相似三角形基本模型02 X（8）字型-2024-2025学年九年级数学相似三角形基本模型探究（北师大版）

相似三角形基本模型02 X（8）字型 【基本模型】 X字型（平行） 反X字型（不平行） 如图为斜“8”字型基本图形． 当时， 则有．． “A”字和“8”字模型的构造常常作平行线，常见的作平行线的方法： 【例题精讲】 例1．（基本模型1）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（　　） A． B． C． D． 例2．（基本模型2）如图，在四边形中，，，点是延长线上一点，，连接交于点，则的值为 ． 例3．（构造8字型）如图，在中，，是上的一点，且，是的中点，连结，交于点．若时，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 例4．（构造8字型-培优）如图，中，，，，连接交于P点，则的值为 ． 例5．（相似计算）我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性质，如：在线段比、面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题，请你利用重心的概念完成如下问题： （1）若是的重心（如图），连结并延长交于，证明：； （2）若是的一条中线（如图），是上一点，且满足，试判断是的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由； （3）若是的重心，过的一条直线分别与、相交于、（均不与的顶点重合）（如图），求证：． 例6．（与函数综合-培优）如图1，直线交x轴于点B，交y轴于点A，平行于x轴，平行于y轴． (1)求点C的坐标； (2)如图2，点D在线段上，连接，点E在延长线上，连接、，且，求证：平分； (3)如图3，在（2）的条件下，于P，交于点Q，与的交点为F，若，求点D的坐标． 【专项训练】 1．如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为（   ） A．4 B．8 C． D． 2．如图，在矩形中，，，点E在边上，且，连接，过点C作于点F，交于点P，交于点Q，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，点D为边上一点，，点E为的中点，，若，的值为 ． 4．如图，将正方形沿直线折叠，使点的对应点落在边上，点C落在点N处，与交于点，折痕分别与边，交于点，，连接．若，则的值是 ． 5．如图，已知和是等边三角形，连接，连接并延长交于点，交于点，，，那么的长为 ． 6．如图，在中，是上的点，是上的点，与相交于点，，，则 ． 7．如图，在矩形中，点E为边上不与端点重合的一动点，点F是对角线上一点，连接交于点O，且．    (1)求证：； (2)若，，，求的长． 8．如图1，在矩形中，为边的中点，为的中点，的延长线交于． (1)分别记矩形的面积为的面积为，求的值； (2)如图2，连接，若，求证：； (3)如图3，连接，经过点的直线分别交于，交于，交于，若，求的值． 9．（1）问题背景：如图1，正方形ABCD中，F在直线CD上，E在直线BC上．若∠EAF＝45°，求证：BE＋FD＝EF； （2）迁移应用：如图2，将正方形ABCD的一部分沿GH翻折，使A点的对应点E在BC上，且AD的对应边EM交CD于F点．若BE＝3，EC＝2，求EF的长； （3）联系拓展：如图3，正方形ABCD中，E、Q在CD上，F在BC上，若EF＝EA，∠FQA＝∠FEA．若∠CFQ＝34°，则∠QAD＝_______°． 10．如图，直角△ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，连接AD，作BF⊥AD分别交AD于E，AC于F． （1）如图1，若BD=BA，求证：△ABE≌△DBE； （2）如图2，若BD=4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于M，求证：①GM=2MC；②AG2=AF•AC． 11．如图，已知一次函数的图象与坐标轴分别交于A、B点，AE平分，交轴于点E．    （1）直接写出点A和点B的坐标． （2）求直线AE的表达式． （3）过点B作BFAE于点F，过点F分别作FD//OA交AB于点D，FC//AB交轴于点C，判断四边形ACFD的形状并说明理由，求四边形ACFD的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� $$ 相似三角形基本模型02 X（8）字型 【基本模型】 X字型（平行） 反X字型（不平行） 如图为斜“8”字型基本图形． 当时， 则有．． “A”字和“8”字模型的构造常常作平行线，常见的作平行线的方法： 【例题精讲】 例1．（基本模型1）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，证明AB＝AF＝2k，DF＝DG＝k，再利用平行线分线段成比例定理即可解决问题． 【详解】解：由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD， ∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠CBG， ∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G， ∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k， ∴CG＝CD+DG＝3k， ∵AB∥DG， ∴△ABE∽△CGE， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了比例的性质、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理，熟练掌握性质及定理是解题的关键． 例2．（基本模型2）如图，在四边形中，，，点是延长线上一点，，连接交于点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，如图，设交于点，可得，进而得，即得，得到，再由得到，设，则，，可得，即得，得到，再代入代数式即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，设交于点， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴，∴， ∴， ∴， 故答案为：． 例3．（构造8字型）如图，在中，，是上的一点，且，是的中点，连结，交于点．若时，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形和相似三角形、熟练掌握全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键． 过点作交延长线于点，根据“平行于三角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线）所构成的三角形和原三角形相似”，证明，得出，利用证明，得出，推出，，根据计算面积，则，计算得出答案即可． 【详解】解：如图，过点作交延长线于点， ∵， ∴，， ∴， ∵是的中点，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 例4．（构造8字型-培优）如图，中，，，，连接交于P点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质和判定，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键． 延长和交于N，过C作，交的延长线于M，设，根据相似三角形的判定得出，，，根据相似三角形的性质得出，，求出，，求出，再根据相似三角形的性质得出即可． 【详解】解：延长和交于N，过C作，交的延长线于M，设， ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 例5．（相似计算）我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性质，如：在线段比、面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题，请你利用重心的概念完成如下问题： （1）若是的重心（如图），连结并延长交于，证明：； （2）若是的一条中线（如图），是上一点，且满足，试判断是的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由； （3）若是的重心，过的一条直线分别与、相交于、（均不与的顶点重合）（如图），求证：． 【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析. 【分析】（1）如图，作出中位线PD，证明∽，可以证明结论； (2) 如图，作的中线，与边交于点，与的另一条中线交于点，则是的重心，由（1）中的证明可知，而由条件，点与点重合（是同一个点），所以点是的重心． （3）如图，分别过、、、作的垂线，垂足分别为、、、，证得∽和∽，利用相似三角形的性质得到，在四边形中证得，所以有，再证∽得，最后根据点是的重心证得． 【详解】（1）证明：如图，连结并延长交于点，连结． ∵点是的重心， ∴是的中点，是的中点，是的中位线， ∴，， ∴，， ∴∽， ∴，， ∴． （2）点是的重心． 证明：如图，作的中线，与边交于点，与的另一条中线交于点，则是的重心， 根据（1）中的证明可知， 而由条件，点与点重合（是同一个点）， 所以点是的重心． （3）如图，分别过、、、作的垂线，垂足分别为、、、， 证明：∵， ∴∽， ∴． 又∵， ∴∽， ∴， ∴． 又在四边形中可证， ∴． 又∵， ∴∽， ∴． ∵点是的重心， ∴， ∴， ∴， ∴，即原命题得证． 【点睛】本题是几何综合题，以三角形的重心为背景，考查了重心的概念、性质以及应用，考查了相似三角形、中位线等的性质和应用． 例6．（与函数综合-培优）如图1，直线交x轴于点B，交y轴于点A，平行于x轴，平行于y轴． (1)求点C的坐标； (2)如图2，点D在线段上，连接，点E在延长线上，连接、，且，求证：平分； (3)如图3，在（2）的条件下，于P，交于点Q，与的交点为F，若，求点D的坐标． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【分析】分别求出一次函数与坐标轴的交点，即可得出点，点B的坐标，再利用平行线的性质可得出点C的坐标． 根据题意可知四边形为正方形，连接交与点N，连接，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，则得点O，点B，点C，点E，点A五点共圆，依据圆周角定理可得； 设，则，过点C作，交于点M，可得，则，进一步证明，有，则，结合，有，即可求得a，利用线段之间的关系和坐标求解即可． 【详解】（1）解∶∵直线交x轴于点B，交y轴于点A， 令，则， ∴， 令，则， ∴， ∵轴，轴． ∴ （2）证明：∵轴，轴． ∴四边形为平行四边形， 又∵，， ∴四边形为正方形， ∴， 连接交与点N，连接，如图， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点O，点B，点C，点E，点A五点共圆， ∵， ∴， 即平分； （3）解：设， ∴， 过点C作，交于点M，如图， 则， 由（2）可知：平分， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 又，， ∴， 所以， 解得：， ∴，， 由∵， ∴ 即． 【点睛】本题主要考查函数与几何的结合，涉及一次函数的性质、正方形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、共圆、圆周角定理、等腰三角形的性质和相似三角形的判定和性质，难度较大，解题的关键是熟悉相似三角形的性质和共圆的性质． 【专项训练】 1．如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形中位线的性质，相似三角形的判定与性质．正确作出辅助线是解题的关键．取的中点G，连接，根据三角形中位线性质得，，再证明，得，从而求得，即可求得答案． 【详解】解：如图，取的中点G，连接， D是的中点， ，， ， ， ， ， ． 故选B． 2．如图，在矩形中，，，点E在边上，且，连接，过点C作于点F，交于点P，交于点Q，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，根据矩形的性质证明相似三角形，利用相似三角形得到比例线段是解题的关键． 根据矩形的性质证明和，根据相似三角形的性质列出比例式，求解即可． 【详解】∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴． 故选：B. 3．如图，在中，点D为边上一点，，点E为的中点，，若，的值为 ． 【答案】/0.75 【分析】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形内角和，解方程，解题的关键是正确作出辅助线． 如图，过点C作交的延长线于点G，在上取点F，连接，证出，解得．设，则，得出，，设，则，，列出方程即可求解 【详解】解：如图，过点C作交的延长线于点G，在上取点F，连接，使． 则， ∴， 即， ∴． 设，则， ∴，，， ∴，， ∴． 设，则，， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， ∴． 故答案为：． 4．如图，将正方形沿直线折叠，使点的对应点落在边上，点C落在点N处，与交于点，折痕分别与边，交于点，，连接．若，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：如图，延长交于点．    ∵， ∴． ∴， ∴，， 设，，则，，正方形边长为， ∴． 由翻折和正方形的性质可得，． ∴． ∴，即， ∴． ∴． 在中，， ∴． 解得：（舍），． ∴． 在中，， ∴ 解得：， ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了正方形与折叠问题，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 5．如图，已知和是等边三角形，连接，连接并延长交于点，交于点，，，那么的长为 ． 【答案】 【分析】如图，过点F作FM⊥EG于M，根据等边三角形的性质可得∠ACB=∠ECD=60°，AB=AC，CE=CD，利用线段的和差关系可得CF=4，根据角的和差关系可得∠BCE=∠ACD，利用SAS可证明△BCE≌△ACD，可得∠BEC=∠ADC，根据∠GFE=∠CFD即可证明△GEF∽△CDF，∠EGF=∠DCF=60°，根据相似三角形的性质可得，可得，根据含30°角的直角三角形的性质可得MG=GF，设GF=2a，则EG=3a，MG=a，即可得出ME=2a，在Rt△EMF中，利用勾股定理列方程可求出a的值，进而可求出EG的长． 【详解】如图，过点F作FM⊥EG于M， ∵△ABC和△DCE是等边三角形， ∴∠ACB=∠ECD=60°，BC=AC，CE=CD， ∴∠ACB-∠ACE=∠ECD-∠ACE，即∠BCE=∠ACD， ∵CD=6，EF=2，CE=EF+CF， ∴CF=CE-EF=CD-EF=4， 在△BCE和△ACD中，， ∴△BCE≌△ACD， ∴∠BEC=∠ADC， ∵∠GFE=∠CFD， ∴△GEF∽△CDF，∠EGF=∠DCF=60°， ∴， ∴， 设GF=2a，则EG=3a， ∵FM⊥EG，∠EGF=60°， ∴∠GFM=30°， ∴MG=GF=a， ∴MF=a，ME=EG-MG=2a， ∴EF2=ME2+MF2，即4a2+3a2=4， 解得：a=，（负值舍去） ∴EG=3a=． 故答案为： 【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理，正确添加辅助线构造直角三角形是解题关键． 6．如图，在中，是上的点，是上的点，与相交于点，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，连接，由，可得出，得到，进而可得出，再由，得到即可． 【详解】连接，如图所示： ，， 即， ∴， ∴，， ∴， ． 同理由可得， ． 故答案为：． 7．如图，在矩形中，点E为边上不与端点重合的一动点，点F是对角线上一点，连接交于点O，且．    (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】本题考查矩形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，构造相似三角形是解题的关键． （1）根据矩形的性质，结合同角的余角，求出，即可得证； （2）延长交于点，证明，得到，再证明，求出的长，进而求出的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，∴， ∵，∴， ∴； （2）解：延长交于点，    ∵矩形，∴， ∴， ∴，∴， ∵，， ∴，∴，∴， ∴． 8．如图1，在矩形中，为边的中点，为的中点，的延长线交于． (1)分别记矩形的面积为的面积为，求的值； (2)如图2，连接，若，求证：； (3)如图3，连接，经过点的直线分别交于，交于，交于，若，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，根据题意得和，则，结合即可； （2），则，即可证明，即可证明结论成立； （3）延长交的延长线于，可证，有，结合中点可得．利用矩形的性质得，则有和，那么，即可求得． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵为边的中点， ， 为的中点， ， ． ， ； （2）证明：为边的中点，为的中点，， ， ， 又， ， ； （3）解：如图，延长交的延长线于． ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ， 又为的中点， ， ， ， ， ①， ②， ①+②得 ． ． 又， ． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、中点的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、全等三角形的判定和性质和相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉矩形的性质和相似三角形的性质． 9．（1）问题背景：如图1，正方形ABCD中，F在直线CD上，E在直线BC上．若∠EAF＝45°，求证：BE＋FD＝EF； （2）迁移应用：如图2，将正方形ABCD的一部分沿GH翻折，使A点的对应点E在BC上，且AD的对应边EM交CD于F点．若BE＝3，EC＝2，求EF的长； （3）联系拓展：如图3，正方形ABCD中，E、Q在CD上，F在BC上，若EF＝EA，∠FQA＝∠FEA．若∠CFQ＝34°，则∠QAD＝_______°． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）34° 【分析】（1）将ABE绕点A顺时针旋转90°，使AB与AD重合，得到了旋转后的ADG，由此可得∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∠B＝∠ADG＝90°，BE＝DG，进而证明EAF≌GAF，由此即可证得结论； （2）根据翻折可设AG＝GE＝x，则BG＝5－x，利用勾股定理可得，由此解得，，在利用相似三角形的判定与性质即可求得答案； （3）连接AF，设∠FQA＝∠FEA＝m，根据等腰三角形的性质可得∠AFE＝，再通过相似三角形的判定与性质可得∠AQE＝∠AFE＝，最后根据三角形的内角和及平角的定义即可求得答案． 【详解】（1）证明：如图1，将ABE绕点A顺时针旋转90°，使AB与AD重合，得到了旋转后的ADG， ∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∠B＝∠ADG＝90°，BE＝DG， ∴∠ADF+∠ADG＝180°， ∴F，D，G三点共线， ∵∠EAF＝45°， ∴∠BAE+∠FAD＝45°， ∴∠DAG+∠FAD＝45°， ∴∠EAF＝∠FAG， 在EAF与GAF中， ， ∴EAF≌GAF（SAS）， ∴EF＝FG， ∵DG+FD＝FG， ∴BE＋FD＝EF； （2）解：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝BC，∠B＝∠C＝∠A＝∠D＝90°， ∵BE＝3，EC＝2， ∴AB＝BC＝5， ∵翻折， ∴设AG＝GE＝x，则BG＝5－x， ∵在RtBGE中，， ∴， 解得：， ∴， ∵翻折， ∴∠GEF＝∠A＝90°， ∴∠GEB＋∠FEC＝∠GEB＋∠BGE＝90°， ∴∠FEC＝∠BGE， 又∵∠B＝∠C， ∴， ∴， 即：， 解得：， ∴EF的长为； （3）解：如图，连接AF，设∠FQA＝∠FEA＝m， ∵EF＝EA， ∴∠EAF＝∠EFA＝， ∵∠FQA＝∠FEA，∠FOQ＝∠AOE， ∴， ∴， ∴， 又∵∠FOA＝∠QOE， ∴， ∴∠AQE＝∠AFE＝， ∵∠CFQ＝34°，∠C＝90°， ∴∠CQF＝90°－∠CFQ＝56°， ∵∠CQF＋∠FQA＋∠AQE＝180°， ∴56°＋m＋＝180°， 解得：m＝68°， ∵∠D＝90°， ∴∠QAD＝90°－∠AQE＝90°－()＝＝34°， 故答案为：34． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等相关知识，熟练运用相似三角形的判定与性质是解决本题的关键． 10．如图，直角△ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，连接AD，作BF⊥AD分别交AD于E，AC于F． （1）如图1，若BD=BA，求证：△ABE≌△DBE； （2）如图2，若BD=4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于M，求证：①GM=2MC；②AG2=AF•AC． 【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）①过G作GH∥AD交BC于H，由AG=BG，得到BH=DH，根据已知条件设DC= k，BD=4k，得到BH=DH=2k，根据平行线分线段成比例定理得到，求得GM=2MC； ②过C作CN⊥AD交AD的延长线于N，则CN∥AG，根据相似三角形的性质得到，由①知GM=2MC，得到2NC=AG，根据相似三角形的性质得到，等量代换得到，于是得到结论． 【详解】（1）BF⊥AD， 在和中， ∵ ， ∴ ； （2）①过G作GH∥AD交BC于H， ∵AG=BG， ∴BH=DH， ∵BD=4DC， 设DC=k，BD=4k， ∴BH=DH=2k， ∵GH∥AD， ∴， ∴GM=2MC； ②过C作CN⊥AC交AD的延长线于N，则CN∥AG， ∴△AGM∽△NCM， ∴， 由①知GM=2MC， ∴2NC=AG， ∵∠BAC=∠AEB=90°， ∴， ∴△ACN∽△BAF， ∴， ∵AB=AG， ∴， ∴2CN•AG=AF•AC， ∴AG2=AF•AC． 11．如图，已知一次函数的图象与坐标轴分别交于A、B点，AE平分，交轴于点E．    （1）直接写出点A和点B的坐标． （2）求直线AE的表达式． （3）过点B作BFAE于点F，过点F分别作FD//OA交AB于点D，FC//AB交轴于点C，判断四边形ACFD的形状并说明理由，求四边形ACFD的面积． 【答案】（1）A(0,6)，B(8,0)；（2）y=−2x+6；（3）四边形ACFD是菱形，证明见解析；S四边形ACFD=20 【分析】（1）一次函数，令x=0求出y值，可得A点坐标，令y=0，求出x值，可得B点坐标，此题得解； （2）已知A，B点坐标，结合勾股定理可求出AB的长度，再利用角平分线的性质即可求出点E的坐标，根据点A、E的坐标利用待定系数法即可求出直线AE的表达式； （3）过点B作BFAE于点F，过点F分别作FD//OA交AB于点D，FC//AB交轴于点C，连接CD交AF于点G，可得四边形ACFD是平行四边形，证明AD=DF，即可得到四边形ACFD是菱形，证明△AOE∽△BFE，即可得到，，求得BF和EF，进而求得四边形ACFD的面积． 【详解】（1）∵ 当x=0时，y=6 ∴A(0,6) 当y=0时， 解得x=8 ∴B(8,0) ∴A(0,6)，B(8,0) （2）过点E作EM⊥AB于D ∴OA=6，OB=8， ∴AB= ∵AE平分∠BAO，交x轴于点E ∴OE=ME ∴ ∴ ∴OE=BE ∵OE+BE=OB=8 ∴OE=3，BE=5 ∴点E的坐标为(3,0) 设直线AE的表达式为y=kx+b 将A(0,6)、E(3,0)代入y=kx+b 解得： ∴直线AE的表达式为y=−2x+6    （3）过点B作BFAE于点F，过点F分别作FD//OA交AB于点D，FC//AB交轴于点C，连接CD交AF于点G ∵FD//OA，FC//AB ∴四边形ACFD是平行四边形 ∴∠CAF=∠AFD ∵∠CAF=∠FAD ∴∠AFD=∠FAD ∴AD=DF ∴四边形ACFD是菱形 ∵∠AOE=∠BFE=90°，∠AEO=∠BEF ∴△AOE∽△BFE ∴ ∵OE=3，OA=6 ∴AE= ∴ ∴BF= ∵四边形ACFD是菱形 ∴DG⊥AF，AG=GF ∴DG=BF= ∵ ∴ ∴EF= ∴AF=AE+EF=，S四边形ACFD=AF×DG= 故答案为：四边形ACFD是菱形，证明见解析；S四边形ACFD=20    【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴交点坐标的求法，及利用待定系数法求一次函数解析式，本题是一次函数与几何问题的结合，解题过程中应用了相似的判定及性质，菱形的判定及性质等知识点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� $$