期中押题卷03-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期中真题分类汇编（上海专用）

期中押题卷03 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1．根式中，与是同类二次根式的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 2．关于的两个方程，中至少有一个方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 3．若是方程的根，则的值为（　　） A．2021 B．2023 C．2025 D．2029 4．若，，则a与b的关系是（    ） A． B． C． D． 5．当，时，在下列各式的计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 6．电影《志愿军》不仅讲述了中国人民志愿军抗美援朝的故事，更是通过鲜活生动的人物塑造，让观众体会到历史事件背后的人性和情感，一上映就获得全国人民的追捧．某地第一天票房约3亿元，若以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7．已知关于x的一元二次方程根的判别式的值为16，则m的值为 ． 8．有一人患了流感，经过两轮传染后共有 169人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了 人． 9．已知，则代数式的值是 ． 10．若最简二次根式与是同类二次根式，则代数式的值为 ． 11．已知一个三角形的三边长，就可以求它的面积，这在中外数学历史上早有数学家推导出了公式，如古希腊的海伦公式，我国的秦九韶公式：设三边长分别为a，b，c，．则： （海伦公式）； （秦九韶公式）． 计算三边长为5，6，7的三角形的面积得 ． 12．关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解为 13．观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是 ． 14．已知等腰的一条边长为4，另外两边长是关于的方程的两根，则三角形的周长为 ． 15．已知实数a，b，c满足，，则 ． 16．已知，，，……，（，且为正整数）．若，则的值为 ． 17．已知，，且，则 ． 18．求值： ． 三、解答题（本大题共7题，满分58分） 19．用合适的方法解方程． (1) (2) (3)（两种方法） 20．若一个含根号的式子可以写成的平方（其中a，b，m，n都是整数，x为正整数），即，则称为完美根式．是的完美平方根、例如：因为，所以是的完美平方根． (1)已知是的完美平方根，求a的值； (2)已知是一个根式的完美平方根，求这个根式． 21．先观察下列等式，再回答问题： ① ② ③ (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想 的结果： (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式： (3)计算： 22．“端午杨梅挂篮头， 夏至杨梅满山头”．端午期间， 某水果店以每千克 60 元的价格出售杨梅， 每天可卖出 150 千克， 后期因杨梅的大量上市， 水果店决定采用降价促销的方式吸引顾客， 若已知杨梅售价每千克下降 2 元， 则每天能多售出 6 千克（同一天中售价不变） (1)设售价每千克下降 元，则每天能售出 千克（用含 的代数式表示） (2)当杨梅每千克售价为多少元时，每天能获得 9072 元的销售额； (3)水果店定了 “每天售出杨梅的销售额为 10000 元” 的 “小目标”， 按题目的条件否能达成这个 “小目标”？ 若能达成， 求出达成时的售价； 若不能达成， 请说明理由． 23．已知关于x的一元二次方程，如果a，b，c满足，我们就称这个一元二次方程为波浪方程． (1)判断方程是否为波浪方程，并说明理由． (2)已知关于x的波浪方程的一个根是，求这个波浪方程． 24．若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”，的两根均为整数，其“快乐数”，若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”． (1)“快乐方程”的“快乐数”为________； (2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“快乐方程”，求的值，并求该方程的“快乐数”； (3)若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求的值． 25．如图，在中，，． (1)如图，求证． (2)如图，点是上一点，连接过点作，连接，求的度数． (3)如图，在（）的条件下，在上取点，连接交于点，连接交于点，若，，求的值． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中押题卷03 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1．根式中，与是同类二次根式的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，把二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，那么这样的二次根式叫做最简二次根式，据此求解即可． 【详解】解：，，，，， ∴与是同类二次根的有，共1个， 故选：A． 2．关于的两个方程，中至少有一个方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】解：本题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程，当时，方程有实数根，是解答本题的关键．根据方程有实根，求出m的取值范围即可． 【详解】解：对于， 当时，该方程有实数根， 即时，该方程有实数根， 对于， 当时，该方程有实数根， 即时，该方程有实数根， ∴当或时，关于的两个方程，中至少有一个方程有实数根， 故选：B． 3．若是方程的根，则的值为（　　） A．2021 B．2023 C．2025 D．2029 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解（使方程左右两边相等的未知数的值），根据题意可得，从而可得，然后代入式子中进行计算即可．掌握方程解的定义是解题的关键．也考查了求代数式的值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 4．若，，则a与b的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的大小比较及分母有理化，先根据二次根式的运算法则将分母有理化，再将与比较即可． 【详解】解：， ， ， 故选：D 5．当，时，在下列各式的计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，二次根式有意义的条件，根据二次根式性质，结合，，逐项进行化简，然后得出答案即可． 【详解】解：A．∵，， ∴， ∴无意义，故A错误； B．∵，， ∴，故B正确； C．∵，， ∴，故C错误； D．∵，， ∴，故D错误． 故选：D． 6．电影《志愿军》不仅讲述了中国人民志愿军抗美援朝的故事，更是通过鲜活生动的人物塑造，让观众体会到历史事件背后的人性和情感，一上映就获得全国人民的追捧．某地第一天票房约3亿元，若以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了增长率问题(一元二次方程的应用)，根据题意求出第二天和第三天的票房即可求解． 【详解】解：由题意得：第二天的票房为亿元，第三天的票房为亿元， ∴ 故选：D． 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7．已知关于x的一元二次方程根的判别式的值为16，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式为，代入数据求解即可 【详解】解：， ， ， 解得， 故答案为：． 8．有一人患了流感，经过两轮传染后共有 169人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了 人． 【答案】12 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设平均一人传染了x人，一轮传染后有人，根据经过两轮传染后共有169人患了流感，列方程求解即可． 【详解】解：设平均一人传染了x人， 由题意得：， 解得或（舍去）． ∴平均一人传染12人． 故答案为：12． 9．已知，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，先将变形为，再将代入即得答案． 【详解】∵， ∴ ． 故答案为：． 10．若最简二次根式与是同类二次根式，则代数式的值为 ． 【答案】7 【分析】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，也考查了代数式求值．根据最简二次根式与同类二次根式的定义列方程组求解后，再求代数式的值即可． 【详解】解：由题意，得 ， 解得， 故答案为：7 11．已知一个三角形的三边长，就可以求它的面积，这在中外数学历史上早有数学家推导出了公式，如古希腊的海伦公式，我国的秦九韶公式：设三边长分别为a，b，c，．则： （海伦公式）； （秦九韶公式）． 计算三边长为5，6，7的三角形的面积得 ． 【答案】 【分析】此题考查二次根式的应用，解题关键在于结合题意列相应的二次根式并将其化简． 根据题目中的秦九韶公式，可以求得一个三角形的三边长分别为的面积，从而可以解答本题． 【详解】解：∵， ∴若一个三角形的三边长分别为， 则面积是：， 故答案为：． 12．关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解为 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解．可把方程看作关于的一元二次方程，从而得到，，解之即可得出结论． 【详解】解：可把方程看作关于的一元二次方程， 关于的方程的解是，， 关于的方程的解是，， ，． 故答案为：，． 13．观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解．根据图表数据找出一元二次方程等于0时，未知数的值的范围，即可得到答案． 【详解】解：时，，时，， ∴一元二次方程的解的范围是． 故答案为： 14．已知等腰的一条边长为4，另外两边长是关于的方程的两根，则三角形的周长为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分当腰长为4时，当底边长为4时，两种情况根据根与系数和判别式求出方程的两个根，进而确定等腰三角形的三边长，再根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：当腰长为4时，则是方程的一个根，设方程的另一个根为y， ∴， 解得， ∵， ∴此时能组成三角形， ∴等腰三角形的底边长为， ∴该等腰三角形的周长为； 当底边长为4时，则关于的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， ∵等腰三角形的腰长为正数，且由根与系数的关系可知腰长的2倍为m的值， ∴，腰长为， ∵， ∴此时能组成三角形， 该等腰三角形的周长为； 综上所述，该等腰三角形的周长为或， 故答案为；或． 15．已知实数a，b，c满足，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，非负数的性质，先把代入中得到，再由非负数的性质求出，进而求出，据此可得答案． 【详解】解；∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．已知，，，……，（，且为正整数）．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减乘除运算，一元二次方程的求解，分别用a表示出至，然后将至代入得到关于a的方程，解出a的值即可． 【详解】解：， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， 整理得：， 解得：， 故答案为：． 17．已知，，且，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系、一元二次方程根的定义、分式的运算．根据一元二次方程根的定义得到a、b是一元二次方程的两根，得到a和b的和与积，再把两根和与两根积求出，代入所求的式子中即可求出结果． 【详解】解：∵，， ∴a、b为方程的两个根， ∴，． ． 故答案为：． 18．求值： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的运算，完全平方公式的应用，先推导公式，然后利用公式计算即可． 【详解】解： ， ∴原式 ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7题，满分58分） 19．用合适的方法解方程． (1) (2) (3)（两种方法） 【答案】(1)， (2)， (3)或 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）运用配方法解一元二次方程可得； （2）运用公式法解一元二次方程可得； （3）运用因式分解法和直接开平方法求解可得． 【详解】（1）解： 解得，； （2） 解：， ， ∴， 解得：，； （3）解： 方法一： 即 ∴或， 解得或； 方法二：， ∴或， 解得或． 20．若一个含根号的式子可以写成的平方（其中a，b，m，n都是整数，x为正整数），即，则称为完美根式．是的完美平方根、例如：因为，所以是的完美平方根． (1)已知是的完美平方根，求a的值； (2)已知是一个根式的完美平方根，求这个根式． 【答案】(1)； (2)这个根式为为． 【分析】本题主要考查了新定义“完美根式”与“完美平方根”，正确理解新定义是解题关键． （1）根据完美平方根的定义，即可获得答案； （2）设这个根式为，根据完美根式的定义，可求得的值． 【详解】（1）解：∵是的完美平方根， ∴， ∴； （2）解：设这个根式为， 则是的完美平方根， ∴， ∴这个根式为为． 21．先观察下列等式，再回答问题： ① ② ③ (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想 的结果： (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式： (3)计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，数字的变化类规律型及有理数加减混合运算，根据题意，理解题目所给的规律，并应用规律进行计算是解决本题的关键． （1）根据题目所给的例题可知可化为，计算即可得出答案； （2）利用根据前面等式的规律求解； （3）根据题意可化为，根据有理数加法计算即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意可得： （2）第n个式子为：； （3） ． 22．“端午杨梅挂篮头， 夏至杨梅满山头”．端午期间， 某水果店以每千克 60 元的价格出售杨梅， 每天可卖出 150 千克， 后期因杨梅的大量上市， 水果店决定采用降价促销的方式吸引顾客， 若已知杨梅售价每千克下降 2 元， 则每天能多售出 6 千克（同一天中售价不变） (1)设售价每千克下降 元，则每天能售出 千克（用含 的代数式表示） (2)当杨梅每千克售价为多少元时，每天能获得 9072 元的销售额； (3)水果店定了 “每天售出杨梅的销售额为 10000 元” 的 “小目标”， 按题目的条件否能达成这个 “小目标”？ 若能达成， 求出达成时的售价； 若不能达成， 请说明理由． 【答案】(1) (2)每千克售价为 54 元或 56 元时， 每天能获得 9072 元的销售额 (3)不能达到这个 “小目标”，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据某水果店以每千克60元的价格出售杨梅，每天可卖出150千克，已知杨梅售价每千克下降2元，则每天能多售出6千克（同一天中售价不变）．即可得出结论； （2）设售价每千克下降元，根据每天能获得9072元的销售额，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （3）设售价每千克下降元，根据每天售出杨梅的销售额为10000元，列出一元二次方程，再由各边的判别式即可得出结论． 【详解】（1）由题意可知，每天能售出：千克，即千克， 故答案为：； （2）设售价每千克下降元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 或， 答：每千克售价为54元或56元时，每天能获得9072元的销售额； （3）按题目的条件不能达成这个“小目标”，理由如下： 设售价每千克下降元， 由题意得：， 整理得：， ， 不能达到这个“小目标”． 23．已知关于x的一元二次方程，如果a，b，c满足，我们就称这个一元二次方程为波浪方程． (1)判断方程是否为波浪方程，并说明理由． (2)已知关于x的波浪方程的一个根是，求这个波浪方程． 【答案】(1)该方程是波浪方程 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，理解题中所给波浪方程的定义及熟知一元二次方程解得定义是解题的关键． （1）根据波浪方程的定义对所给方程进行判断即可． （2）根据波浪方程的定义，结合方程的一个根为，得到关于a，c的方程组即可解决问题． 【详解】（1）解：，，， ， 故该方程是波浪方程； （2）解：由已知得： 解得， 这个波浪方程为． 24．若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”，的两根均为整数，其“快乐数”，若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”． (1)“快乐方程”的“快乐数”为________； (2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“快乐方程”，求的值，并求该方程的“快乐数”； (3)若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求的值． 【答案】(1) (2)， (3)n的值为0或3 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式以及“快乐方程”的定义，读懂题目中“快乐方程”， “快乐数”的定义是解题的关键． （1）根据“快乐数”的定义即可求出“快乐方程”的“快乐数”； （2）先计算，根据“快乐方程”的定义，得到为完全平方数，根据，得到，即可求出或36，根据m为整数，即可求出m的值，即可求其“快乐数”； （3）关于x的一元二次方程是“快乐方程”，即可求出m的值，求出方程的“快乐数”，根据“开心数”的定义即可求出n的值． 【详解】（1）解：方程的“快乐数为：， 故答案为：； （2）解：方程， ∴， ∵， ∴， 又方程是“快乐方程”， ∴或36， ∴，（舍去）， ∴方程为：， 则， 故其“快乐数”数是； （3）解：， ∴， 设， 则， 又与同奇偶， ∴或或或 解得或， ∴方程为：或； ， ∴， ， 当时， ∵两方程的“快乐数”互为“开心数”， ∴， 解得：或（舍去）， 当时，， ∵两方程的“快乐数”互为“开心数”， ∴， 解得， 综上，n的值为0或3． 25．如图，在中，，． (1)如图，求证． (2)如图，点是上一点，连接过点作，连接，求的度数． (3)如图，在（）的条件下，在上取点，连接交于点，连接交于点，若，，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)． 【分析】（）证明即可求证； （）如图，在上截取，证明可得，，即可得，，据此即可求解； （）延长至点，使，证明，，，，进而证明，得到，，，延长到点，使，则，再证明得到，，即得，由此可得，得到，即得，又由，得到，据此即可求解； 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，在上截取， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （3）解：，， ， 延长至点，使，则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， 即， ∵， ∴， ，，， 延长到点，使，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，三角形内角和定理及外角性质，勾股定理，化为最简二次根式，正确作出辅助线是解题的关键． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$