专题06 锐角的三角比（六大题型优选题，50题）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（上海专用）

专题06 锐角的三角比（六大题型+优选题，50题） 锐角的三角比的意义 1．（22-23九年级上·上海奉贤·期中）在中，各边的长度都缩小4倍，那么锐角A的余切值（  ） A．扩大4倍 B．保持不变 C．缩小2倍 D．缩小4倍 2．（22-23九年级上·上海青浦·期中）在中，，那么边的长为（ ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·上海奉贤·期中）在中，，如果的正弦值是，那么下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·上海浦东新区·期中）已知中，，CD是AB上的高，则 =（        ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·上海宝山·期中）如果中，那么 （填的三角比） 求角的正弦值、余弦值、正切值 6．（23-24九年级上·上海杨浦·期中）在中，，，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 7．（23-24九年级上·上海宝山·期中）的值等于（    ） A．； B．1； C．； D．. 8．（22-23九年级上·上海奉贤·期中）如图，在平面直角坐标系内有一点，那么与轴正半轴的夹角的正弦值 ． 9．（23-24九年级上·上海青浦·期中）已知点，与轴正半轴的夹角为，则 ． 10．（23-24九年级上·上海浦东新·期中）如果等腰三角形的腰与底边的比是，那么底角的余弦值等于 ． 11．（23-24九年级上·上海·期中）在直角坐标系中，已知，为坐标原点，与轴负半轴的夹角为，则的正切为 ． 12．（23-24九年级上·上海闵行·期中）如图，在中，，边的垂直平分线交边于点D，交边于点E，连结，那么的值是 ． 13．（23-24九年级上·上海松江·期中）如图，在中，，的中垂线交于点D，交于点E，若，，则的正切值为 ．    14．（23-24九年级上·上海杨浦·期中）如图，已知在中，，，点是边的中点，连接，求的正弦值．    15．（23-24九年级上·上海长宁·期中）图，已知在中，，，点为边延长线上一点，连接．求的正切值． 已知正弦值/余弦值/正切值求边长 16．（23-24九年级上·上海闵行·期中）在中，，a，b，c分别表示的对边，那么下列结论中错误的是（        ） A． B． C． D． 17．（22-23九年级上·上海浦东新·期中）在中，，，，那么边的长为（    ） A． B． C． D． 18．（23-24九年级上·上海宝山·期中）已知平面直角坐标系中，第一象限内射线与x轴正半轴的夹角为，点P在射线上，如果且，那么点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 19．（23-24九年级上·上海崇明·期中）在中，，，，那么 ． 20．（23-24九年级上·上海闵行·期中）在中，，，如果，那么 ． 21．（23-24九年级上·上海黄浦·期中）如图已知在中，，正方形的顶点分别在边上，点在斜边上，那么正方形的边长为 ．    22．（23-24九年级上·上海崇明·期中）如图，在中，，，．    (1)求的长． (2)若点D在边上，且，求的值． 23．（23-24九年级上·上海宝山·期中）如图，中，，，D是边的中点，连结．    (1)已知，求的长； (2)求的值． 特殊角三角函数值的混合运算 24．（23-24九年级上·上海崇明·期中）计算： ． 25．（23-24九年级上·上海宝山·期中）计算： . 26．（23-24九年级上·上海青浦·期中） 27．（23-24九年级上·上海松江·期中）计算：． 28．（23-24九年级上·上海宝山·期中）计算；. 29．（23-24九年级上·上海闵行·期中）计算： 30．（23-24九年级上·上海闵行·期中）计算： 31．（23-24九年级上·上海静安·期中）计算：． 根据特殊角三角函数值求角的度数 32．（23-24九年级上·上海浦东新·期中）如果锐角的正切值为，那么锐角为 度 33．（22-23九年级上·上海松江·期中）在中，与是锐角，且，，那么 度． 34．（22-23九年级上·上海崇明·期中）如果为一锐角，且，那么的度数是 ． 35．（22-23九年级上·上海长宁·期中）在中，，，则的度数为 ． 36．（21-22九年级上·上海闵行·期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，点G是△ABC的重心，GC＝4，那么∠GCB的度数为 ． 三角函数综合 37．（22-23九年级上·上海·期中）在中，，若，，那么下列等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 38．（22-23九年级上·上海青浦·期中）已知中，，若，，下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 39．（22-23九年级上·上海崇明·期中）如果直线与轴正半轴的夹角为锐角，那么下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 40．（22-23九年级上·上海黄浦·期中）在中，，那么下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 41．（22-23九年级上·上海静安·期中）如图，在中，，点分别在边上，平分，，，． (1)求的长； (2)求的值． 一、填空题 42．（23-24九年级上·上海黄浦·期中）如图，在中，，是的角平分线，．将绕点A旋转，如果点落在射线上，点落在点处，连接，那么的正切值为 ．    二、解答题 43．（23-24九年级上·上海·期中）我们定义：等腰三角形中底边与腰的长度的比值叫做顶角的正对．如图，在中，，顶角A的正对记作，这时．仔细阅读上述关于顶角的正对的定义，解决下列问题（第（1）（2）不必写出过程） (1)的值为（     ）． A． B．1 C． D．2 (2)对于，的正对值的取值范围是 ． (3)如果，，其中为锐角，试求的值． 44．（23-24九年级上·上海青浦·期中）如图，已知，点P是内一点，，垂足为点C，，，A是延长线上一点，连接并延长与射线交于点B． (1)当点P恰好是线段的中点时，试判断的形状，并说明理由； (2)当的长度为多少时，是等腰三角形； (3)设，是否存在适当的k，使得，若存在，试求出k的值；若不存在，试说明理由． 45．（23-24九年级上·上海崇明·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B在x轴负半轴上，且．    (1)求的长及的正弦值． (2)若点C在x轴正半轴上，且．点D是x轴上的动点，当时，求点D坐标． 46．（23-24九年级上·上海宝山·期中）如图，在直角坐标平面内，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、B，将该直线向上平移，使点A落在点P处，平移后所得直线与x轴交于点C．    (1)求的正切值； (2)如果四边形是等腰梯形，求平移后的直线表达式； (3)如果与相似，求这时四边形的面积． 47．（23-24九年级上·上海闵行·期中）在矩形中，，．点P是射线上的动点，联结； (1)如图1，当交于点E时，求的值； (2)如图2，当点P在边上时（与端点B，C不重合），过点P作的垂线，交于点F，交于点G．设，，求y关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (3)将沿直线翻折，点B落在点Q处，直线交边于点M，当时，求的长． 48．（23-24九年级上·上海闵行·期中）计算： 49．（23-24九年级上·上海普陀·期中）如图，在等腰中，，点是射线上的一点，联结，以为底边作等腰，使得，联结．    (1)求边的长； (2)当点在线段上时，记线段的长为，的面积为，求关于的函数解析式，并写出的取值范围； (3)当取何值时，是直角三角形． 50．（23-24九年级上·上海黄浦·期中）已知：如图，在矩形中，是对角线上一点（与不重合），平分交边于点，交于点．    (1)当时，求的长； (2)当与相似时，求的正切值； (3)如果的面积是面积的2倍，求的长． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 锐角的三角比（六大题型+优选题，50题） 锐角的三角比的意义 1．（22-23九年级上·上海奉贤·期中）在中，各边的长度都缩小4倍，那么锐角A的余切值（  ） A．扩大4倍 B．保持不变 C．缩小2倍 D．缩小4倍 【答案】B 【分析】根据题意可知大小不变，即得出锐角A的余切值保持不变． 【详解】解：∵在中，各边的长度都缩小4倍， ∴各角的大小不变，即大小不变． ∵一个角的锐角三角函数值只与角的大小有关， ∴锐角A的余切值保持不变． 故选B． 【点睛】本题考查锐角三角函数．理解一个角的锐角三角函数值只与角的大小有关是解题关键． 2．（22-23九年级上·上海青浦·期中）在中，，那么边的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知，将代入即可求得． 【详解】如图所示：在中，， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义，明确锐角三角函数的定义求得是解题的关键． 3．（23-24九年级上·上海奉贤·期中）在中，，如果的正弦值是，那么下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据锐角的正弦三角函数的定义，即可得到答案. 【详解】∵在中，，的正弦值是， ∴sinA==， ∴， 故选A. 【点睛】本题主要考查三角函数的定义，掌握锐角的正弦三角函数的定义，是解题的关键. 4．（23-24九年级上·上海浦东新区·期中）已知中，，CD是AB上的高，则 =（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据锐角三角函数的定义解答． 【详解】 解：∵△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB， ∴∠A=∠BCD， ∴ . 故选D． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义．三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数． 5．（23-24九年级上·上海宝山·期中）如果中，那么 （填的三角比） 【答案】 【分析】根据直角三角形中余弦性质求解即可 【详解】∵直角三角形中，余弦等于邻边比斜边 ∴= ∴答案为cosB 【点睛】本题主要考查了余弦的性质，熟练掌握相关性质是解题关键 求角的正弦值、余弦值、正切值 6．（23-24九年级上·上海杨浦·期中）在中，，，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据锐角三角函数的定义，即可求解． 【详解】解：如图，    ∵， ∴可设， ∴， A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项正确，符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 7．（23-24九年级上·上海宝山·期中）的值等于（    ） A．； B．1； C．； D．. 【答案】B 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，根据即可求解，正确掌握几个特殊角的三角函数值是解题的关键，属于基础题． 【详解】解：． 故选：B． 8．（22-23九年级上·上海奉贤·期中）如图，在平面直角坐标系内有一点，那么与轴正半轴的夹角的正弦值 ． 【答案】 【分析】过点作轴于点，由点的坐标得、的长，根据勾股定理求出，然后根据正弦函数的定义得结论． 【详解】解：过点作轴于点， ， ，， ， 与轴正半轴所夹的角的正弦值为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，坐标与图形性质，勾股定理．解决本题的关键是构造直角三角形． 9．（23-24九年级上·上海青浦·期中）已知点，与轴正半轴的夹角为，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了点的坐标、勾股定理、锐角三角函数的定义，利用勾股定理求出，根据余弦的定义即可求解，掌握余弦的定义是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作轴于点，则， ∵点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（23-24九年级上·上海浦东新·期中）如果等腰三角形的腰与底边的比是，那么底角的余弦值等于 ． 【答案】 【分析】如图，中，根据等腰三角形的腰与底边的比是，设腰长为，底边长，作于E，则，在中，根据，即可解决问题． 【详解】解：如图，中， ∵等腰三角形的腰与底边的比是， 设腰长为，底边长， 作于E， ∴，      在中， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一性质，余弦函数，熟练掌握函数的定义是解题的关键． 11．（23-24九年级上·上海·期中）在直角坐标系中，已知，为坐标原点，与轴负半轴的夹角为，则的正切为 ． 【答案】 【分析】本题考查角的正切，过点P作轴于点A，构造直角三角形，根据正切等于对边比邻边进行求解． 【详解】解：如图，过点P作轴于点A， ∵点P的坐标为， ∴，， ∵与轴负半轴的夹角为， ∴的正切为， 故答案为：． 12．（23-24九年级上·上海闵行·期中）如图，在中，，边的垂直平分线交边于点D，交边于点E，连结，那么的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，线段垂直平分线的性质，设，由线段垂直平分线的性质推出，由勾股定理得到，求出，因此，根据即可求出． 【详解】解：设，则， 垂直平分， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13．（23-24九年级上·上海松江·期中）如图，在中，，的中垂线交于点D，交于点E，若，，则的正切值为 ．    【答案】 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，勾股定理，三角函数．由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质得到线段相等，再根据勾股定理求出的长即可，进行线段的等量代换是正确解答本题的关键． 【详解】解：设，则，   垂直平分， ， 在中，， ， 解得：，即， ， 故答案为：． 14．（23-24九年级上·上海杨浦·期中）如图，已知在中，，，点是边的中点，连接，求的正弦值．    【答案】 【分析】过点A作于点E，D作于点F，根据勾股定理求出长，然后根据中点和相似三角形得到和长，再利用勾股定理得到长求出的正弦值． 【详解】过点A作于点E，D作于点F，    ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵点是边的中点， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，三角函数值，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 15．（23-24九年级上·上海长宁·期中）图，已知在中，，，点为边延长线上一点，连接．求的正切值． 【答案】 【分析】本题主要考查解直角三角形，运用了三角函数概念，勾股定理和等腰三角形三线合一的性质． 【详解】解：过点A作与交点H． ∵在中，，， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， 则， 故答案为：． 已知正弦值/余弦值/正切值求边长 16．（23-24九年级上·上海闵行·期中）在中，，a，b，c分别表示的对边，那么下列结论中错误的是（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据锐角三角函数的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：如图，    ∵， ∴，故A选项错误，符合题意； ∵， ∴，故B选项正确，不符合题意； ∵， ∴，故C选项正确，不符合题意； ∵， ∴，故D选项正确，不符合题意； 故选：A 【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角的对边与斜边的比叫做该锐角的正弦；锐角的邻边与斜边的比叫做该锐角的余弦；锐角的对边与邻边的比叫做该锐角的正切是解题的关键． 17．（22-23九年级上·上海浦东新·期中）在中，，，，那么边的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数值的求值可以求得，故根据即可求得的值，即可解题． 【详解】解：，，， 则， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了直角三角形三角函数值的计算，解题的关键是明确三角函数值得定义求得． 18．（23-24九年级上·上海宝山·期中）已知平面直角坐标系中，第一象限内射线与x轴正半轴的夹角为，点P在射线上，如果且，那么点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数；过点P作轴于点H，根据“锐角的邻边与斜边的比叫做该锐角的余弦”可得，再由勾股定理求出，即可． 【详解】解：如图，过点P作轴于点H， ∵且， ∴， 解得：， ∴， ∴点P的坐标是． 故选：B 19．（23-24九年级上·上海崇明·期中）在中，，，，那么 ． 【答案】4 【分析】本题考查了余弦．熟练掌握：是解题的关键．根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，    ∵，，， ∴，即，解得，， 故答案为：4． 20．（23-24九年级上·上海闵行·期中）在中，，，如果，那么 ． 【答案】 【分析】根据余弦定义求得，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查余弦定义、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数是解答的关键． 21．（23-24九年级上·上海黄浦·期中）如图已知在中，，正方形的顶点分别在边上，点在斜边上，那么正方形的边长为 ．    【答案】 【分析】由正方形，设，由，可得，则，即，，解得，，，根据，代值计算求解即可． 【详解】解：∵正方形， ∴，， 设， ∵， ∴， ∴，即， ∴，解得，，， ∵， ∴，解得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，余切，一元一次方程的应用．解题的关键在于正确表示余切，确定线段之间的数量关系． 22．（23-24九年级上·上海崇明·期中）如图，在中，，，．    (1)求的长． (2)若点D在边上，且，求的值． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题考查了正弦，正切，勾股定理．熟练掌握，是解题的关键． （1）如图1，过A作于E．在中，由，解得，由勾股定理得，．在中，由，解得，根据，计算求解即可． （2）如图2，过D作于H．由题意知，，，在中，由，设，则，由勾股定理得，，由，解得，则，，由（1）知，，则，在中，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：如图1，过A作于E．    在中， ∵，，解得， 由勾股定理得，． 在中， ∵，解得， ∴． （2）解：如图2，过D作于H．    ∵，， ∴，， 在中，， 设，则， 由勾股定理得，， 又∵， 解得， ∴，， 由（1）知，， ∴， 在中，， ∴的值为． 23．（23-24九年级上·上海宝山·期中）如图，中，，，D是边的中点，连结．    (1)已知，求的长； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了解直角三角形，掌握三角函数的定义是解题的关键． （1）根据题意设，则，利用勾股定理列式计算求得，据此求解即可； （2）作于，求得，利用余弦函数求得，再利用勾股定理和余切函数的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴设，则， ∵，即， 解得， ∴； （2）解：作于，    由（1）得， ∵D是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 特殊角三角函数值的混合运算 24．（23-24九年级上·上海崇明·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了求特殊角的三角函数值，将特殊角的三角函数代入，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 25．（23-24九年级上·上海宝山·期中）计算： . 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为． 26．（23-24九年级上·上海青浦·期中） 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数运算，零指数幂运算，把特殊角的三角函数值代入原式计算即可，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：原式， =， ， ， ， ， ， ． 27．（23-24九年级上·上海松江·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查特殊三角函数值的混合运算，先求出特殊三角函数值，再代入式子计算即可求解． 【详解】解： 28．（23-24九年级上·上海宝山·期中）计算；. 【答案】 【分析】由、二次根式化简、特殊角的三角函数值化简后，再进行计算，即可求解． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握绝对值的性质，最简二次根式的化法，特殊角的三角函数值是解题的关键． 29．（23-24九年级上·上海闵行·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答． 【详解】解：原式= = 故答案为： 30．（23-24九年级上·上海闵行·期中）计算： 【答案】 【分析】代入特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】解： 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算．熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键． 31．（23-24九年级上·上海静安·期中）计算：． 【答案】 【分析】根据特殊角的三角函数值和零指数幂的性质计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数计算和零指数幂的性质，牢记特殊角的三角函数值是解题关键． 根据特殊角三角函数值求角的度数 32．（23-24九年级上·上海浦东新·期中）如果锐角的正切值为，那么锐角为 度 【答案】 【分析】根据特殊角的三角函数值，即可解答． 【详解】解：因为锐角的正切值为，即， 所以锐角为度， 故答案为：． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 33．（22-23九年级上·上海松江·期中）在中，与是锐角，且，，那么 度． 【答案】 【分析】先根据特殊角的三角函数值得出锐角、的值，再根据三角形的内角和定理即可得出答案 【详解】解：∵，，与是锐角， ∴，， ∴； 故答案为． 【点睛】本题考查了由特殊角的函数值求角度，以及三角形的内角和定理，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 34．（22-23九年级上·上海崇明·期中）如果为一锐角，且，那么的度数是 ． 【答案】/度 【分析】根据特殊角的三角函数值即可得出答案． 【详解】解：∵为一锐角，且， ∴的度数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握“”的正切值、正弦值、余弦值是解本题的关键． 35．（22-23九年级上·上海长宁·期中）在中，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】根据特殊角的三角函数，，确定，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】因为， 所以， 因为， 所以， 故答案为：85． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 36．（21-22九年级上·上海闵行·期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，点G是△ABC的重心，GC＝4，那么∠GCB的度数为 ． 【答案】30°/30度 【分析】连接并延长交于点，过点作，进而可得，根据重心的性质以及平行线分线段成比例，可得，解直角三角，即可求得，根据平行线的性质即可求得∠GCB的度数． 【详解】解：如图，连接并延长交于点，过点作， ∵ ∴ ， 是△ABC的重心， 即∠GCB 故答案为：30° 【点睛】本题考查了三角形重心的性质，平行线分线段成比例，解直角三角形，掌握以上知识是解题的关键． 三角函数综合 37．（22-23九年级上·上海·期中）在中，，若，，那么下列等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用勾股定理求出，根据锐角三角函数的定义，分别计算的三角函数值即可． 【详解】解：如图所示， ∵，，， ∴， ∴，选项A正确，符合题意； ，选项B错误，不符合题意； ，选项C错误，不符合题意； ，选项D错误，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 38．（22-23九年级上·上海青浦·期中）已知中，，若，，下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先用勾股定理求得第三边的长，再根据锐角三角函数的定义分别进行求解即可. 【详解】，，， ， A.，故此选项正确； B.，故此选项错误； C.，故此选项错误； D.，故此选项错误． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，熟练应用锐角三角函数的定义是解决问题的关键． 39．（22-23九年级上·上海崇明·期中）如果直线与轴正半轴的夹角为锐角，那么下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在直线上任取一点，过点作轴的垂线，垂足为点，则可求得的正余弦、正余切值，从而可得答案． 【详解】解：如下图，在直线上任取一点，过点作轴的垂线，垂足为点， 则 ，， 由勾股定理，可得 ， 在直角中， ，， ，， 故选项C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正比例函数的图像与性质、锐角三角函数等知识，关键是画出图形，并在直线任取一点，作 轴的垂线构造直角三角形． 40．（22-23九年级上·上海黄浦·期中）在中，，那么下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用勾股定理计算出，然后根据正弦、余弦、余切和正切的定义对各选项进行判断． 【详解】解：中，∵， ∴， ∴，， ，． 故选：A． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌握锐角的正弦、余弦、余切和正切的定义是解决问题的关键． 41．（22-23九年级上·上海静安·期中）如图，在中，，点分别在边上，平分，，，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）由，，，并结合勾股定理可求出、的长，由角平分线的性质可得，即可获得答案； （2）首先证明，由全等三角形的性质可得，然后由，求出的长，从而求出的值． 【详解】（1）解：∵，， 在，， 设，， 由勾股定理可得，即， 解得 （舍去）或， ∴，， ∵平分，，， ∴； （2）∵，，， 又∵， ∴， ∴， 设，在中，， 解得，即， ∴在中，． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理、三角函数的定义、勾股定理以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 一、填空题 42．（23-24九年级上·上海黄浦·期中）如图，在中，，是的角平分线，．将绕点A旋转，如果点落在射线上，点落在点处，连接，那么的正切值为 ．    【答案】 【分析】设点C落在射线上的点处，设，，根据角平分线的性质和旋转的性质可得，进而得到，即可求解． 【详解】解：设点C落在射线上的点处，如图，    ∵，，. 设，， 则， ∵是的角平分线， ∴， ∵将绕点A旋转， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ 由①②得：， 由旋转的性质可知，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等；计算出的长是解决问题的关键． 二、解答题 43．（23-24九年级上·上海·期中）我们定义：等腰三角形中底边与腰的长度的比值叫做顶角的正对．如图，在中，，顶角A的正对记作，这时．仔细阅读上述关于顶角的正对的定义，解决下列问题（第（1）（2）不必写出过程） (1)的值为（     ）． A． B．1 C． D．2 (2)对于，的正对值的取值范围是 ． (3)如果，，其中为锐角，试求的值． 【答案】(1)B (2) (3) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角函数，勾股定理以及三角形的三边关系等知识． （1）先判断为等边三角形，得到，最后根据新定义求解即可； （2）先根据三角形的三边关系和等腰三角形的性质得到，最后根据新定义求解即可； （3）过点作于点，则，设，，然后用勾股定理求出、，最后根据新定义求解即可． 【详解】（1）解：在中，，， 为等边三角形， ， ， 故选：B； （2）在中，根据三角形的三边关系得：， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）如图，过点作于点，则， ， 设，， 在中，， 是等腰三角形， ， ， 在中，， ． 44．（23-24九年级上·上海青浦·期中）如图，已知，点P是内一点，，垂足为点C，，，A是延长线上一点，连接并延长与射线交于点B． (1)当点P恰好是线段的中点时，试判断的形状，并说明理由； (2)当的长度为多少时，是等腰三角形； (3)设，是否存在适当的k，使得，若存在，试求出k的值；若不存在，试说明理由． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2)的值为或或1 (3)存在，k的值为 【分析】（1）如图，作于，证明，则，即，解得，，，由，可得，解得，，由，可得，由，可得，然后作答即可； （2）设，，则， ，，，由勾股定理得，证明，则，即，解得，，，，由题意知，当是等腰三角形时，分①，②，③，三种情况，根据等量关系进行求解即可； （2）同理（2），则，，，由，，可得，，则，结合，计算求出满足要求的的解，进而可求． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵点P恰好是线段的中点， ∴， 如图，作于， ∵， ∴， ∴， ∴，即，解得，，， ∴， ∵， ∴，解得，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：设，，则， ，，， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∴，即，解得，， ∴，， 由题意知，当是等腰三角形时，分①，②，③，三种情况求解； ①当时，则，解得，； ②当时，则，解得，； ③当时，则，解得，或（舍去）； 综上所述，的值为或或1； （3）解：同理（2），则，， ∴， ∵，， ∴，解得，， ∵， ∴， 解得，， ∵， ∴， 解得，或（舍去）， ∴， ∴存在，k的值为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，正切，三角形内角和等知识．熟练掌握相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，正切是解题的关键． 45．（23-24九年级上·上海崇明·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B在x轴负半轴上，且．    (1)求的长及的正弦值． (2)若点C在x轴正半轴上，且．点D是x轴上的动点，当时，求点D坐标． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查勾股定理，三角函数以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意得到的长，再求出，结合勾股定理以及三角函数即可求解； （2）连接，设，当点D在C左侧时以及当点D在点C右侧时两种情况分情况讨论． 【详解】（1）解：， ． 在中， ， ，， ，． （2）解：联结，设． 在中， ，， ， ①当点D在C左侧时，，． ，， ， ， ， ，． ②当点D在点C右侧时，，． ， ． 在中，， ， ，．    综上所述，，． 46．（23-24九年级上·上海宝山·期中）如图，在直角坐标平面内，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、B，将该直线向上平移，使点A落在点P处，平移后所得直线与x轴交于点C．    (1)求的正切值； (2)如果四边形是等腰梯形，求平移后的直线表达式； (3)如果与相似，求这时四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求出的坐标，设向上平移个单位，得到直线的解析式，进而得到点坐标，根据正切的定义，进行求解即可； （2）根据平移，得到，进而得到当四边形是等腰梯形时，，过点作轴，在中，利用勾股定理，求出的值，即可； （3）分和两种情况进行讨论求解． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，， ∴，， 设直线向上平移个单位，则点平移后的对应点为，平移后直线的解析式为， ∴当时，， ∴， ∴轴，，    ∴； （2）如图，    ∵平移， ∴， ∴当四边形是等腰梯形时，， 由（1）知：，， ∴， 过点作轴于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 即：， 解得：（不合题意，舍去）或； ∴直线的解析式为：； （3）①当时，如图：    则：， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴轴， ∵， ∴， ∴，， ∴四边形的面积为； 当时，如图：    则：，， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为； 综上：四边形的面积为或． 【点睛】本题考查一次函数图象的平移，解直角三角形，勾股定理，等腰梯形的性质，相似三角形的判定和性质．解题的关键是读懂题意，正确的画出图象，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，属于压轴题． 47．（23-24九年级上·上海闵行·期中）在矩形中，，．点P是射线上的动点，联结； (1)如图1，当交于点E时，求的值； (2)如图2，当点P在边上时（与端点B，C不重合），过点P作的垂线，交于点F，交于点G．设，，求y关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (3)将沿直线翻折，点B落在点Q处，直线交边于点M，当时，求的长． 【答案】(1) (2)（） (3)的长为 【分析】（1）由矩形的性质可得，，，，证明，则，，即，解得，，根据，计算求解即可； （2）如图1，作于点H，证明，则，，即，解得，，证明，则，由，可得，设，则，则，解得，，由，可得，解得，，进而可得（）． （3）由，，可得，，由题意知，分①点M在延长线上，②点M在边上，两种情况求解：①当点M在延长线上时，如图2，作于点N，证明，则，进而可得；②当M在边上时，如图3，作于点N，同理求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴，即，解得， ∴， ∴； （2）解：如图1，作于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，即，解得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴，解得，， ∵， ∴，解得，， ∴（）． （3）解：∵，， ∴，， 由题意知，分①点M在延长线上，②点M在边上，两种情况求解： ①当点M在延长线上时，如图2，作于点N， ∴，， 由翻折得，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； ②当M在边上时，如图3，作于点N， ∴，， 同理，，， ∴． 综上：的长为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正切，全等三角形的判定与性质，折叠的性质．解题的关键在于利用相似三角形的判定与性质确定线段之间的数量关系． 48．（23-24九年级上·上海闵行·期中）计算： 【答案】 【分析】直接利用特殊角的三角函数值，分别代入计算得出答案． 【详解】解：原式 ． 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 49．（23-24九年级上·上海普陀·期中）如图，在等腰中，，点是射线上的一点，联结，以为底边作等腰，使得，联结．    (1)求边的长； (2)当点在线段上时，记线段的长为，的面积为，求关于的函数解析式，并写出的取值范围； (3)当取何值时，是直角三角形． 【答案】(1)12 (2) (3)或20 【分析】（1）如图1中，过作于，解直角三角形求出，再利用等腰三角形的性质即可解决问题； （2）首先证明，利用相似三角形的性质求出（用表示），即可解决问题； （3）分两种情形和．分别求解即可解决问题； 【详解】（1）解：如图1中，过作于F， 则， 设 ， ， ； （2）如图1中，设交于点．    ∵， ， ， ∴， ， ， ， ， ， （3）当时，， 如图2中，当时，作于． 综上所述，满足条件的的值为或20．    【点睛】本题属于相似三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题 50．（23-24九年级上·上海黄浦·期中）已知：如图，在矩形中，是对角线上一点（与不重合），平分交边于点，交于点．    (1)当时，求的长； (2)当与相似时，求的正切值； (3)如果的面积是面积的2倍，求的长． 【答案】(1)； (2)或1； (3) 【分析】（1）根据矩形的性质和角平分线的性质可得，可得，再根据，，可得，进而证明，即可求解； （2）分为当时及当时两种情况进行讨论，再求解即可； （3）过F作，根据的面积是面积的2倍和平分可得，进而证明，，设，即可求解． 【详解】（1）解：∵，四边形是矩形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：当时， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， （2）满足（1）的条件， 由（1）得：，， ∴； 当时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或1； （3）解：过F作，如图，    在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ， ①式可化成：， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴， ∴H为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，， ∴，，解得：； 【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，正确地作出辅助线是解题关键． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$