基础过关-角平分线的实际应用与尺规作图（二）2024-2025学年苏科版数学八年级上册

基础过关-角平分线的实际应用与尺规作图（二） 一、单选题 1．如图所示，A、B、C表示重庆市南岸区黄桷垭三个生活区，、、表示三条公路，现想在内设置一个快递点，若要使快递点到三条公路的距离相等，则这个快递点应修在（     ） A．三条高所在直线的交点处 B．三条边的垂直平分线的交点处 C．三个角的角平分线的交点处 D．三条中线的交点处 2．青山村计划在一块周长为的三角形闲置土地上挖一口水井，使得水井到土地边沿的距离相等，已知这块土地的面积是，那么这口水井到土地边沿的距离是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，是它的角平分线，cm，cm，则（　　） A．16：9 B．9：1 C．3：4 D．4：3 4．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，且AD∥CF，若∠ACF＝25°，则∠B的度数为（　　） A．70° B．60° C．50° D．40° 二、填空题 5．如图，在中，的角平分线与的垂直平分线交于点O，连接．若，则 ．    6．如图，根据尺规作图所留痕迹，可以求出 °． 7．如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=64°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O,将∠C沿EF(E在BC上，F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为 度． 三、解答题 8．如图，两条公路，形成区域，区域内有两个农贸市场，，现想在区域内建一个货物中转站，使不仅到两条公路距离相等，且到两个农贸市场距离也相等，请在图中求作点的位置．（要求用尺规作图，保留作图痕迹） 9．在Rt△ABC中，，AE是斜边BC上的高，角平分线BD交AE于点G，交AC于点D，于点F． (1)求证：； (2)试判断AD与AG有怎样的数量关系？请说明理由． 10．已知：如图，平分，C，D分别在上，若，求证：． 11．如图，AD是△ABC的角平分线，H，G分别在AC，AB上，且HD＝BD． （1）求证：∠B与∠AHD互补； （2）若∠B+2∠DGA＝180°，请探究线段AG与线段AH、HD之间满足的等量关系，并加以证明． 试卷第2页，共3页 试卷第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【分析】本题考查的角平分线的性质，根据三角形三条角平分线的交点到三角形各边的距离相等的特点解答即可． 【详解】解：三角形三条角平分线的交点到三角形各边的距离相等， 要使快递点到三条公路的距离相等，则这个快递点应修在三条角平分线的交点处． 故选：C． 2．C 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，三角形面积计算，画出图形，设出水井到土地边沿的距离，根据三角形的面积列出方程，解方程即可． 【详解】解：三角形闲置土地如图所示，    由题意，设点P到，，的距离为h， ∵， ∴， 又∵的周长为，即， ∴， ∴， 即这口水井到土地边沿的距离是， 故选：C． 3．D 【分析】利用角平分线的性质，可得出的边上的高与的上的高相等，根据三角形的面积公式，即可得出与的面积之比等于对应边之比． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴设的边上的高与的上的高分别为 ∴， ∴与的面积之比= 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，以及三角形的面积公式，熟练掌握三角形角平分线的性质是解题的关键． 4．D 【分析】根据平行线的性质得出∠DAC＝25°，进而利用角平分线的定义得出∠BAC的度数，利用互余得出∠B的度数即可． 【详解】解：∵AD∥CF， ∴∠DAC＝∠ACF＝25°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAC＝2∠DAC＝50°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠B＝90°﹣50°＝40°， 故选：D． 【点睛】本题考查平行线的性质、角平分线的性质，解题的关键是根据平行线的性质得出∠DAC＝∠ACF＝25°解答． 5．/72度 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，由角平分线的定义可得，再利用三角形的内角和定理可求得的度数，进而可求解． 【详解】解：垂直平分， ， ， 平分， ， ， ， ，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，利用三角形的内角和定理求解的度数是解题的关键． 6．70 【分析】本题考查了尺规作图的知识，解题的关键是根据作图痕迹得到平分． 首先根据作图痕迹得到平分，然后利用三角形外角的性质求得的度数即可． 【详解】解：， ， 观察作图痕迹知：平分， ， ， 故答案为：70． 7．128° 【详解】如图： 连接OB、OC， ∵∠BAC=56°，AO为∠BAC的平分线， ∴∠BAO=∠BAC=×56°=28°， 又∵AB=AC， ∴∠ABC= (180°−∠BAC)= (180°−56°)=62°， ∵DO是AB的垂直平分线， ∴OA=OB， ∴∠ABO=∠BAO=28°， ∴∠OBC=∠ABC−∠ABO=62°−28°=34°， ∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC， ∴△AOB≌△AOC(SAS)， ∴OB=OC， ∴点O在BC的垂直平分线上， 又∵DO是AB的垂直平分线， ∴点O是△ABC的外心， ∴∠OCB=∠OBC=34°， ∵将∠C沿EF(E在BC上,F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合， ∴OE=CE， ∴∠COE=∠OCB=34°， 在△OCE中,∠OEC=180°−∠COE−∠OCB=180°−34°−34°=112° 故答案为112. 8．见解析 【分析】作平分，作垂直平分线段，交于点M，点M即为所求． 【详解】解：如图，点即为所求． 【点睛】本题考查了作图—应用与设计作图，角平分线的性质，线段垂直平分线，正确的理解题意并作出图形是解决本题的关键． 9．(1)证明过程见详解 (2)相等，理由见详解 【分析】（1）根据BD平分∠ABC，得到∠ABD=∠DBF，再根据DF⊥BC，得到∠DFB=∠BAD=90°，即可得到，即可证得AB=BF； （2）先证明，即可得到∠BGE=∠BDF，再根据∠BGE=∠AGD，∠ADB=∠BDF，得到∠AGD=∠ADB，即有AG=AD． 【详解】（1）∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBF， ∵DF⊥BC， ∴∠DFB=∠BAD=90°， 又∵BD=BD， ∴， ∴∠ADB=∠BDF，AB=BF； （2）AD=AG，理由如下： ∵AE是斜边BC上的高， ∴AE⊥BC， 又∵DF⊥BC， ∴， ∴∠BGE=∠BDF， 又∵∠BGE=∠AGD，∠ADB=∠BDF， ∴∠AGD=∠ADB， ∴AG=AD． 【点睛】本题主要考查了角平分线性质、全等三角形的判定和性质、平行的判定和性质、等角对等边等知识，得到是解答本题的关键． 10．见解析 【分析】如图，作辅助线，证明△PMC≌△PND，得到PM=PN，即可解决问题． 【详解】证明：过P作PE⊥OA于点E，过P作PF⊥OB于点F， 则∠PEO=∠PFO=∠PFD=90°， ∵OP平分∠AOB， ∴∠1=∠2， 在△POE和△POF中 ， ≌， ∴PE=PF， ∵∠PCO+∠PDO=180°，∠PCO+∠PCE=180°， ∴∠PCE=∠PDF， 在△PCE和△PDF中， ∴△PEC≌△PFD， ∴PC=PD． 【点睛】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点的应用问题；解题的关键是作辅助线；牢固掌握定理是灵活运用、解题的基础和关键． 11．（1）见解析；（2）AG＝AH+HD，证明见解析 【分析】（1）在上取一点，使得，连接，则利用可得出，从而得出，即有，通过这样的转化可证明与互补． （2）由（1）的结论中得出的，结合三角形的外角可得，可将转化为，从而在线段上可解决问题． 【详解】证明：（1）在上取一点，使得，连接 ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 即与互补． （2）由（1） ∵ ∴ 又∵ ∴即 ∴ ∴ ∵ ∴． 【点睛】本题考查角平分线的性质，应用角平分线构造全等是常用的构造全等的方法，遇到角平分线常有“翻折构造全等”“作角边的垂线段”两种辅助线方法． 答案第6页，共7页 答案第7页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$