期中押题卷02-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期中真题分类汇编（上海专用）

期中押题卷02 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1．下列二次根式中与是同类二次根式的是（      ） A． B． C． D． 2．有一个两位数，它的十位上的数字与个位上的数字之和为4．如果把十位上的数字与个位上的数字调换位子后，所得的两位数乘以原来的两位数为．设原来的数的个位上的数字是，则可列方程是（    ） A． B． C． D． 3．关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A． B． C．或 D． 4．无理数像一首读不完的长诗，既不循环，也不枯竭，无穷无尽，数学家称其是一种特殊的数．若某矩形的长为，宽为，则这个矩形面积的值大约在（    ） A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间 5．当，时，在下列各式的计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 6．在解一元二次方程时，小马同学粗心地将项的系数与常数项对换了，使得方程也变了．他正确地解出了这个不同的方程，得到一个根是2，另一根等于原方程的一个根．则原方程两根的平方和是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7．已知：，则 ． 8．已知，，，其中A，B为最简二次根式，且，则的值为 ． 9．实数x，y，z满足，则 ． 10．对于任意正数m，n，定义运算※如下：，计算的结果为 ． 11．已知为方程的根，那么的值为 ． 12．若实数，满足，求的值为 ． 13．新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ． 14．新定义：给定一个矩形的长和宽，若存在另外一个矩形的周长和面积分别是其周长和面积的k倍（），则称这个矩形是给定矩形的“k倍”矩形．现有一个长为2，宽为1的矩形，若它的“k倍”矩形存在，则k的最小值为 ． 15．已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是 ． 16．若关于的一元二次方程的两根为和，则可分解为 ． 17．已知，，则代数式的值为 ． 18．求值： ． 三、解答题（本大题共7题，满分58分） 19．计算： (1) (2) (3) (4) 20．设a、b、c是的三条边，关于x的方程有两个不相等实数根，方程 (1)试判断的形状； (2)若a、b为方程的两个根，求m的值 21．我们定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请判断方程是不是倍根方程，并说明理由； (2)若是倍根方程，则___________． 22．阅读下面这道例题的解法，并回答问题． 例如：化简． 解：． 依据上述计算，填空： (1) ， ； (2)根据上述方法求值：． 23．探究并解决问题． (1)通过计算下列各式的值探究问题． ； ； ； ． 探究：对于任意非负有理数， ． ； ； ； ． 探究：对于任意负有理数， ． 综上，对于任意有理数， ． (2)应用（）所得结论解决问题：有理数、在数轴上的位置如图所示，化简：．    24．四川省会理县是全国有名的石榴之乡， 由于石榴味道酸甜可口，具有保护血管、调节血 压等功效，所以深受人们喜爱．今年月，小张为了在网上开辟营销市场，在网上售卖了 两种类型的石榴：一种是豪华装大型果实（简称“大果”），一种是豪华装超大型果实（简称“帝王果”）． (1)网友小红花了元买了箱大果和箱帝王果，小华花了元买了箱大果和箱帝王果，每箱大果和帝王果的售价分别是多少？ (2)在（1）的条件下，正常情况平均每天可销售箱大果，箱帝王果，为了减少库 存，小张决定对大果降价销售，经调查发现，一箱大果的售价每降价元，大果的 销售每天可增加箱，帝王果的售价和销量不变，如果小张每天销售总额为元，每箱大果的售价应该降低多少？ 25．阅读材料： 材料1：法国数学家弗朗索瓦·书达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程（，）的两根x1，x2有如下的关系（韦达定理）：，； 材料2：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题． 请根据上述材料解决下面问题： (1)若实数a，b满足：，则_______，_______； (2)若是方程两个不等实数根，且满足，求k的值； (3)已知实数m、n、t满足：，，且，求的取值范围． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中押题卷02 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1．下列二次根式中与是同类二次根式的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的化简、同类二次根式等知识点，灵活运用同类二次根式的定义解题是求解的关键． 根据同类二次根式的定义逐项判断即可解答． 【详解】解：A．与的被开方数不相同，故不是同类二次根式； B．与的被开方数不相同，故不是同类二次根式； C．与的被开方数不相同，故不是同类二次根式； D．与的被开方数不相同，故不是同类二次根式． 故选：D． 2．有一个两位数，它的十位上的数字与个位上的数字之和为4．如果把十位上的数字与个位上的数字调换位子后，所得的两位数乘以原来的两位数为．设原来的数的个位上的数字是，则可列方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程，准确理解题意是解题的关键．根据题意列出方程即可． 【详解】解：由题意可得：， 故选A． 3．关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，把代入方程即可求解，解题的关键是熟记方程的解和解一元二次方程． 【详解】解：把代入一元二次方程得： ， 解得，， ∵， ∴的值为， 故选：． 4．无理数像一首读不完的长诗，既不循环，也不枯竭，无穷无尽，数学家称其是一种特殊的数．若某矩形的长为，宽为，则这个矩形面积的值大约在（    ） A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的运用，无理数的估算，根据题意利用二次根式乘法求出矩形面积，再由无理数的估算方法估算即可． 【详解】解：根据题意，矩形面积为：， ，即， ， 这个矩形面积的值大约在4与5之间， 故选：C． 5．当，时，在下列各式的计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，二次根式有意义的条件，根据二次根式性质，结合，，逐项进行化简，然后得出答案即可． 【详解】解：A．∵，， ∴， ∴无意义，故A错误； B．∵，， ∴，故B正确； C．∵，， ∴，故C错误； D．∵，， ∴，故D错误． 故选：D． 6．在解一元二次方程时，小马同学粗心地将项的系数与常数项对换了，使得方程也变了．他正确地解出了这个不同的方程，得到一个根是2，另一根等于原方程的一个根．则原方程两根的平方和是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设原方程为，两个根为和．新方程为，两个根为2和．则可得，，．将①②联立可解得．则可得或，再与联立可得a、b、c之间的关系．由根与系数的关系可求出与的值，进而可求出的值． 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，推导出a、b、c之间的关系是解题的关键． 【详解】解：设原方程为，两个根为和． 新方程为，两个根为2和． 则，，， 得， 由题意得， ∴， ∴， ∴． 当时，， 联立，得， 则，， 则． 当时，， 联立，得， 则，， 则． 综上，原方程两根的平方和是． 故选：D． 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7．已知：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的性质和除法运算，理解二次根式的性质是解题关键． 根据二次根式的性质和除法运算法则进行分析计算． 【详解】解：∵， ， 故答案为：． 8．已知，，，其中A，B为最简二次根式，且，则的值为 ． 【答案】68 【分析】根据题意得出，求出，进而得出，求出，再代入求值即可． 【详解】∵A，B为最简二次根式，且， ∴， 解得， ∴，，， ∴， 解得， ∴． 故答案为：68． 【点睛】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义得出是解题的关键． 9．实数x，y，z满足，则 ． 【答案】或0 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，绝对值的性质．根据二次根式有意义的条件，求得，推出，再根据绝对值和平方数的非负性分类求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵x的取值范围大于等于4， ∴， 又∵，，， ∴， 当时等号成立，此时，， ∴， 当时，或7，∴或3.5，此时或3.5， ∴， 故答案为：或0． 10．对于任意正数m，n，定义运算※如下：，计算的结果为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据定义新运算可得：，然后利用二次根式的乘法法则，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， 故答案为：2． 11．已知为方程的根，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，也考查了代数式的变形，利用整体代入法的思想是解答本题的关键．根据一元二次方程的解的定义得到，然后对原式进行化简，再将整体代入即可． 【详解】解：∵a为方程的根， ∴， ∵ ， 将代入，则 原式 ， 故答案为：． 12．若实数，满足，求的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是解一元二次方程，掌握整体代换思想是解题关键．将看成一个整体，令，转换成一个关于的一元二次方程，利用因式分解法求出的值，再结合平方的非负性，即可得到答案． 【详解】解：令， ， ， ， ， 或， 或， ， ，即， 故答案为：3 13．新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ． 【答案】2020 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于与的方程组，求出方程组的解得到与的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【详解】解：与是“同族二次方程”， ， ， ， 解得， ， 则代数式的最小值是2020． 故答案为：2020． 14．新定义：给定一个矩形的长和宽，若存在另外一个矩形的周长和面积分别是其周长和面积的k倍（），则称这个矩形是给定矩形的“k倍”矩形．现有一个长为2，宽为1的矩形，若它的“k倍”矩形存在，则k的最小值为 ． 【答案】 【分析】先求出原矩形的周长和面积分别为6和2，设它的“k倍”矩形长为x，宽为y，根据题意得，进而可得，根据即可求出k的范围． 本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找准等量关系，利用求k的范围解题的关键． 【详解】解：原矩形的周长为， 面积为． 设它的“k倍”矩形长为x，宽为y， 则， 由①得， 将③代入②得， ∴， 由得， ， 解得，或（舍去）． ∴k的最小值为， 故答案为：． 15．已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查根与系数的关系以及根的判别式，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．根据根与系数的关系结合，即可得出关于的方程，解之即可得出的值，再由根的判别式，即可确定的值． 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ，， ，即， 解得：． 原方程有两个不相等的实数根， ， ． 故答案为：． 16．若关于的一元二次方程的两根为和，则可分解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程中的因式分解法，熟练掌握公式是本题解题的关键．利用因式分解法即可进行计算． 【详解】解：关于的一元二次方程的两根为和， 则可分解为． 故答案为：． 17．已知，，则代数式的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查含字母的二次根式的化简，掌握二次根式的定义及性质是解决本题的关键． 【详解】∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 18．求值： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的运算，完全平方公式的应用，先推导公式，然后利用公式计算即可． 【详解】解： ， ∴原式 ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7题，满分58分） 19．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3)9 (4) 【分析】本题考查二次根式的运算，零指数幂，负整数指数幂： （1）利用二次根式的性质化简，进行乘法运算，再合并同类二次根式即可； （2）先进行乘法运算，再合并同类二次根式即可； （3）先进行乘方，乘法计算，再合并同类二次根式即可； （4）先进行乘法，负整数指数幂，去绝对值，零指数幂，化简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式 ； （4）原式． 20．设a、b、c是的三条边，关于x的方程有两个不相等实数根，方程 (1)试判断的形状； (2)若a、b为方程的两个根，求m的值 【答案】(1)等边三角形 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的判别式与方程的解得定义，是一个比较简单的问题． （1）因为方程有两个相等的实数根即，由△可以得到一个关于，的方程，再结合方程的根为，代入即可得到一关于，的方程，联立即可得到关于，的方程组，可求出，的关系式； （2）根据（1）求出的，的值，可以关于的方程，解方程即可求出． 【详解】（1）有两个相等的实数根， ， 整理得①， 又的根为， ②， 把②代入①得， ， 为等边三角形； （2），是方程的两个根， 方程有两个相等的实数根 ， 即， ，． 当时，原方程的解为（不符合题意，舍去）， ． 21．我们定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请判断方程是不是倍根方程，并说明理由； (2)若是倍根方程，则___________． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)4或16 【分析】（1）根据题意和题目中的方程，求得方程的解，据此即可判定； （2）根据题目中的方程和题意，利用分类讨论的方法可以求得n的值． 【详解】（1）解：方程是倍根方程， 理由如下： 由方程， 解得，， ， 方程是倍根方程； （2）解：由方程， 解得，， 方程是倍根方程， 或， 得或， 故或， 故答案为：4或16． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，正确理解“倍根方程”的定义是解题的关键． 22．阅读下面这道例题的解法，并回答问题． 例如：化简． 解：． 依据上述计算，填空： (1) ， ； (2)根据上述方法求值：． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了化简复合二次根式： （1）根据例题的方法，凑完全平方公式，然后根据二次根式的性质化简即可求解； （2）根据例题的方法，凑完全平方公式，然后根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】（1）解： ； ； 故答案为：；； （2）解： ． 23．探究并解决问题． (1)通过计算下列各式的值探究问题． ； ； ； ． 探究：对于任意非负有理数， ． ； ； ； ． 探究：对于任意负有理数， ． 综上，对于任意有理数， ． (2)应用（）所得结论解决问题：有理数、在数轴上的位置如图所示，化简：．    【答案】(1)；；；；；；；；；； (2)． 【分析】（）分别计算各式的值，并归纳出探究结果； 分别计算各式的值，归纳出探究结果，并总结出， ； （）先利用（）式的探究结果化简二次根式，再根据字母、在数轴上的位置及绝对值的意义进行化简，合并后即可得出结果； 此题主要考查了算术平方根的计算以及二次根式的化简，根据已知能准确归纳探究结果并能运用其正确化简是解题的关键． 【详解】（1），，，，， 故答案为：；；；；； ，，，， 探究：对于任意负有理数，； 综上，对于任意有理数，， 故答案为：；；；；；； （2）观察数轴可知： ，，， 原式 ． 24．四川省会理县是全国有名的石榴之乡， 由于石榴味道酸甜可口，具有保护血管、调节血 压等功效，所以深受人们喜爱．今年月，小张为了在网上开辟营销市场，在网上售卖了 两种类型的石榴：一种是豪华装大型果实（简称“大果”），一种是豪华装超大型果实（简称“帝王果”）． (1)网友小红花了元买了箱大果和箱帝王果，小华花了元买了箱大果和箱帝王果，每箱大果和帝王果的售价分别是多少？ (2)在（1）的条件下，正常情况平均每天可销售箱大果，箱帝王果，为了减少库 存，小张决定对大果降价销售，经调查发现，一箱大果的售价每降价元，大果的 销售每天可增加箱，帝王果的售价和销量不变，如果小张每天销售总额为元，每箱大果的售价应该降低多少？ 【答案】(1)每箱大果的售价为元，每箱帝王果的售价为元 (2)小张每天销售总额为元时，每箱大果的售价应该降低元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． （1）设每箱大果的售价为元，每箱帝王果的售价为元，根据“元买了箱大果和箱帝王果；元买了箱大果和箱帝王果”列出二元一次方程组求解即可； （2）设每箱大果的售价应该降低元，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设每箱大果的售价为元，每箱帝王果的售价为元， 根据题意得，， 解得， 答：每箱大果的售价为元，每箱帝王果的售价为元． （2）解：设每箱大果的售价应该降低元， 根据题意得， 即： 解得：，（舍） ∴， 答：小张每天销售总额为元时，每箱大果的售价应该降低元． 25．阅读材料： 材料1：法国数学家弗朗索瓦·书达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程（，）的两根x1，x2有如下的关系（韦达定理）：，； 材料2：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题． 请根据上述材料解决下面问题： (1)若实数a，b满足：，则_______，_______； (2)若是方程两个不等实数根，且满足，求k的值； (3)已知实数m、n、t满足：，，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键： （1）根据题意，得到实数a，b是方程的两个根，根据根与系数的关系进行求解即可； （2）根据根与系数的关系，得到，进而得到，代入，求出的值，再根据根与系数的关系，进行求解即可； （3）构造一元二次方程，得到是它的两个实数根，得到，将进行配方，求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得a，b是方程的两个根， ∴； 故答案为：； （2）由题意，得：，， ∴， ∴， 当时，，解得：， ∴， ∴， ∴； 当时，，解得：， ∴， ∴， ∴； 综上：或； （3）∵， ∴， 又∵， ∴是一元二次方程的两个实数根，， ∴， ∴ ； ∵， ∴， ∴， ∴； ∴． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$