期中押题卷02-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（上海专用）

期中押题卷02（解析版） 一、单选题（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1．如图，是的中位线，是的中位线，连结、、．已知，，，．则的长度为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．如图，一艘军舰在处测得小岛位于南偏东方向，向正东航行40海里后到达处，此时测得小岛位于南偏西方向，则小岛离观测点的距离是（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 3．如图，在正六边形中，等于（ ） A． B． C． D． 4．比较，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．如图，线段，最接近线段的黄金分割点是（　） A．D B．E C．F D．D 或F 6．如图，正方形中，点，分别在边，上，且，分别交，于点，，以点A为圆心，长为半径画弧下列结论：①；②；③；④与相切；⑤．其中正确结论的个数是（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7．如图，在中，，为中点，为上一点，且，过点作交的延长线于点，交于点，则的值为 ． 8．如图，直线，直线和被，，所截，如果 则 的长是 ． 9．有一张矩形纸片，、分别是，的中点，现沿线段将矩形纸片一分为二，如果所得的两张矩形纸片与原来的矩形纸片相似，那么的值为 ． 10．如图，过原点的直线与反比例函数和的图象在第一象限内分别交于点A，B．过点A作轴于点C，过点B作，交的延长线于点D．若的面积为，则 ． 11．当 时，函数是一次函数．已知点，都在这个一次函数图像上，则，的大小关系是 ． 12．若实数a使关于x的不等式组有且仅有4个整数解，且关于y的分式方程的解为正数，满足条件的整数a的值的和为 ． 13．设p是奇数，则方程满足的正整数解是 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，点A是函数 （）图象上的点，过点A与y轴垂直的直线交y轴于点B，点C、D在x轴上，且．若四边形的面积为3，则k值为 ． 15．一只蜘蛛爬到如图所示的一面墙上，最终停在黑色区域上的概率是 ．    16．如图，图1是一盏台灯，图2是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂，灯罩，灯臂与底座构成的．可以绕点上下调节一定的角度．使用发现：当与水平线所成的角为时，台灯光线最佳，则此时点与桌面的距离是 ．（结果精确到，取1.732） 17．如图，已知在中，D，E分别是AB，AC上的点，，．若，则 ． 18．如图，矩形中，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，若点在上，连接，，则值为 ． 三、解答题（本大题共8题，满分58分） 19．计算： (1)； (2)解不等式组：． 20．已知线段a、b、c满足，且． (1)求a、b、c的值； (2)若线段a，b，c，d是成比例线段，求d的值． 21．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共40个，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，表格是实验中的部分统计数据： 摸球的次数n 10 20 50 100 200 400 500 1000 摸到白球的次数m 4 7 10 28 45 97 127 252 摸到白球的频率m 0.400 0.350 0.200 0.280 0.225 0.243 0.254 0.252 (1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到0.01）； (2)试估算盒子里白球有 个； (3)某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合（1）中结果的试验最有可能的是 （填写所有正确结论的序号）． ①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上． ②掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“大于4”． ③从一副不含大小王的扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”． ④在一道单选题A、B、C、D四个选项任选一个，正好选中正确选项． 22．如图，在平行四边形中，点，分别是边、的中点，设，． (1)　　，　　；（用含有向量、的式子表示） (2)在图中画出在向量和方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论） 23．如图，已知，，是直角坐标系平面上三点． (1)以原点O为位似中心，将缩小为原来的一半，得到，请在所给的坐标系中作出所有满足条件的图形． (2)把向右平移7个单位再向下平移1个单位，得到．画出平移后的图形，并利用网格作出高． 24．如图1，这是一种折叠椅，忽略支架等的宽度，得到其侧面简化结构图（图2），支架与坐板均用线段表示．若座板平行于地面，前支撑架与后支撑架分别与座板交于点E，D，现测得，，，． (1)求椅子的展角的度数． (2)求点P到地面的距离．（精确到） （参考数据：，，） 25．【感知】如图①，在中，于点．写出图中与相似的三角形，并用相似符号连接． 【探究】如图②，在中，点为边上一点，连接． 若，求证：． 【应用】如图③，在中，是边的中线．若，则的长为_______． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中押题卷02（解析版） 一、单选题（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1．如图，是的中位线，是的中位线，连结、、．已知，，，．则的长度为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了中位线的性质和位似图形的判定与性质，熟练掌握位似图形的判定与性质是解题的关键．通过中位线的性质得出，再证明，得出相似比为，即可得到，从而得出答案． 【详解】解： 是的中位线，是的中位线， ，， ，，， ， 相似比为， ， ， ， 故选：B． 2．如图，一艘军舰在处测得小岛位于南偏东方向，向正东航行40海里后到达处，此时测得小岛位于南偏西方向，则小岛离观测点的距离是（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】B 【分析】本题主要考查了构造直角三角形，解直角三角形，过点B作，交的延长线于H，由题意可知，由含的直角三角形的性质可得出海里 ，再通过角度的计算得出，通过等角对等边可得出海里，根据余弦的定义求出，最后根据线段的和差关系可得出答案． 【详解】解：如图，过点B作，交的延长线于H， 则， 由题意可知：，海里 ∴海里，， ∵， ∴， ∴ ∴海里， ∵， ∴海里， ∴海里， 故选：B． 3．如图，在正六边形中，等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平面向量的加法，根据正六边形的性质得，，得，再根据三角形法则即可得出结论．掌握向量加法的三角形法则是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵六边形是正六边形， ∴，， ∴， ∴． 故选：A． 4．比较，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性，熟记锐角三角函数的增减性是解题的关键， 根据三角函数的增减性，以及互余的两个角之间的关系即可作出判断． 【详解】， ， ，， ，， ， 故选：D． 5．如图，线段，最接近线段的黄金分割点是（　） A．D B．E C．F D．D 或F 【答案】C 【分析】本题考查黄金分割的定义，注意掌握把线段分成两条线段和（），且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点．其中，并且线段的黄金分割点有两个．根据题意先计算出，然后把计算黄金分割后较长线段的长度，则可判断哪一点最接近线段的黄金分割点． 【详解】解：线段黄金分割后较长线段的长度为， ∵线段， ∴， ∴点F最接近线段的黄金分割点． 故选：C． 6．如图，正方形中，点，分别在边，上，且，分别交，于点，，以点A为圆心，长为半径画弧下列结论：①；②；③；④与相切；⑤．其中正确结论的个数是（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，切线的判定，勾股定理，正确的作出辅助线，熟练掌握这些性质，是解题的关键． 延长到，使，连接根据全等三角形的性质得到，，求得，证得，根据全等三角形的性质即可得到；故正确；在上截取，根据全等三角形的性质得到，，证得，根据勾股定理得到，根据全等三角形的性质得到，等量代换得到；故正确；根据平行线的性质得到，推出，又，于是得到，故正确；过A作于，根据角平分线的性质得到，于是得到与相切；故正确；由，而不一定等于，于是得到不一定平行于，故错误． 【详解】解：延长到，使，连接． 在和中，， ， ，， 又，， ． 在和中， ， ， ， 又， ；故正确； 在上截取，连接、， 在和中，， ， ，， 又， ． ． 在和中， ， ， ． ；故正确； ， ． ，， ， 又， ，故正确； 过A作于， ，， ， 与相切；故正确； ，而不一定等于， 不一定等于， 不一定平行于，故错误， 故选：B． 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7．如图，在中，，为中点，为上一点，且，过点作交的延长线于点，交于点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，以及三角形中位线的性质，证明是的中位线是解答本题的关键． 由，得出，进而得出，然后证明为的中位线，进而根据即可求出结果． 【详解】解：， ， ， ， ， 为的中点，， 为的中点， 为的中位线， ， ， 故答案为：． 8．如图，直线，直线和被，，所截，如果 则 的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴， 解得， 故答案为：． 9．有一张矩形纸片，、分别是，的中点，现沿线段将矩形纸片一分为二，如果所得的两张矩形纸片与原来的矩形纸片相似，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质．熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 设，，则，由所得的两张矩形纸片与原来的矩形纸片相似，可得矩形和矩形相似，则，即，可求，进而可求的值． 【详解】解：∵矩形， 设，，则， ∴四边形是矩形， ∵所得的两张矩形纸片与原来的矩形纸片相似， ∴矩形和矩形相似， ∴，即， 解得，或（舍去）， ∴， 故答案为：． 10．如图，过原点的直线与反比例函数和的图象在第一象限内分别交于点A，B．过点A作轴于点C，过点B作，交的延长线于点D．若的面积为，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数k值的几何意义，相似三角形的性质和判定，熟练掌握反比例函数值的几何意义是关键． 根据值的几何意义得到，利用相似得到，继而有，再利用相似得到，继而求出值． 【详解】解：由题意可知，， ， ， ∵点在反比例函数图象上， ， ∵的面积为， ， ， 如图，作轴，垂足为点， ， ， ， ， ， 故答案为：9． 11．当 时，函数是一次函数．已知点，都在这个一次函数图像上，则，的大小关系是 ． 【答案】 1 / 【分析】本题考查了一次函数的性质及一次函数的定义，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键． （1）根据一次函数定义可得，且，再解即可； （2）根据一次函数的性质解答即可． 【详解】解：（1）由题意得：，且， 由可得， 由可得， 由此可得：， （2）一次函数的， 随的增大而增大， ， ． 故答案为：；． 12．若实数a使关于x的不等式组有且仅有4个整数解，且关于y的分式方程的解为正数，满足条件的整数a的值的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组、解分式方程，先解不等式组的解集，再根据已知不等式组有且仅有4个整数解确定a的取值范围；解分式方程，根据方程的解是正数列不等式求出a的取值范围，进而求出a的值，然后求和即可． 【详解】解： 解①得 解②得 ∵不等式组有且仅有4个整数解 ∴ ∴ 两边都乘以，得 ∴ ∵分式方程的解为正数 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴且 ∴满足条件的整数a的值有： ∴满足条件的整数a的值的和为 故答案为： 13．设p是奇数，则方程满足的正整数解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元二次方程，解一元一次不等式，设（k为自然数）先根据题意得到，再由得到，则当时，，，此时满足x、y都是正整数，据此可得答案． 【详解】解：p为奇数，则有，其中k为自然数， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴当时，， ∴ ∴， ∵p为奇数， ∴为偶数， ∴为正整数， ∴原方程的正整数解为． 故答案为：． 14．如图，在平面直角坐标系中，点A是函数 （）图象上的点，过点A与y轴垂直的直线交y轴于点B，点C、D在x轴上，且．若四边形的面积为3，则k值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，平行四边形的判定与性质，明确四边形的面积是解题的关键． 根据已知条件得到四边形是平行四边形，于是得到四边形的面积 得到四边形的面积，即可得到结论． 【详解】解：过点作轴于点，如图： 轴， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴， 四边形的面积， ∴四边形的面积 故答案为：． 15．一只蜘蛛爬到如图所示的一面墙上，最终停在黑色区域上的概率是 ．    【答案】 【分析】本题考查了求几何概率的方法，解决本题的关键是先利用几何性质求出整个几何图形的面积n，再计算出其中某个区域的几何图形的面积m，然后根据概率的定义计算出落在这个几何区域的事件的概率为，设每小格的面积为1，易得整个面积为9，黑色区域的面积3，然后根据概率的定义(反映随机事件出现的可能性大小)计算即可． 【详解】解：设每小格的面积为1， 由图知，整个面积为9，黑色区域的面积3， 最终停在黑色区域上的概率是． 故答案为：． 16．如图，图1是一盏台灯，图2是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂，灯罩，灯臂与底座构成的．可以绕点上下调节一定的角度．使用发现：当与水平线所成的角为时，台灯光线最佳，则此时点与桌面的距离是 ．（结果精确到，取1.732） 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，锐角三角函数的应用，作辅助线，构造直角三角形是解本题的关键．过点作，交延长线于点，过点作于F，过点作于E，分别在和中，利用锐角三角函数的知识求出和的长，再由矩形的判定和性质得到，最后根据线段的和差计算出的长，问题得解． 【详解】解：过点作，交延长线于点，过点作于F，过点作于E， 在中，，， ∵ ∴(cm)， 在中，，， ∵， ∴(cm)， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴(cm)． 点与桌面的距离约为， 故答案为：． 17．如图，已知在中，D，E分别是AB，AC上的点，，．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，向量，先证明，根据相似三角形的性质求出，然后把代入求解即可． 【详解】解∶∵， ∴， ∴， 又， ∴， 又， ∴， 故答案为∶ ． 18．如图，矩形中，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，若点在上，连接，，则值为 ． 【答案】 【分析】过作于点，交于点，由旋转和矩形的性质可得：，，，设，则，根据勾股定理求出，进而得到，根据同角的余角相等可得，推出，可求出，进而求出、和，证明四边形是矩形，得到，，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，过作于点，交于点， 由旋转和矩形的性质可得：，，， ， 设，则， 在中，， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的判定与性质，三角函数，勾股定理，解题的关键是灵活运用相关知识． 三、解答题（本大题共8题，满分58分） 19．计算： (1)； (2)解不等式组：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数混合运算和解一元一次不等式组，解题关键是熟知绝对值、零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值定义，及解不等式的方法． （1）利用绝对值的性质，零指数幂的性质，特殊角的三角函数值和负指数幂的定义来进行化简，得出答案． （2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可． 【详解】（1） 解：原式 ． （2）解不等式①得： ． 解不等式②得： ． 则不等式组的解集为． 20．已知线段a、b、c满足，且． (1)求a、b、c的值； (2)若线段a，b，c，d是成比例线段，求d的值． 【答案】(1)6，4，12 (2)8 【分析】本题主要考查了比例线段，解一元一次方程， （1）利用，可设，，，代入求出的值，即可求出、、的值； （2）根据题意得，代入求得d即可． 【详解】（1）解：， 设，，， 又， ， 即， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， ， ， ； （2）解：∵线段a，b，c，d是成比例线段， ， ， 即， 21．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共40个，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，表格是实验中的部分统计数据： 摸球的次数n 10 20 50 100 200 400 500 1000 摸到白球的次数m 4 7 10 28 45 97 127 252 摸到白球的频率m 0.400 0.350 0.200 0.280 0.225 0.243 0.254 0.252 (1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到0.01）； (2)试估算盒子里白球有 个； (3)某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合（1）中结果的试验最有可能的是 （填写所有正确结论的序号）． ①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上． ②掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“大于4”． ③从一副不含大小王的扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”． ④在一道单选题A、B、C、D四个选项任选一个，正好选中正确选项． 【答案】(1) (2) (3)③④ 【分析】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目总体数目相应频率． （1）由表中的最大值所对应的频率即为所求； （2）根据白球个数球的总数得到的白球的概率，即可得出答案； （3）试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案． 【详解】（1）解：由表可知，当n很大时，摸到白球的频率将会接近； 故答案为：； （2）解：根据题意得：（个）， 故答案为：； （3）解：①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上的概率为，故此选项不符合题意； 掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“大于4”的概率为，故此选项不符合题意； 从一副不含大小王的扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”的概率为，故此选项符合题意； 在一道单选题A、B、C、D四个选项任选一个，正好选中正确选项的概率为，故此选项符合题意． 故答案为：③④． 22．如图，在平行四边形中，点，分别是边、的中点，设，． (1)　　，　　；（用含有向量、的式子表示） (2)在图中画出在向量和方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论） 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题考查作图复杂作图，三角形中位线定理，平行四边形的性质，三角形法则等知识，解题的关键是掌握三角形法则，平行四边形法则． （1）利用三角形法则求解； （2）利用平行四边形法则求解． 【详解】（1）解：， ，， ，， ． 故答案为：，； （2）解：如图，，即为所求． 23．如图，已知，，是直角坐标系平面上三点． (1)以原点O为位似中心，将缩小为原来的一半，得到，请在所给的坐标系中作出所有满足条件的图形． (2)把向右平移7个单位再向下平移1个单位，得到．画出平移后的图形，并利用网格作出高． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了位似变换与平移的变换．注意根据平移与位似的性质求得各点的坐标是关键． （1）利用位似的性质，可求得各点的坐标，继而画出图形； （2）直接利用平移的性质，可分别求得各点的坐标，继而画出图形，再作出高． 【详解】（1）符合条件有两个，如图所示． （2）及高如图所示； 24．如图1，这是一种折叠椅，忽略支架等的宽度，得到其侧面简化结构图（图2），支架与坐板均用线段表示．若座板平行于地面，前支撑架与后支撑架分别与座板交于点E，D，现测得，，，． (1)求椅子的展角的度数． (2)求点P到地面的距离．（精确到） （参考数据：，，） 【答案】(1)椅子的展角的度数约为 (2)点到地面的距离约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握解直角三角形的应用是解题关键． （1）过点作于点，先证出，根据相似三角形的性质可得的长，再根据等腰三角形的性质可得的长，然后在中，解直角三角形可得的大小，最后根据三角形的内角和定理求解即可得； （2）过点作于点，在中，利用正弦的定义求解即可得． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∵，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 答：椅子的展角的度数约为． （2）解：如图，过点作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：点到地面的距离约为． 25．【感知】如图①，在中，于点．写出图中与相似的三角形，并用相似符号连接． 【探究】如图②，在中，点为边上一点，连接． 若，求证：． 【应用】如图③，在中，是边的中线．若，则的长为_______． 【答案】（1）（2）见解析（3） 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质： （1）根据两组对应角相等的两个三角形相似，进行判断即可； （2）证明，即可得证； （3）延长至点，使，连接，证明，得到，再证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∵， ∵，， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， ∴； （3）延长至点，使，连接， ∵为边的中线 ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$