程为，则圆心，， 圆的标准方程为，则圆心， ， 圆与圆相交，，即，解得， 的取值范围. （2）已知直线与圆交于，两点，设，， 联立，得， 所以，得 ， 解得，因为，所以. （3） 设点坐标为，直线、的方程分别为：，， 即：，， 因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等且两圆半径相等， 由垂径定理得，圆心到直线与直线的距离相等． 故有：， 化简得：或， 因为存在过点的无穷多对互相垂直的直线和， 所以关于的方程有无穷多解，从而有或， 解得或， 所以点P坐标为或． 18．已知椭圆C：的右顶点是，离心率为． (1)求椭圆的标准方程． (2)过点作直线与椭圆交于不同的两点，点关于轴的对称点为，试证明直线恒过点 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由条件列关于的方程，解方程可得，由此可得椭圆的方程； （2）方法一：设直线的方程为：，与椭圆方程联立，设，，利用韦达定理求出直线的方程由此可得结论． 方法二：设直线的方程为：，与椭圆方程联立，设，，利用韦达定理求出直线的方程由此可得结论． 【详解】（1）由右顶点是，得， 又离心率，所以， 所以， 所以椭圆的标准方程为． （2）证明设，，显然直线l的斜率存在．    直线的方程为， 联立方程组 消去得， 由，得， 所以，． 因为点， 所以直线的方程为． 又， 所以直线的方程可化为， 即， 所以直线恒过点． （方法二）设，，直线的方程为， 联立方程组， 消去得， 由，得或， 所以，． 因为点， 则直线的方程为． 又， 所以直线的方程可化为 ， 此时直线恒过点， 当直线的斜率为时，直线的方程为，也过点． 综上，直线AD恒过点． 【点睛】方法点睛： （1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去(或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． （2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为或不存在等特殊情形． 19．已知抛物线及抛物线，过的焦点的直线与交于，两点，为坐标原点，.过的两条直线，与交于，，，四点，其中，在第一象限，若直线与轴的交点为. (1)求的方程； (2)若，求直线与轴的交点的坐标； (3)是否存在点，使得，，，四点共圆？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）设直线的方程为，，，联立直线与抛物线的方程，消元、列出韦达定理，依题意可得，即可求出的值，从而得解； （2）设直线的方程为，，，联立直线与抛物线的方程，消元、列出韦达定理，设，，即可表示出的方程，令求出即可得解； （3）结合（2）及四点共圆的性质得到，即可求出，再由三点共线，求出. 【详解】（1）依题意可得，设，，则，， 设直线的方程为，由，得， 显然，所以，， 因为，所以， 即，所以，解得或（舍去）， 所以的方程为； （2）由（1）可得，因为过点，由条件可得的斜率不为， 设直线的方程为，，， 由，得，所以，所以， 设，，同理可得， 因为直线过点， 所以，由，，即，所以， 直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 令，得，即， 即，解得， 所以直线与轴的交点为. （3）由（2）可得，， 若，，，四点共圆，则有， 即， 即，所以，整理得， 因为，所以，由，即， 即，解得. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$