基础过关-角平分线的实际应用与尺规作图（1）2024-2025学年苏科版数学八年级上册

基础过关-角平分线的实际应用与尺规作图（一） 一、单选题 1．如图，三条直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 2．如图，、、分别平分、、，，的周长为18，，则的面积为（    ） A．18 B．30 C．36 D．72 3．如图所示，有三条道路围成，其中，，一个人从B处出发沿着行走了500m，到达D处，恰为的平分线，则此时这个人到的最短距离为（    ） A．1300m B．800m C．500m D．300m 4．已知，下列尺规作图的方法中，能确定的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB=13，AC=5，BC=12．点O为∠ABC与∠CAB的平分线的交点，则点O到边AB的距离OP为 ． 6．如图，利用尺规作的平分线，做法如下：①在上分别截取，使；②分别以点D、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于一点E；③画射线，射线就是的平分线．在用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是 ． 7．如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点和；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线交于点；④过点作交于点．若，则的度数是 ．    8．如图，是的角平分线，于， 的面积是，则 ．        三、解答题 9．已知：如图三条公路，，两两相交，是公路上的两个村庄．求作：加油站，使得到，两条公路的距离相等，且到两个村庄距离相等．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 10．如图，已知平分，，，，分别是线段，上的点，连接，，且，求证：． 11．如图，已知，点D为的中点． (1)请用直尺和圆规画出的角平分线，交于点E，连结（保留作图痕迹，不写作法） (2)结合图形，求证：； 证明：∵中，， ∴ ∵是角平分线， ∴ ∴ ∴（ ① ） 又∵点D为的中点， ∴（ ② ） ∴ 在和中， ∴（ ④ ） ∴ ⑤ ． ∵点D为的中点， ∴ ∴． 试卷第4页，共4页 试卷第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．D 【分析】本题考查了角平分线的性质定理的应用．熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 根据角平分线的性质定理判断作答即可． 【详解】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴到三条公路的距离相等的点在角平分线的交点上， 如图， 三角形两个内角平分线的交点，三角形外角两两平分线的交点均为满足要求的点，共4处， 故选：D． 2．C 【分析】本题考查了角平分线的性质，过I点作于E，于F，利用角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式得到，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过I点作于E，于F， 、、分别平分、、， ， ． 故选：C． 3．D 【分析】此题考查角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，过点D作于点E，推出． 【详解】过点D作于点E， ∵为的平分线，， ∴， 故选D． 4．D 【分析】本题考查作图−基本作图，解题的关键是掌握垂直平分线，角平分线，垂线的尺规作图方法．观察各选项作图痕迹，根据垂直平分线，角平分线，垂线性质逐项判断即可． 【详解】解：A、选项作图痕迹可知，D为中点，不能确定，故本选项不符合题意； B、选项作图痕迹可知，D在的垂直平分线上，能确定，不能确定，故本选项不符合题意； C、选项作图痕迹可知，是边上的高，不能确定，故本选项不符合题意； D、选项作图痕迹可知，D在的平分线上，故本选项符合题意； 故选：D． 5．2 【分析】作OE⊥BC，OF⊥AC，根据垂直定义得出∠C=∠CFO=∠OEC=90°，即可推出四边形CFOE是矩形，根据角平分线性质求出OE=OF=OP，即可推出矩形CFOE是正方形，设OE=OP=OF=x，则AP=AF=5-x，BP=BE=12-x，根据PA+PB=AB=13，列出等式即可解得． 【详解】解：作OE⊥BC，OF⊥AC， ∴∠C=∠CFO=∠OEC=90°， ∴四边形CFOE是矩形； ∵∠CAB，∠CBA的平分线相交于点O，OE⊥BC，OF⊥AC，OP⊥AB， ∴OE=OP=OF， ∴四边形CFOE是正方形， 设OE=OP=OF=x，则AP=AF=5-x，BP=BE=12-x， ∴5-x+12-x=13， 解得x=2， ∴OP=OE=2． 故答案为2． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，正方形的判定，证得四边形CFOE是正方形是解题的关键． 6． 【分析】本题主要考查了角平分线作图和全等三角形的判定，准确分析证明是解题的关键．连接，根据作图的过程证明三角形全等即可． 【详解】解：如图，连接， 根据作图可得：， ， ， ， 射线就是的平分线， 用到的三角形全等的判定方法是， 故答案为：． 7．/36度 【分析】根据作图可得，是的角平分线，则，根据平行线的性质可得，然后根据等量代换即可解答． 本题主要考查了作角平分线、平行线的性质等知识点，掌握角平分线的作法是解题的关键． 【详解】解：根据作图可得，是的角平分线，则， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 8．2cm 【分析】过点D作，垂足为点F，根据BD是∠ABC的角平分线，得DE=DF，根据等高的三角形的面积之比等于其底边长之比，得△BDC与△BDA的面积之比，再求出△BDA的面积，进而求出DE． 【详解】解：如图，过点D作，垂足为点F， ∵BD是∠ABC的角平分线，， ∴DE=DF， ∵的面积是， ∴， 即， ∴DE=2cm． 故答案为：2cm．      【点睛】本题考查了三角形的问题，掌握角平分线的性质、等高的三角形的面积之比等于其底边长之比是解题的关键． 9．见解析 【分析】此题主要考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质的应用以及作法，关键是熟练掌握角平分线、线段垂直平分线的基本作图方法． 作的平分线，再作线段的垂直平分线，两线的交点就是所求点． 【详解】解：如图，分别作的平分线、线段的垂直平分线，相交于点，则点即为所求． 10．见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质，证明三角形全等，熟练掌握角平分线的性质与三角形全等是解题的关键． 根据角平分线的性质得出，由于，根据可证明，从而得以证明． 【详解】证明：∵平分，，， ∴，， ∵在和中，， ∴， ∴． 11．(1)见解析 (2)等角对等边；三线合一，；；； 【分析】本题主要考查作角平分线，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质： （1）根据角平分线的作法作出即可； （2）根据作图得出，得，再证明，再证明，得，再由为的中点可得出结论 【详解】（1）解：如图，即为所作 （2）证明：∵中，， ∴ ∵是角平分线， ∴ ∴ ∴（等角对等边） 又∵点D为的中点， ∴（三线合一） ∴ 在和中， ∴ ∴． ∵点D为的中点， ∴ ∴． 答案第6页，共7页 答案第1页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$