山西省2024-2025学年高三上学期9月质量检测数学试题

绝密★启用前 2025届高三9月质量检测 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答：字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2.已知，且，则（ ） A. B.0 C.1 D.2 3.已知命题“”，则的否定为（ ） A. B. C. D. 4.在平行四边形中，，则（ ） A. B. C. D. 5.如果随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 6.已知，则的最小值为（ ） A. B.2 C. D.1 7.已知数列满足，且，则（ ） A. B. C. D. 8.已知，设函数，若在上恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二，多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10.已知函数，且，则下列结论正确的是（ ） A. B.在区间上单调递增 C.若为方程的两个解，则的最小值为 D.若关于的方程在区间上有且仅有一个解，则的取值范围为 11.已知函数的定义域为，设，若和均为奇函数，则（ ） A. B.为奇函数 C.的一个周期为4 D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.将一个底面半径为，高为的圆柱形铁块熔铸成一个实心铁球，则该实心铁球的表面积与圆柱的侧面积之比为__________. 13.设，若，则__________. 14.设是正实数，若椭圆与直线交于点，点为的中点，直线（为原点）的斜率为2，又，则椭圆的方程为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15.（本小题满分13分） 如图，在直三棱柱中，为直角，侧面为正方形，，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值. 16.（本小题满分15分） 已知函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，点为的图象的一个对称中心. （1）求的解析式； （2）将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若在区间上的最大值和最小值互为相反数，求的最小值. 17.（本小题满分15分） 已知函数是且的反函数，且函数. （1）若，求及的值； （2）若函数在上有最小值，最大值7，求的值. 18.（本小题满分17分） 在中，已知. （1）求； （2）记为的重心，过的直线分别交边于两点，设. （i）求的值； （ii）若，求和周长之比的最小值. 19.（本小题满分17分） 已知函数. （1）当时，求的极值； （2）若存在两个极值点. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 2025届高三9月质量检测·数学 参考答案､提示及评分细则 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C A B D D B D 题号 9 10 11 答案 AD AD ACD 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.【答案】B 【解析】由，解得的定义域为，又因为，所以，所以，故选B. 2.【答案】C 【解析】因为，所以，所以，解得，可得.故选C. 3.【答案】A 【解析】的否定为，故选A. 4.【答案】B 【解析】，故选B. 5.【答案】D 【解析】由随机变量，且，因为，可得，则，解得，故选D. 6.【答案】D 【解析】因为，当且仅当时等号成立，所以，所以，故选D. 7.【答案】B 【解析】由，则可得，故可得数列为等差数列，又由，有，可得，所以是2为公差的等差数列，又由，有，所以，则，故，故选B. 8.【答案】D 【解析】，即，设，显然单调递增，所以恒成立，即，设函数，则，显然的最小值为，所以，故选D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.【答案】AD（全部选对得6分，选对1个得3分，有选错的得0分） 【解析】当时，单调递增，且，所以A选项正确，B选项错误；因为时，，故C选项错误；当时，单调递减，故D选项正确.故选AD. 10.【答案】AD（全部选对得6分，选对1个得3分，有选错的得0分） 【解析】由题得，所以，因为，所以选项正确； 当时，，所以在区间上不单调，B选项错误； 的最小值为最小正周期，C选项错误； 当时，，所以的取值范围为，D选项正确，故选AD. 11.【答案】ACD（全部选对得6分，选对1个得2分，选对2个得4分，有选错的得0分） 【解析】依题意，，令，解得，A选项正确； 由为奇函数可得，为偶函数，所以，所以，又，所以，又，所以，B选项错误； 由可得，，所以，求导可得，，C选项正确； 因为，令可得，，令可得，，所以，所以，D选项正确，故选ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.【答案及评分细则】（5分，其他结果均不得分） 【解析】设球的半径为，由题意可知，得，则该实心铁球的表面积与圆柱的侧面积之比为. 13.【答案及评分细则】（5分，其他结果均不得分） 【解析】，整理得，因为，所以，所以. 14.【答案及评分细则】（5分，椭圆方程正确即给分） 【解析】由已知条件可知， 联立，消去并整理得：， 设， 则 则， 由，则， 又因为， 所以，解得. 所以椭圆的方程为. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15.【答案】（1）详见解析（2） 【解析及评分细则】（1）侧面为正方形，， 直三棱柱， 平面平面， 平面平面， 平面平面； （2）建立如图所示的空间直角坐标系， 则. 又由， 设平面的一个法向量为， ，即 令，则，于是， 又由， 设直线与平面所成的角为， 所以， 故直线与平面所成的角的正弦值为. 16.【答案】（1）（2） 【解析及评分细则】（1）设的最小正周期为，则，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以； （2）依题意，， 因为，所以， 当时，的最大值为，最小值为，不符题意； 当时，的最大值为1，所以的最小值为， 所以，解得， 所以的最小值为. 17.【答案】（1）（2）或 【解析及评分细则】（1）函数是且的反函数，则， ， 所以，则， 又，所以， 所以. （2）令，由单调性可知，在上的值域为或 由于在上最小值为，最大值为7，考虑，解出或，考虑，则，因此的取值范围为， 若，则；若，则 综上所述，或. 18.【答案】（1）（2）（i）3，（ii） 【解析及评分细则】（1）， 所以； （2）（i）设为的中点，则，又因为， 所以， 因为三点共线， 所以，所以； （ii）设的边长为1，设与周长分别为，则， ，所以， 所以， 由可得，（当且仅当时等号成立），所以， 所以， 所以和的周长之比的最小值为. 19.【答案】（1）的极小值为，无极大值（2）（i），（ii）详见解析 【解析及评分细则】（1）当时，，则， 当单调递减， 当单调递增， 所以为的极小值点，， 所以的极小值为，无极大值； （2）（i）， 设，即有两个零点， 则 所以当单调递减， 当单调递增， 所以的最小值为，且，即 当时，，若，则，此时在无零点，因此 所以； （ii）由（i）可知，，且， 所以， 设，则， 因为，所以单调递减， ，所以，所以. 学科网（北京）股份有限公司 $$