5.3 一元一次方程的应用同步练习2024-2025学年北师大版(2024)数学七年级上册

北师大版(2024)七年级上册数学5.3 一元一次方程的应用 一、单选题 1．一种商品的原价是90元，现在打八折销售仍可获利20%，则此商品的进价是（    ）元． A．72 B．86.4 C．60 D．14.4 2．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方－九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖行以及两条对角线上的3个数之和相等，如图是一个未完成的幻方，则图中（    ） 4 2 7 m A．1 B．2 C．4 D．67 3．甲、乙两数的和是，乙数的小数点向右移动一位就会与甲数相等，则甲数是（   ） A． B． C． D．23 4．如图，小明将一张正方形纸片剪去一个宽为3cm的小长方形后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为4cm的小长方形、若两次剪下的小长方形的面积正好相等，则最终剩余长方形纸片（阴影部分）的面积为（ ） A．64cm2 B．72cm2 C．81cm2 D．90cm2 5．如图，已知线段米，射线于点，射线于点从点向运动，每秒走米，点从点向运动，每秒走米，同时从出发，若射线上有一点，使得和全等，则线段的长度为（　　）米． A．6或60 B．60 C．24或60 D．6 6．甲组有33个人，乙组有27个人，从乙组调若干人到甲组后，甲组的人数恰好是乙组人数的3倍，则变化后乙组的人数有（    ）人． A．12 B．13 C．14 D．15 7．为了鼓励居民节约用水，天长市自来水公司调整了新的自来水收费标准：用水每月不超过，按元收费，如果超过，超过部分按元收费．已知某用户某月交水费元，那么这个用户这个月用水（    ） A． B． C． D． 8．A，B两地相距 ，一列慢车从A地出发，每小时行驶，一列快车从B地出发，每小时行驶，若快车提前出发，两车相向而行，则慢车行驶多长时间后，两车相遇？设慢车行驶x小时后，两车相遇，根据题意列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，已知正方形的边长为4，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的3倍，则它们第2018次相遇在边 ． 10．一件工作，甲单独做小时完成，乙单独做小时完成．甲先单独做小时后因事离开，余下的任务由乙单独完成，则乙还需要 小时才能完成此工作． 11．某市居民每月用水收费标准如下：李阿姨家月份用水立方米，交水费元，若李阿姨月份交水费元，则李阿姨月份用水量是 ． 用水量立方米 单价元 剩余部分 12．《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．”意思是：有一群人共同出资买某物品，每人出8钱，盈余3钱；每人出7钱，不足4钱．那么根据条件，该物品值 钱． 13．一张试卷只有20道选择题，做对一题的3分，做错一题倒扣1分，欢欢做了全部试题共得了48分，她做对了 道题． 三、解答题 14．如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为−15，OB=2OA，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向右运动．点N以每秒2个单位长度的速度从点O向右运动（点M、点N同时出发） (1)数轴上点B对应的数是______； (2)经过几秒，点M、点N到原点O的距离相等？ (3)当点M运动到什么位置时，恰好使AM=3BN？ 15．根据下面的情景，回答问题： 小王逛超市看到如下两个超市的促销信息， 甲超市 甲超市促销信息栏 全场8.8 乙超市 乙超市促销信息栏 ①不超过200元，不给予优惠； ②超过200元而不超过500元，打9折； ③超过500元，其中的500元的部分优惠10%，超过500元的部分打8折． 【备注】假设两家超市相同的标价都一样． (1)当一次性购买标价总额是400元时，甲、乙超市实际付款分别是多少？ (2)当标价总额是多少时，甲、乙超市实付款一样？ (3)小王两次到乙超市分别购物付款189元和474元，若他只去一次该超市购买同样多的商品，可以节省多少元？ 16．如下图（单位：厘米）是一个直角三角形．它的两条直角边长度分别是8厘米和12厘米，中间有一个正方形，这个正方形的边长应该是多少厘米？（提示：连接线段）．    17．如图，点A，B，C在数轴上表示的数分别是，3和 1．动点P，Q同时出发，动点P从点A出发，以每秒6个单位的速度沿AB向终点B匀速运动；动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿CB向终点B匀速运动，当P、Q都到达终点后停止运动．设点P的运动时间为． (1)当点P到达点B时，点Q所表示的数是 ； (2)当时，线段的长为 ； (3)在整个运动过程中，当P，Q两点到点C的距离相等时，求t 的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A B B A D D D 1．C 【分析】设进价为x元，然后根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设进价为x元， 90×80%-x=0.2x 解得x=60 所以该商品的进价为60元． 故选C． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用、折扣的意义等知识点，理解折扣的意义是解答本题的关键． 2．A 【分析】本题考查一元一次方程的运用，找出等量关系是解题关键．设正中间的数为即可列出方程求解． 【详解】解：设正中间的数为，则， 解得， ，解得， 故选：A 3．B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设甲数为x，则乙数为，根据乙数的小数点向右移动一位就会与甲数相等，即甲数是乙数的10倍列出方程求解即可． 【详解】解：设甲数为x，则乙数为， 由题意得，， 解得， 故选：B． 4．B 【分析】首先根据题意，设原来正方形纸的边长是xcm，则第一次剪下的长条的长是xcm，宽是3cm，第二次剪下的长条的长是x-3cm，宽是4cm；然后根据第一次剪下的长条的面积=第二次剪下的长条的面积，列出方程，求出x的值是多少，即可求出每一个长条面积为多少． 【详解】设原来正方形纸的边长是xcm，则第一次剪下的长条的长是xcm，宽是3cm，第二次剪下的长条的长是（x-3）cm，宽是4cm， 则3x=4（x-3）， 去括号，可得：3x=4x-12， 移项，可得：5x-4x=12， 解得x=12 12×3=36（cm2） 答：每一个长条面积为72cm2． 故选B． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，要熟练掌握，首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答． 5．A 【分析】本题主要考查图形的运动（一元一次方程与行程问题），三角形全等的判定和性质，分类讨论，当时；当时；根据全等三角形的性质列式求解即可，掌握图形运动中线段的数量关系，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：点M每秒走1米，点N每秒走4米，设运动时间为， ∴，则， 第一种情况，当时，，即， 解得：， ∴（米）， 第二种情况，当时，米， 此时所用时间为秒，（米）； 综上所述，线段的长度为：6或60， 故选：A． 6．D 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设从乙组调人到甲组，根据变化后甲组的人数恰好是乙组人数的3倍，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设从乙组调人到甲组，由题意，得： ， 解得：， ∴，即：变化后乙组的人数有15人； 故选D． 7．D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据可知，该用户这个月用水超过，设这个月用水，列方程求解即可． 【详解】解：， ∴该用户这个月用水超过， 设这个月用水， 则， 解得：， 即该用户这个月用水． 故选：D． 8．D 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，相遇时两车行驶的总路程等于，据此列方程，同时要注意换算单位． 【详解】解：慢车行驶了x小时后，两车相遇， 根据题意得出：． 故选：D． 9．DC 【分析】此题利用行程问题中的相遇问题，根据乙的速度是甲的速度的3倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答． 【详解】解：正方形的边长为4，因为乙的速度是甲的速度的3倍，时间相同，甲乙所行的路程比为1：3，把正方形的每一条边平均分成2份，由题意知： 第一次相遇甲乙行的路程和为8，甲行的路程为，乙行的路程为，在AD边相遇； 第二次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为，乙行的路程为，在DC边相遇； 第三次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为，乙行的路程为，在CB边相遇； 第四次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为，乙行的路程为，在AB边相遇； ∵2018=504×4+2，∴甲、乙第2018次相遇在边DC上． 故答案为：DC． 【点睛】本题主要考查行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，难度较大，注意先通过计算发现规律然后再解决问题． 10． 【分析】甲单独做15小时，每小时完成，乙单独做10小时，效率为．甲单独做9小时，完成了，剩下留给乙完成．假设乙需要x小时，则可以根据方程＋＝1即可求解． 【详解】解：假设乙还需要x小时完成此工作． ＋＝1， 解得x＝4． 故答案为：4． 【点睛】此题考查的是工作时间和工作效率，时间越少，效率越高，整个工程看着单位1，抓住单位1和工作效率不变进行解题． 11．立方米/ 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据“李阿姨家月份用水立方米，交水费元”求得的值；然后由“李阿姨月份交水费元”知＞，根据阶梯收费标准列出方程并解答． 【详解】解：由题意知：， 解得． 所以元． 设李阿姨月份用水量是立方米，则： ． 解得． 故答案为：立方米． 12．53 【分析】根据题意设一共有x人，列出一元一次方程，解出人数，则可求出该物品值多少钱． 【详解】解：设：一共有x人， 解得：， ∴， ∴该物品值53钱， 故答案为：53． 【点睛】本题考查解一元一次方程，根据题目意思列出方程是解答本题的关键． 13．17 【分析】本题考查一元一次方程的应用． 设她做对了x道题，则做错了道题，做对的题得分，做错的题倒扣分，根据“做了全部试题共得了48分”即可列出方程，求解即可解答． 【详解】设她做对对了x道题，根据题意，得 ， 解得：． ∴她做对了17道题． 14．(1)30 (2)经过3秒或15秒后，点M，点N到原点O的距离相等； (3)经过10秒或30秒后，恰好使AM=3BN． 【分析】（1）根据点A表示的数为-15，OB=2OA，可得点B对应的数； （2）根据题意，列出方程可解出时间x的值； （3）根据题意，列出方程可解出时间t的值． 【详解】（1）解：OB=2OA=30． 故B对应的数是30． 故答案为：30； （2）解：设经过x秒，点M、点N到原点O的距离相等， 点M表示的数为3x-15，点N表示的数为2x， 根据题意得：2x=|3x-15|， ∴2x=3x-15或2x=15-3x， 解得：x=15或x=3， 答：经过3秒或15秒后，点M，点N到原点O的距离相等； （3）解：设经过t秒， AM=3t，点N表示的数为2t，则BN=|30-2t|， 根据题意得：3t=3|30-2t|， ∴3t=3(30-2t)或3t=3(2t-30)， 解得：t=10或t=30， 答：经过10秒或30秒后，恰好使AM=3BN． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，数轴，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 15．(1)甲、乙超市实际付款分别是352元和360元 (2)625元 (3)可以节省37.8或21元 【分析】（1）根据题意列出算式即可求出答案； （2）设标价总额为x时，甲、乙超市实付款一样，由题意可知：，列出方程即可求出答案； （3）第一购物付款为189元，购物标价可能是189元，也可能是元，第二购物付款474元，购物标价是，若他只去一次该超市购买同样多的商品，实付款为或，根据题意列出算式即可求出答案． 【详解】（1）解：甲超市实际付款为：（元）， 乙超市实际付款为：（元）， 答：甲、乙超市实际付款分别是352元和360元； （2）解：设标价总额为x时，甲、乙超市实付款一样， 由题意可知， ∴， 解得：， 答：当标价总额为625元时，甲、乙超市实付款一样； （3）解：第一购物付款为189元，购物标价可能是189元，也可能是（元）， 第二购物付款474元，购物标价是（元）， 两次购物标价为（元）或（元）， 若他只去一次该超市购买同样多的商品，实付款为（元）或（元）， 可以节省（元）或（元）， 答：可以节省37.8或21元． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于中等题型． 16．厘米 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确作出辅助线、得到关系成为解题的关键． 如图：连接，设正方形的边长应该是x厘米，则；由图可得，据此列一元一次方程求解即可． 【详解】解：如图：连接，    设正方形的边长应该是x厘米，则， 由，则, 所以，解得：． 答：这个正方形的边长应该是厘米． 17．(1)2 (2)1.5 (3)或或2 【分析】（1）根据两点之间的距离公式，时间＝路程÷速度，路程＝速度×时间，列式计算即可求解； （2）求出时，P、Q点所表示的数，再根据两点间的距离公式可求线段PQ的长； （3）分3种情况讨论可求t的值． 【详解】（1）∵点 P 到达点 B 所需时间， ∴点Q 所表示的数． 故答案是：2； （2）当时，点Q 所表示的数是， 点P 所表示的数是． ∴线段PQ的长是1.5； 故答案是：1.5； （3）①相遇前，依题意有 ， 解得； ②当P追上Q时，依题意有 ， 解得； ③当P到达B停止运动后， Q到达B时，此时P ， Q 两点到点C 的距离相等，依题意有． 综上所述，t的值为或或2． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用及数轴上两点的距离，掌握路程问题等量关系和数轴知识是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$