期中押题卷03-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（上海专用）

期中押题卷03 一、单选题（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1．已知在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，．若以点为位似中心，在平面直角坐标系内画出，使得与位似，且位似比为，则点的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．若，且，则四边形是（    ） A．等腰梯形 B．不等腰梯形 C．平行四边形 D．菱形 3．点将线段分为两部分，使得其中较长线段是全长线段与较短线段的比例中项，即满足，则把称为线段的“黄金分割”点．已知是线段的黄金分割点，的长介于整数和之间，则的值是(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，将矩形直线折叠，使得点落在点处，交于点，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．如图，一块矩形木板斜靠在墙边，，点在同一平面内，，，，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 6．如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于、两点，点在第一象限，点在轴正半轴上，连接交反比例函数图象于点，为的平分线，过点作的垂线，垂足为，连接，若，的面积为8，则的值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7．若点C是线段的一个黄金分割点，，且，则 （结果保留根号）． 8．如图，正方形与正方形是位似图形．点O为位似中心，相似比为．若点A的坐标为，则点E的坐标是 ． 9．如图，四个一次函数，，，的图象如图所示，则a，b，c，d 的大小关系是 ． 10．从，，，0，1，2，3这七个数中，随机取出一个数，记为a，那么a使关于x的方程 有整数解，且使关于 x 的不等式组 有解的a的值为 ． 11．已知一个平行四边形的一条对角线将其分为全等的两个等腰直角三角形，且这条对角线的长为，则另一条对角线的长为 ． 12．如图，四边形是平行四边形．已知四个条件：①；②；③；④，从中任选一个，可判定是矩形的概率是 ． 13．泉州开元寺石塔是我国古代石构建筑瑰宝．从石塔的建筑规模、形制和技艺等方面来看，都可以说得上精妙绝伦，它既是中世纪泉州海外交通鼎盛时期社会空前繁荣的象征，也是泉州历史文化名城特有的标志．某校九年级测量小组要测量东塔“镇国塔”的高度，因为塔尖可视不可达，塔底不可达，于是采用米高的测角仪，在、两处分别测得塔尖A的仰角为和，同时量得为34米，则通过小组测量得到的数据，可以计算东塔塔高约为 米．（，，最后结果精确到米） 14．如图，中，，将沿图中的虚线翻折，使点落在边上的点处，如果，那么 ． 15．如图，已知是的中线，，、相交于点F，则 ． 16．如图，矩形的长，将矩形对折，折痕为，展开后，再将折到的位置，使点C刚好落在线段的中点F处，则折痕 ． 17．如图，在矩形中，点为上一点，过点作于点，连接交于点，点恰好为的中点．若，则的值为 ． 18．如图，E是平行四边形的边延长线上的一点，交于点F，交于点G，，设，，用向量、分别表示 ． 三、解答题（本大题共8题，满分58分） 19．（1）解方程： （2）计算： ． 20．已知、．    (1)化简：． (2)求作，使． 21．已知三边满足，且． (1)求的值； (2)判断的形状． 22．在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)以点O为位似中心，作出的位似图形，且与的位似比为； (2)做出绕点O逆时针旋转后的图形． (3)求的面积． 23．近期《黑神话：悟空》正式在全球上线，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象．《黑神话：悟空》游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨9个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为山西的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区．某实践小组欲测量飞虹塔的高度，过程见下表． 主题 跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平于点Q，测得米； 步骤2：将标杆沿着的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线于点P，测得米，米；（以上数据均为近似值） 根据表格信息，求飞虹塔的大致高度． 24．【综合与实践】 如图1，光线从空气射入水中会发生折射现象，其中代表入射角，代表折射角．学习小组查阅资料了解到，若，则把称为折射率．（参考数据：，） 【实践操作】如图2，为了进一步研究光的折射现象，学习小组设计了如下实验：将激光笔固定在处，光线可沿照射到空容器底部处，将水加至处，且时，光点移动到处，此时测得，四边形是矩形，是法线． 【问题解决】 (1)求入射角的度数； (2)请求出光线从空气射入水中的折射率． 25．如图1，正方形和正方形，连接，． (1)[发现]：当正方形绕点A旋转，如图2，线段与之间的数量关系是______；位置关系是______； (2)[探究]：如图3，若四边形与四边形都为矩形，且，，猜想与的数量关系与位置关系，并说明理由； (3)[应用]：在（2）情况下，连接（点E在上方），若，且，，求的长． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中押题卷03 一、单选题（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1．已知在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，．若以点为位似中心，在平面直角坐标系内画出，使得与位似，且位似比为，则点的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了网格图中作图，图中点的坐标表示，位似的定义和相似比的应用，掌握位似的作图是解题的关键．根据位似的定义和相似比，结合网格画出图形即可得出结果． 【详解】解：根据位似的定义和相似比，结合网格图，作出位似图形，如图所示，可以得出点的坐标为或， 故选：D． 2．若，且，则四边形是（    ） A．等腰梯形 B．不等腰梯形 C．平行四边形 D．菱形 【答案】A 【分析】本题考查了平面向量的几何意义．解答该题的关键是根据已知条件来判断与的方向和长度，从而确定它们的位置关系． 根据平面向量的几何意义，可以由推知且不相等；然后根据已知条件知、是四边形的两条相等的边；据此推断该四边形的形状． 【详解】解：， ，且； 又， ∴， 四边形是等腰梯形． 故选：A． 3．点将线段分为两部分，使得其中较长线段是全长线段与较短线段的比例中项，即满足，则把称为线段的“黄金分割”点．已知是线段的黄金分割点，的长介于整数和之间，则的值是(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查黄金分割点及黄金分割比，涉及无理数的估算，理解题意，根据黄金分割点及分割比的定义列式求出，再由无理数的估算即可得到答案，理解题意，准确列式求出是解决问题的关键． 【详解】解：是线段的黄金分割点， 如图所示： ， ， ， ， ，则， 故选：B． 4．如图，将矩形直线折叠，使得点落在点处，交于点，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据题意证明出，得到，设，则，根据勾股定理求出，然后根据正切的概念求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴，， 由折叠可得，， ∴， 又∵ ∴， ∴， 设，则 在中， 解得： ． 故选C． 【点睛】此题考查了勾股定理、矩形的折叠问题、全等三角形的性质和判定、正切的定义等知识，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键． 5．如图，一块矩形木板斜靠在墙边，，点在同一平面内，，，，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，解直角三角形，作于点，作于点，可得四边形是矩形，得到，又由四边形是矩形，可得，，进而可得，再分别解和求出和，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：作于点，作于点， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴ ， ∴点到的距离等于， 故选：． 6．如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于、两点，点在第一象限，点在轴正半轴上，连接交反比例函数图象于点，为的平分线，过点作的垂线，垂足为，连接，若，的面积为8，则的值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】连接，，过点作轴，过点作轴，过点作，如图所示，由经过原点，则与关于原点对称，再由，为的平分线，可得，进而可得；设点，由已知条件，，可得，则点，证明，得到，所以，即可求解． 【详解】解：连接，，过点作轴，过点作轴，过点作，如图所示： 过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点， 与关于原点对称， 是的中点， ， ， ， 为的平分线， ， ， ， ，， ， 设点， ，， ， ， ，， ， ， ， ，解得， 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数的意义，涉及反比例函数图象与性质、点的对称性质、角平分线定义、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、三角形面积及梯形面积等知识，借助直角三角形和角平分线，将的面积转化为的面积是解题的关键． 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7．若点C是线段的一个黄金分割点，，且，则 （结果保留根号）． 【答案】/ 【分析】本题考查黄金分割，根据黄金分割比“将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值”，结合题意列方程解题即可． 【详解】解：设，则， 根据黄金分割点的定义得到， 解得，（舍去）， ∴， 故答案为． 8．如图，正方形与正方形是位似图形．点O为位似中心，相似比为．若点A的坐标为，则点E的坐标是 ． 【答案】 【分析】此题考查了位似变换的性质与正方形的性质．由题意可得，又由点的坐标为，即可求得的长，又由正方形的性质，即可求得点的坐标． 【详解】正方形与正方形是位似图形，为位似中心，相似比为， ， 点的坐标为， 即， ∴， 四边形是正方形， ∴． 点的坐标为：． 故答案为：． 9．如图，四个一次函数，，，的图象如图所示，则a，b，c，d 的大小关系是 ． 【答案】 【分析】此题考查函数的图象，根据一次函数图象的性质分析，了解一次函数图象的性质：当时，图象经过一、三象限，随的增大而增大；当时，图象经过二、四象限，随的增大而减小．同时注意直线越陡，则越大． 【详解】解：由图象可得：，，，， 由于直线比陡，直线比陡， ，， ， 故答案为：． 10．从，，，0，1，2，3这七个数中，随机取出一个数，记为a，那么a使关于x的方程 有整数解，且使关于 x 的不等式组 有解的a的值为 ． 【答案】，0，2 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和解分式方程，熟练掌握一元一次不等式组和解分式方程的方法是解题的关键． 分式方程去分母转化为整式方程，把数字代入判断确定出a的值，表示出不等式组的解集，由不等式组无解找出满足题意a的值即可． 【详解】解：方程 两边乘，得 ， 整理，得. 由于方程有整数解且， 所以，0，2，3， 解，得. 解  得. 由不等式组  有解， 得，解得. 所以使关于 x 的方程 有整数解，且使关于 x 的不等式组 有解的a 的值为，0，2. 故答案为：，0，2. 11．已知一个平行四边形的一条对角线将其分为全等的两个等腰直角三角形，且这条对角线的长为，则另一条对角线的长为 ． 【答案】或 【分析】分两种情形①平行四边形是正方形，②这个平行四边形的四个角分别为．分别求解即可． 【详解】解：①当平行四边形是正方形时，如图， ∵一条对角线的长为， ∴另一条对角线长为：． ②当这个平行四边形的四个角分别为．如图， ∵ ∴ 过点作交的延长线于点， ∴ ∴， ∴， ∴． 综上，另一条对角线长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，正方形的性质，以及等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 12．如图，四边形是平行四边形．已知四个条件：①；②；③；④，从中任选一个，可判定是矩形的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定，概率的计算，熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键．根据对角线相等的平行四边形是矩形、有一个角是直角的平行四边形是矩形，逐一判定，然后利用概率公式计算即可解答． 【详解】解：①四边形是平行四边形 又 是矩形，故①可判定； ②四边形是平行四边形，且， 是矩形，故②可判定； ③四边形是平行四边形，且， 是菱形，故②不可判定为矩形； ④四边形是平行四边形，且， 是菱形，故④不可判定为矩形； 故选到能够判定是矩形的有①、②，2种结果， 选到能够判定是矩形的概率是， 故答案为：． 13．泉州开元寺石塔是我国古代石构建筑瑰宝．从石塔的建筑规模、形制和技艺等方面来看，都可以说得上精妙绝伦，它既是中世纪泉州海外交通鼎盛时期社会空前繁荣的象征，也是泉州历史文化名城特有的标志．某校九年级测量小组要测量东塔“镇国塔”的高度，因为塔尖可视不可达，塔底不可达，于是采用米高的测角仪，在、两处分别测得塔尖A的仰角为和，同时量得为34米，则通过小组测量得到的数据，可以计算东塔塔高约为 米．（，，最后结果精确到米） 【答案】48.0 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握各个锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据题意可得，在中，利用含30度角的直角三角形的性质求出的长，进而即可解答． 【详解】解：由题意得：， ， ， 设， 在中，， ， 即， 解得：， ， 东塔塔高约为48.0米， 故答案为：48.0． 14．如图，中，，将沿图中的虚线翻折，使点落在边上的点处，如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查图形的翻折变换，设，，根据折叠的性质得，再利用勾股定理求出，最后根据余弦的定义即可得解．解题的关键是掌握折叠的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后对应边、角相等． 【详解】解：设，， ∴， ∵将沿图中的虚线翻折，使点落在边上的点处， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 15．如图，已知是的中线，，、相交于点F，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确作出辅助线；过E作交于F，由平行线分线段成比例可得，再根据相似三角形的判定和性质可得，再根据全等三角形的判定和性质得，再根据三角形面积关系求解即可． 【详解】解：过E作交于F， 是的中线， ， ， ,, ，, ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16．如图，矩形的长，将矩形对折，折痕为，展开后，再将折到的位置，使点C刚好落在线段的中点F处，则折痕 ． 【答案】/ 【分析】过点F作于点G，交于点H，由矩形的性质得，可证明，，则，求得，由折叠得，，，则，所以，由，得，则， ，求得，再证明，则，求得，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：过点F作于点G，交于点H，如图： ∵四边形是矩形，， ∴，，，， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∴，， 由折叠得，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查矩形的判定与性质、轴对称的性质、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、平行线分线段成比例定理、三角形的中位线定理、锐角三角函数与解直角三角形、勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． 17．如图，在矩形中，点为上一点，过点作于点，连接交于点，点恰好为的中点．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】延长交的延长线于点，根据已知条件证明，再设，则，利用勾股定理和中点的定义求出和，然后证明，根据相似三角形的对应边成比例，求出、，从而求出和，最后再证明，利用相似三角形的对应边的比相等，求出答案即可． 【详解】解：延长交的延长线于点，如图所示： 四边形是矩形， ， ， 点是的中点， ， ， ， ，， ， 设，则， 四边形是矩形， ，， ， 为的中点， ， ， ， ， ， ， ，即，解得， ， 为中点，， ， ， ， ， ， ，则， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题关键是熟练掌握灵活运用相似三角形的判定与性质． 18．如图，E是平行四边形的边延长线上的一点，交于点F，交于点G，，设，，用向量、分别表示 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形、向量的线性运，掌握向量的线性运算成为解题的关键． 先说明、，即，进而得到，再利用平行四边形的性质、相似三角形可得，进而得到，则，进而完成解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∴, ∴ ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴, ∵， ∴, ∴， ∴, ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8题，满分58分） 19．（1）解方程： （2）计算： ． 【答案】（1）， ；（2） 【分析】本题考查了解一元二次方程，特殊角三角函数值的混合运算等知识，解题的关键是： （1）利用配方法求解即可； （2）先把特殊角的三角函数值代入，然后利用二次根式的运算法则计算即可． 【详解】解：（1）方程整理得：， 配方得：，即， 开方得： ， 解得： ， ； （2）原式 ． 20．已知、．    (1)化简：． (2)求作，使． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了实数与向量相乘，向量的线性运算．熟练掌握向量的运算是解题的关键． （1）先计算实数与向量相乘，然后进行线性运算即可； （2）根据，作图即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， 如图，即为所求；    21．已知三边满足，且． (1)求的值； (2)判断的形状． 【答案】(1)； (2)直角三角形． 【分析】（）设，，，可得，即得，进而得到，，再由，可得，据此即可求解； （）利用勾股定理逆定理即可判断求解； 本题考查了比例的有关计算，勾股定理的逆定理，掌握比例的有关计算是解题的关键． 【详解】（1）解：设，，， ∴， 即， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，，； （2）解：∵，， ∴， ∴为直角三角形． 22．在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)以点O为位似中心，作出的位似图形，且与的位似比为； (2)做出绕点O逆时针旋转后的图形． (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3 【分析】本题考查了作图—位似变换，作图——旋转变换，熟练掌握作图方法是解题关键． （1）连接，并延长到点，使；连接，并延长到点，使；连接，并延长到点，使，依次连接，，，即可得到； （2）利用网格特点和旋转的性质作出点A、B、C的对应点、、、依次连接，，，即可得到； （3）利用网格求三角形面积即可． 【详解】（1）解：如图，为所求． （2）如图，为所求． （3）的面积为：． 23．近期《黑神话：悟空》正式在全球上线，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象．《黑神话：悟空》游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨9个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为山西的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区．某实践小组欲测量飞虹塔的高度，过程见下表． 主题 跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平于点Q，测得米； 步骤2：将标杆沿着的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线于点P，测得米，米；（以上数据均为近似值） 根据表格信息，求飞虹塔的大致高度． 【答案】飞虹塔的高度为47米 【分析】此题考查相似三角形的应用，关键是根据相似三角形的判定和性质得出边的大小解答． 证明得到对应边成比例，列方程解决即可． 【详解】解：设米，米． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解， ， 经检验，是原方程的解， 答：飞虹塔的高度为47米． 24．【综合与实践】 如图1，光线从空气射入水中会发生折射现象，其中代表入射角，代表折射角．学习小组查阅资料了解到，若，则把称为折射率．（参考数据：，） 【实践操作】如图2，为了进一步研究光的折射现象，学习小组设计了如下实验：将激光笔固定在处，光线可沿照射到空容器底部处，将水加至处，且时，光点移动到处，此时测得，四边形是矩形，是法线． 【问题解决】 (1)求入射角的度数； (2)请求出光线从空气射入水中的折射率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行线的性质，利用正切函数解答即可； （2）作于点，利用勾股定理，折射率的定义解答即可． 【详解】（1）解：如图1，， ， 入射角约为． 图1 （2）解：如图2，作于点， 在中，， 在中，， 光线从空气射入水中的折射率， 光线从空气射入水中的折射率． 【点睛】本题考查了跨学科综合，平行线的性质，勾股定理，三角函数的应用，与物理的融合，熟练掌握相关知识是解题的关键． 25．如图1，正方形和正方形，连接，． (1)[发现]：当正方形绕点A旋转，如图2，线段与之间的数量关系是______；位置关系是______； (2)[探究]：如图3，若四边形与四边形都为矩形，且，，猜想与的数量关系与位置关系，并说明理由； (3)[应用]：在（2）情况下，连接（点E在上方），若，且，，求的长． 【答案】(1)，，理由见解析 (2)，，理由见解析； (3)8． 【分析】（1）证明，后证明即可； （2）延长，交于点H，交于点K，．根据（1）的证明方法，类似证明即可． （3）设与交的交点为M，根据平行四边形的判定和性质，勾股定理，结合．解答即可． 【详解】（1），． 理由如下：延长，交于点N，交于点P， ∵四边形，四边形是正方形， ∴，，， 在和中， ， ∴． ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故且． （2）解：，． 理由如下：延长，交于点H，交于点I， ∵四边形，四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故且． （3）解：设与交的交点为M， ∵， ∴， 在中，， ∴， 根据勾股定理得：， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由（2）知，， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似判定和性质，勾股定理，熟练掌握三角形相似的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$