期中押题卷02【范围：选修一第1-3章】-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（江苏专用）

2024-2025学年上学期期中押题卷02 高二年级数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第1-3章（苏教版）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知圆，圆，两圆的公共弦所在直线方程是（  ） A． B． C． D． 2．已知点，，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知直线与直线互相垂直，交点坐标为，则的值为（    ） A．20 B． C．0 D．24 4．已知点，，，则外接圆的方程是（    ）． A． B． C． D． 5．圆心为，且与轴相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 6．已知直线与直线交于，则原点到直线距离的最大值为（    ） A．2 B． C． D．1 7．已知椭圆的蒙日圆方程为，现有椭圆的蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与该蒙日圆分别交于两点，若面积的最大值为34，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．已知抛物线C：和圆，点是抛物线的焦点，圆上的两点满足，其中是坐标原点，动点在圆上运动，则到直线的最大距离为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．下列结论正确的是（    ） A．过点作圆的切线，则切线方程为 B．已知，为坐标原点，点是圆外一点，则直线与圆相交 C．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为 D．若圆：（）上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是 10．已知点，且点在圆上，为圆心，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．当最大时，的面积为2 C．的最大值为 D．的最大值为 11．已知直线，下列选项正确的是（    ） A．过点且垂直于直线的直线方程为 B．直线过定点 C．当时， D．当时， 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．，与直线平行，则直线与的距离为 . 13．已知圆，为直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，当四边形的面积最小时，则直线的方程为 . 14．已知O为坐标原点，F为椭圆C：的右焦点，若C上存在一点P，使得为等边三角形，则椭圆C的离心率为 . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 15．判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 16．已知直线：与抛物线Γ：交于点A，B． (1)若直线的倾斜角为45°，且过抛物线Γ的焦点F，求直线的方程； (2)若，且，证明：直线l过定点． 17．已知圆O：与圆E：内切． (1)直线l：与圆O交于M，N两点，若，求k的值； (2)过点E作倾斜角互补的两条直线分别与圆O相交，所得的弦为AB和CD，若，求实数的最大值． 18．在平面直角坐标系中，已知双曲线， (1)过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及轴围成的三角形的面积； (2)斜率为1的直线与交于P、Q两点，若与圆相切，求证OPOQ (3)椭圆：，若M，N分别是、上的动点，且OMON，求证：O到直线MN的距离为定值. 19．在平面直角坐标系中，动点在抛物线上运动，点在轴上的射影为，动点满足. (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点作直线与曲线顺次交于、两点，过点作斜率为1的直线与曲线的另一个交点为点，求证：直线过定点. 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年上学期期中押题卷02 高二年级数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第1-3章（苏教版）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知圆，圆，两圆的公共弦所在直线方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两圆方程作差即可. 【详解】由圆，圆， 两式作差得，，即， 所以两圆的公共弦所在直线方程是. 故选：B. 2．已知点，，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出直线、的斜率，然后结合图象即可写出答案． 【详解】解：记为点，直线的斜率，直线的斜率， 因为直线l过点，且与线段相交， 结合图象，可得直线的斜率的取值范围是． 故选：B． 3．已知直线与直线互相垂直，交点坐标为，则的值为（    ） A．20 B． C．0 D．24 【答案】B 【分析】根据两直线垂直可求出的值，将公共点的坐标代入直线的方程，可得出的值，再将公共点的坐标代入直线的方程，可得出的值，由此可得出的值. 【详解】已知直线的斜率为，直线的斜率为． 又两直线垂直，则，解得． ，即， 将交点代入直线的方程中，得． 将交点代入直线的方程中，得． 所以，． 故选：B． 4．已知点，，，则外接圆的方程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件可得是直角三角形，求出圆的圆心与半径，写出圆的标准方程即可． 【详解】由题 得是直角三角形，且， 所以圆的半径为，圆心为， 所以外接圆的方程为. 故选：B. 5．圆心为，且与轴相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆心坐标排除AB，再由相切性质得半径可得选项. 【详解】由题意，圆心坐标为，可知AB错误； 设圆心半径为，且圆心到轴的距离为， 则由圆与轴相切可得， 故圆的方程为：. 故选：C. 6．已知直线与直线交于，则原点到直线距离的最大值为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【分析】由交点在两条直线，代入点的坐标得的关系，再将关系变形代入点到直线的距离公式消元求最值可得. 【详解】因为两直线交于， 则，即，且，则； 由原点到直线的距离 由， 则，当且仅当时，取最大值，此时. 即两直线重合时，原点到直线的距离最大. 故选：B. 7．已知椭圆的蒙日圆方程为，现有椭圆的蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与该蒙日圆分别交于两点，若面积的最大值为34，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意先求蒙日圆的半径，再由可得直径，又利用基本不等式的求得的最大值，进而由面积的最大值为34可得的值. 【详解】由题意可知椭圆的蒙日圆的半径为，因为， 所以为蒙日圆的直径，所以， 所以， 因为， 当且仅当时，等号成立， 所以面积的最大值为， 所以，则. 故选：A. 8．已知抛物线C：和圆，点是抛物线的焦点，圆上的两点满足，其中是坐标原点，动点在圆上运动，则到直线的最大距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件化简可知点在圆N:上，所以是圆与圆的公共弦，再求出的方程，数形结合可求到直线的最大距离. 【详解】抛物线的焦点，圆，其圆心，半径． 设点是满足的任意一点，则， 化简得，结合，所以是圆与圆的公共弦， 将圆与圆的方程相减得，直线的方程为， 取线段的中点，连接，则， 则， 故选：A． 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．下列结论正确的是（    ） A．过点作圆的切线，则切线方程为 B．已知，为坐标原点，点是圆外一点，则直线与圆相交 C．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为 D．若圆：（）上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是 【答案】BD 【分析】对于A，分过点的直线斜率不存在与存在两种情况求解即可判断；对于B，根据点在圆外得到不等关系，利于圆心到直线的距离与半径的关系进行判断即可；对于C，根据条件建立不等式，解出即可；对于D，问题转化为两个圆相交，列出不等式组，解出即可. 【详解】对于A，当过点的直线斜率不存在时，直线方程为， 圆心到直线的距离为，所以直线与圆相切， 当过点的直线斜率不存在时，设切线方程为，即， 所以，解得，即切线方程为， 综上所述：则切线方程为或，故A错误； 对于B，因为点是圆外一点， 所以，又直线的方程是， 所以圆心到直线的距离，故与圆相交，则B正确； 对于C，即，则其过定点， 由点和，，可得， 直线和以，为端点的线段相交， 则满足或，即或，所以C错误； 对于D，依题可知以为圆心，1为半径的圆与圆相交， 因为圆的圆心为，半径为， 所以，又， 所以，解得，故D正确. 故选：BD. 10．已知点，且点在圆上，为圆心，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．当最大时，的面积为2 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】根据几何位置关系，结合两点之间距离公式即可判断A；当与圆相切时，最大，进而求得，即可判断B；当，，三点共线，且在，之间时，最大，即可判断C；当为射线与圆的交点时，取得最大值，即可判断D． 【详解】因为，所以点在圆外，点在圆内，如图所示， 对于A，当为线段与圆的交点时，即，此时取得最小值为，故A正确； 对于B，由题知，点在圆内，当与圆相切时，最大，此时与重合，此时，故B错误； 对于C，因为点在圆上，为圆心，则，所以当最大时，也最大， 当，，三点共线，且在，之间时，其最大值为，故C正确； 对于D，当为射线与圆的交点时，取得最大值，故D正确． 故选：ACD．    11．已知直线，下列选项正确的是（    ） A．过点且垂直于直线的直线方程为 B．直线过定点 C．当时， D．当时， 【答案】AD 【分析】利用垂直关系求出直线方程判断A；求出直线所过的定点判断B；求出直线斜率判断垂直或平行判断CD. 【详解】对于A，设垂直于直线的直线方程为， 将点代入得，因此所求直线方程为，A正确； 对于B，直线的方程化为：， 由，得，因此直线过定点，B错误； 对于C，当时，直线的斜率为，而直线的斜率为，，与不垂直，C错误； 对于D，当时，直线的斜率为，等于直线的斜率，又直线在上的截距分别为，因此，D正确. 故选：AD 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．，与直线平行，则直线与的距离为 . 【答案】 【分析】根据两直线平行的条件列出方程即可求出m的值，求出直线的方程，再由两平行线间的距离公式求出直线与的距离． 【详解】因为//，所以，解得， ， ， 由两平行直线的距离公式可得：， 故答案为： 13．已知圆，为直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，当四边形的面积最小时，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】根据题设条件得到时，最小，从而得到的方程为，进而得到，即可求出结果. 【详解】由，得到，所以圆心，半径， 如图，， 所以四边形的面积， 所以当最小时，也最小，此时，， 故的方程为，即， 联立解得：，，即， 所以直线的方程为， 化简得：. 故答案为：. 14．已知O为坐标原点，F为椭圆C：的右焦点，若C上存在一点P，使得为等边三角形，则椭圆C的离心率为 . 【答案】/ 【分析】由条件可知为直角三角形，结合椭圆定义确定关系，由此可求离心率. 【详解】取椭圆的左焦点，连结， 由为等边三角形，则， 可知为直角三角形，且， 设，则，， 可得，则， 所以椭圆的离心率是. 故答案为：. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 15．判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【答案】(1) (2)相交，交点为 (3) (4)重合 【分析】根据两直线的斜率关系，以及截距，即可结合两直线的位置关系求解. 【详解】（1）设两直线，的斜率分别为，，在轴上的截距分别为，． 因为，，，，所以． （2）因为，，，所以与相交． ，解得，所以交点为. （3）由两直线的方程可知，轴，轴，且两直线在轴上的截距不相等，所以． （4），因为，，所以与重合． 16．已知直线：与抛物线Γ：交于点A，B． (1)若直线的倾斜角为45°，且过抛物线Γ的焦点F，求直线的方程； (2)若，且，证明：直线l过定点． 【答案】(1)； (2)直线l过定点，证明见解析. 【分析】（1）根据直线的倾斜角为45°可以确定直线的斜率为1，抛物线Γ：的焦点为，根据点斜式可求得直线的方程； （2）设，，联立消去，根据韦达定理可知的值，在求出，在用向量乘法运算法则可求解. 【详解】（1）焦点F(2,0)，斜率，故直线的方程为； （2）设，，联立消去x， 整理得，由可知且， 根据韦达定理可知，， 由，即，得， 即，直线：， 故直线过定点. 17．已知圆O：与圆E：内切． (1)直线l：与圆O交于M，N两点，若，求k的值； (2)过点E作倾斜角互补的两条直线分别与圆O相交，所得的弦为AB和CD，若，求实数的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两圆内切得到，联立与，得到两根之和，两根之积，根据得到方程，求出的值； （2）先考虑直线斜率不存在时，，当直线或直线的斜率为0时，不满足倾斜角互补，直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程，利用垂径定理得到求出，表达出，利用基本不等式求出的最大值. 【详解】（1）由题意得， ，故，圆E的半径为， 由于，故在圆E上， 故，所以，其中，解得， 与联立得， 恒成立， 设，则， 故， ，解得； （2）当直线斜率不存在时，此时直线的斜率也不存在， 此时，， 当直线或直线的斜率为0时，不满足倾斜角互补， 当直线的斜率存在且不为0时，设直线：， 圆心到直线的距离， 故， 由于直线的方程为， 故， 则 ， 当时，， 当且仅当，时，等号成立， 当时，， 当且仅当，时，等号成立， 综上，. 【点睛】方法点睛：圆中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 18．在平面直角坐标系中，已知双曲线， (1)过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及轴围成的三角形的面积； (2)斜率为1的直线与交于P、Q两点，若与圆相切，求证OPOQ (3)椭圆：，若M，N分别是、上的动点，且OMON，求证：O到直线MN的距离为定值. 【答案】(1) (2).证明见解析 (3)定值，证明见解析 【分析】（1）求出渐近线方程，得到交点坐标，从而得到围成的三角形的面积； （2）设直线，根据直线与圆相切，得到，联立与得到两根之和，两根之积，计算出，得到； （3）考虑直线⊥轴时，得到到直线的距离为，再考虑当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，直线的方程为，分别联立椭圆和双曲线，得到，，计算出到直线的距离为. 【详解】（1）由题意得，的左顶点坐标为，渐近线方程为， 过点作的平行线，方程为， 设该平行线与交于点，与轴交于点， 联立，解得，故， 中，令得，故， 则围成的三角形为，其面积为； （2）设直线， ∵直线与圆相切， ∴，故， 联立与得， ， 设，则， ， 所以， 故OPOQ. （3）当直线⊥轴时，，， 则，故到直线的距离为， 当直线不垂直于轴时，设直线的方程为， 则直线的方程为， 由，得，所以， 同理可得， 设O到直线的距离为，因为ON， 所以， 由于， 故 ， 所以， 综上，O到直线的距离是定值. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中探究性问题解题策略， （1）先假设存在或结论成立，然后引进未知数，参数并建立有关未知数，参数的等量关系，若能求出相应的量，则表示存在或结论成立，否则表示不存在或结论不成立； （2）在假设存在或结论成立的前提下，利用特殊情况作出猜想，然后加以验证也可. 19．在平面直角坐标系中，动点在抛物线上运动，点在轴上的射影为，动点满足. (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点作直线与曲线顺次交于、两点，过点作斜率为1的直线与曲线的另一个交点为点，求证：直线过定点. 【答案】(1)； (2)证明见详解. 【分析】（1）根据向量关系得点的坐标关系，利用相关点法可得； （2）设方程为，的方程为，联立抛物线方程，利用韦达定理可得，代入方程化简即可得证. 【详解】（1）设，则，则， 又，所以，得， 因为点在抛物线上，所以， 所以动点的轨迹方程为 （2）显然直线斜率存在且不为0，设方程为， 由得，， 设，则， 所以①， 直线的方程为， 由得，， 设，则②， 由①②得，整理得③， 若直线斜率不存在，则，代入③可得， 则，所以直线方程为； 若直线斜率存在，则， 则直线方程为，即， 将③代入得， 即，故直线斜率存在时过定点. 综上，直线过定点. 【点睛】关键点睛：第二问关键在于设出方程，联立抛物线方程，利用韦达定理消去点坐标，得到坐标关系，根据此关系代入方程整理即可得证. 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$