相似三角形基本模型03 一线三等角模型-2024-2025学年九年级数学相似三角形基本模型探究（北师大版）

相似三角形基本模型03 一线三等角模型 【基本模型】 简介：“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似． ①一线三等角模型（同侧型） （锐角型） （直角型） （钝角型） 条件：如图，，结论：. ②一线三等角模型（异侧型） 条件：如图，，结论： 【例题精讲】 例1．（基本模型）[感知] 如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与A、B重合）， ， 易证： △DAP∽△PBC（不要求证明） [探究]如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与A、B重合）， （1）求证：△DAP∽△PBC． （2）若PD=5，PC=10.BC=8求AP的长. [应用]如图③，在△ABC中，AC=BC=4，AB=6，点P在边AB上（点P不与A、B重合），连结CP，作 ，与边BC交于点E.当CE=3EB时，直接写出AP的长. 例2．（构造K字模型-直角）（1）问题发现：如图1，在中，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得，线段与的数量关系是______； （2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，写出变化后线段与的数量关系，并给出证明； （3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长． 例3．（构造K字模型-锐角）⑴如图1，点C在线段AB上，点D、E在直线AB同侧，∠A＝∠DCE＝∠CBE，DC＝CE.求证：AC＝BE. （2）如图3，在△ABD中，点C在AB边上，且∠ADC＝∠ABD，点E在BD边上，连接CE，∠BCE＋∠BAD＝180°，AC＝3，BC＝，CE＝，直接写出的值. 例4．（与函数综合培优）综合探究 如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，的顶点B、C在x轴上，A在y轴上，，直线分别与x轴、y轴、线段、直线交于点E、F、P、Q． (1)当时，求证：． (2)探究线段、之间的数量关系，并说明理由． (3)在x轴上是否存在点M，使得，且以点M、P、Q为顶点的三角形与相似，若存在，请求出此时t的值以及点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【专项训练】 1．如图，边长为10的等边中，点D在边上，且，将含角的直角三角板（）绕直角顶点D旋转，分别交边于P、Q，连接．当时，长为（　　）    A．6 B． C．10 D．6 2．如图，中，，，，是的中点，，分别在边，上，若为等边三角形，则等边的边长为（ ） A． B． C． D． 3．在中，，，点在所在的直线上运动，作（、、按逆时针方向）． （1）如图，若点在线段上运动，交于． ①求证：； ②当是等腰三角形时，求的长； （2）如图，若点在的延长线上运动，的反向延长线与的延长线相交于点，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，求出线段的长度；若不存在，请简要说明理由； （3）若点在的反向延长线上运动，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，写出所有点的位置；若不存在，请简要说明理由． 4．【问题情境】如图①，在中，，，点为中点，连结，点为的延长线上一点，过点且垂直于的直线交的延长线于点.易知BE与CF的数量关系 ． 【探索发现】如图②，在中，，，点为中点，连结，点为的延长线上一点，过点且垂直于的直线交的延长线于点.【问题情境】中的结论还成立吗？请说明理由． 【类比迁移】如图③，在等边中，，点是中点，点是射线上一点（不与点、重合），将射线绕点逆时针旋转交于点．当时，______． 5．问题提出 （1）如图1，在矩形中，，点E为的中点，点F在上，过点E作交于点G．若，则的面积为_________． 问题探究 （2）如图2，在矩形中，，点P是边上一动点，点Q是的中点将．沿着折叠，点A的对应点是，将沿着折叠，点D的对应点是．请问是否存在这样的点P，使得点P、、在同一条直线上？若存在，求出此时的长度；若不存在，请说明理由． 问题解决 （3）某精密仪器厂接到生产一种特殊四边形金属部件的任务，部件要求：如图3，在四边形中，，点D到的距离为，且．若过点D作，过点A作的垂线，交于点E，交的延长线于点H，过点C作于点F，连接．设的长为，四边形的面积为． ①根据题意求出y与x之间的函数关系式； ②在满足要求和保证质量的前提下，仪器厂希望造价最低．已知这种金属材料每平方厘米造价60元，请你帮忙求出这种四边形金属部件每个的造价最低费用． 6．（1）如图1，，分别过A，C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为E、F，，，，求的长度为 ． （2）如图2，在矩形中，，，点E、F、M分别在上，，，当时，求四边形的面积． 7．综合与实践 问题情境：正方形，点E是射线上的一个动点，连接并将绕点C顺时针旋转得到线段，连接交于点G． (1)如图1，当点E在边上时，判断和的数量关系并证明； 问题解决： (2)如图2，当点E在延长线上时，判断和之间的数量关系并证明； (3)如图3、若正方形的边长为4，点E在边上且，交于点H，直接写出线段的长度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 相似三角形基本模型03 一线三等角模型 【基本模型】 简介：“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似． ①一线三等角模型（同侧型） （锐角型） （直角型） （钝角型） 条件：如图，，结论：. ②一线三等角模型（异侧型） 条件：如图，，结论： 【例题精讲】 例1．（基本模型）[感知] 如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与A、B重合）， ， 易证： △DAP∽△PBC（不要求证明） [探究]如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与A、B重合）， （1）求证：△DAP∽△PBC． （2）若PD=5，PC=10.BC=8求AP的长. [应用]如图③，在△ABC中，AC=BC=4，AB=6，点P在边AB上（点P不与A、B重合），连结CP，作 ，与边BC交于点E.当CE=3EB时，直接写出AP的长. 【答案】（1）详见解析；（2）4；[应用]AP= 【分析】（1）由三角形外角性质可得∠DPB=∠A+∠ADP，然后推出∠ADP=∠CPB即可证明相似； （2）由相似得到对应边成比例，建立方程即可求AP； [应用]同（1）的方法，先证明∠EPB=∠ACP，然后证明△APC∽△BEP，再由对应边成比例建立方程求AP. 【详解】（1）∵∠DPB=∠A+∠ADP， ∴∠DPC+∠CPB=∠A+∠ADP， ∵∠A=∠DPC， ∴∠ADP=∠CPB ∵∠A=∠B ∴ （2） ∴ ∴ ∴AP=4. [应用]AP=，理由如下： ∵∠BPC=∠A+∠ACP ∴∠CPE+∠EPB=∠A+∠ACP ∵∠CPE=∠A ∴∠EPB=∠ACP 又∵AC=BC ∴∠A=∠B ∴△APC∽△BEP ∴ ∵CE=3EB ∴BE=BC=1 ∴ 解得AP= 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，掌握“一线三等角”模型的证明方法是关键. 例2．（构造K字模型-直角）（1）问题发现：如图1，在中，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得，线段与的数量关系是______； （2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，写出变化后线段与的数量关系，并给出证明； （3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3） 【分析】（1）结合“一线三等角”推出，从而证得结论即可； （2）利用条件证明，然后根据相似三角形的性质证明即可； （3）作延长线于点，过点作，交于点，交于点，结合“一线三垂直”证明，从而利用全等三角形的性质求出和，最后利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：∵将边绕点C顺时针旋转得到线段， ∴， ∵，， ∴． 在和中， ∴， ∴． 故答案为： （2）． 证明：同（1）可得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）如图所示，作延长线于点，过点作，交于点，交于点， 则，，， 由（1）同理可证，， ∴，， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，掌握一线三等角全等和相似模型，并熟练运用是解题关键． 例3．（构造K字模型-锐角）⑴如图1，点C在线段AB上，点D、E在直线AB同侧，∠A＝∠DCE＝∠CBE，DC＝CE.求证：AC＝BE. （2）如图3，在△ABD中，点C在AB边上，且∠ADC＝∠ABD，点E在BD边上，连接CE，∠BCE＋∠BAD＝180°，AC＝3，BC＝，CE＝，直接写出的值. 【答案】（1）见解析；（2） . 【分析】（1）利用AAS证明可得AC=BE； （2）根据∠ADC=∠ABD，可推出△ADC∽△ADB，从而得到AD的长，根据∠BCE+∠BAD=180°，以E为圆心，EC长为半径画弧，交BC于点H，连接EH，可得EH=EC，∠EHC=∠ECB=∠ADC+∠DCA，可得△BEH∽△ADC，则. 【详解】（1）证明：如图1， ， 又， 又 （2）如图3， ∵∠ADC=∠B，∠A=∠A， ∴△ADC∽△ADB， 解得AD=5， ∵∠BCE+∠BAD=180°，∠ADC+∠DCA+∠BAD=180°， ∴∠ADC+∠DCA=∠BCE， 以E为圆心，EC长为半径画弧，交BC于点H，连接EH， ∴EH=EC，∠EHC=∠ECB=∠ADC+∠DCA， ∵∠B=∠ADC， ∴∠BEH=∠ACD， ∴△BEH∽△ADC， 故答案为 【点睛】此题考查了相似三角形得性质和判定，根据相似三角形对应边成比例求出相关的线段长度，最后一问以EC为腰作等腰三角形为解题关键． 例4．（与函数综合培优）综合探究 如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，的顶点B、C在x轴上，A在y轴上，，直线分别与x轴、y轴、线段、直线交于点E、F、P、Q． (1)当时，求证：． (2)探究线段、之间的数量关系，并说明理由． (3)在x轴上是否存在点M，使得，且以点M、P、Q为顶点的三角形与相似，若存在，请求出此时t的值以及点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)时，；时，；时， 【分析】（1）根据，求出与交点的坐标，即可求解； （2）先求出直线的表达式为，再联立直线与直线求出，再求出点，利用坐标系中两点距离公式求出即可，结合即可求解； （3）证明，得到或，分四种情况画图求解． 【详解】（1）证明：由知，，， 则， 则点、的坐标分别为：、， 当时，，则，即点，∴； （2）解：，理由： 设直线的表达式为：，将、代入得： ，解得：．∴直线的表达式为：， 联立上式和得，解得，即点， 同理（1）可得，点， ∴ ∵，∴； （3）分别过点、作轴，轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设点，由（2）知，点、的坐标分别为：、， ①若，如图2，则，，，当时， ∴，∴．∴，， 联立方程组：，解得：，∴时，， ②若，，，，如图3，当时， ∴，∴，∴，， 联立方程组：，解得．∴时， ③若，当时，如图4，，，， ∴，∴，∴ ∴，， 联立方程组：，解得：，∴， ④，的情况不存在， 综上，时，；时，；时， 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形相似、平行四边形的性质等，分类求解是解题的关键． 【专项训练】 1．如图，边长为10的等边中，点D在边上，且，将含角的直角三角板（）绕直角顶点D旋转，分别交边于P、Q，连接．当时，长为（　　）    A．6 B． C．10 D．6 【答案】B 【分析】证明，由相似三角形的性质得出，求出，过点Q作于点M，由勾股定理可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点Q作于点M，    ∴，， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质．先证明是解题的关键． 2．如图，中，，，，是的中点，，分别在边，上，若为等边三角形，则等边的边长为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点A作交延长线于H，连接，证明得到，，再证明，得到，则；进一步证明，得到，设，则，则，可得，解得，则，即可得到，则的边长为． 【详解】解：如图所示，过点A作交延长线于H，连接， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴的边长为， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质，等边对等角等，正确作出辅助线构造相似三角形和全等三角形是解题的关键． 3．在中，，，点在所在的直线上运动，作（、、按逆时针方向）． （1）如图，若点在线段上运动，交于． ①求证：； ②当是等腰三角形时，求的长； （2）如图，若点在的延长线上运动，的反向延长线与的延长线相交于点，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，求出线段的长度；若不存在，请简要说明理由； （3）若点在的反向延长线上运动，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，写出所有点的位置；若不存在，请简要说明理由． 【答案】（1）①见解析，②2或或1；（2）存在，2；（3）不存在，见解析 【分析】（1）①根据等腰直角三角形的性质得到，再证，根据相似三角形的判定定理证明即可； ②根据等腰三角形的性质，分，和三种情况讨论，再根据相似三角形的性质求解； （2）先证得，再根据相似三角形的性质计算即可； （3）根据三角形内角和定理以及三角形外角的性质定理，进行判断即可． 【详解】（1）①证明：∵，， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴； ②解：分三种情况： （i）当，时，得到，点分别与重合， ∴． （ii）当时， 在△ABD和△DCE中， ， ∴， ∴， ∵BC=， ∴， ∴； （iii）当时，有， ∴，AD=CD，AE=CE=DE， ∴． 综上所述，当是等腰三角形时，的长为2，或1． （2）解：存在． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴， ∴， 当，． （3）解：不存在．理由如下： 如图， ∵和不重合，∴， 又，， ∴≠． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，分情况讨论是解答本题的关键． 4．【问题情境】如图①，在中，，，点为中点，连结，点为的延长线上一点，过点且垂直于的直线交的延长线于点.易知BE与CF的数量关系 ． 【探索发现】如图②，在中，，，点为中点，连结，点为的延长线上一点，过点且垂直于的直线交的延长线于点.【问题情境】中的结论还成立吗？请说明理由． 【类比迁移】如图③，在等边中，，点是中点，点是射线上一点（不与点、重合），将射线绕点逆时针旋转交于点．当时，______． 【答案】问题情境：；探索发现：成立，见解析；类比迁移：或 【分析】问题情境：根据等腰直角三角形的性质，证明即可得； 探索发现：与图①类似，证明即可； 类比迁移：根据等边三角形的性质得到∠A=∠B=60°，求得∠BDF=∠AED，设CE=x，则CF=2x，分两种情况讨论：点E在线段AC上，点E在AC的延长线上，证明，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】问题情境：，证明如下： ∵在中，，，点为中点， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ 在和中， ∴ ∴ 探索发现：成立， 理由：∵在中，为中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴ ∴ 类比迁移： 当点E在线段AC上时，如图③， ∵是等边三角形，，点是中点， ∴，， 设，则，， ∵是的外角，， ∴ 即 ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 解得，（大于4，不符合题意，舍去） 当点E在线段AC的延长线时，如图： 设，则，， 同理可得 ∴ 解得，（不符合题意，舍去） 综上所述，或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查全等三角形与相似三角形的综合问题，运用等腰直角三角形的性质寻找全等条件，熟练掌握相似三角形中的一线三等角模型是解题的关键． 5．问题提出 （1）如图1，在矩形中，，点E为的中点，点F在上，过点E作交于点G．若，则的面积为_________． 问题探究 （2）如图2，在矩形中，，点P是边上一动点，点Q是的中点将．沿着折叠，点A的对应点是，将沿着折叠，点D的对应点是．请问是否存在这样的点P，使得点P、、在同一条直线上？若存在，求出此时的长度；若不存在，请说明理由． 问题解决 （3）某精密仪器厂接到生产一种特殊四边形金属部件的任务，部件要求：如图3，在四边形中，，点D到的距离为，且．若过点D作，过点A作的垂线，交于点E，交的延长线于点H，过点C作于点F，连接．设的长为，四边形的面积为． ①根据题意求出y与x之间的函数关系式； ②在满足要求和保证质量的前提下，仪器厂希望造价最低．已知这种金属材料每平方厘米造价60元，请你帮忙求出这种四边形金属部件每个的造价最低费用． 【答案】（1）；（2）存在，或；（3）①；②963.3元． 【分析】（1）先由矩形的性质得，再由三角形面积公式求解即可； （2）由折叠的性质得：，再证，然后根据相似三角形的性质列比例式求解； （3）①先证得，然后根据相似三角形的性质求得，然后根据面积公式列式求解； ②根据二次函数性质求最值 【详解】解：（1）∵四边形是矩形， ∴． ∵， ∴． ∵点E为的中点， ∴ 故答案为：； （2）存在，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴． ∵Q是的中点，∴． 由折叠的性质得：， 当点P、、三点在同一条直线上时，， ∴． ∵， ∴． ∵∵， ∴， ∴，即， 解得：或； （3）①根据题意做出辅助线，如图所示． 由题意得：． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． 由，则． ∵， ∴， ∴， ∴ ； ②由①知，， 当时，四边形的面积取得最小值为， ∴最低造价为（元）， ∴四边形金属部件每个的造价最低费用约为963.3元． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、翻折变换的性质、梯形面积公式、三角形面积公式以及二次函数的应用等知识；本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和翻折变换的性质，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型． 6．（1）如图1，，分别过A，C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为E、F，，，，求的长度为 ． （2）如图2，在矩形中，，，点E、F、M分别在上，，，当时，求四边形的面积． 【答案】（1），（2）； 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质． （1）根据一线三垂直模型容易证明，进而由相似三角形性质即可求解； （2）过点作垂足为H，根据（1）可知，根据相似三角形性质结合已知求出，，，，再由四边形的面积=矩形的面积即可求解； 【详解】解：（1）∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为， （2）如图，过点作垂足为H， 同理（1）得：， ∴， ∵在矩形中，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴，即：， ∴，解得：， ∴，，， ∵四边形的面积=矩形的面积， ∴四边形的面积=． 7．综合与实践 问题情境：正方形，点E是射线上的一个动点，连接并将绕点C顺时针旋转得到线段，连接交于点G． (1)如图1，当点E在边上时，判断和的数量关系并证明； 问题解决： (2)如图2，当点E在延长线上时，判断和之间的数量关系并证明； (3)如图3、若正方形的边长为4，点E在边上且，交于点H，直接写出线段的长度． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】（1）过点作于点，根据旋转可得，，证明，得出，再证明，即可证明； （2）过点作交延长线于点，根据旋转可得，，证明，得出．再证明．得出，即可证明． （3）过点作交延长线于点M，过作于点N，交于点P，由旋转可知，证明，得出，，，根据勾股定理得出，证明，得出，结合，得出，证明，得出，即可求解 【详解】（1）解：， 理由：过点作于点， ∵旋转， ∴， 在正方形中， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：， 理由：过点作交延长线于点， ∵旋转， ， 在正方形中， ∴． ∵， ， ∴． ∵， ， ∵， ∴． ∴， ， ∴． （3）解：过点作交延长线于点M，过作于点N，交于点P， 则四边形是矩形， 由旋转可知， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ∵四边形是矩形， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识点，证明三角形相似是解本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$