期中押题卷01-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（上海专用）

期中押题卷01 一、单选题（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1．下列各组图形中，不一定相似的是（   ） A．一组邻边对应成比例的两个矩形 B．两个顶角相等的等腰三角形 C．有一个内角相等的两个菱形 D．有两条边对应成比例的两个直角三角形 2．正方形网格中，如图所示放置（点A，O，C均在网格的格点上，且点C 在上），则的值为（   ） A． B． C． D．1 3．已知四边形是菱形，给出下列各式：①；②；③；④．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图是一架梯子的示意图，其中，且．为使其更稳固，在间加绑一条安全绳（线段）量得，则的长度为（    ） A．0.8m B．1m C．1.5m D．2m 5．如图，菱形的边长为2，，E是边的中点，F是边上的一个动点，将线段绕着点E逆时针旋转得到，连接，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．如图，点A的坐标为，点、C是直线上第一象限内的两点，且得到线段．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7．已知等边三角形的边长为，该三角形的重心到一个顶点的距离为 ． 8．如图，在矩形中，，是边的中点，，分别是边，上的点，且，垂足为点．若，，则的值为 ． 9．小明负责小组里4个同学的作业本的收发，但做事比较马虎．如果他随机的分发4个同学的本子，那么他把每个同学的本子都发错的概率是 ． 10．如图，与位似，点O为位似中心，若，则 ． 11．如图，C是反比例函数图象上一点，A为轴负半轴上一点，AC交轴于点B，若，面积为9，则 ． 12．如图，点E是正方形边上的一点（E与A不重合），将线段绕着它的一个端点旋转，使另一个端点落在的延长线上的F处，并作正方形，若H是线段的一个黄金分割点，且，则的值是 ． 13．如图，在中，，D、E分别为边上的一点，，，点F为边上一点，添加一个条件使与相似，则添加的一个条件是 ． 14．如图，点是平行四边形边延长线上一点，交于点，如果，那么 ． 15．如果，那么用、表示为 ． 16．如图，D是的边上一点，，交于E点，．若，，则设，，则 ．（用含向量a和向量b的代数式表示） 17．如图所示， 已知正方形的边长为2， 以点B为圆心，对角线的长为半径画弧，交的延长线于点E， 连接， 则 ． 18．已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，A、两点的坐标分别为和，如果将绕着原点旋转后，点A落在轴上，点落在点处，那么的值为 ． 三、解答题（本大题共8题，满分58分） 19．计算： (1)解方程； (2) 20．国家规定，中小学生每天在校体育活动时间不低于1小时，为了了解这项政策的落实情况，有关部门就“你每天在校体育活动时间是多少”的问题，在某校随机抽查了部分学生，再根据活动时间t（h）进行分组（A组：，B组：，C组：，D组：），绘制成如图所示的两幅不完整统计图． 请根据图中信息回答问题： (1)此次抽查的学生数为______人； (2)求A组对应的圆心角度数______，补全条形统计图； (3)从抽查的学生中随机询问一名学生，该生当天在校体育活动时间低于1小时的概率是______； (4)若当天在校学生数为6000人，请估计在当天达到国家规定体育活动时间的学生有多少人？ 21．经销商小李需要购进一批学生画图工具6000套，为此考察了甲、乙两个文具加工厂．已知甲厂的加工能力是乙厂的1.5倍，且甲厂单独加工这批画图工具所需要的天数比乙厂单独加工这批画图工具所需要的天数少10天，还了解到这种画图工具甲厂的出厂价格为6元/套，乙厂的出厂价格为5.6元/套． (1)求甲、乙两个加工厂每天能加工这种画图工具各多少套？ (2)小李计划从甲、乙两厂购买这种画图工具，且费用不超过35400元，他最多能向甲工厂购买多少套这种画图工具？ 22．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，分别在边上画点，连接，使，且． (2)在图②中，分别在边上画点，连接，使，且． (3)在图③中，分别在边上画点，连接，使，且． 23．小乐同学家住大楼甲中，某个周末，他站在阳台眺望远方，当看到正对面的大楼乙时，陷入了思考：对面的大楼乙有多高？于是小乐做了一个简易的测角仪用来观测大楼乙的顶端与底端．如图，小乐家在点处，当他抬头观察大楼乙的顶端时，记其仰角为，观测大楼乙的底端时，记其俯角为，整理所测数据：，．已知甲、乙两栋大楼的间距为．请根据题目数据帮助小乐计算出大楼乙的高度．（图中所有点在同一个平面内，，，结果保留根号） 24．如图①，在中，，厘米，动点从点出发以每秒厘米的速度沿向点运动，过点作的垂线交折线于点，过点作的平行线交于点（点在上时，点与点重合），以，为邻边作平行四边形，点D运动的时间为t（秒）． (1)用含t的代数式表示的长； (2)当t为何值时，点E在上； (3)如图②，当直线将平行四边形的面积分为的两部分时，直接写出t的值． 25．已知正方形中，点E在边上（不与两端点重合）． (1)如图1，连接，若平分，，求正方形的面积； (2)如图2，将绕点A逆时针方向旋转得到线段，过点H作交于点F，直线交于点G，猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若正方形的边长是4，点P是边上一点，且，连接，，将沿翻折到同一平面上的，连接，，请直接写出的最小值． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中押题卷01 一、单选题（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1．下列各组图形中，不一定相似的是（   ） A．一组邻边对应成比例的两个矩形 B．两个顶角相等的等腰三角形 C．有一个内角相等的两个菱形 D．有两条边对应成比例的两个直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查相似的判定，难度不大，判定两个图形相似的依据是：对应边的比相等，对应角相等．两个条件必须同时具备． 利用相似多边形的对应边的比相等，对应角相等分析． 【详解】A．一组邻边对应成比例的两个矩形，对应角都是直角，一定相似，故本选项不符合题意； B．两个顶角相等的等腰三角形其他角也相等，一定相似，故本选项不符合题意； C．有一个内角对应相等的两个菱形其他角也相等，菱形四条边相等，对应边成比例，故一定相似，故本选项不符合题意； D． 有两条边对应成比例的两个直角三角形，不一定相似，故本选项符合题意； 故选：D． 2．正方形网格中，如图所示放置（点A，O，C均在网格的格点上，且点C 在上），则的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，勾股定理逆定理，找出边上的格点，连接，利用勾股定理求出、、的长度，再利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，然后根据正弦的定义计算即可得解． 【详解】如图，为边上的格点，连接， 根据勾股定理，， ， ， 所以，， 所以，是直角三角形， ． 故选：B． 3．已知四边形是菱形，给出下列各式：①；②；③；④．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，向量，根据大小和方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征和几何特征，借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化． 【详解】解：如图， ①由菱形图象可知，的大小，方向一样，故，①正确； ②这两个向量的方向不同，但是由菱形的定义可知他们的模长相等，得到②正确； ③，， ，故③正确； ④，， ，， 成立，④正确， 综上所述，正确的有：①②③④， 故选：D． 4．如图是一架梯子的示意图，其中，且．为使其更稳固，在间加绑一条安全绳（线段）量得，则的长度为（    ） A．0.8m B．1m C．1.5m D．2m 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，两条直线截一组平行线，截得的对应线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， 故选C 5．如图，菱形的边长为2，，E是边的中点，F是边上的一个动点，将线段绕着点E逆时针旋转得到，连接，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，连接、、，连接，证明，连接构造，在，证明，求出的长度即可，过点作的延长线于，在中，由菱形的性质可知，由此即可求出的长度，在中即可求出的长，于是就可以求出的最小值． 【详解】解：如图所示，取的中点，连接、、，连接， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵点是中点，点是的中点， ，， ∴三角形是等边三角形， ∴， ∵，， ， ， ， ， ， ∵， ， ∴，则， 在中，， 如下图所示，过点作的延长线于， 在中，，由菱形可知， ∴，则，且， ∴， 则， 在中，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查菱形的性质与全等三角形，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定，解直角三角形的综合运用，将线段的长度的最小是转换到三角形中，根据三角形边长的关系求解是解题的关键． 6．如图，点A的坐标为，点、C是直线上第一象限内的两点，且得到线段．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的判定与性质等，正确作出辅助线构造相似三角形，进而利用相似三角形的性质求解是解题的关键．过点C作交x轴于点D，先证明，可得，设，得，再代入得，再求解即可． 【详解】过点C作交x轴于点D， C是直线上第一象限内的点， ， ， ， ， ， ， ， 设， 则， 点A的坐标为， ， ， ∵， ∴， ， 得， ， 故选A 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7．已知等边三角形的边长为，该三角形的重心到一个顶点的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 延长交于，根据等边三角形内心、外心、重心重合，根据它们的的性质得出，根据等边三角形的性质，得出，然后利用含30度角的直角三角形即可解决问题． 【详解】解：如图，设点是等边三角形的重心，连接并延长交于， ∵是等边的重心， ∴也是等边的外心和内心， ∴在三条边的垂直平分线上， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵是等边的内心， ∴平分， ∴， 在中，， ， 解得，， ∴它的重心到一个顶点的距离为， 故答案为：． 8．如图，在矩形中，，是边的中点，，分别是边，上的点，且，垂足为点．若，，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识．通过证明，可求的长，由勾股定理和锐角三角函数可求，的长，即可求解． 【详解】解：过点作，垂足为， ， 点是边的中点， ， 四边形是矩形， ，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 9．小明负责小组里4个同学的作业本的收发，但做事比较马虎．如果他随机的分发4个同学的本子，那么他把每个同学的本子都发错的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，熟练掌握概率的公式是解题的关键，首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与他把每个同学的本子都发错的情况，再利用概率公式即可求出答案． 【详解】解：分别用A，B，C，D表示4个同学的作业本，画树状图得： ∵共有24种等可能的结果，他把每个同学的本子都发错的有种情况， ∴他把每个同学的本子都发错的概率是：． 故答案为：． 10．如图，与位似，点O为位似中心，若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，位似图形的对应顶点的连线平行或共线．与位似，则，先证明，进一步可求，据此可得答案． 【详解】解：∵与位似， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， 故答案为： 11．如图，C是反比例函数图象上一点，A为轴负半轴上一点，AC交轴于点B，若，面积为9，则 ． 【答案】9 【分析】本体考查反比例函数的比例系数k的几何意义，平行线截线段成比例等知识，过C作轴，垂足为D，先求出的值，从而求出，再根据即可得解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 过C作轴，垂足为D， 则， ∴， ∴， ∴． 12．如图，点E是正方形边上的一点（E与A不重合），将线段绕着它的一个端点旋转，使另一个端点落在的延长线上的F处，并作正方形，若H是线段的一个黄金分割点，且，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质、正方形的性质和黄金分割点的相关知识，根据旋转的性质得到，再得到，从而得到，即可得到答案． 【详解】解：如下图所示， 根据旋转的性质得， ∵， ∴ ∵H是线段的一个黄金分割点，且， ∴, ∵正方形， ∴， ∴， 故答案为：． 13．如图，在中，，D、E分别为边上的一点，，，点F为边上一点，添加一个条件使与相似，则添加的一个条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，先证明可得，再添加条件即可证明． 【详解】 当时， 故答案为：（答案不唯一）． 14．如图，点是平行四边形边延长线上一点，交于点，如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．首先根据平行四边形的性质可得，，结合可证明，再证明，由相似三角形的性质可得，即可获得答案． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15．如果，那么用、表示为 ． 【答案】 【分析】根据向量方程的求解方法，可以先移项，再系数化一，即可求得答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了平面向量的知识，解题的关键是掌握向量方程的求解方法． 16．如图，D是的边上一点，，交于E点，．若，，则设，，则 ．（用含向量a和向量b的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，向量的线性运算，求出是解题的关键． 利用证明三角形和全等，进而得出，即可求出，从而根据求解． 【详解】解： ， ． ，， ． ． ∵ ∴ 又， ∴ ∴ ∵ ∴， 故答案为：． 17．如图所示， 已知正方形的边长为2， 以点B为圆心，对角线的长为半径画弧，交的延长线于点E， 连接， 则 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，求正切值，等边对等角，结合题意，由正方形的性质可知，则，，再根据即可求解，熟练理解相关图形的性质是解决问题的关键． 【详解】解：在正方形中，，， ∴， 由题意可知，则， ∴， ∴， 故答案为：． 18．已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，A、两点的坐标分别为和，如果将绕着原点旋转后，点A落在轴上，点落在点处，那么的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化、旋转的性质、锐角三角函数的定义等知识点，熟记相关性质是解题的关键． 根据点A的坐标判断出与轴的夹角为，再根据旋转的性质可得，根据等边对等角可得，如图：过点作轴于，然后求出、，再分两种情况求出，最后根据余切的定义列式计算即可解答． 【详解】解：， 与轴的夹角为， 旋转后与轴的夹角为且， ， 如图：过点作轴于， 则， 如图，若顺时针旋转，则， ， 若逆时针旋转，则， ， 综上所述，的值为或． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8题，满分58分） 19．计算： (1)解方程； (2) 【答案】(1)无解 (2) 【分析】本题主要考查了解分式方程，特殊角的三角函数值的混合计算： （1）先把方程两边乘以，再解整式方程，然后进行检验确定原方程的解； （2）先利用乘方的意义和特殊角的三角函数值计算，然后合并即可． 【详解】（1）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 检验：当时，，则为原方程的增根， ∴原方程无解； （2）解：原式 ． 20．国家规定，中小学生每天在校体育活动时间不低于1小时，为了了解这项政策的落实情况，有关部门就“你每天在校体育活动时间是多少”的问题，在某校随机抽查了部分学生，再根据活动时间t（h）进行分组（A组：，B组：，C组：，D组：），绘制成如图所示的两幅不完整统计图． 请根据图中信息回答问题： (1)此次抽查的学生数为______人； (2)求A组对应的圆心角度数______，补全条形统计图； (3)从抽查的学生中随机询问一名学生，该生当天在校体育活动时间低于1小时的概率是______； (4)若当天在校学生数为6000人，请估计在当天达到国家规定体育活动时间的学生有多少人？ 【答案】(1)300 (2)，图见解析 (3) (4)3600人 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，求概率，利用样本估计总体： （1）组学生的人数除以所占的百分比，进行求解即可； （2）360度乘以组学生所占的比例求出圆心角的度数，求出两组的人数，补全条形图即可； （3）利用概率公式直接计算即可； （4）利用样本估计总体的思想，进行求解即可． 【详解】（1）解：（人）； 故答案为：300； （2）组人数为：，则组人数为：， ∴A组对应的圆心角度数为，补全图形图如图： 故答案为：； （3）此次抽查的学生有300人，随机询问一人，有300种等可能结果，其中活动时间低于1小时的有种结果， ∴； 故答案为：； （4）（人）； 答：估计在当天达到国家规定体育活动时间的学生有3600人． 21．经销商小李需要购进一批学生画图工具6000套，为此考察了甲、乙两个文具加工厂．已知甲厂的加工能力是乙厂的1.5倍，且甲厂单独加工这批画图工具所需要的天数比乙厂单独加工这批画图工具所需要的天数少10天，还了解到这种画图工具甲厂的出厂价格为6元/套，乙厂的出厂价格为5.6元/套． (1)求甲、乙两个加工厂每天能加工这种画图工具各多少套？ (2)小李计划从甲、乙两厂购买这种画图工具，且费用不超过35400元，他最多能向甲工厂购买多少套这种画图工具？ 【答案】(1)甲工厂每天可加工这种画图工具300套，乙工厂每天可加工这种画图工具200套 (2)4500套 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设乙工厂每天可加工这种画图工具x套，则甲工厂每天可加工这种画图工具套，根据甲厂单独加工这批画图工具所需要的天数比乙厂单独加工这批画图工具所需要的天数少10天，列出分式方程，进行求解即可； （2）设小李向甲工厂购买y套，根据题意，列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：设乙工厂每天可加工这种画图工具x套，则甲工厂每天可加工这种画图工具套，根据题意，可得 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． ． 答：甲工厂每天可加工这种画图工具300套，乙工厂每天可加工这种画图工具200套． （2）设小李向甲工厂购买y套． 根据题意，得， 解得． 答：小李最多能向甲工厂购买4500套画图工具． 22．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，分别在边上画点，连接，使，且． (2)在图②中，分别在边上画点，连接，使，且． (3)在图③中，分别在边上画点，连接，使，且． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】本题考查格点图中画相似三角形： （1）根据相似三角形的判定和相似比，画图即可； （2）根据相似三角形的判定和相似比，画图即可； （3）根据相似三角形的判定和相似比，画图即可； 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）如图，即为所求； 23．小乐同学家住大楼甲中，某个周末，他站在阳台眺望远方，当看到正对面的大楼乙时，陷入了思考：对面的大楼乙有多高？于是小乐做了一个简易的测角仪用来观测大楼乙的顶端与底端．如图，小乐家在点处，当他抬头观察大楼乙的顶端时，记其仰角为，观测大楼乙的底端时，记其俯角为，整理所测数据：，．已知甲、乙两栋大楼的间距为．请根据题目数据帮助小乐计算出大楼乙的高度．（图中所有点在同一个平面内，，，结果保留根号） 【答案】大楼乙的高度为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，仰角与俯角的概念，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点作，垂足为，在中，通过算得，在中，通过算得，最后通过，算得答案． 【详解】如图，过点作，垂足为 根据题意可知， 在中， 在中， 故大楼乙的高度为． 24．如图①，在中，，厘米，动点从点出发以每秒厘米的速度沿向点运动，过点作的垂线交折线于点，过点作的平行线交于点（点在上时，点与点重合），以，为邻边作平行四边形，点D运动的时间为t（秒）． (1)用含t的代数式表示的长； (2)当t为何值时，点E在上； (3)如图②，当直线将平行四边形的面积分为的两部分时，直接写出t的值． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】（1）分和两种情况，结合等腰直角三角形的性质，进行求解即可； （2）点在上时，易得为等腰直角三角形，分别求出的长，根据，列出方程进行求解即可； （3）分和两种情况，画出图形，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：过点作于， ∵，， ∴，， ∴， ∵点运动到时，， ∴当时， ∵，，， ∴； 当时，如图， 同法可得：； 综上：或； （2）解： 当点在上时，如图： ∵，，， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：当时，如图：设交于点， ∵， ∴，的面积等于， ∵直线将平行四边形的面积分为的两部分， ∴， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：， 解得：； 当时，如图： 同法可得：， 由（2）知：，， ∴， ∵， ∴， ∴，即： ， 解得：或（舍去）； 综上：或． 【点睛】本题考查三角形的综合应用．涉及等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，难度大，综合性强，解题的关键是根据题意，画出图形，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解． 25．已知正方形中，点E在边上（不与两端点重合）． (1)如图1，连接，若平分，，求正方形的面积； (2)如图2，将绕点A逆时针方向旋转得到线段，过点H作交于点F，直线交于点G，猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若正方形的边长是4，点P是边上一点，且，连接，，将沿翻折到同一平面上的，连接，，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)或 (3)的最小值为 【分析】（1）如图，过作于，证明，可得正方形的边长，从而可得答案； （2）分两种情况讨论，延长交于M，连接，则和都是等腰直角三角形，得出，，证出，证明得出，，再证明，得出，再进一步即可得出结论． （3）如图，作，证明，可得，可得，，当三点共线，此时最短，此时，再进一步利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图，过作于， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的面积为； （2）解：或； 理由如下：延长交于M，连接，如图所示：当落在的延长线上时， ∵正方形， ∴，，， ∵， ∴和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴． 如图所示：当落在上时， 同理可得：，， ∴． 综上，线段间的数量关系为或． （3）解：∵正方形，， ∴，， 结合轴对称可得：， 如图，作， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 当三点共线， 此时最短，此时， 而， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查的是正方形的性质，角平分线的性质，二次根式的混合运算，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用等知识，其中全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$