期中押题卷01【范围：选修一第1-3章】-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（江苏专用）

2024-2025学年上学期期中押题卷01 高二年级数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第1-3章（苏教版）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在轴与轴上截距分别为的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．若椭圆：的蒙日圆为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．若两定点，，动点M满足，则M点的轨迹围成区域的面积为（   ） A． B． C． D． 4．已知两条直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．双曲线的蒙日圆的面积为（    ） A． B． C． D． 6．已知直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知：，：，则两圆的位置关系为（    ） A．相切 B．外离 C．相交 D．内含 8．已知：，，，，，一束光线从点出发射到上的点经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点）.则斜率的取值范围是（　　）    A． B． C． D． 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．双曲线C：的左右顶点分别为A、B，P、Q两点在C上，且关于x轴对称（    ） A．以C的焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程为 B．双曲线C的离心率为 C．直线与的斜率之积为 D．双曲线C的焦点到渐近线的距离为2 10．已知直线：及直线：，则下列说法正确的是（    ） A．若，则或 B．存在a，使得 C．若，的交点横坐标为，则或1 D．若且，则一定经过第一象限 11．已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为5 B．的最大值为 C．直线与圆相切时， D．圆心到直线的距离最大为4 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．若点在圆（为常数）外，则实数的可能取值为 . 13．已知直线过点，且分别与轴､轴的正半轴交于两点，为坐标原点，则的最小值为 . 14．在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上且在第一象限内，，在轴上任取一点，直线与直线相交于点，则的最大值为 . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 15．已知直线过定点． (1)求过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程； (2)若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，的面积为（为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程． 16．已知半径为 的圆C的圆心在 轴的正半轴上，且直线与圆相切． (1)求圆的标准方程． (2)若 是圆C上任意一点，求的取值范围 (3)已知，为圆上任意一点，试问在 轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 17．已知抛物线经过点． (1)求抛物线C的方程及其准线方程； (2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点． 18．已知双曲线和椭圆有公共焦点，且离心率． (1)求双曲线的方程； (2)过点作两条相互垂直的直线分别交双曲线于不同于点的两点，求点到直线距离的最大值． 19．人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）． (1)若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离； (2)若点，，求的最大值； (3)已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年上学期期中押题卷01 高二年级数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第1-3章（苏教版）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在轴与轴上截距分别为的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得出直线经过的点，利用直线斜率公式求得直线斜率，继而得到直线的倾斜角. 【详解】依题意，直线经过点， 则直线的斜率为, 故直线的倾斜角为. 故选：D. 2．若椭圆：的蒙日圆为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据蒙日圆的概念，可知过椭圆右顶点和上顶点的切线的交点在蒙日圆上，坐标满足圆的方程，从而得到关于的方程进行求解. 【详解】如图，分别与椭圆相切，显然.    所以点在蒙日圆上，所以， 所以，即，所以椭圆的离心率. 故选：D. 3．若两定点，，动点M满足，则M点的轨迹围成区域的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件求出动点M的轨迹方程，再确定轨迹即可计算作答. 【详解】设，依题意，，化简整理得：， 因此，动点M的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆， 所以动点M的轨迹围成区域的面积为. 故选：D 4．已知两条直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由两直线平行求出，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】当时，，则， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 5．双曲线的蒙日圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设和过点的双曲线切线方程为，再将其与双曲线方程联立，利用判别式等于0和和韦达定理即可得到答案. 【详解】不妨设，则过点的双曲线切线方程为存在且不为零， 联立，消去得， 所以，整理得 可知为关于的方程的两个根，且， 即，整理得，即点的轨迹方程为， 即双曲线的蒙日圆方程为， 半径为面积为. 故选：A. 6．已知直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到直线过定点，以及曲线，画出直线与曲线的图象，结合直线与圆相切和图象，即可求解. 【详解】由直线过定点， 又由曲线，可得， 作出曲线与直线的图象，如图所示， 因为直线，可得， 又由，解得， 若直线与曲线有公共点，则， 即实数的取值范围为. 故选：B. 7．已知：，：，则两圆的位置关系为（    ） A．相切 B．外离 C．相交 D．内含 【答案】C 【分析】先将圆化为标准方程，从而求出圆心距，再根据圆心距与两圆半径的关系，即可得解. 【详解】因为可化为,则，半径， 因为可化为， 则，半径， 则，因为，所以两圆相交. 故选：C. 8．已知：，，，，，一束光线从点出发射到上的点经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点）.则斜率的取值范围是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先作出关于的对称点，再作关于的对称点，因为光线从点出发射到上的点经反射后，入射光线和反射光线都经过关于直线的对称点点，又因为再经反射，反射光线经过关于直线的对称点，所以只需连接､交与点，连接､分别交为点､，则，之间即为点的变动范围.再求出直线，的斜率即可. 【详解】∵，，， ∴直线方程为，直线方程为， 如图，作关于的对称点， ∵，∴，再作关于的对称点，则， 连接､交与点，则直线ME方程为，∴， 连接､分别交为点､， 则直线方程为，直线方程为， ∴，. 连接，，则，之间即为点的变动范围.    ∵直线方程为，直线FH的斜率为， ∴斜率的范围为. 故选：D. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．双曲线C：的左右顶点分别为A、B，P、Q两点在C上，且关于x轴对称（    ） A．以C的焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程为 B．双曲线C的离心率为 C．直线与的斜率之积为 D．双曲线C的焦点到渐近线的距离为2 【答案】BCD 【分析】对于A，直接写出符合描述的椭圆方程，对比即可判断；对于B，由离心率公式即可判断；对于C，直接根据斜率公式验算即可；对于D，根据对称性，只需任取一个焦点和一条渐近线，结合点到直线的距离公式即可判断. 【详解】对于A，C的焦点和顶点分别为， 从而以C的焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程为，故A错误； 对于B，双曲线C的离心率为，故B正确； 对于C，显然异于，不妨设， 注意到都在双曲线上面，且， 所以直线与的斜率之积为，故C正确； 对于D，双曲线C：的一个焦点、一条渐近线可以分别是，， 而点到直线的距离是，故D正确. 故选：BCD. 10．已知直线：及直线：，则下列说法正确的是（    ） A．若，则或 B．存在a，使得 C．若，的交点横坐标为，则或1 D．若且，则一定经过第一象限 【答案】ACD 【分析】结合直线平行、垂直、相交的性质逐项判断即可得. 【详解】对A：，一定不重合，若，则，解得或，故A正确； 对B：若，则，整理得，， 此方程无解，故不存在a，使得，故B错误； 对C：若，的交点横坐标为，则交点为，代入， 得，所以或1，故C正确； 对D：若且，则的斜率存在且不为零，在x轴上的截距， 所以一定经过第一象限，故D正确． 故选：ACD. 11．已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为5 B．的最大值为 C．直线与圆相切时， D．圆心到直线的距离最大为4 【答案】BC 【分析】根据直线和圆的位置关系、点和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】圆的方程可化为，所以圆的圆心为，半径. ，是圆上的点， 所以的最大值为，A选项错误. 如图所示，当直线的斜率大于零且与圆相切时，最大， 此时，且，B选项正确. 直线，即，过定点， 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离为， 即，解得，所以C选项正确. 圆心到直线的距离， 当时，， 当时，，所以D选项错误. 故选：BC 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．若点在圆（为常数）外，则实数的可能取值为 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】由点A在圆外代入圆的方程可得，再由圆的一般方程中可得，最后求交集即可. 【详解】因为点在圆外， 则，解得， 又由圆的一般方程，可得， 即，即或， 所以实数的范围为，例如符合题意. 故答案为：（答案不唯一）. 13．已知直线过点，且分别与轴､轴的正半轴交于两点，为坐标原点，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】根据题意可知直线的斜率存在且，分别解出两点的坐标，表示出的表达式由基本不等式即可求得其取最小值即可. 【详解】由题意知直线的斜率存在．设直线的斜率为，则， 直线的方程为，则， 所以, 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 故答案为：4. 14．在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上且在第一象限内，，在轴上任取一点，直线与直线相交于点，则的最大值为 . 【答案】 【分析】设，根据得到，联立方程组解出点坐标，再设点坐标为，将直线与直线联立解得点坐标，由结合二次函数得性质即可求解. 【详解】由椭圆得左，右焦点分别为，，    设， 因为，所以，整理得， 又因为，联立方程组，解得，， 所以点A点坐标为， 设点坐标为，因为直线斜率不为，设直线方程为， 将，代入解得直线方程为， 再将直线与直线联立解得点坐标为， 所以， 当时，取最大值，最大值为， 故答案为： 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 15．已知直线过定点． (1)求过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程； (2)若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，的面积为（为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程． 【答案】(1)或或 (2)最小值为24，直线 【分析】（1）求出直线过的定点，分，和两种情况，当，时，设的方程为，根据点在直线上求出直线方程，若，求出直线方程，若，求出直线方程，当，根据直线过原点，且过点求出直线的方程； （2）求出直线交轴的正半轴的点，交轴的负半轴的点，求出的面积，根据基本不等式求出的最小值时的值. 【详解】（1）直线，则直线过定点， ①当，时，设的方程为． 点在直线上，． 若，则， 直线的方程为， 若，则，， 直线的方程为； ②当时，直线过原点，且过点， 直线的方程为， 综上所述，所求直线的方程为或或； （2）令，则；令，则， 直线交轴的正半轴于点，交轴的负半轴于点，， 为坐标原点，设的面积为， 则， 当且仅当时，即时取等号， 故的最小值为24，此时， 直线． 16．已知半径为 的圆C的圆心在 轴的正半轴上，且直线与圆相切． (1)求圆的标准方程． (2)若 是圆C上任意一点，求的取值范围 (3)已知，为圆上任意一点，试问在 轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）由题意圆心坐标为，可设出圆标准方程，根据圆心到直线的距离等于半径，从而可得出答案. （2）若 是圆C上任意一点，则表示圆上任意一点到点距离的平方，画出图可知最大值为，最小值为，然后求解取值范围即可. （3）设，，分别表示出，由为定值得出答案. 【详解】（1）依题可设圆心坐标为， 则圆的方程为， 因为直线与圆相切， 所以点到直线的距离， 因为，所以，故圆的标准方程为. （2） 若 是圆C上任意一点， 则表示圆上任意一点到点距离的平方， 所以的最大值为， 的最小值为： ， 所以的取值范围为： （3）假设存在定点，设， ， 则， 则，当，即，（舍去）时，为定值，     且定值为，故存在定点，且的坐标为. 17．已知抛物线经过点． (1)求抛物线C的方程及其准线方程； (2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点． 【答案】(1)抛物线方程为，准线方程为 (2)证明见解析 【分析】（1）由题意结合点的坐标可得抛物线方程，进一步可得准线方程； （2）联立准线方程和抛物线方程，结合韦达定理可得圆心坐标和圆的半径，从而确定圆的方程，最后令即可证得题中的结论. 【详解】（1）将点代入抛物线方程得，解得， 故抛物线方程为． 其准线方程为 （2）证明：因为直线l的斜率不为0，焦点坐标为，设直线l的方程为. 与抛物线方程联立可得． 故． 设，则， 直线OM的方程为，与联立，可得，同理可得． 易知以AB为直径的圆的圆心坐标为， 圆的半径为， 则圆的方程为． 令，整理可得，解得， 即以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点． 18．已知双曲线和椭圆有公共焦点，且离心率． (1)求双曲线的方程； (2)过点作两条相互垂直的直线分别交双曲线于不同于点的两点，求点到直线距离的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线和椭圆有公共焦点求出，再由离心率的公式求出，从而求得双曲线的方程. （2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合以及点到直线的距离公式、基本不等式求得点P到直线距离的最大值. 【详解】（1）因为椭圆的焦点在轴上， 所以双曲线的，又因为， 所以， 所以双曲线的方程为. （2）当直线的斜率不存在时，设，则， ， 依题意， ，即， 由解得或（舍去）， 所以，此时到直线的距离为. 当直线的斜率存在时，设，设直线的方程为. 由消去并化简得：， ①， ， 依题意， 所以 ， 整理得， 即，由于直线，， 所以， 函数的开口向上， 判别式为，故①成立. 所以直线的方程为，即， 所以到的距离， ， 当时，；当时， 当且仅当时等号成立. 所以. 综上所述，点到直线的距离的最大值为.    【点睛】关键点睛：本题（2）的关键点在于根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合以及点到直线的距离公式、基本不等式求得点P到直线距离的最大值. 19．人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）． (1)若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离； (2)若点，，求的最大值； (3)已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，和 【分析】（1）代入和的公式，即可求解； （2）首先设，代入，求得点的轨迹，再利用数形结合，结合公式，结合余弦值，即可求解； （3）首先求的最小值，分和两种情况求的最小值，对比后，即可判断直线方程. 【详解】（1）， ， ； （2）设，由题意得：， 即，而表示的图形是正方形， 其中、、、． 即点在正方形的边上运动，，， 可知：当取到最小值时，最大，相应的有最大值． 因此，点有如下两种可能： ①点为点，则，可得； ②点在线段上运动时，此时与同向，取， 则． 因为，所以的最大值为． （3）易知，设，则 当时，，则，，满足题意； 当时，， 由分段函数性质可知， 又且恒成立，当且仅当时等号成立． 综上，满足条件的直线有且只有两条，和． 【点睛】关键点点睛：本题第二问为代数问题，转化为几何问题，利用数形结合，易求解，第3问的关键是理解，同样是转化为代数与几何相结合的问题. 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$